2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí) 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題2.3二次函數(shù)與一元二次

方程、不等式

練基礎(chǔ)

1.（浙江高考真題）已知a,b,cER,函數(shù)/（》）=渡+法+,.若/（0）=/（4）》'（1）,貝I]（）

A.a>0,4a+b=QB.a<094。+/?=0

C.〃>0,2a+h=0D.?<0,2a+h=0

2.（2021?全國(guó)髙三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)/。）=/一一，則錯(cuò)誤的是（）

A./（X）的圖象關(guān)于>軸對(duì)稱B.方程/（x）=o的解的個(gè)數(shù)為2

C.f（x）在（1,y）上單調(diào)遞增D.f（x）的最小值為一丄

4

3.（2022北京高三其他模擬）設(shè)XGR,貝I『”2—5X+6<。”是“|%-2|<1"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2021?全國(guó)高三月考）已知函數(shù)/（幻=一/+云+c,則〉0”是"方程/。）=0有兩個(gè)不同

實(shí)數(shù)解且方程/（/（幻）=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）若當(dāng)xC（l,2）時(shí)，函數(shù)）=（六1）2的圖象始終在函數(shù)產(chǎn)log融的圖象的下方，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.（2020?山東省微山縣第一中學(xué)高一月考）若不等式分2+2x+a<（）對(duì)任意xeR恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

7.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知當(dāng)xe（0,+8）時(shí)，不等式尹一〃冏+相+1>0恒成立，則實(shí)數(shù)，〃的取值

范圍是.

8.（2021?浙江高一期末）已知函數(shù)/1）=內(nèi)2一x+i（ax0）,若任意再、々e[l,+oo）且西聲々，都有

'"'丿>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

%一々

9.(2021.四川成都市?高三三模(理))已知函數(shù)，(x)=12cc，若〃宀)=/伍)，且工產(chǎn)元2，

—x+2x,尤>0

則1%一%|的最大值為.

10.(2021?浙江高一期末)已知函數(shù)/(%)=區(qū)2—2x+4攵.

(I)若函數(shù)/(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)女的取值范圍：

(IDVxe[2,4b/(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

練提升

&一.■

1.(2020?山東省高三二模)已知函數(shù)/(1)=%2+(1一機(jī))工一機(jī)，若/(/(x))..O恒成立，則實(shí)數(shù)加的范

圍是()

A.[―3,—3+B.[-1,—3+2A/^]

C.[-3,1]D.[-3+2&,1]

2.(2021?浙江高三二模)已知/(x)=f-2x,對(duì)任意的斗，J^e[0,3].方程

|/(x)—/(內(nèi))|+|/(力一/(%)|=根在[0,3]上有解，則加的取值范圍是()

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

,、[Itzlx3—l,x<0

3.(2020?浙江省高三二模)己知函數(shù)/(尤)=?!,7八的圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值

[x-ox+|x-2|>0

范圍是________.

,、[m,m>n

4.(2020?陜西省西安中學(xué)高三其他(理))記max{m,〃}=〈，函數(shù)

[n,tn<n

/(x)=max1-4x2+4収一(。-1)2111M(。<1)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

5.(2021?浙江高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=f+gk—a|+b(a,beR),若xe[-1,1]時(shí)，|/(x)|W1,

則丄a+匕的最大值是.

2

1b

6.（2021.浙江高三期末）已知函數(shù)/（x）=sin2x+/卜欣一4+萬(wàn)（。,。€R）,若對(duì)于任意xwR,均有

|/（%）|<1,則4+方的最大值是.

7.（2020?武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）高一期中）已知函數(shù)/。）=?2+加+3（③。€/?）,且

/（x）W0的解集為［1,3］.

（1）求/（x）的解析式；

（2）設(shè)/?（》）="、“在定義域范圍內(nèi)若對(duì)于任意的王，/，使得力（與）—〃（/）〈/恒成立，求

J（x）+4x-l

M的最小值.

8.（2021?浙江高一期末）設(shè)函數(shù)=R）.

（1）若/（x）在區(qū)間［0』上的最大值為b,求a的取值范圍；

（2）若/（X）在區(qū)間口,2］上有零點(diǎn)，求/+4〃一4b的最小值.

9.（2020?全國(guó)高一單元測(cè)試）已知函數(shù)/（x）-9'-a,3v+l+a2（xG［0,1］,aGR）,記f（x）的最大值為g

（a）.

（I）求g（a）解析式；

（II）若對(duì)于任意re［-2,2］,任意aWR,不等式g（a）恒成立，求實(shí)數(shù)，"的范圍.

10.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/（力=益？-2辦+儀。>0）,在區(qū)間［0,3］上有最大值16,最小

值。設(shè)g（x）=,.

（1）求g（x）的解析式；

（2）若不等式8（1082力—"。82%"在［4/6］上恒成立，求實(shí)數(shù)出的取值范圍；

練真題

1.（浙江省高考真題）若函數(shù)f（x）=x2+ax+b在區(qū)間［0,1］上的最大值是M,最小值是叱則M—m的值

（）

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

X4，A

2.(2018?浙江高考真題)已知4GR,函數(shù)/'(*)=［2；,\-當(dāng)/=2時(shí)，不等式F(x)<0的解

Uz-4x+3,x<A

集是.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則兒的取值范圍是.

3.(北京高考真題)已知X20,y》o,且x+y=l,則f+y2的取值范圍是_____

4.(2018?天津高考真題(理))已知a>0,函數(shù)/(》)=「'J2"**。，"4°，若關(guān)于x的方程/(x)=ax

-x+2ax-2a,x>0.

恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

5.(2020?江蘇省高考真題)已知關(guān)于/的函數(shù)丁=/(幻,丁=8。)與〃(%)=丘+久左/€1<)在區(qū)間〃上

恒有，(x)之〃(x)>g(x).

(1)若f(x)=x，+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+oo),求才(x)的表達(dá)式;

6.(浙江省高考真題(文))設(shè)函數(shù)/。)=/+依+厶,(。16/?).

2

(1)當(dāng)〃=纟+1時(shí)，求函數(shù)/W在［-1,1］上的最小值g(a)的表達(dá)式；

4

(2)已知函數(shù)f(x)在［一1川上存在零點(diǎn)，OWA—2a<1,求方的取值范圍.

專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

練基礎(chǔ)

《?

1.(浙江高考真題)已知a,b,cGR,函數(shù),f(x)=ax2+〃x+c.若f(0)=/(4)(1),則()

A.a>0,4a+b=0B.?<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=Q

【答案】A

【解析】

由已知得〃x)的圖象的對(duì)稱軸為x=2且/(x)先減后增，可得選項(xiàng).

【詳解】

b

由/(0)=/(4),得/(x)=ax2+fer+c圖象的對(duì)稱軸為％=----=2,：.4a+b=0

2a9

又/(0)"(1),f(4)>f(1),???/(元)先減后增，于是。>0,

故選：A.

2.(2021.全國(guó)高三專題練習(xí)(文))已知函數(shù)/(幻=/一》2,則錯(cuò)誤的是()

A./(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.方程/(幻=0的解的個(gè)數(shù)為2

C./(X)在(1,一)上單調(diào)遞增口?/⑶的最小值為北

【答案】B

【解析】

結(jié)合函數(shù)的奇偶性求岀函數(shù)的對(duì)稱軸，判斷A,令/(x)=0,求出方程的解的個(gè)數(shù)，判斷B,令r=Y，

(t)=t2-t=(t一一)2一一，從而判斷C,D即可.

g24

【詳解】

/(外=/一f定義域?yàn)镽,顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又f(-x)=(-x)4-(-x)2=x4-x2=f(x),

所以y=/(x)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確.

令/(x)=0即x2(x+l)(x-l)=0,

解得：X=0,1,-1,函數(shù)/*)有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

令/=f,g(r)=r2-r=(r-l)2-l,%>1時(shí)，

函數(shù)，=/,g?)=/2-/都為遞增函數(shù)，故/(?在(1,+8)遞增，故C正確；

由，=丄時(shí)，g⑺取得最小值故f(X)的最小值是故D正確.

244

故選：B.

3.(2022北京高三其他模擬)設(shè)xwR,則“2-5兀+6<0”是“1工-2|<1"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

分別解出兩個(gè)不等式的解集，比較集合的關(guān)系，從而得到兩命題的邏輯關(guān)系.

【詳解】

%2一5%+6<()=2<%<3；I%-2|V1=1<X<3；

易知集合(2,3)是(1,3)的真子集，故是充分不必要條件.

故選：A.

4.(2021.全國(guó)高三月考)已知函數(shù)/(》)=一/+版+c,則/電〉0”是“方程/(幻=0有兩個(gè)不同

實(shí)數(shù)解且方程/(/(x))=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得了(/(勺)>0,反之若/(/)=()有兩個(gè)正根4<%當(dāng)…2</(X)max，

得到方程/(/(x))=0恰有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由/(幻=一/+"+。表示開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸的方程為》=^,

要使得方程/(幻=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，只需/(勺>0，

要使得方程/(/(x))=o恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，設(shè)兩解分別為且不<々，

則滿足％</(X)max<工2，

因?yàn)楣(%,々)時(shí)，/(%)>0,所以/(7(3))>0,所以必要性成立；

反之，設(shè)，=/(1)>0,即/(/)>(),

當(dāng)/(O=o有兩個(gè)正根，且滿足t}<t2,若4<4<,

此時(shí)方程/(/(x))=o恰有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解，所以充分性不成立.

(

所以/->0”是“方程/(x)=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解且方程/(/*))=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解”的必

k12丿丿

要不充分條件.

故選：C.

5.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）若當(dāng)xd（l,2）時(shí)，函數(shù)y=（x-l）2的圖象始終在函數(shù)月og然的圖象的下方，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】l<a<2.

【解析】

在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形，列出不等式組，求得結(jié)果.

【詳解】

如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=（x-l）2和y=loga的圖象.

由于當(dāng)xd（l,2）時(shí)，函數(shù)y=（x-l）2的圖象恒在函數(shù)尸logd的圖象的下方,

故答案為：1~W2.

6.（2020?山東省微山縣第一中學(xué)高一月考）若不等式分2+2x+a<（）對(duì)任意xeR恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

【答案】（7,-1）

【解析】

二,不等式or2+2x+a<0對(duì)任意xwR恒成立，

二函數(shù)丁=。^+2》+。的圖象始終在x軸下方,

47<0

解得4<一1,

△=4一4巒<0

故答案為：（-8,-1）.

7.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知當(dāng)xe（O,+8）時(shí)，不等式>一加3*+m+1>0恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是.

【答案】（7,2+2夜）

【解析】

先換元3*=f,ZG(l,+oo),使/⑺=於一皿+機(jī)+1>0在，€(l,+8)上恒成立，再利用二次函數(shù)圖象特征

列限定條件，計(jì)算求得結(jié)果即可.

【詳解】

令3*=t,當(dāng)XG(0,+oo)時(shí),ZG(l,+oo),則f⑺=戶一皿+加+1>0在te(l,+oo)上恒成立，即函數(shù)在

te(1,-K>o)的圖象在x軸的上方，而判別式△=(—/nJ—4(m+1)=加2一4加一4,

A>0

J21

故△=//?—4機(jī)一4v0或,,<1，解得m<2+2及.

/(l)=l-m+m+l>0

故答案為：(—8,2+20).

8.(2021.浙江高一期末)已知函數(shù)/(x)=o?一》+1(。/0),若任意王、々eU，+8)且X聲々，都有

WS>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

西一工2

【答案】［1,+8)

【解析】

本題首先可令內(nèi)>彳2，將">1轉(zhuǎn)化為/(%)-%>/(%2)-%2，然后令g(x)=/(x)-X，

—%2

通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的定義得出函數(shù)g(x)在0,+<)。)上是增函數(shù)，最后分為a=0、aHO兩種情況進(jìn)行討論，

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】

f(x.)—/(x2)

因?yàn)槿我庹?、々€口,+8)且%，都有W?丿〉1，

x］—x2

所以令Xi>9，'°2)>］即/(百)一/(工2)>/一%2,/(%|)-%|>/(X,)-X2,

石一工2

令g(x)=/(x)-工=以2-2%+1,則函數(shù)g(x)在口,+0。)上是增函數(shù)，

若。=0,則g(x)=-2x+l,顯然不成立;

。＞0

若aW0,則，-2，解得a>\,

-----K1

、2。

綜合所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+8),

故答案為：］,+8).

9.(2021?四川成都市?高三三模(理))己知函數(shù)/(x)={2c八，若/(石)=/(%2)，且玉。工2,

—X+2冗，x>0

則歸-x2|的最大值為.

13

【答案】-

4

【解析】

由/(玉)=/(9)得,.X,=x^-2x2-l,把/一百轉(zhuǎn)化為|須一司=&一1=Y+3/+1，利用二次函

數(shù)求最值.

【詳解】

y=/(x)的圖像如圖示：

由歸—x2|=/一%=—xf+3/+1

313

當(dāng)々=5時(shí)，卜一91^=丁.

13

故答案為：—.

4

10.(2021?浙江高一期末)已知函數(shù)/(幻=京2-2》+4后.

(I)若函數(shù)Ax)在區(qū)間24]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(IDV%e[2,41,7(%)20恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】(I)(-0°,—]；(II)[—,+℃)

42

【解析】

(I)由題意討論攵=0,左＞0與左＜0三種情況，求出函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合區(qū)間，列不等式求解；(II)

2

A＞—^―4

利用參變分離法得4在24]上恒成立，令/(x)=x+—,根據(jù)單調(diào)性，求解岀最值，即可得上的

X+-X

X

取值范圍.

【詳解】

(I)當(dāng)人=0時(shí)，/(x)=-2x,在區(qū)間24J上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)我＞0時(shí)，對(duì)稱軸為》=丄，因

k

為f(x)在區(qū)間[2,41上單調(diào)遞減，所以丄N4,得左〈丄，所以0＜%＜丄；當(dāng)厶＜0時(shí)，函數(shù)/(幻在區(qū)間[2,4]

k44

上單調(diào)遞減，符合題意，綜上，&的取值范圍為(-8,丄].

4

,2x2，

k＞_____=_____4

(II)V%￡[2,4],/(x)N0恒成立，即Vxc[2,4],隧一f+4-4恒成立，令/(x)=x+—,可

X+-X

X

(\

211

知函數(shù)/(外在[2,4]上單調(diào)遞增，所以/(幻之4,所以一不所以％之；，故&的取值范圍為

x+—

VX)max

l、

r[-,+?)

練提升

1.(2020?山東省高三二模)已知函數(shù)/(x)=V+(l—加卜―加，若/(/(x))..O恒成立，則實(shí)數(shù)明的范

圍是()

A.卜3,-3+2^5]B.[-1,-3+2*$/^]

C.[-3,1]1).[-3+272,1]

【答案】A

【解析】

/(x)=x2+(1—m=(x—,

(1)m>-l,/(〃力/0恒成立等價(jià)于〃刈之用或/(力4—1恒成立，

即/(%)=X2+(1-m)％-加之"2或/(力=%2+(1-加)不一6<一1(不合題意，舍去)恒成立；

A<0/7—n

即《，解得me—1,—3+2J2,

m>-\'」

(2)加=一1恒成立，符合題意；

(3)m<-\,/(/(力)20恒成立等價(jià)于/(x)〈加(不合題意，舍去)或/(力之一1恒成立，等價(jià)于

A<0、

*,,解得me[r-3,T).

綜上所述，，〃e[—3,—3+2C],

故選:A.

2.(2021.浙江高三二模)已知/(x)=d—2x,對(duì)任意的王，x2e[0,3],方程

|/(x)—/(xj|+|/(x)—/(%)|=機(jī)在[0，3]上有解，則加的取值范圍是()

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

【答案】D

【解析】

對(duì)任意的演宀4。，3].方程—+—“々)|=根在[0，3]上有解，不妨取取〃玉)=一1，

/(々)=3,方程有解加只能取4,則排除其他答案.

【詳解】

/(x)=(x-l)2-l,XC[0,3],則/(X)min=T，/(X)max=3.

要對(duì)任意的玉，”[0,3].方程|/3-〃5)|+『3-〃々)|=加在[0,3]上都有解，

取/&)=T，〃％)=3，

此時(shí)，任意xe[0,3],都有機(jī)=|/(x)-+-〃工2)|=4，

其他加的取值，方程均無(wú)解，則〃的取值范圍是{4}.

故選：D.

/、[lalx3-l,x<0

3.(2020?浙江省高三二模)已知函數(shù)/(x)=〈q.7八的圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值

/[x-ax+|x-2|>0

范圍是.

【答案】。<2或a>3.

【解析】

當(dāng)了W0時(shí)，/(x)=|?|x3-l<-l,此時(shí)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第三象限，

當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)=x2-(a+l)x+2,此時(shí)函數(shù)圖象恒經(jīng)過(guò)第一象限，當(dāng)A=[-(a—l)f-4>0且

。+1>0,即a〉3時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)第一、四象限，

當(dāng)了22時(shí)，/(X)=X2-(?-1)X-2,此時(shí)函數(shù)圖象恒經(jīng)過(guò)第一象限，當(dāng)/(2)<0,即a>2時(shí)，函數(shù)圖

像經(jīng)過(guò)第一、四象限，

綜上所述：a<2或a>3.

加mNn

，函數(shù)

(n,m<n

f(x)=max{-Ax2+4以一(a-l)2,lnx}(a<1)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】?！?7

2

【解析】

令g(x)=-4x?+4ax-(a-1)2(x>0),

因?yàn)閍<l,則g(I)=-/+6a-5=-(a-l)(a-5)<0=lnl,

所以f(l)=lnl=O,即1是函數(shù)/(x)的零點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的對(duì)稱軸為x=,

所以根據(jù)題意，若函數(shù)/(外有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則二次函數(shù)g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，

△=(4Q)2-16(〃-1)2<0,解得。<丄.

2

故答案為：ci<—

2

5.(2021?浙江高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力=/+；上一4+久4,6€/?),若時(shí)，|/(力歸1,

則丄a+b的最大值是.

2

【答案】一丄

2

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x)=彳2+丄,一同+伏a/eH),分a<-l和一1WaWl三種情況討論，分別求得其最大

值，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=%2+5,一4+63/€R),

當(dāng)a>l時(shí)，/(x)=%2一;1+；〃+4%￡[-11],

/(-1)<1-a-\-b<--

因?yàn)閇〃x)歸1,可得丄，所以;

八4丿——a+b>

11216

所以----<—〃+/?4—；

1622

當(dāng)a<-1時(shí)，/(x)=x2+—X--a+/?,XG[-l,l],

因?yàn)閨/(x)歸1,可得/(x)1rax=/(l)=l+g—ga+bWl，

所以—a—,所以一a+b=a—<——；

22222

當(dāng)一IVa<1時(shí)，/(%)=x2+^|x-a|+/?,xe[-l,l],

由|/(x)歸1知，〃尤)皿=/⑴=1+#1-。|+心

因?yàn)橐籌WaWl,所以一l—aWO,所以/(x)max=/(D=l+g|-1-。|+萬(wàn)，

所以丄a+b?—,

22

綜上可得，丄。+〃的最大值是-上

22

故答案為：一彳

2

1b

6.(2021?浙江高三期末)已知函數(shù)/(x)=sin2x+/卜欣一4+萬(wàn)(。,。€R),若對(duì)于任意xwR,均有

|/(%)|<1,則4+方的最大值是.

【答案】-1

【解析】

首先討論aN1、a?—1時(shí)/(x)的最值情況，由不等式恒成立求a+b的范圍，再討論一1<a<\并結(jié)合/(幻

的單調(diào)情況求G+6的范圍，最后取它們的并集即可知a+力的最大值.

【詳解】

2a+

當(dāng)a'sinx時(shí)，/(x)=(sinx——)+^_J_(

”?l.ob-a1

當(dāng)avsinx時(shí)，f(x)=(sinx+-)H——----,

(ifa+b1/、

-IH-------------,(a之,),<

令f=sinxe[-1,1],則g(f)={，4丿216...當(dāng)口之1時(shí)，，=J有g(shù)⑺訕=亭一

/1b-a1.4216

(r+-)2+-------------,(a<t)

4216

a+b3

f=T有g(shù)⑺mx----+—

22

由xeR有I”小1,有一1?等《〈學(xué)+2,

故----Wa+/?4一1；

8

,.,1亠八b-a1.亠八b—a3

當(dāng)aW—l時(shí)，￡=有g(shù)(7)min=F-—77；1=1有g(shù)Q)max==—+不；

421bZ2

由xeR有(x)|41,有一14------------<--------F—<1,故——<b—ci<—\,即a+方4—3；

216228

,1.a+b1.,

。一一)2-+---------,(-l<t<a

4216

當(dāng)一l<a<l時(shí),g(，)={

(ifb-a1,/,、

t+-+----------,(?</<1)

I4丿216

g⑺在(Ta)上遞減‘［時(shí)》上遞減’上遞增;

ae[--,-]：g(。在(T,。)上遞減，3,1)上遞增;

ae(-,l)：gQ)在(—1」上遞減，[丄,a)上遞增，卬)上遞增；

444

綜上，g(f)在(一LD上先減后增，則《，、，，可得。+〃〈一1

g(—1)41

.?.。+/24—1恒成立，即G+力的最大值是4.

故答案為：—1.

7.(2020?武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)高一期中)已知函數(shù)/(x)=ax2+Ax+3(a/eA),且

/(x)W0的解集為口,3].

(1)求/(x)的解析式；

(2)設(shè)〃(x)=,在定義域范圍內(nèi)若對(duì)于任意的為，%,使得〃恒成立，求

/(x)+4x-l

M的最小值.

【答案】(1)/(x)=x2-4x+3；(2)立

【解析】

(1)代入方程的根，求得參數(shù)值.

(2)使不等式恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的最值，從而求得參數(shù)的值.

【詳解】

"⑴=a+Z?+3=0

解：(1)由題意《

[7(3)=9a+3"3=0

a=1

解得「，

b=-4

f(x)=x2-4x+3

(2)由題意M./QOM-〃(x)min

A

h(x)=2,xeR

當(dāng)x=()〃(x)=()

當(dāng)XH。，h(x)=—

XH—

X

2

令g(x)=x+—，當(dāng)工＞0,8(％)..2形，當(dāng)x=V5取等號(hào),

X

當(dāng)元<O,g(%)<-當(dāng)工=一拒取等號(hào),

g(x)G(-00,-2V2]U12V2,4-00)

綜上，心)

Mn考

8.(2021?浙江高一期末)設(shè)函數(shù)/(%)=%2一依+》(。,荘R).

(1)若/(X)在區(qū)間［0,1］上的最大值為人,求4的取值范圍；

(2)若/(x)在區(qū)間口，2］上有零點(diǎn)，求/+4/一4匕的最小值.

【答案】(1)［1,”)；(2)

【解析】

(1)對(duì)實(shí)數(shù)〃的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)/(力在區(qū)間［0』上的單調(diào)性，求得了(x)nw(,再由

/(Mg、=〃可求得實(shí)數(shù)”的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為王、々，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)

由WG[1,2]結(jié)合

7

不等式的基本性質(zhì)求出g（w）的最小值，即為所求.

【詳解】

（1）二次函數(shù)/（%）=無(wú)2-ox+b的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=￡

①當(dāng)^40時(shí)，即當(dāng).40時(shí)，函數(shù)“X）在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，則/（⑼恤=〃1）=1-a+A；

②當(dāng)0/<1時(shí)，即當(dāng)0<a<2時(shí)，函數(shù)“X）在0,￡|上單調(diào)遞減，在gl上單調(diào)遞增，

、1—"0<。<1

40）=3,/⑴=1一。+。，所以，〃x）2=max{Z（U—a+b}=|；

③當(dāng)$1時(shí)，即當(dāng)aN2時(shí)，函數(shù)〃力在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，則/⑸杵=〃0）=。.

/、［l-a+b,a<1

綜上所述，/（X）=\,,

'小\b,a>\

所以，當(dāng)/（力在區(qū)間［0』上的最大值為人,實(shí)數(shù)。的取值范圍是［1,+8）；

/、［x,=?

（2）設(shè)函數(shù)/（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為芭、x2,由韋達(dá)定理可得（~,

玉入）二U

所以，ci~+4b2-4b=（百+馬+-4x^2=片-2x^2+x；+4x；xg=x；（1+4考）-+芍

11gix2)~------------；-----2—

由可得二VI,所以，(])5.

4x；—r+2-4

1工2丿

備可得為

此時(shí)，X2=\,由X|

14

所以，當(dāng)玉=g，4=1時(shí)，/+462一4）取最小值二.

9.（2020.全國(guó)高一單元測(cè)試）已知函數(shù)/（x）=9'-少3-1+/（xe10,1］,aGR）,記/（x）的最大值為g

(a)

(I)求g(〃)解析式；

(II)若對(duì)于任意￡[-2,2],任意〃￡凡不等式g(〃)2-/7?+。%恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

24

一9。+9,。0—

【答案】(I)g(a)=〈：3；(II)壯--5-或論—5.

2,1422

a-3。+1,。>一

【解析】

22

(I)令〃=3"曰1,3],得到/(x)=h(〃)=?-3au+a9分類討論即可求出,

355

(II)先求出g(〃)〃而=g再根據(jù)題意可得-加+5日-一，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出.

244

【詳解】

解：(I)令w=3"e[l,3],則/(x)-h(w)=〃2?3L〃+〃2.

3a4

當(dāng)三32,即時(shí)，8(〃)=h(w)mui=h(3)=層-9〃+9；

3。4

當(dāng)-->2,即。>一時(shí)丁g(。)=/?(w)min-h(1)=a2-3?+1；

23

24

—9。+9,。?一

3

故g(〃)=<4；

/—3?+1,a>—

3

4411

(II)當(dāng)a<y時(shí)，g(a)=a2-9。+9,g(。)〃而招(y)="-；

435

2

當(dāng)〃〉一時(shí)，g(。)=a-3a+1,g(a),nin=g(-)=---；

324

對(duì)于任意任意aGR,不等式g(a)>-次2+切?恒成立等價(jià)于-m2+tm<---.

4

令-〃落由于力(力是關(guān)于7的一次函數(shù),故對(duì)于任意龍[-2,2]都有h(t)<--等價(jià)于<

4

A(2)<--

4

4m24-8/72-5>0

即〈2，

4m~—8/n-5>0

解得m<---或勿似一.

22

10.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(同=冰2—Zox+hg〉。)，在區(qū)間［0,3］上有最大值16,最小

值o.設(shè)g(x)=2L區(qū).

(1)求g(x)的解析式；

(2)若不等式g(log2X)-hlog2X“在［4,16］上恒成立，求實(shí)數(shù)&的取值范圍；

【答案】(1)g(x)=4(x+—8(XHO)；(2)(-co,l］,

【解析】

(1)由二次函數(shù)的性質(zhì)知/(X)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,3)上為增函數(shù)，結(jié)合其區(qū)間的最值，列方程組

求即可寫(xiě)出g(x)解析式；

(2)由題設(shè)得攵——)2--——+4在xw［4,16］上恒成立，即％只需小于等于右邊函數(shù)式的最小值

log2JClog2X

即可.

【詳解】

(1)-:f(x)=a(x-\)2+b-a(a>0),即/(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在3)上為增函數(shù).又在［0,3］上

有最大值16,最小值0,

?**f(l)=b-a=0,/(3)=3a+b=l6,解得々=)=4,

二g(x)=4(x+：［-8(XHO)；

(2)Vg(log2x)-^log2x>0

(i、

4log,x+-------8>/:log2x,由xe［4/6］,則log,xw［2,4］,

IlogzX丿

21

.?^<4(r-L-)--^-+4=4(—--Ip,設(shè)『=宀，

log2xIog2xlog2xIog2x|_42_

.?.〃a)=4Q—l)2在I，1上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，〃⑺最小值為1,

：.k<l,BPA：e(-<o,l].

練真題

%丿

1.(浙江省高考真題)若函數(shù)f(x)=x2+"+。在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是叫則M-加的值

()

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

【答案】B

【解析】

2

因?yàn)樽钪翟?(0)=a/⑴=1+。+A/(一q)=人一三中取，所以最值之差一定與方無(wú)關(guān)，選B.

24

2.(2018?浙江高考真題)已知AeR,函數(shù)/V)=[2"丿丿"當(dāng)4=2時(shí)，不等式f(x)<0的解

(xz-4x+3,x<Z

集是.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則兒的取值范圍是.

【答案】(1,4)(1,3]U(4,+00)

【解析】

由題意得fX孑C或12所以2WX<4或1<%<2,即l<x<4,不等式的解集

是(L4),

當(dāng)；I>4時(shí),/(%)=%-4>0,此時(shí)/(x)=x2-4x+3=0,x=1,3,即在(一8,4)上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng);I<4時(shí)，

/(X)=x-4=0,%=4,由/'(x)=X2-4%+3在(-8,4)上只能有一個(gè)零點(diǎn)得1<433.綜上，4的取值范

圍為(1,3]U(4,+8).

3.(北京高考真題)已知x?0,y》o,且x+y=l,則V+y2的取值范圍是_____

【答案】小】

【解析】

試題分析：/+尸=/+(1-幻2=2--2%+1/￡[0川，所以當(dāng)》=0或1時(shí)，取最大值1；當(dāng)x=g時(shí)，

11

取最小值5.因此f9+,29的取值范圍為弓”

2

亠亠“，、x+2ax+a,xWO,亠

4.(2018?天津高考真題(理))已知。>0,函數(shù)=(,若關(guān)于x的方程/(x)=ox

—x+2ax-2a,x>0.

恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍是

【答案】(4,8)

【解析】

分析：由題意分類討論XW0和x>0兩種情況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果.

詳解：分類討論：當(dāng)xWO時(shí)，方程/(力=如即/+25+。=奴，

整理可得：d=_a(x+l),

X2

很明顯X=—l不是方程的實(shí)數(shù)解，則。=一亠，

當(dāng)龍〉0時(shí)，方程/(力=如即-f+2ar-2a=o￥，

整理可得：x2=a(x-2),

2

很明顯x=2不是方程的實(shí)數(shù)解，則。=工，

x-2

--,x<0

令g(x)=<丁，

——,%>0

.x—2

其中—--=-/X+1H-21，——=X-2H——-——1-4