2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（二）（解析版）

2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（二）（模擬測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．展開式中第3項的系數(shù)是（

）A．90 B．-90 C．-270 D．270【答案】A【分析】利用二項式定理求出通項公式，進而求出第3項.【詳解】展開式的第3項為，故第3項系數(shù)為90，故選：A2．在等差數(shù)列中，若，則公差A(yù)．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】把用表示出來，根據(jù)題目條件列出方程組，即可求得本題答案.【詳解】在等差數(shù)列中，因為，所以，求得.故選：B【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，在根據(jù)向量在向量上的投影向量為計算可得.【詳解】因為，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C4．在中，“”是“為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】推出的等價式子，即可判斷出結(jié)論.【詳解】為鈍角三角形.∴在中，“”是“為鈍角三角形”的充要條件.故選：C.【點睛】本題考查和與差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.5．已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，為邊長是2的等邊三角形，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件知，外接球的球心在過的中點且垂直于平面的直線上，又平面平面，所以可得等邊三角形的中心即為外接球的球心，求出外接圓的半徑即得三棱錐外接球的半徑．【詳解】直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點，過該點作一條垂直于平面的直線．因為平面平面，所以所作直線在平面內(nèi)，且經(jīng)過等邊三角形的中心，所以等邊三角形的中心就是三棱錐外接球的球心，所以外接圓的半徑也是三棱錐外接球的半徑．由正弦定理知，(是的外接圓的半徑)，即，所以，于是三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為．故選：A．6．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當(dāng)血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間t（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知，給氧1小時后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9【答案】B【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時間t的方程，解之即可求得給氧時間至少還需要的小時數(shù).【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時，由題意可得，，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，得，，則，則給氧時間至少還需要小時故選：B7．已知雙曲線的左，右焦點分別為，過的直線與雙曲線分別在第一、二象限交于兩點，內(nèi)切圓的半徑為，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得，進一步由余弦定理列方程，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點分別為P，Q，R，所以，點A在雙曲線上，，又，，，點B在雙曲線上，，，，設(shè)內(nèi)切圓圓心為I，連接，如圖所示，，，即，為等邊三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到，由此即可順利得解.8．在銳角中，角所對的邊分別為．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，根據(jù)正弦定理邊化角，再消去，可得，利用三角形是銳角三角形，可得，進而求出，對化簡，可求出結(jié)果．【詳解】因為，由正弦定理可知，，又，所以所以，所以即，又是銳角，則，則，，所以，即，所以，解得，所以.，則，則，故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A，B，C，其中O為坐標原點，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運算可以表示出，，三點的坐標，通過向量的模長、向量的平行和垂直知識進而可以判斷.【詳解】設(shè)，，，，，，對于A，，故選項A正確；對于B，，，故選項B正確；對于C，，當(dāng)時，，故選項C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項D錯誤.故選:AB.10．如圖，已知拋物線的焦點為，拋物線的準線與軸交于點，過點的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于兩點（A在軸的上方，在軸的下方），過點A作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則（

）A．當(dāng)直線的斜率為1時， B．若，則直線的斜率為2C．存在直線使得 D．若，則直線的傾斜角為【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線的焦點弦的性質(zhì)一一計算即可.【詳解】易知，可設(shè)，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得，則，對于A項，當(dāng)直線的斜率為1時，此時，由拋物線定義可知，故A正確；易知是直角三角形，若，則，又，所以為等邊三角形，即，此時，故B錯誤；由上可知，即，故C錯誤；若，又知，所以，則，即直線的傾斜角為，故D正確.故選：AD11．已知函數(shù)定義域為R，滿足，當(dāng)時，.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點為，，，(其中表示不超過的最大整數(shù))，則（

）A．是偶函數(shù) B． C． D．【答案】BC【分析】舉例說明判斷A；分析函數(shù)與的性質(zhì)，作出部分函數(shù)圖象，結(jié)合圖象與性質(zhì)推理、計算判斷BCD.【詳解】函數(shù)，顯然，而，即，因此不是偶函數(shù)，A錯誤；函數(shù)定義域為，滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因此當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因此當(dāng)時，函數(shù)，在同一坐標平面內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

當(dāng)時，函數(shù)的圖象有唯一公共點，因為，因此，，而滿足的整數(shù)有個，即，B正確；顯然，所以，C正確；，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：求兩個分段函數(shù)的公共點的坐標，確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該段的解析式求值是關(guān)鍵.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】先求出的定義域得到集合A，再根據(jù)子集的定義即可求得a的取值范圍.【詳解】，則或，即或.①當(dāng)時，，滿足，符合題意；②當(dāng)時，，所以若，則有或（舍），解得；③當(dāng)時，，所以若，則有或（舍），解得.綜上所述，.故答案為：13．如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點B為PA的中點，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達B點，其最短路線長度為，其中下坡路段長為．

【答案】【分析】將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開并展開成扇形，過P作AB的垂線，垂足為M，最短路線即為扇形中的直線段AB，利用余弦定理求出即可；當(dāng)螞蟻從M點爬行到B點的過程中，它與點P的距離越來越大，故MB為下坡路段，求出即可.【詳解】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開并展開成扇形，易知該扇形半徑為2，弧長為，故圓心角∠APB＝，最短路線即為扇形中的直線段AB，由余弦定理易知AB＝＝，cos∠PBA＝＝；過P作AB的垂線，垂足為M，當(dāng)螞蟻從A點爬行到M點的過程中，它與點P的距離越來越小，故AM為上坡路段，當(dāng)螞蟻從M點爬行到B點的過程中，它與點P的距離越來越大，故MB為下坡路段，下坡路段長MB＝PB?cos∠PBA＝．故答案為：，.

14．在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為．【答案】【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，故，則．故答案為：【點睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進行求解.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)，.(1)求證：當(dāng)，；(2)若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)分別求出兩函數(shù)的最值，即可得證；（2）在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由分類討論求出函數(shù)的最值即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)，，則，由時，，即，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，，即在區(qū)間上，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以得證.（2）由在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，而，令，則，由（1）知：在區(qū)間上，，即，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時，，故在區(qū)間上函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故，即函數(shù)在區(qū)間上恒成立；②當(dāng)時，，，故在區(qū)間上函數(shù)存在零點，即，又在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故在區(qū)間上函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減，由，所以在區(qū)間上，與題設(shè)矛盾.綜上，的取值范圍為.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．16．某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時間內(nèi)，甲、乙兩種類型無人運輸機操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨立.(1)隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，求選中的無人運輸機操作成功的概率；(2)操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作；方案二：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運輸機進行操作.假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.【答案】(1)(2)方案一大于方案二【分析】（1）利用條件概率公式，即可求解；（2）首先確定兩種方案成功次數(shù)的取值，根據(jù)獨立事件概率公式求概率，再比較其數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）用事件表示選擇甲種無人運輸機，用事件表示選擇乙種無人運輸機，用事件表示“選中的無人運輸機操作成功”則，（2）設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為，，則，的所有可能取值均為0，1，2，方案一：，，，所以.方案二：，，，所以.所以，即方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值.17．在圖1所示的平面多邊形中，四邊形為菱形，與均為等邊三角形．分別將沿著，翻折，使得四點恰好重合于點，得到四棱錐．(1)若，證明：；(2)若二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）當(dāng)時，可得為的中點，然后利用線面垂直證明平面，從而證明，又由，從而可求證.（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，然后由二面角的余弦值為，從而可求解.【詳解】（1）證明：因為，所以為的中點．由題可知，，所以．又，平面，所以平面．取，如圖，則．由平面，可得，則．（2）連接，易證得平面，過點作，垂足為，則平面．以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸，建立如上圖所示的空間直角坐標系．由，得，從而，則，則，，．設(shè)平面的一個法向量為，則由得令，得．由圖可知，平面的一個法向量為，因為二面角的余弦值為，所以，解得．故的值為.18．在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，直線過與交于兩點，當(dāng)時，的面積為3.(1)求雙曲線的方程；(2)已知都在的右支上，設(shè)的斜率為.①求實數(shù)的取值范圍；②是否存在實數(shù)，使得為銳角？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)①②不存在，理由見解析【分析】（1）由已知條件可得，然后利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義，及的面積可求出，再由離心率可求出，從而可求得雙曲線的方程，（2）①設(shè)直線，代入雙曲線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合判別式可求出實數(shù)的取值范圍；②假設(shè)存在實數(shù)，使為銳角，則，所以，再結(jié)合前面的式子化簡計算即可得結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以.則，所以，的面積.又的離心率為，所以.所以雙曲線的方程為.（2）①根據(jù)題意，則直線，由，得，由，得恒成立.設(shè)，則，