廣東省2021年春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷十（含解析）

2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(10)

注：本卷共22小題，滿分150分。

-、單選題(本大題共15小題，每小題6分，滿分90分)

1.能正確表示集合M={xeR\0<x<2}和集合N={X^R\X2+X=0}的關(guān)系的韋恩圖的是

()

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合/V的元素，即可得到兩集合的關(guān)系，再用韋恩圖表示岀來.

【詳解】

解：:,集合N={xeR|x2+x=0}={0,-1},集合M={xeH|04x?2},

.?.A/nN={0}且互不包含,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了韋恩圖表達集合的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

2.教育部日前出臺《關(guān)于普通高中學(xué)業(yè)水平考試的實施意見》，根據(jù)意見，學(xué)業(yè)水平考試成績以“等

級”或“合格、不合格”呈現(xiàn).計入高校招生錄取總成績的學(xué)業(yè)水平考試的3個科目成績以等級呈現(xiàn),

其他科目一般以“合格、不合格”呈現(xiàn).若某省規(guī)定學(xué)業(yè)水平考試中歷史科各等級人數(shù)所占比例依次

為：4等級15%,6等級35%,C等級30%,D、￡等級共20%.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從某省參

加歷史學(xué)業(yè)水平考試的學(xué)生中抽取100人作為樣本，則該校本中獲得/或8等級的學(xué)生中一共有().

A.45人B.60人C.50人D.90人

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知求得4或8等級所占比例，乘以100即得答案.

【詳解】

由題意，4、8等級人數(shù)所占比例依次為：Z等級15%,8等級35%,

則Z或8等級所占比例為50%,

.?,100人的樣本中，獲得力或5等級的學(xué)生一共有50人.

故選：C

【點睛】

本題主要考查分層抽樣，明確分層抽樣中每一層所占比例數(shù)相等是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.下列函數(shù)中，值域為??且為奇函數(shù)的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.

【詳解】

A.y=x+2,值域為R,非奇非偶函數(shù)，排除；

B.y=sinx,值域為[-1,1],奇函數(shù)，排除；

C.卜=%一/,值域為R,奇函數(shù)，滿足；

D.y=2x,值域為（0,+力），非奇非偶函數(shù)，排除;

故選：c.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

4.函數(shù)/（x）=——+lg（3x+l）的定義域是（）

——,+00

3

【答案】B

【解析】

【分析】

l-x>0

根據(jù)函數(shù)的解析式知,解不等式組即可得定義域

3x+1>0

【詳解】

——<x<1

3

故選：B

【點睛】

本題考查了函數(shù)的表示，根據(jù)函數(shù)解析式的性質(zhì)求函數(shù)的定義域，屬于簡單題

5.若。<6<0,那么下列不等式中正確的是（）

A.J-q<-J—bB.a2>ab

D.a2<b2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)分別對四個選項分析可得解.

【詳解】

對于由a<b<0,得-a〉-b>0,所以<工>J工，故4項錯誤；

對于8,由a<b<0兩邊同時乘以a,得a?>ab，故6項正確；

對于C,由a<b<0,得丄〉丄，故C項錯誤；

ab

對于〃由a<b<0,得/>/,故〃項錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.若a,b是異面直線，且a〃平面a,則b和Ia的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.b在a內(nèi)D.平行、相交或b在a內(nèi)

【答案】D

【解析】

試題分析：因為a,b是異面直線，且a〃平面a,當(dāng)直線a〃平面a,直線b在平面a內(nèi)，.?.a〃b,

或a與b異面，那么結(jié)合線面的位置關(guān)系和異面直線的概念可知，則b和a的位置關(guān)系是平行、相

交或b在a內(nèi).故選D.

考點：本題主要是考查線面的位置關(guān)系的運用.

點評：解決該試題的關(guān)鍵是理解線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，然后根據(jù)異面直線的概念可知宜

線b與平面a的位置關(guān)系.

7.直線x=l的傾斜角和斜率分別是（）

A.45°,1B.135°,-1C.90°.不存在D.180%不存在

【答案】C

【解析】

解：?.?直線x=l垂直于x軸，傾斜角為90°,而斜率不存在，

故選C.

8.將長度為1米的繩子任意剪成兩段，那么其中一段的長度小于0.2米的概率是（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用幾何概型的長度類型概率計算公式求解.

【詳解】

如圖所示；

線段4比1,若剪成兩段，其中一段的長度小于0.2米，

則ACDF0.2,

所以其中一段的長度小于0.2米的概率是p=以*=0.4,

故選：B

【點睛】

本題主要考查幾何概型的概率的求法，屬于基礎(chǔ)題，

9.函數(shù)y=sin（2x+鄉(xiāng)］的一條對稱軸是（）

A.x----B.x=0C.x—D.x一

663

【答案】C

【解析】

【分析】

Irjrjr

根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸方程，即可得對稱軸x=—+—,左wZ.進而可知正確選項;

26

【詳解】

."，7T?.k兀7V.

令2.x4—k兀H—，則x=-----1—,kGZ.

6226

故選：C.

【點睛】

本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)對稱軸方程求對稱軸，屬于簡單題；

10.在A48C中，內(nèi)角Z，B,C的對邊分別為4,b,C.若sin/:sin8:sinC=3:7:8,則A48c

的形狀是

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理丄;=—々=’不可推得a：b:c=3:7:8,再由余弦定理計算最大邊的余弦值即可判

sinJsinnsinC

斷三角形形狀.

【詳解】

因為sinZ:sin8:sinC=3:7:8,所以a:b:c=3:7:8,設(shè)a=3左，b=k,c=3k,則角C為

9”2+49“2_64“21jr

A48C的最大角，由余弦定理可得cosC="二-=—丄＜0,即一＜。＜乃，故MBC

42k272

是鈍角三角形.

【點睛】

本題考查用正弦定理和余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

11.如圖，在平行四邊形488中，點E是邊的中點，點R是NE的中點，則不戸=()

3—1—3—1—

A.-AB+-ADB.——AB+-AD

4242

1―.3--1--3―-

C.-AB+-ADD.一一AB+-AD

2424

【答案】B

【解析】

【分析】

把向量而，而作為基底，利用平面向量基本定理和向量的加減法法則求解.

【詳解】

—?1一

解：因為尸是NE的中點，所以4F=-4E,

2

因為點E是邊CD的中點，所以方=丄配=丄刀,

22

所以旃二萬—方，

1—?—?

=—AE-AB,

2

1—?—?—?

=Q(AD+DE)-AB,

1一1——

=-(AD+-AB)-AB,

3―?1—?

=--AB+-AD,

42

故選：B

【點睛】

此題考查了平面向量基本定理和向量的加減法法則，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

12.在數(shù)列｛a,J中，%=-；,z=i--L(n>l),則％oi9的值為()

4a”-i

41

A.-B.一一C.5D.以上都不對

54

【答案】A

【解析】

【分析】

列舉出數(shù)列的前幾項，找到數(shù)列的周期，由此求得的值.

□【詳解】

,1,14,11

依題意。2=1一一=5r,%=1--=W，%=1一一=一二=%，故數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，故

qa25%4

4

%oi9=%=—，故選A.

【點睛】

本小題主要考查遞推數(shù)列，考查數(shù)列的周期性，考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知》〉0,了〉0,2》+了=2,則孫的最大值為()

A.—B.1C.D.-

224

【答案】A

【解析】

【分析】

化簡卄:(2ry),再利用基本不等式求最大值得解.

【詳解】

解：V^r>0,y>0,且2戶尸2,

：.xy=-(2x?y)W丄()2=-,當(dāng)且僅當(dāng)歸丄，尸1時取等號，

22222

故則xy的最大值為y,

故選A

【點睛】

本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.

14.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計眾數(shù)與中位數(shù)分別是()

A.B.13；13C.D.12.5；13

【答案】D

【解析】

分析：根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)與中位數(shù)的定義和計算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數(shù)與

中位數(shù)的值.

詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點的橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)的眾數(shù)，

所以中間一個矩形最該，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為笥良=12.5,

而中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于V軸的直線橫坐標(biāo)，

第一個矩形的面積為0.2,第二個矩形的面積為0.3,故將第二個矩形分成3:2即可，

所以中位數(shù)是13,故選D.

點睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數(shù)與眾數(shù)的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面

積等于對應(yīng)的概率，且各個小矩形的面積之和為1是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.

15.正方體ZBCD-45cl2中，平面a經(jīng)過耳。且與/G平行，該正方體被平面分成兩部分幾

何體，其體積比為()

A.1:3B.1:4C.1:11D,1:12

【答案】C

【解析】

【分析】

利用中位線得線線平行，進而得線面平行，確定容易求得體積比.

【詳解】

如圖，

取/4中點A/，上底面中心為0,連接。M,則。M//ZG,NG//平面，即平面股司2

為平面a,

X

所以匕“-440,4Mq*4歷=5X5SA、B\C、D、^-^I=^匕IBCD-AB1Gol)

所以被a分成的兩部分體積比為：1:11.

故選：C.

【點睛】

本題考查了空間幾何體的計算和空間想象能力，屬于中檔題.

二、填空題

16.已知圓G：x2+y=l,圓G：X2+J?—2X—2夕+1=0,則圓G與圓G的位置關(guān)系為.

【答案】相交

【解析】

【分析】

利用圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對值的大小關(guān)系可判斷兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】

由題設(shè)有G(o,o),耳=1,G(Li)，々=1，故|GC2|=J(OT『+(O-

所以厶一々=0<<2=4+々，故圓G與圓G的位置關(guān)系為相交.

故答案為：相交.

【點睛】

本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，此類問題一般可通過圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對值的

大小關(guān)系來判斷，本題屬于基礎(chǔ)題.

17.cos2750+cos2l5°+cos750cos15°的值等于.

【答案】-

4

【解析】

,,15

試題分析：原式可化為sii?150+cos215°+sin15°cos15°=1+—sin30°=工.

24

考點：三角恒等變形、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系.

18.在等邊三角形ABC中，邊長為2,則方?比=

【答案】-2

【解析】

ABBC=—BA-BC=—2x2xcos60=—2-

19.某數(shù)學(xué)小組進行社會實踐調(diào)查，了解到某桶裝水經(jīng)營部在為如何定價發(fā)愁.進一步調(diào)研，了解到

如下信息：該經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價

與日均銷售量的關(guān)系如下表：

銷售單價/元6789101112

日均銷售量/桶480440400360320280240

根據(jù)以上信息，你認(rèn)為該經(jīng)營部把桶裝水定價為元/桶時能獲得最大利潤.

【解析】

【分析】

通過表格可知銷售單價每增加1元、日均銷售量減少40桶，進而列出表達式，利用二次函數(shù)的簡單

性質(zhì)即得結(jié)論.

【詳解】

通過表格可知銷售單價每增加1元、日均銷售量減少40桶，設(shè)每桶水的價格為（6+x）元（OVxV

13）,

公司日利潤y元，則產(chǎn)=（6+而）（48040x）200=40_?+440戶280（0VxV13）,

440亠

V40<0,.?.當(dāng)x=--------=時函數(shù)y有最大值，

2x40

因此，每桶水的價格為元，公司日利潤最大，

故答案為：11.5.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用以及二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

20.已知數(shù)列｛可｝為正項等比數(shù)列，滿足4=4,且為，344構(gòu)成等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝滿足

l+1

=°g2?n°g2?n+l-

（1）求數(shù)列｛4｝,｛[｝的通項公式;

,、2

（2）若數(shù)列抄“｝的前n項和為S?,數(shù)列｛c“｝滿足c“=-7-—求數(shù)列｛c,,｝的前〃項和7；.

【答案】（1）4=2"，b“=2n-l（2）T.=——

M+1

【解析】

【分析】

（1）由題意，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，以及等差中項可求得公比，即可求得代入可求得“；

（2）由（1）可求得”的前n項和S“，帶入求得c“，再利用裂項相消求得

【詳解】

解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為式夕>0）,由題意，得

%+“6=6%nq+q2=6解得q=2或q=—3（舍）

又%=4=>%=]所以=%q"T=2"T

(2)S=〃—+")=〃(1+(2〃-1)]=八

"22

【點睛】

本題考查了數(shù)列的知識，掌握等差等比數(shù)列的性質(zhì)、通項是解題的關(guān)鍵，同時也需要掌握好數(shù)列求

和的裂項相消，屬于較為基礎(chǔ)題.

21.如圖，在三棱柱44a一/3。中，AB=AC,D為BC中點,平面N8C丄平面3CG4，

8G丄B]D.

(1)求證：4?！ㄆ矫?4。；

(2)求證:AB{1BCX.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連結(jié)48交/用于點O,連結(jié)得到OOII&C,從而證明4cli平面/8Q.

(2)由=得到4)丄3C,由平面Z8C丄平面8CG瓦，得到力。丄平面8CC￡，從

而得到AD丄6G，可以得到BC、丄平面AB}D,再得到AB,±BC」

【詳解】

證明：(1)連結(jié)48交z用于點。，連結(jié)

因為44G—N8C是三棱柱，所以18月4是平行四邊形，所以0為48中點.

有因為。為8C中點，所以。。II4。.

又4ctz平面/BQ,ODu平面N8Q,所以4cli平