2023年山東省嘉祥一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2v+1

1.若函數(shù)/（X）=尸??（αeR）是奇函數(shù)，則使得了（x）＞4成立的X的取值范圍是（）

B.(一log2?∣,°)

A.-∞,Iog2-

c.[0,1°S2∣(Iog2(,+∞

2.已知集合A={x∣y=+χ+6，xeZ},B={y∣y=y∣5sin(x+Φ)},則AnB中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

3.正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中，存在兩項(xiàng)。,“,凡使得^^工=44，且％=G+2%，則f+/的最小值是（）

3725

A.-B.2C.-D.—

236

4.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是

（1）對(duì)于命題。：期,eR使得*一l≤0,則都有1＞（）；

(2)已知XN(2,σj),則P(X>2)=0.5

（3）己知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,則回歸直線方程為9=2X-3;

(4)“xNl"是"x+'≥2"的充分不必要條件.

X

A.1B.2C.3D.4

5.如表是降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根

據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的線性回歸方程9=0.7x+0.35,那么表中m的值為（）

Jr3456

________y________2.5m44.5

A.4B.3.15C.4.5D.3

6.曲線y=四"λ(α>0)作線性變換后得到的回歸方程為U=l-0.6x,則函數(shù)y^x2+bx+a的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(0,+∞)B.(l,+∞)C,[g,+c0]D.舟+oc]

Iog1x,O<x≤1

7.若函數(shù)/(%)=2,函數(shù)g(x)=/(X)-AX有3個(gè)零點(diǎn)，則A的取值范圍是()

一X(X-I)(X-3),x>l

A.(0,1)B.(θ,6-2√3)C.(O,6+2>5)D.(6-2√3,6+2√3)

8.《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第二季)亮點(diǎn)頗多，十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊

聲朗誦，別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng)，且《將

進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場(chǎng)的排法有()

A.288種B.144種C.720種D.360種

'y≤2x

9.若變量X,y滿足約束條件x+y≥l,則土土，的取值范圍是()

x+1

1113

C.(-°θ,-—]uΓ~÷∞)D.(-∞,-]U[~,÷∞)

2222

10.定義在R上的偶函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(X),若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)%都有2∕(x)+xf,(x)<2恒成立,則使

//(引一—1)<%2—1成立的實(shí)數(shù)1的取值范圍為()

A.(→o,-l)U(l,4w)B.(-?,l)C.(-1,0)U(0,1)D.{X∣X≠±1}

11.設(shè),則在下列區(qū)間中，使函數(shù)二二有零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.[o,rB.μjjc.[-2,-；]D.?-ijσ?

12.設(shè)必尸是兩個(gè)不重合的平面，偌，〃是兩條不重合的直線，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.若α，，機(jī)uα,貝β

B.若加|a,mβ,ar>β=n,則〃？n

C.若InUa,nua,m?β,n，，則Cβ

D.若ma,m±∕3,則Crj_/?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，E是正方體ABC?！狝4G2的棱GA上的一點(diǎn)，且BDJ/平面B∣CE,則異面直線BA與CE所成角

的余弦值為

14.已知函數(shù)/(幻=1083%+*-5的零點(diǎn)入0￡(。，a+1)，則整數(shù)"的值為.

15.關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的體積，有如下的古爾丁(guldin)定理：“平面上一區(qū)域。繞區(qū)域外一直線(區(qū)域。的每個(gè)點(diǎn)在直線

的同側(cè)，含直線上)旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，等于。的面積與。的幾何中心(也稱為重心)所經(jīng)過(guò)的路程的乘

%2+y2≤12

積利用這一定理，可求得半圓盤■一，繞直線X=丁旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形的體積為_(kāi)____.

x≤03兀

16.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程Iz『+(z+彳?=之(i為虛數(shù)單位)，Z=

2+z

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知平面內(nèi)點(diǎn)P(X,y)到點(diǎn)/(1,0)的距離和到直線.丫=2的距離之比為手，若動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(〃)過(guò)尸的直線/與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：NOMA=NoMB.

18.(12分)已知Q>0,b>0,ceR?

2523

(1)用分析法證明：-~~—≤-÷;

2a+3ba7b

(2)用反證法證明：。6+。+,與03+。2+2.不能同時(shí)為負(fù)數(shù)

42

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=(αχ2+χ+i)∕-2?是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)α=-l時(shí)，求函數(shù)在［-3,2］上的最大值和最小值;

(2)當(dāng)?！?時(shí)，討論函數(shù)/W的單調(diào)性.

20.(12分)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員，甲投籃的命中率為0.6,乙投籃的命中率為0.7,兩人是否投中相互之間沒(méi)有影

響，求：

(1)兩人各投一次，只有一人命中的概率；

(2)每人投籃兩次，甲投中1球且乙投中2球的概率.

21.(12分)一個(gè)口袋里裝有7個(gè)白球和1個(gè)紅球，從口袋中任取5個(gè)球.

(1)共有多少種不同的取法？

(2)其中恰有一個(gè)紅球，共有多少種不同的取法？

(3)其中不含紅球，共有多少種不同的取法？

22.(10分)甲乙兩人報(bào)名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競(jìng)技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”

結(jié)果都采取計(jì)分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過(guò)關(guān)另一人未過(guò)關(guān)，過(guò)關(guān)者得1分，未過(guò)關(guān)得-1分；若兩人都過(guò)關(guān)或都未

過(guò)關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過(guò)關(guān)的概率分別為必和〃，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為X.

<1)求X的分布列；

(2)為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報(bào)名者基礎(chǔ)分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過(guò)關(guān)三輪者獲勝，此二人比賽結(jié)

束.月(i=0,1,2,3,4,5,6)表示“甲的累積得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲獲勝”的概率，則《=0,弓=l,xPi^-yPi+zPk+l=0,

其中X=P(X=-1),y=P(X=0),Z=P(X=I),令加=0.5,"=0.6.證明：點(diǎn)M的中點(diǎn)

橫坐標(biāo)為:片；

(3)在第(2)問(wèn)的條件下求巴，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

“X)的定義域?yàn)閧x∣2'-αwθ},它應(yīng)該關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以4=1,又α=l時(shí)，

/(X)=沁，"τ)=Π=—沼=一/3,/U)為奇函數(shù)?又原不等式可以化為(2=1)卜一斗<0,

Z—1Z—1Z—1??/

所以1<2*<3,所以0<x<log,3,選C.

33

點(diǎn)睛：如果一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么它的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，我們可以利用這個(gè)性質(zhì)去求奇函數(shù)或偶

函數(shù)中的參數(shù)的值.

2、C

【解析】

利用定義域的的要求可以求出A集合，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出B集合，再計(jì)算A與B的交集的元素個(gè)數(shù)即可.

【詳解】

集合A滿足一χ2+χ+6M,（x-3）（χ+2）≤0,-2≤x≤3,ΛA={-2,-1,0,1,2,3},B=[-√5,√51,所

以AnB={-2,-1,0,1,2},可知ArIB中元素個(gè)數(shù)為5.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的交集關(guān)系的求解，本題難點(diǎn)在于無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的比大小，屬于簡(jiǎn)單題.

3、A

【解析】

試題分析：由4=%+2%得*=q4+2∕解得q=2,再由瘋]=4q得0"T=I6=2”，所以加+〃=6,所

,141<14Y、1（1C3

以—I—=——I—?（m+n）=—5H----1---->—-9=—.

mn6?mnJ6（mnJ62

考點(diǎn)：數(shù)列與基本不等式.

【思路點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，也即求出

等比數(shù)列的基本元4M，在求解過(guò)程中，先對(duì)具體的數(shù)值條件4=%+2%進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求出4=2,由此化簡(jiǎn)第一

個(gè)條件mZ=4q,可得到〃?+〃=6；接下來(lái)第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個(gè)常數(shù)，再除以這個(gè)

常數(shù)，構(gòu)造基本不等式結(jié)構(gòu)來(lái)求.

4、C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題XOeR使得片-1≤0,則「〃：VXeR都有

x2-l>0,是錯(cuò)誤的;

(2)中，已知X~N(2,c∑2),正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對(duì)稱軸的方程為％=2,所以P(X>2)=0.5是正確的；

(3)中，回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，可得

回歸直線方程為/=2x-3是正確；

(4)中，當(dāng)x≥l時(shí)，可得x+L≥2?x'=2成立，當(dāng)x+^≥2時(shí)，只需滿足x>0,所以"x≥l”是"x+，22”

X?XXX

成立的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性

質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

因?yàn)榫€性回歸方程亍=0.7x+0?35,過(guò)樣本點(diǎn)的中心(元,刃,

3+4+5+6_2.5+Tii+4+4.5/77+11/77+11

---------------=4.5.V=----------------------=-----------------=0.7×4.5+0.35,m=3,故選D.

4

6、D

【解析】

分析：令Z=Iny,對(duì)函數(shù)y=α*進(jìn)行二次擬合得出a,b的值，代入計(jì)算即可.

詳解：令Z=Iny=Inaebx=?na+bx

Intz=13

解得q=e,〃=_M,

b=-0.6

3(3Y9

?V=X2——x+e=X-----+e-----------，開(kāi)口向上，

5IIOj100

???/=》2-|*+6的單調(diào)遞增區(qū)間為[^,+8].

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問(wèn)題，選擇對(duì)數(shù)變換是關(guān)鍵.

7、A

【解析】

畫(huà)出/(x)的圖像，g(x)=/(X)-質(zhì)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/(%)=丘有3個(gè)交點(diǎn)。

【詳解】

g(x)=f(x)-近有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/(X)=依有3個(gè)交點(diǎn)

記〃(X)=-x(X-I)(X-3)則過(guò)原點(diǎn)作h(x)的切線，g(x)=/(x)-丘有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/(%)=履有3個(gè)交點(diǎn)

記〃(X)=-x(x-l)(x-3)則過(guò)原點(diǎn)作〃(X)的切線，設(shè)切點(diǎn)為(七,%)

則切線方程為：y-/7(%)=〃'(Xo)(X-X0)，又切線過(guò)原點(diǎn)，即力(Xo)=〃'(XO)Xo，

,

將∕Z(Λ0)=-%(%-l)(x0-3),Λ(x0)=-3xθ+8x0-3,代入解得%=2,

所以切線斜率/⑵=-+8%-3=1

所以0＜女＜1

【點(diǎn)睛】

本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，屬于中檔題。

8、B

【解析】

根據(jù)題意分2步進(jìn)行分析：①用倍分法分析《將進(jìn)酒》，《望岳》和另外兩首詩(shī)詞的排法數(shù)目；②用插空法分析《山居

秋暝》與《送杜少府之任蜀州》的排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案

【詳解】

根據(jù)題意分2步進(jìn)行分析：①將《將進(jìn)酒》，《望岳》和另外兩首詩(shī)詞的4首詩(shī)詞全排列，則有

/=24種順序

《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，

，這4首詩(shī)詞的排法有H_=12種

2

②，這4首詩(shī)詞排好后，不含最后，有4個(gè)空位，在4個(gè)空位中任選2個(gè)，安排《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》,

有用=12種安排方法

則后六場(chǎng)的排法有12x12=144種

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查的是有關(guān)限制條件的排列數(shù)的問(wèn)題，第一需要注意先把不相鄰的元素找出來(lái)，將剩下的排好，這里需要注意

定序問(wèn)題除階乘，第二需要將不相鄰的兩個(gè)元素進(jìn)行插空，利用分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果，注意特殊元素特殊對(duì)待。

9、B

【解析】

分析：根據(jù)題意，將3化簡(jiǎn)成斜率的表達(dá)形式1+2匚；所以就是求可行域內(nèi)與（-1/）連線斜率的取值范圍加1,。

x+1x+l

+i+i

詳解：Ξ1z=Ξy-=↑+y∑l,原式表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與（-1/）連線的斜率加1。

X+1X+1x+1

1

-

斜率最大值為心p=—「2-

—1—1

所以斜率的取值范圍為S

?3

≡≡θ2,2

所以選B

點(diǎn)睛：本題考查了斜率的定義，線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用。關(guān)鍵是掌握非線性目標(biāo)函數(shù)為分式型時(shí)的求法，屬于中檔題。

10、A

【解析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)g（x）=f∕（χ）-χ2,利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解.

詳解：設(shè)g(x)=χ2∕(χ)一χ2,則g，(X)=2jξf(χ)+χ2/(X)-2X=X(2/(X)+#'(X)—2),由已知當(dāng)龍>O時(shí)，

g'(x)=x(2∕(x)+xf'(x)-2<O,.?.g(x)在(O,+8)上是減函數(shù)，又?.?∕(x)是偶函數(shù)，.?*(/=爐/@)一》2也是

偶函數(shù)，g(0)=0,

不等式x2f(x)-/(1)<x2-l即為X2f(x)-X2</(1)-1,BPg(x)<不1),

:?g(W)<g(i)，工H>1?即％<-IWa>1.

故選A.

點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式.解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù).新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)

數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造.如g(x)=?√(x),g(χ)=3,g(χ)=∕∕(χ),g(χ)=華等等.

Xe

11、D

【解析】

試題分析：函數(shù)f(X)在區(qū)間［a,b］上有零點(diǎn)，需要f(X)在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，即f(a)f

(b)≤0,把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D.

考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理

12、C

【解析】

試題分析：選項(xiàng)A可由面面平行的性質(zhì)可以得到；B選項(xiàng)，可由線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，通過(guò)論證即可得到;

C選項(xiàng)，wUa,"uα,mβ,nβ,缺少條件出和'-相交，故不能證明面面平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，m?a,mLβ,

過(guò)，力作平面，α-=b,由線面平行的性質(zhì)可得°,b_B，b-a>a_5.D正確.

考點(diǎn)：直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

√15

13、

【解析】

不妨設(shè)正方體ABe。一ABCQl的棱長(zhǎng)為2,BCBC1=O,如圖，當(dāng)E為G2中點(diǎn)時(shí)，BDJ/OE,:.BDJ/平面

B1CE,則NoEC為直線BDl與CE所成的角，在AOEe中,

EC=45,OC=√2,OE=√3,.?.cosZOEC=3*?=叵,故答案為叵.

2√3×√555

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾

何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳

統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.

14、3

【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知若存在零點(diǎn)則零點(diǎn)唯一，由零點(diǎn)存在定理可判斷出零點(diǎn)所在區(qū)間，從而求得結(jié)果.

【詳解】

由題意知：/(x)在(0,+力)上單調(diào)遞增

???/(X)若存在零點(diǎn)，則存在唯一一個(gè)零點(diǎn)

χ∕?(3)=l+3-5=-l<0,/(4)?Iog34+4-5=Iog34-1>0

由零點(diǎn)存在定理可知：?∈(3,4),則a=3

本題正確結(jié)果：3

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15、2π

【解析】

顯然半圓的幾何中心在半圓與X軸的交線上，設(shè)幾何中心到原點(diǎn)的距離為X,根據(jù)古爾丁(guldin)定理求得球的體積，

根據(jù)球的體積公式列等式可解得X,再根據(jù)這一定理即可求得結(jié)果.

【詳解】

顯然半圓的幾何中心在半圓與X軸的交線上，設(shè)幾何中心到原點(diǎn)的距離為X,

則由題意得：2m?(」乃?『)=iπ,↑?解得X=芻，

233π

2242

所以幾何中心到直線X=——的距離為：-+—=

3萬(wàn)3π3ππ

2I

所以得到的幾何體的體積為：V=(2π-)-(-Λ-?12)=2π.

π2

故答案為：2%

【點(diǎn)睛】

本題考查了球的體積公式，考查了古爾丁(g"∕d加)定理，利用球的體積求出X是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

1fi1,√3.

?Lb、—±1.

22

【解析】

分析：首先對(duì)等式的右邊進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，得到最簡(jiǎn)形式，設(shè)出要求的復(fù)數(shù)的結(jié)果，把設(shè)出的結(jié)果代入等式，根

據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件寫出關(guān)于X的方程，解方程即可.

詳解：原方程化簡(jiǎn)為∣zf+(z+可i=l-,

設(shè)z=x+yi(x、y∈R),

代入上述方程得x2+y2+2xi=l-i,

Λx2+y2=l且2x=-L

解得X=-；且丫=士弓，

.?.原方程的解是Z=-

22

故答案為-工±立i.

22

點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的除法和乘方運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)沒(méi)有規(guī)律和技巧可

尋，只要認(rèn)真完成，則一定會(huì)得分.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

Y

17、(Z)-+v2=l(〃)見(jiàn)解析

2

【解析】

(/)根據(jù)題目點(diǎn)P(X,y)到點(diǎn)尸(1,0)的距離和到直線％=2的距離之比為拳，列出相應(yīng)的等式方程，化簡(jiǎn)可得軌跡

C的方程；

(〃)對(duì)直線/分軸、1與X軸重合以及1存在斜率且斜率不為零三種情況進(jìn)行分析，當(dāng)1存在斜率且斜率不為

零時(shí)，利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，與曲線C的方程進(jìn)行聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可推得&%+4MB=。，從而推出

NOMA=NoMB.

【詳解】

解：(/)?.?P(x,y)到點(diǎn)R(LO)的距離和到直線X=2的距離之比為力.

2

.J(χ-1)2÷(y-θ)^V2

..---------------------------------

l%-2∣2

化簡(jiǎn)得：—+√=1.

2

χ2

故所求曲線C的方程為：—+/=1.

2-

(//)分三種情況討論:

1、當(dāng)/_Lx軸時(shí)，由橢圓對(duì)稱性易知：NoMA=NoMB.

2、當(dāng)1與X軸重合時(shí)，由直線與橢圓位置關(guān)系知：NoMA-NOMB=O

3、設(shè)1為：y=?(χ-l),3=0,且A(APMXl-1)),B(W,左為一1)),

y=?(x-l)

由＜%22.化簡(jiǎn)得：(2左2+4SX+2左2一2=o,

一+v=l

[2

_4%22k2-2

=

%+X2——7，XX2--------?

^2k2+11-2k2+1

設(shè)MA,MB,所在直線斜率分別為：kMA,kMB,則

MxlT)-OI?(x-1)-0卜2XX-3(Λ+X)÷4

^MA+ZMB21212

x∣—2x2-2x1x2-2(x1+x2)

C2k2-24氏2

2×■—?-------3o×—?------F4

一.”2好+12^+1

2k1-2C442

—?-------2X—X—

2公+12公+1

4公—4—12/+8/+4

=k×-----------------------------

-6公一2

=0

此時(shí)，ZOMA=ZOMB.

綜上所述：ZOMAZOMB.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用定義法求軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系中常用

的數(shù)學(xué)方法思想有方程思想，數(shù)形結(jié)合思想以及設(shè)而不求的整體代入的技巧與方法.

18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

分析：(1)利用分析法，原命題等價(jià)于證明6(α-b)2N0,則題中的結(jié)論成立.

Z2

r11

11ar]、2

(2)假設(shè)J+c+—與C3+c2+J.同時(shí)為負(fù)數(shù)，而c6+c?3+c2+c+±=°3+J.+-+-

24>0,與假設(shè)矛盾,

424I2)I

則題中的結(jié)論成立.

2523

詳解：(1)因?yàn)閍>0,b>0要證：-~—≤-+-,

92。+3。ab

只需證：25ah≤(2〃+38)(3〃+2b),

只需證：25ab≤6a2+6b2+13ab，

即證：Ga2+6b2-12ab≥09即證：6(β-/?)2≥0,

2523

顯然上式恒成立，故丁=77<±+;.

2a+3匕ah

113

(2)設(shè)不+c+—與。3+。2+一同時(shí)為負(fù)數(shù)，則06+d+c2+c+二<o(1),

424

3

所以+(?+/+C+]=(?+^+](+c+X+??fe+?>l+(c+工+?>O，

與(1)式矛盾，所以假設(shè)不成立，所以￠6+C+L與￠3+C?+(不能同時(shí)為負(fù)數(shù).

42

點(diǎn)睛：本題主要考查分析法、反證法證明不等式的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和邏輯思維能力.

19、(1)/max(X)=e—2，?∕rnin(X)=—e?-2(2)見(jiàn)解析

【解析】

分析：ɑ)當(dāng)α=-1時(shí)，f(x)=(-x2+x+l)ex-2,∕,(x)=-(x-l)(x+2)ev,

令/'(X)=0,可得χ=l或％=-2,列表可求函數(shù)在［-3,2］上的最大值和最小值；

(2)由題意

f'(x)=(2ax+l)ex+(^ax2+x+l)e*=［/+(2α+l)x+2je'1=(ax+l)(x+2)er,

分類討論可求函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

詳解：

(1)當(dāng)α=-l時(shí)，/(x)=(-x2+x+l)e'-2,f,(x)^-(x-l)(x+2)e',

令/'(x)=0,可得χ=l或％=-2,

則有:

X-3(-3-2)-2(-2J)1(IQ2

.r(?-)-0+0-

極小值極大值

?(?)TIeT_2減增減-e2-2

-5β^2-2e—2

22

因?yàn)橐籰l"3-2<e-2,-5e--2>-e-2f

所以ZnaX(X)=6-2,ZniiI(X)=-/一2?

(2)ff(x)=(2ax+l)ex+(加+%+1)?*=[加+(2α+l)χ+2]e"

=(dx+l)(x+2)ev,

當(dāng)a=；時(shí)，∕,(x)=^(%+2)2βv≥0,函數(shù)在(-8.+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)O<α<g時(shí)，一：<—2,當(dāng)xe(F,一：］或x∈(-2,+∞)時(shí)，∕,(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),

/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，一(〉一2,當(dāng)％e(—8，-2)或尤1,+s］時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)Xe1-2,時(shí)，

/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)0<α<,時(shí),/(x)在(一2,欣)上單調(diào)遞增，在(一，-2)上單調(diào)遞減；當(dāng)α=g時(shí)，f(x)

2

在(τz).+8)在上單調(diào)遞增；當(dāng)α>g時(shí)，〃力在(_8,一2),(-：,+"上單調(diào)遞增，在1上單調(diào)遞減.

點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.

20、(1)0.1.(2)0.2.

【解析】

(1)p?=0.6(1-0.7)+(1-0.6)0.7=0.1.

(2)P=[C,θ?6(1-0.6)]?[C；(0.7)2(1-0.7)°]=0.2.

2?2

21>(1)56；(2)35；(3)21

【解析】

分析：(1)從口袋里的8個(gè)球中任取5個(gè)球,利用組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.

(2)從口袋里的8個(gè)球中任取5個(gè)球,其中恰有一個(gè)紅球,可以分兩步完成:第一步,從7個(gè)白球中任取4個(gè)白球,第二

步,把1個(gè)紅球取出，即可得到答案.

(3)從口袋里任取5個(gè)球,其中不含紅球,只需從7個(gè)白球中任取5個(gè)白球即可得到結(jié)果.

8×7×6

詳解：(1)從口袋里的8