2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷1

2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷1

(學(xué)生版)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求

的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

1.已知集合A={犬卜2—%—2<()},B=1x|l<X<3j,則AB=

A.{x|-l<x<3}B.{x|-1<X<1}C.{x[l<x<2}D.{x[2<x<3}

2.已知(3-4i)z=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量a,A滿足k|=1,忖=2,且K+目=6，則a與A的夾角為

4.在平面直角坐標系中，若點P(46,0)到雙曲線C：「—匕=1的一條漸近線的距離為6,則雙曲線C的離

a9

心率為

A.2B.4C.V2D.\/3

5.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若28cosCW2a-c,則角B的取值范圍是

JI27rTC

A.(0,—]B.(0,]C.[—,7t)D.[--,71)

3333

Q_1

6.設(shè)a=log49,b=2-'-2,c=(—)3,貝ij

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

7.在平面直角坐標系xOy中，已知圓A：(x-1)2+y2=,I點B(3,0),過動點P引圓A的切線，切點為T.若PT

=0PB,則動點P的軌跡方程為

A.x2+/-14x+18=0B.x2+/+14x+18=0

C.x2+/-10x+18=0D.x2+/+10x+18=0

93

8.已知奇函數(shù)/(x)的定義域為R,且f(l+x)=/(l—x).若當xe(0,1]時，/(%)=log2(2x+3),則/(；■)的值

是

A.-3B.-2C.2D.3

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目

要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

9.5G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對GDP增

長產(chǎn)生直接貢獻，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟增加值.如圖,

某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)出做出預(yù)測

5G經(jīng)濟產(chǎn)出/億元

30000-

25000-

20000

15000

10000

5000

0

20202021202220232024年份

口運營商?信息服務(wù)商■設(shè)得制造商

由上圖提供的信息可知

A.運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢

TT

10.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向左平移一個單位后，得到函數(shù)丁=8(工)的圖象，則

6

兀

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線元=五對稱

式

B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(二，0)對稱

6

57r7i

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間(-一，—-)上單調(diào)遞增

126

77r

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,——)上有兩個零點

6

11.己知(2+幻(1-2幻5=%+4尤+。3/+。4/+。5丁+。6工6，貝I」

A.旬的值為2B.%的值為16

C.4+%+/+。4+。5+。6的值為-5D.的值為120

12.記函數(shù)/(無)與g(Jt)的定義域的交集為I.若存在使得對任意xwl,不等式"(x)—g(x)](x-x0)N0恒

成立，則稱（/（X）,g（X））構(gòu)成“M函數(shù)對”.下列所給的兩個函數(shù)能構(gòu)成“M函數(shù)對”的有

A./(x)=lnx,g(x)=一B.f(x)=er,g(x)=ex

X

C.f(x)=x3,g(x)=x2D.f(x)=x+—,g(x)=3?

x

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

13.如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適

量的水.若放入一個半徑為，的實心鐵球（小球

YR

完全浸入水中），水面高度恰好升高-，則一=

3r

14.被譽為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287—前

212）,是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)第13題

家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與

經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二.這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被

稱為阿基米德三角形.在平面直角坐標系心中，已知直線/：y=4與拋物線C：>交于A,B兩點，則弦與

4

拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為.

15.已知數(shù)列｛a,,｝的各項均為正數(shù)，其前"項和為S“，且25“=44+1,”€用，則勺=

；若卬=2,則S2o=.（本題第一空2分，第二空3分）

16.若不等式（af+^+DeYl對一切xeR恒成立，其中a,〃eR,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a+6的取值范圍是.

四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟）

17.（本小題滿分10分）

已知向量力=（2cosx,-1）,〃=（Jisinx,2cos2x）,xeR,設(shè)函數(shù)/（x）=+l.

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期;

(2)若ae［工，J@L/(a)=-?求cos2a的值.

3125

18.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛a,J是公比為2的等比數(shù)列，其前〃項和為S“,

7

（l）在①E+S3=2S2+2,②S3=§,③。2a3=44，這三個條件中任選一個，補充到上述題干中.求數(shù)列｛2｝

的通項公式，并判斷此時數(shù)列｛q｝是否滿足條件P：任意〃3neN*.冊％均為數(shù)列｛q｝中的項，說明理由;

（2）設(shè)數(shù)列圾｝滿足2=〃（乎）1,〃eN*,求數(shù)列也｝的前〃項和7；.

注：在第（1）問中，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

19.（本小題滿分12分）

為調(diào)查某校學(xué)生的課外閱讀情況，隨機抽取了該校100名學(xué)生（男生60人，女生40人），統(tǒng)計了他們的課外閱讀

達標情況（一個學(xué)期中課外閱讀是否達到規(guī)定時間），結(jié)果如下:

否達標

不達標達標

性別

男生3624

女生1030

（1）是否有99%的把握認為課外閱讀達標與性別有關(guān)?

n(ad-hc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(z2*)0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

（2）如果用這100名學(xué)生中男生和女生課外閱讀“達標”的頻率分別代替該校男生和女生課外閱讀“達標”的概

率，且每位學(xué)生是否“達標”相互獨立.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機抽取3人（2男1女），設(shè)隨機變量X表示“3人中課外

閱讀達標的人數(shù)”，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PADJL平面ABCD,AD〃BC,AB=BC=PA=1,AD=2,NPAD=NDAB

=90°,點E在棱PC上，設(shè)CE=2CP.

（1）求證：CD1AE；

（2）記二面角C—AE—D的平面角為6,且|cos0|=乎，求實數(shù)X的值.

p,

E

21.(本小題滿分12分)

2

在平面直角坐標系x。)，中，已知橢圓C：、r+y2=i.

(1)設(shè)橢圓C的左、右焦點分別為Fi,F2,T是橢圓C上的一個動點，求T耳-T耳的取值范圍；

(2)設(shè)A(0,-1),與坐標軸不垂直的直線/交橢圓C于B,D兩點，若4ABD是以A為直角頂點的等腰直角三

角形，求直線/的方程.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)=ZeR.

(1)當上=2時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當0<xWl時，/(x)WZ恒成立，求上的取值范圍;

、,*4一IniIn2Innn(n-l)

(3)設(shè)"WN,求證：——+—+?-+——<———-

23n+14

2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷1

(教師版)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求

的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

1.已知集合A={%k?—％—2<()},B=1x|l<x<3},則AB=

A.1x|-l<x<3jB.|x|-l<%<1!C.{x[l<x<2}D.1x|2<x<3j

【答案】C

【解析】’.?集合A={x,—x-2<0},二集合A={x|-l<x<2},

又；B={x[l<x<3},AAB={x[l<x<2},故選C.

2.已知(3-4i)z=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】z='±L=*Zl,故在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為(-」-,—),在第二象限，故選B.

3-4i252525

3.已知向量Q,6滿足,1=1,忖=2,且0=則Q與人的夾角為

717157t2冗

A.—B.—C.—D.—

6363

【答案】D

【解析】卜+0=6=>晨+獷+2。2=3。,力=一1,

COS<4,〃〉=$^=——,故。與人的夾角為女，故選D.

硼1x223

22

4.在平面直角坐標系xOy中，若點P(4g,0)到雙曲線C：二-匕=1的一條漸近線的距離為6,則雙曲線C的離

a-9

心率為

A.2B.4C.V2D.百

【答案】A

22

【解析】雙曲線C：'?一卷=1的一條漸近線為3x-ay=0,

則￥布=6,解得a=G，e=￡=醇=2,故選A.

^9+a2aV3

5.在aABC中，角A,B,C的對邊分別為n,b,c.若26cosCW2〃-c,則角B的取值范圍是

7V2〃7T24

A.(0,——]B.(0,----]C.[——,7t)D.[-----,7i)

3333

【答案】A

【解析】氏osCW2a-c,/.2sinBcosC^2sinA-sinC,故cosB,

一71

???0VBW—故選A.

3

o_1

6.設(shè)a=log49,h=2-'2,。=磴)3,則

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】c

333

【解析】V9>8,.\3>22,故Iog23>log222=/,

從而有a=log49=log23>；=c>l>2-L2=。，故選c.

7.在平面直角坐標系，中，已知圓A：(x-l)2+y2=1>點B(3,0),過動點P引圓A的切線，切點為T.若PT

=0PB,則動點P的軌跡方程為

A.x2+/-14x+18=0B.x2+/+14x+18=0

C.x2+y2-10x+18=0D.x2+/+10x+18=0

【答案】C

【解析】設(shè)P(x，y)，VPT=V2PB,APT2=2PB2,

A(x-1)2+y2-1=2[(x-3)2+y2],整理得：x2+/-10x+18=0,故選C.

93

8.已知奇函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(l+x)=/(l-x).若當xe(0,1]時，/(x)=log2(2x+3),則/(學(xué)的值

是

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【解析】根據(jù)奇函數(shù)/(X),滿足/(1+X)=/(1-X),可知函數(shù)的周期為4,

933331

/(5)=/(--+48)=/(--)=-/(—)=-/(—)=-log24=-2,故選B.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目

要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

9.5G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對GDP增

長產(chǎn)生直接貢獻，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟增加值.如圖，

某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)出做出預(yù)測

f5G經(jīng)濟產(chǎn)出/億元

30000

25000

10000

5000

0

120292030年份

口運營商0信息服務(wù)商■設(shè)希制造商

由上圖提供的信息可知

A.運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢

【答案】ABD

【解析】從圖表中可以看出2029年、2030年信息服務(wù)商在總經(jīng)濟產(chǎn)出中處于領(lǐng)先地位，C錯誤，故選ABD.

7T

10.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向左平移一個單位后，得到函數(shù)＞=8。)的圖象，則

6

n

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線工=一對稱

JT

B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(二，0)對稱

、冗TT

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間(一匯，-2)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,▼)上有兩個零點

【答案】ACD

【解析】可得g(x)=sin(2x+TT2),當*=五7T，2x+TT|=|7T,故A正確;

當％=工，2x+-^—,故B錯誤:

633

當----，------),2xH-----€(------，0),故C正確;

12632

、t,77T7CIT8〃..__.

當工￡(0,--),2%H---G(一,---),故D正確.

故選ACD.

11.已知(2+X)(l-2x)5=%+4尤+。4/+45*'+。6%6，則

A.他的值為2B.。5的值為16

C.q+。2+。3+。4+。5+。6的值為-5D.q+43+。5的值為120

【答案】ABC

【解析】令x=0,得/=2,故A正確；

2X(-2)5C/+(-2)4C^=16,故/=16,B正確；

令X—1,得4。+4++。3+“4+%+06=-3?>又。0=2,

4+a、+a3+%+%+4=-5，故C正確；

令x=-l,得4-q+4+4=243②，由①②得：

G+/+%———123,D錯誤.

故選ABC.

12.記函數(shù)/(x)與g(無)的定義域的交集為I.若存在x°wl,使得對任意xel,不等式[/(x)-g(x)](x-x0)>0?

成立，則稱(/(尤)，g(x))構(gòu)成“M函數(shù)對”.下列所給的兩個函數(shù)能構(gòu)成“M函數(shù)對”的有

A./(x)=lnx,g(x)=-B./(x)=ex,g(x)=ex

C./(x)=x3,g(x)=x：D.f{x)=x-\"—,g(x)=36

x

【答案】AC

【解析】選項B滿足/(X)2g(X),故不成立；選項D,尸(X)=/(X)-g(X)存在兩個非零的零點，故不成立.

故選AC.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

13.如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適S---------15

量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球(小球

完全浸入水中)，水面高度恰好升高：，則四=I.....J吊二二二二二

【答案】2

【解析】〃火22=&萬r3n與=4=0=2.

33r2r

14.被譽為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德(前287—前212),是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利

用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點

的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二.這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德

三角形.在平面直角坐標系心中，已知直線/：>=4與拋物線C：>=,/交于人，B兩點，則弦與拋物線C所圍

4

成的封閉圖形的面積為.

■人外生■64

【答案】—

3

【解析】首先得到弦的兩個端點的坐標分別為(4,4),(-4,4),其次得在該兩點處的拋物線的切線方程分別為y=2x-

4,y=-2x-4,從而拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積為」x8x8=32,故弦與拋物線

2

C所圍成的封閉圖形的面積為6上4.

3

15.已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，其前〃項和為S“，且2s“=44+1，”eN*,則4=

；若％=2,則S20=.(本題第一空2分，第二空3分)

【答案】4；220

【解析1根據(jù)2Sn=①，得2S“_]=4%②，①-②得an+i-an_t=2,

故4=4+2=4；當q=2,可得該數(shù)列滿足々J=/&，且｛&i｝與｛4/均為公差為2的等差數(shù)列，即可

求得S20=220.

16.若不等式(如2+"c+l)e"l對一切XCR恒成立，其中a,"R,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則〃+〃的取值范圍是

【答案】(-8,-1]

【解析】令/(》)=(以2+瓜+1心，/(*)(/(0)恒成立，顯然aWO,

f\x)-+(2a+b)x+b+1],則//(())=Z?+1=0=>/?=-l,

f'(x)=ev[a%2+(la+l)x]=xex(ax+2a-1),

當a=0時，/(x)在(T?,0)遞增，(0,+8)遞減，/(x)W/(O)符合題意，

〃<0時，/(%)在(-00,上1-2*/)7遞減，1一2a0)遞增，(0,+8)遞減

aa

x<-----,ax"-x+l<0=>f(x)<0,故/(x)W/(0)符合題意，

a

綜上，“WO,b=-1,因此a+be(YO,-1].

四、解答題(本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.(本小題滿分10分)

已知向量機=(2cosx,-1),〃=(百sinx,2cos2x),xeR,設(shè)函數(shù)/(幻=+l.

(1)求函數(shù),f(x)的最小正周期；

(2)若々￡[2,——}>且/3)=9，求cos2a的值.

3125

解：因為/n=(2cosx,—1),〃=(小sinx,2cos2%),

所以1=2小sinxcosx—2cos2工+1

=5sin2x-cos2x=2sin(2x一看).

(1)T=^=TI.

(2)由加)=|,得sin(2a一壽=小

由生患]，得報2a一"冗,

所以cos(2a—^)=-1—sin2(2a-^)=1-(,)2=

從而cos2a=COS[(2Q—當+%=cos(2a—當cosj-sin(2a一當sin^

oooooo

18.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛〃“｝是公比為2的等比數(shù)列，其前〃項和為S”,

7

（1）在①4+S3=2邑+2,②S3=§,③44=4/，這三個條件中任選一個，補充到上述題干中.求數(shù)列｛q｝

的通項公式，并判斷此時數(shù)列｛q｝是否滿足條件P：任意相，〃wN"金〃〃均為數(shù)列｛4｝中的項，說明理由；

（2）設(shè)數(shù)列也｝滿足〃=〃（阻嚴,MGN*,求數(shù)列｛4｝的前〃項和7；.

an

注：在第（1）問中，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解：（1）選①，

因為SI+S3=2$2+2,

所以S3—S2=$2—S|+2,即〃3=42+2,

又數(shù)列｛斯｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以4a1=2創(chuàng)+2,解得防=1,

因此冊=lx2"r=2'r.

m,"GN*,,xnm+n2

此時任意aman=r~-2~'=2~,

由于1GN*,所以〃,"如是數(shù)列｛斯｝的第機+”-1項，

因此數(shù)列｛如｝滿足條件尸.

選②，

77

因為53=3'即0+a2+的=1，

又數(shù)列｛““｝是公比為2的等比數(shù)列，

71

所以“i+2ai+4m=],解得0=1,

因此a?=|x2,,_|.

2.

止匕時ata2=g<a\<a?,即gs不為數(shù)列｛④｝中的項，

因此數(shù)列｛?。粷M足條件P.

選③，

因為“2。3=444，

又數(shù)列｛為｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以2aix4m=4x8ai,又〃法0,故0=4,

因此a.=4x2"F=2"*?.

此時任意如“GN*,斯曲=2』2計|=2""+2,

由于〃z+〃+lGN",所以是為數(shù)列｛&｝的第zn+w+1項,

因此數(shù)列｛〃“｝滿足條件P.

（2）因為數(shù)列｛a,,｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以第=2,因此b“=〃x2"r.

所以7；,=Ix2o4-2x2'+3x22+...+nx2n~1,

則27；=lx2i+2x22+…-I）x2"—l+〃x2",

兩式相減得一刀尸1+2i+2?+…+2〃—1一〃x2〃

=(l-n)2n-L

所以。=(〃-1)2〃+1.

19.（本小題滿分12分）

為調(diào)查某校學(xué)生的課外閱讀情況，隨機抽取了該校100名學(xué)生（男生60人，女生40人），統(tǒng)計了他們的課外閱讀

達標情況（一個學(xué)期中課外閱讀是否達到規(guī)定時間），結(jié)果如下：

~j一是否達迎|不達標|達標一

男生3624

女生1030

(1)是否有99%的把握認為課外閱讀達標與性別有關(guān)?

,,2n(ad-bc)2

付：X"=--------------------------

(?+人)(c+6/)(?+c)(b+d)

P(z2*0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

(2)如果用這100名學(xué)生中男生和女生課外閱讀“達標”的頻率分別代替該校男生和女生課外閱讀“達標”的概

率，且每位學(xué)生是否“達標”相互獨立.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機抽取3人(2男1女)，設(shè)隨機變量X表示“3人中課外

閱讀達標的人數(shù)”，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：(1)假設(shè)?。赫n外閱讀達標與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表，求得

2=__________100x(36x30-24x10)2________2450

%一(36+24)x(10+30)x(36+10)x(24+30)-207「'，

因為當Ho成立時，￡次.635的概率約為0.01,

所以有99%以上的把握認為課外閱讀達標與性別有關(guān).

(2)記事件4為：從該校男生中隨機抽取1人，課外閱讀達標；

事件B為：從該校女生中隨機抽取1人，課外閱讀達標.

24730a

由題意知：PQ4)=布=§,2(8)=而=本

隨機變量X的取值可能為0,1,2,3.

P(X=3)=(2-),^3x-=3-.

所以隨機變量X的分布列為:

X0123

93923

P

Too100525

期望E(X)=Ox焉+lx得+2x1+3x條=1.55.

20.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,AD〃BC,AB=BC=PA=1,AD=2,NPAD=NDAB

=90。，點E在棱PC上，設(shè)CE=2CP.

(1)求證：CD1AE；

(2)記二面角C—AE—D的平面角為6,且|cosM=—,求實數(shù)4的值.

(1)證明：因為/膽力=90°,所以附_LA￡).

因為平面布。_L平面ABCQ,平面BAOCI平面ABCD=AQ,%u平面孫

所以以1.平面A8CD.

又CDu平面ABCD,所以CDJ_%.

在四邊形ABC。中，AD//BC,ZDAB=90°,所以NABC=90。，

又AB=BC=1,所以△ABC是等腰直角三角形，即/8AC=/CAO=45。，AC=啦.

在△CAO中，NCAO=45。，AC=、，AO=2,

所以CD=\]AC2+AD2-2xACxADxcoaZCAD=y[2,從而4cz+CUndnAD2.

所以CD±AC.

又ACPI孫=A,AC,BAu平面B4C,所以CQ_L平面B4c.

又AEu平面RIC,所以C￡)_LAE.

(2)解：因為以"L平面ABC。，BA±AD,

故以｛屈，AD,喬｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)E(x,y,z),則(x—1,y—1,z)=2(—1,—1,1),

故鳳1-2,1-2,2),所以劭=(1一九1-2,2).

由(1)知，C￡)_L平面布C,所以平面4CE的一個法向量為"=員)=(-1,1,0).

設(shè)平面4EO的法向量為機=(乃，yi，zi),

m-AE=OfZ|J(1—x)xi+(l—A)yi+2zi=0,

由:[m-一AD^O,得E]-_0八，

令zi=l一九所以平面4E。的一個法向量為m=(-4,0,1-2).

因此|cos6(|=|cos<m,">尸1質(zhì)而jl=l----片2^-，

V2.^/A2+(1-Z)2

化簡得3#—82+4=0,解得a=|或2.

2

因為E在棱PC上，所以4仁[0,1],所以2=§.

所以當|3例=邛時，實數(shù)7的值為|.

21.（本小題滿分12分）

V.2

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：—+y2=\.

（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點分別為R,F2,T是橢圓C上的一個動點，求T耳?明的取值范圍；

（2）設(shè)A（0,-1）,與坐標軸不垂直的直線/交橢圓C于B,D兩點，若4A