初中七年級(jí)數(shù)學(xué) 集合與不等式 常用邏輯用語(yǔ)（原卷版）

努力的你，未來(lái)可期!

第一篇集合與不等式

專(zhuān)題1.02常用邏輯用語(yǔ)

【考試要求】

1.通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系；理解充分條件的意

義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系；理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系；

2.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義；

3.能正確使用存在量詞對(duì)全稱命題進(jìn)行否定；能正確使用全稱量詞對(duì)特稱命題進(jìn)行否定.

【知識(shí)梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件

P是q的充分不必要條件pnq且q今p

p是q的必要不充分條件p方q且qnp

P是q的充要條件p=q

P是q的既不充分也不必要條件p今q且q分p

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)''等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號(hào)“V”表示.

(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)叼”表示.

3.全稱命題和特稱命題(命題p的否定記為「p,讀作“非p”)

全稱命題特稱命題

形式

結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)X,有p(x)成立存在M中的一個(gè)x0,使p(x0)成立

簡(jiǎn)記VxeM,p(x)3XQGM,p(xQ)

-1

否定SxoeM,p(x0)VxeM,p(x)

【微點(diǎn)提醒】

1.區(qū)別A是B的充分不必要條件(A=B且B±*A),與A的充分不必要條件是B(B=A且A歩B)兩者的不同.

2.A是B的充分不必要條件是一1A的充分不必要條件.

3.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論

【疑誤辨析】

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1.判斷下列結(jié)論正誤（在括號(hào)內(nèi)打或"x"）

（1）若已知p：x>l和q：x>l,則p是q的充分不必要條件.（）

（2）“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是特稱命題.（）

（3）當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.（）

（4）“若p不成立，則q不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立”.（）

【教材衍化】

2.（選修2—IP26A3改編）命題“VxeR,X2+XN0”的否定是（）

A.3xOGR,xo2+xo<OB.3x0GR,x02+x0<0

C.VxGR,x2+x<0D.VxWR,x2+x<0

3.（選修2—1P12A4改編）圓（x—a）2+（y—b）2=t2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)充要條件是.

【真題體驗(yàn)】

4.（2015?全國(guó)I卷）設(shè)命題p：3nGN,n2>2n,則—%為（）

A.VnGN,n2>2nB.SnEN,n202n

C.VneN,n2<2nD.Sn^N,n2=2n

丄1

5.（2018?天津卷）設(shè)x￡R,貝廠x-24'是'*3〈1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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6.(2019?濟(jì)南調(diào)研)“a=0”是“函數(shù)f(x)=sinx-x+a為奇函數(shù)”的條件

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一充分條件與必要條件的判斷

【例1】⑴(2018?北京卷)設(shè)a,b均為單位向量，則“|ar3bl=l3a+b|”是“a丄肢的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2mx+l,X>0,

(2)(2019?華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)=11八則"m>l是f[f(-1)]>4”的()

—x—x，xvO.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【規(guī)律方法】充要條件的兩種判斷方法

⑴定義法：根據(jù)p=q,q=p進(jìn)行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使p,q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

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【訓(xùn)練1】（2018?浙江卷）己知平面a,直線m,n滿足m<ta,nca,則“m〃n"是"01〃01”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)二充分條件、必要條件的應(yīng)用》典例遷移

【例2］（經(jīng)典母題）已知P={xlx2—8x—20W0},非空集合S={xll—mWxWl+m}.若xWP是xdS的必要條

件，求m的取值范圍.

【遷移探究1】本例條件不變，若xdP是xWS的必要不充分條件，求m的取值范圍.

【遷移探究2】本例條件不變，若xdP的必要條件是xWS,求m的取值范圍.

【遷移探究3】本例條件不變，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,使xWP是xWS的充要條件？并說(shuō)明理由.

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【規(guī)律方法】充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不

等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等

號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

(3)數(shù)學(xué)定義都是充要條件.

【訓(xùn)練2】(2019?臨沂月考)設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足X2—4ax+3a2<0,aGR；q：實(shí)數(shù)x滿足x2—x—6$0或X2+

2x—8>0.若a<0且p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)三全稱量詞與存在量詞

角度1全(特)稱命題的否定

【例3—1](1)命題“VnGN*,f(n)CN*且f(n)Wn”的否定形式是()

A.VnGN*,f(n)隹N*且f(n)>n

B.VnGN*,f(n)任N*或f(n)>n

C.3n0eN*,f(n0)eN*且fg)〉丁

D.3n0￡N*,f(n0)把N*或

(2)(2019?德州調(diào)研)命題Fx°WR,l<f(Xo)W2”的否定形式是()

A.VxGR,l<f(x)<2

B.3x0￡R,l<f(x0)<2

C.3x0eR,f(x0閆或f(x0)>2

D.VxeR,氏x(chóng)閆或f(x)>2

角度2含有量詞(V、小的參數(shù)取值問(wèn)題

X

【例3—2】(經(jīng)典母題)已知f(x)=ln(x2+l),g(x)=G)-m,若對(duì)Vxf[0,3],3x2G[l,2],使得f(x1)>g(x2),

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

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【遷移探究】若將“水22[1,2廠改為"八2^[1,2『，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【規(guī)律方法】1.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一

是要改寫(xiě)量詞，全稱量詞改寫(xiě)為存在量詞，存在量詞改寫(xiě)為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否

定只需直接否定結(jié)論.

2.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決.

【訓(xùn)練3】（2019?衡水調(diào)研）已知命題p：VxER,Iog2（x2+x+a）>0恒成立，命題q：3xoe[—2,2J,2a<2x0,

若命題p和q都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【反思與感悟】

1.充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

⑴定義法

（2）利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)厶=壇?儀）｝,B=｛xlq（x）｝；

①若AUB,則p是q的充分條件，q是p的必要條件；

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②若A^B,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；

③若A=B，則p是q的充要條件.

2.要寫(xiě)一個(gè)命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，再對(duì)照否定結(jié)構(gòu)去寫(xiě)，否定的規(guī)律是“改量

詞，否結(jié)論”.

【易錯(cuò)防范】

1.判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個(gè)充分而不必要條件是q”等語(yǔ)言.

2.注意命題所含的量詞，對(duì)于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定.

【核心素養(yǎng)提升】

邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算——突破雙變量”存在性或任意性''問(wèn)題

邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點(diǎn)、推理的形式、結(jié)論的表達(dá).解決雙變量”存在性或任意性''問(wèn)題關(guān)鍵就

是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系)，

目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

類(lèi)型1形如“對(duì)任意xfA,都存在x?eB,使得g(X2)=f(x)成立”

191

【例1】已知函數(shù)f(x)=x3+(l—a)x2—a(a+2)x,g(x)="6'x—3,若對(duì)任意x〕e[―1,1],總存在x?G[0,

2],使得「依])+22*1=8類(lèi)2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【評(píng)析】理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，此類(lèi)問(wèn)題求解的策略是“等價(jià)轉(zhuǎn)化”，即”函

數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a的不等式組，求得參數(shù)的取值范圍.

類(lèi)型2形如“存在xlCA及x26B,使得f(xl)=g(x2)成立"

[2X3A-

<x+1，xw^2，1_,兀x

【例2】已知函數(shù)f(x)=1jrq函數(shù)g(x)=ksin^—2k+2(k>0),若存在xf[0,1]及x?

l—3x+&xc|_0,亂

G[0，1],使得f(xJ=g(X2)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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【評(píng)析】本類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f(X)與g(x)的值域的交集不為空集”，上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想.

另外，若把此種類(lèi)型中的兩個(gè)“存在”均改為“任意”，則"等價(jià)轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(X)的值域和g(x)的值域相等”

來(lái)求解參數(shù)的取值范圍.

類(lèi)型3形如“對(duì)任意xlGA,都存在x26B,使得f(xl)<g(x2)成立"

4「丄"

【例3】已知函數(shù)f(x)=x+Q,g(x)=2x+a,若1」,3x2G[2,3],使得網(wǎng))用區(qū))，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

【評(píng)析】理解量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為Ex)]maxW[g(x)]max,利用函數(shù)的單調(diào)性，求f(x)與g(x)的最

大值，得關(guān)于a的不等式求得a的取值范圍.

思考1：在[例3]中，若把2*2右[2,3]”變?yōu)椤癡x2d[2,3]”時(shí)，其它條件不變，則a的取值范圍是.

問(wèn)題“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為[f(x)]maxW[g(x)]min,請(qǐng)讀者完成.

-1IF1

思考2：在[例3]中，若將例3]中1」”改為“本產(chǎn)區(qū)1」”，其它條件不變，則a的取值范圍是

問(wèn)題“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為f(x)min<g(x)max,請(qǐng)讀者自行求解.

【分層訓(xùn)練】

【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：30分鐘)

一、選擇題

1.命題FxeZ,使x2+2x+mW0”的否定是()

A.SxGZ,使x2+2x+m>0

B.不存在xCZ,使x2+2x+m>0

C.VxGZ,使x2+2x+m^0

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D.VxGZ,使x2+2x+m>0

2.命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是（）

A.所有實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù)

B.有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)

C.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)

D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)

3.設(shè)xeR,則“2-xNO”是“懼一1怪1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

也

4.（2019■焦作模擬）命題p：cos0=2，命題q：tan0=1,則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2017?浙江卷）已知等差數(shù)列｛aj的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“$4+S6>2$5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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6.已知命題p；"VxC[O,1],aNex”,命題q：FxOGR,Xo2+4Xo+a=0”.若命題p和q都成立，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.(4,+oo)B.[l,4]CJe,4]D.(-oo,-1)

7.（2017?北京卷）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)九，使得m=M”是“111-11<0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.命題2）,x2-aW0”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

A.a>lB.a>lC.a>4D.a>4

二、填空題

9.直線x—y—k=0與圓（x—l"+y2=2有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是.

10.已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的充要條件，那么p是q的

條件.

11.已知“p：（x-m）2>3（x-m），奨“q：x2+3x-4<0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

12.設(shè)ndN*,一元二次方程X2—4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=.

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【能力提升題組】