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2023-2024學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.單項(xiàng)式2a3b的次數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.52.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.a(chǎn)<0,b<0,c>0B.﹣=1C.a(chǎn)+b+c<0D.關(guān)于x的方程ax2+bx+c=﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根3.有若干個(gè)完全相同的小正方體堆成一個(gè)如圖所示幾何體,若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體,如果保持俯視圖和左視圖不變,最多可以再添加小正方體的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.54.如圖,點(diǎn)ABC在⊙O上,OA∥BC,∠OAC=19°,則∠AOB的大小為()A.19° B.29° C.38° D.52°5.如圖,⊙O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交⊙O于B、C點(diǎn),則BC=()A.6 B.6 C.3 D.36.若函數(shù)與y=﹣2x﹣4的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則的值是()A.﹣4 B.﹣2 C.1 D.27.已知☉O的半徑為5,且圓心O到直線l的距離是方程x2-4x-12=0的一個(gè)根,則直線l與圓的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定8.的值為()A. B.- C.9 D.-99.某班要從9名百米跑成績(jī)各不相同的同學(xué)中選4名參加4×100米接力賽,而這9名同學(xué)只知道自己的成績(jī),要想讓他們知道自己是否入選,老師只需公布他們成績(jī)的()A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差10.如圖所示,直線a∥b,∠1=35°,∠2=90°,則∠3的度數(shù)為()A.125° B.135° C.145° D.155°11.如果a﹣b=5,那么代數(shù)式(﹣2)?的值是()A.﹣ B. C.﹣5 D.512.由五個(gè)相同的立方體搭成的幾何體如圖所示,則它的左視圖是()A. B.C. D.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,若∠BOD=88°,則∠BCD的度數(shù)是_________.14.布袋中裝有2個(gè)紅球和5個(gè)白球,它們除顏色外其它都相同.如果從這個(gè)布袋里隨機(jī)摸出一個(gè)球,那么所摸到的球恰好為紅球的概率是
________.15.如圖,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,⊙O半徑為1cm,∠ACB=30°,則的長(zhǎng)是________.16.在中,::1:2:3,于點(diǎn)D,若,則______17.分解因式(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)=_____.18.若2x+y=2,則4x+1+2y的值是_______.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19.(6分)如圖,正六邊形ABCDEF在正三角形網(wǎng)格內(nèi),點(diǎn)O為正六邊形的中心,僅用無(wú)刻度的直尺完成以下作圖.(1)在圖1中,過(guò)點(diǎn)O作AC的平行線;(2)在圖2中,過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線.20.(6分)已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn),點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn),DF、EG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,連接HA、HC.(1)求證:四邊形FBGH是菱形;(2)求證:四邊形ABCH是正方形.21.(6分)在等邊△ABC外側(cè)作直線AM,點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)為D,連接BD交AM于點(diǎn)E,連接CE,CD,AD.(1)依題意補(bǔ)全圖1,并求∠BEC的度數(shù);(2)如圖2,當(dāng)∠MAC=30°時(shí),判斷線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(3)若0°<∠MAC<120°,當(dāng)線段DE=2BE時(shí),直接寫出∠MAC的度數(shù).22.(8分)如圖,在Rt△ABC中∠ABC=90°,AC的垂直平分線交BC于D點(diǎn),交AC于E點(diǎn),OC=OD.(1)若,DC=4,求AB的長(zhǎng);(2)連接BE,若BE是△DEC的外接圓的切線,求∠C的度數(shù).23.(8分)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,作正方形AEFG(A,E,F(xiàn),G四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?,連接BE、GD,(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外時(shí),線段BE與線段DG有何關(guān)系?直接寫出結(jié)論;(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長(zhǎng)線上,射線BA與線段DG交于點(diǎn)M,且DG=2DM時(shí),求邊AG的長(zhǎng);(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD所在的直線上,直線AB與直線DG交于點(diǎn)M,且DG=4DM時(shí),直接寫出邊AG的長(zhǎng).24.(10分)計(jì)算:|﹣|﹣﹣(2﹣π)0+2cos45°.解方程:=1﹣25.(10分)如圖,△ABC和△ADE分別是以BC,DE為底邊且頂角相等的等腰三角形,點(diǎn)D在線段BC上,AF平分DE交BC于點(diǎn)F,連接BE,EF.CD與BE相等?若相等,請(qǐng)證明;若不相等,請(qǐng)說(shuō)明理由;若∠BAC=90°,求證:BF1+CD1=FD1.26.(12分)在學(xué)校組織的朗誦比賽中,甲、乙兩名學(xué)生以抽簽的方式從3篇不同的文章中抽取一篇參加比賽,抽簽規(guī)則是:在3個(gè)相同的標(biāo)簽上分別標(biāo)注字母A、B、C,各代表1篇文章,一名學(xué)生隨機(jī)抽取一個(gè)標(biāo)簽后放回,另一名學(xué)生再隨機(jī)抽?。卯嫎錉顖D或列表的方法列出所有等可能的結(jié)果,并求甲、乙抽中同一篇文章的概率.27.(12分)“機(jī)動(dòng)車行駛到斑馬線要禮讓行人”等交通法規(guī)實(shí)施后,某校數(shù)學(xué)課外實(shí)踐小組就對(duì)這些交通法規(guī)的了解情況在全校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果分為四種:A.非常了解,B.比較了解,C.基本了解,D.不太了解,實(shí)踐小組把此次調(diào)查結(jié)果整理并繪制成下面不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:(1)本次共調(diào)查名學(xué)生;扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是;(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(3)該校共有800名學(xué)生,根據(jù)以上信息,請(qǐng)你估計(jì)全校學(xué)生中對(duì)這些交通法規(guī)“非常了解”的有多少名?(4)通過(guò)此次調(diào)查,數(shù)學(xué)課外實(shí)踐小組的學(xué)生對(duì)交通法規(guī)有了更多的認(rèn)識(shí),學(xué)校準(zhǔn)備從組內(nèi)的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加市區(qū)交通法規(guī)競(jìng)賽,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求甲和乙兩名學(xué)生同時(shí)被選中的概率.
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、C【解析】分析:根據(jù)單項(xiàng)式的性質(zhì)即可求出答案.詳解:該單項(xiàng)式的次數(shù)為:3+1=4故選C.點(diǎn)睛:本題考查單項(xiàng)式的次數(shù)定義,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用單項(xiàng)式的次數(shù)定義,本題屬于基礎(chǔ)題型.2、D【解析】試題分析:根據(jù)圖像可得:a<0,b>0,c<0,則A錯(cuò)誤;,則B錯(cuò)誤;當(dāng)x=1時(shí),y=0,即a+b+c=0,則C錯(cuò)誤;當(dāng)y=-1時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn),即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則正確,故選D.3、C【解析】若要保持俯視圖和左視圖不變,可以往第2排右側(cè)正方體上添加1個(gè),往第3排中間正方體上添加2個(gè)、右側(cè)兩個(gè)正方體上再添加1個(gè),即一共添加4個(gè)小正方體,故選C.4、C【解析】
由AO∥BC,得到∠ACB=∠OAC=19°,根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°.【詳解】∵AO∥BC,∴∠ACB=∠OAC,而∠OAC=19°,∴∠ACB=19°,∴∠AOB=2∠ACB=38°.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理與平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.5、A【解析】試題分析:根據(jù)垂徑定理先求BC一半的長(zhǎng),再求BC的長(zhǎng).解:如圖所示,設(shè)OA與BC相交于D點(diǎn).∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等邊三角形.又根據(jù)垂徑定理可得,OA平分BC,利用勾股定理可得BD=所以BC=2BD=.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查垂徑定理和勾股定理.解題的關(guān)鍵在于要利用好題中的條件圓O與圓A的半徑相等,從而得出△OAB是等邊三角形,為后繼求解打好基礎(chǔ).6、B【解析】
求出兩函數(shù)組成的方程組的解,即可得出a、b的值,再代入求值即可.【詳解】解方程組,把①代入②得:=﹣2x﹣4,整理得:x2+2x+1=0,解得:x=﹣1,∴y=﹣2,交點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1,﹣2),∴a=﹣1,b=﹣2,∴=﹣1﹣1=﹣2,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題和解方程組等知識(shí)點(diǎn),關(guān)鍵是求出a、b的值.7、C【解析】
首先求出方程的根,再利用半徑長(zhǎng)度,由點(diǎn)O到直線a的距離為d,若d<r,則直線與圓相交;若d=r,則直線與圓相切;若d>r,則直線與與圓相離.【詳解】∵x2-4x-12=0,
(x+2)(x-6)=0,
解得:x1=-2(不合題意舍去),x2=6,
∵點(diǎn)O到直線l距離是方程x2-4x-12=0的一個(gè)根,即為6,
∴點(diǎn)O到直線l的距離d=6,r=5,
∴d>r,
∴直線l與圓相離.故選:C【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系.解題關(guān)鍵點(diǎn):理解直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.8、A【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行求解即可得.【詳解】表示的是的絕對(duì)值,數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是,即的絕對(duì)值是,所以的值為,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義,熟練掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】
總共有9名同學(xué),只要確定每個(gè)人與成績(jī)的第五名的成績(jī)的多少即可判斷,然后根據(jù)中位數(shù)定義即可判斷.【詳解】要想知道自己是否入選,老師只需公布第五名的成績(jī),即中位數(shù).故選B.10、A【解析】分析:如圖求出∠5即可解決問(wèn)題.詳解:∵a∥b,∴∠1=∠4=35°,∵∠2=90°,∴∠4+∠5=90°,∴∠5=55°,∴∠3=180°-∠5=125°,故選:A.點(diǎn)睛:本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理,鄰補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.11、D【解析】【分析】先對(duì)括號(hào)內(nèi)的進(jìn)行通分,進(jìn)行分式的加減法運(yùn)算,然后再進(jìn)行分式的乘除法運(yùn)算,最后把a(bǔ)-b=5整體代入進(jìn)行求解即可.【詳解】(﹣2)?===a-b,當(dāng)a-b=5時(shí),原式=5,故選D.12、D【解析】
找到從正面看所得到的圖形即可,注意所有看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.【詳解】解:從正面看第一層是二個(gè)正方形,第二層是左邊一個(gè)正方形.
故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖的知識(shí),解題的關(guān)鍵是了解主視圖是由主視方向看到的平面圖形,屬于基礎(chǔ)題,難度不大.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、136°.【解析】
由圓周角定理得,∠A=∠BOD=44°,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得,∠BCD=180°-∠A=136°【點(diǎn)睛】本題考查了1.圓周角定理;2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).14、2【解析】試題解析:∵一個(gè)布袋里裝有2個(gè)紅球和5個(gè)白球,∴摸出一個(gè)球摸到紅球的概率為:22+5考點(diǎn):概率公式.15、.【解析】
根據(jù)圓周角定理可得出∠AOB=60°,再根據(jù)弧長(zhǎng)公式的計(jì)算即可.【詳解】∵∠ACB=30°,
∴∠AOB=60°,
∵OA=1cm,
∴的長(zhǎng)=cm.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及圓周角定理,解題關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式l=.16、2.1【解析】
先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形,再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)∠A、∠B、∠C為k、2k、3k,則k+2k+3k=180°,解得k=30°,2k=60°,3k=90°,∵AB=10,∴BC=AB=1,∵CD⊥AB,∴∠BCD=∠A=30°,∴BD=BC=2.1.故答案為2.1.【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,掌握30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、求出△ABC是直角三角形是解本題的關(guān)鍵.17、(y﹣1)1(x﹣1)1.【解析】解:令x+y=a,xy=b,則(xy﹣1)1﹣(x+y﹣1xy)(1﹣x﹣y)=(b﹣1)1﹣(a﹣1b)(1﹣a)=b1﹣1b+1+a1﹣1a﹣1ab+4b=(a1﹣1ab+b1)+1b﹣1a+1=(b﹣a)1+1(b﹣a)+1=(b﹣a+1)1;即原式=(xy﹣x﹣y+1)1=[x(y﹣1)﹣(y﹣1)]1=[(y﹣1)(x﹣1)]1=(y﹣1)1(x﹣1)1.故答案為(y﹣1)1(x﹣1)1.點(diǎn)睛:因式分解的方法:(1)提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).(1)公式法:完全平方公式,平方差公式.(3)十字相乘法.因式分解的時(shí)候,要注意整體換元法的靈活應(yīng)用,訓(xùn)練將一個(gè)式子看做一個(gè)整體,利用上述方法因式分解的能力.18、1【解析】分析:將原式化簡(jiǎn)成2(2x+y)+1,然后利用整體代入的思想進(jìn)行求解得出答案.詳解:原式=2(2x+y)+1=2×2+1=1.點(diǎn)睛:本題主要考查的是整體思想求解,屬于基礎(chǔ)題型.找到整體是解題的關(guān)鍵.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19、(1)作圖見解析;(2)作圖見解析.【解析】試題分析:利用正六邊形的特性作圖即可.試題解析:(1)如圖所示(答案不唯一):(2)如圖所示(答案不唯一):20、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)由三角形中位線知識(shí)可得DF∥BG,GH∥BF,根據(jù)菱形的判定的判定可得四邊形FBGH是菱形;
(2)連結(jié)BH,交AC于點(diǎn)O,利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OB=OH,OF=OG,又AF=CG,所以O(shè)A=OC.再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形得證四邊形ABCH是菱形,再根據(jù)一組鄰邊相等的菱形即可求解.【詳解】(1)∵點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn),
∴AF=FG=GC.
又∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),
∴DH∥BG.
同理:EH∥BF.
∴四邊形FBGH是平行四邊形,
連結(jié)BH,交AC于點(diǎn)O,
∴OF=OG,
∴AO=CO,
∵AB=BC,
∴BH⊥FG,
∴四邊形FBGH是菱形;
(2)∵四邊形FBGH是平行四邊形,
∴BO=HO,F(xiàn)O=GO.
又∵AF=FG=GC,
∴AF+FO=GC+GO,即:AO=CO.
∴四邊形ABCH是平行四邊形.
∵AC⊥BH,AB=BC,
∴四邊形ABCH是正方形.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定,菱形的判定和性質(zhì),三角形的中位線,熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21、(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示,見解析,∠BEC=60°;(2)BE=2DE,見解析;(3)∠MAC=90°.【解析】
(1)根據(jù)軸對(duì)稱作出圖形,先判斷出∠ABD=∠ADB=y(tǒng),再利用三角形的內(nèi)角和得出x+y即可得出結(jié)論;(2)同(1)的方法判斷出四邊形ABCD是菱形,進(jìn)而得出∠CBD=30°,進(jìn)而得出∠BCD=90°,即可得出結(jié)論;(3)先作出EF=2BE,進(jìn)而判斷出EF=CE,再判斷出∠CBE=90°,進(jìn)而得出∠BCE=30°,得出∠AEC=60°,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示,根據(jù)軸對(duì)稱得,AD=AC,∠DAE=∠CAE=x,∠DEM=∠CEM.∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∴AB=AD.∴∠ABD=∠ADB=y(tǒng).在△ABD中,2x+2y+60°=180°,∴x+y=60°.∴∠DEM=∠CEM=x+y=60°.∴∠BEC=60°;(2)BE=2DE,證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC,由對(duì)稱知,AD=AC,∠CAD=2∠CAM=60°,∴△ACD是等邊三角形,∴CD=AD,∴AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形,且∠BAD=2∠CAD=120°,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=∠DBC=30°,由(1)知,∠BEC=60°,∴∠ECB=90°.∴BE=2CE.∵CE=DE,∴BE=2DE.(3)如圖3,(本身點(diǎn)C,A,D在同一條直線上,為了說(shuō)明∠CBD=90°,畫圖時(shí),沒(méi)畫在一條直線上)延長(zhǎng)EB至F使BE=BF,∴EF=2BE,由軸對(duì)稱得,DE=CE,∵DE=2BE,∴CE=2BE,∴EF=CE,連接CF,同(1)的方法得,∠BEC=60°,∴△CEF是等邊三角形,∵BE=BF,∴∠CBE=90°,∴∠BCE=30°,∴∠ACE=30°,∵∠AED=∠AEC,∠BEC=60°,∴∠AEC=60°,∴∠MAC=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=90°.【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題,主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,作出圖形是解本題的關(guān)鍵.22、(1);(2)30°【解析】
(1)由于DE垂直平分AC,那么AE=EC,∠DEC=90°,而∠ABC=∠DEC=90°,∠C=∠C,易證,△ABC∽△DEC,∠A=∠CDE,于是sin∠CDE=sinA=,AB:AC=DE:DC,而DC=4,易求EC,利用勾股定理可求DE,易知AC=6,利用相似三角形中的比例線段可求AB;
(2)連接OE,由于∠DEC=90°,那么∠EDC+∠C=90°,又BE是切線,那么∠BEO=90°,于是∠EOB+∠EBC=90°,而BE是直角三角形斜邊上的中線,那么BE=CE,于是∠EBC=∠C,從而有∠EOB=∠EDC,又OE=OD,易證△DEO是等邊三角形,那么∠EDC=60°,從而可求∠C.【詳解】解:(1)∵AC的垂直平分線交BC于D點(diǎn),交AC于E點(diǎn),∴∠DEC=90°,AE=EC,∵∠ABC=90°,∠C=∠C,∴∠A=∠CDE,△ABC∽△DEC,∴sin∠CDE=,AB:AC=DE:DC,∵DC=4,∴ED=3,∴DE=,∴AC=6,∴AB:6=:4,∴AB=;(2)連接OE,∵∠DEC=90°,∴∠EDC+∠C=90°,∵BE是⊙O的切線,∴∠BEO=90°,∴∠EOB+∠EBC=90°,∵E是AC的中點(diǎn),∠ABC=90°,∴BE=EC,∴∠EBC=∠C,∴∠EOB=∠EDC,又∵OE=OD,∴△DOE是等邊三角形,∴∠EDC=60°,∴∠C=30°.【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接OE,構(gòu)造直角三角形.23、(1)結(jié)論:BE=DG,BE⊥DG.理由見解析;(1)AG=1;(3)滿足條件的AG的長(zhǎng)為1或1.【解析】
(1)結(jié)論:BE=DG,BE⊥DG.只要證明△BAE≌△DAG(SAS),即可解決問(wèn)題;(1)如圖②中,連接EG,作GH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于H.由A,D,E,G四點(diǎn)共圓,推出∠ADO=∠AEG=45°,解直角三角形即可解決問(wèn)題;(3)分兩種情形分別畫出圖形即可解決問(wèn)題;【詳解】(1)結(jié)論:BE=DG,BE⊥DG.理由:如圖①中,設(shè)BE交DG于點(diǎn)K,AE交DG于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD,四邊形AEFG都是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAE=∠DAG,∴△BAE≌△DAG(SAS),∴BE=DG,∴∠AEB=∠AGD,∵∠AOG=∠EOK,∴∠OAG=∠OKE=90°,∴BE⊥DG.(1)如圖②中,連接EG,作GH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于H.∵∠OAG=∠ODE=90°,∴A,D,E,G四點(diǎn)共圓,∴∠ADO=∠AEG=45°,∵∠DAM=90°,∴∠ADM=∠AMD=45°,∴∵DG=1DM,∴∵∠H=90°,∴∠HDG=∠HGD=45°,∴GH=DH=4,∴AH=1,在Rt△AHG中,(3)①如圖③中,當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí).作GH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于H.易證△AHG≌△EDA,可得GH=AB=1,∵DG=4DM.AM∥GH,∴∴DH=8,∴AH=DH﹣AD=6,在Rt△AHG中,②如圖3﹣1中,當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上時(shí),易證:△AKE≌△GHA,可得AH=EK=BC=1.∵AD∥GH,∴∵AD=1,∴HG=10,在Rt△AGH中,綜上所述,滿足條件的AG的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),平行線分線段成比例定理,等腰直角三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.24、(1)﹣1;(2)x=﹣1是原方程的根.【解析】
(1)直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)值進(jìn)而得出答案;(2)直接去分母再解方程得出答案.【詳解】(1)原式=﹣2﹣1+2×=﹣﹣1+=﹣1;(2)去分母得:3x=x﹣3+1,解得:x=﹣1,檢驗(yàn):當(dāng)x=﹣1時(shí),x﹣3≠0,故x=﹣1是原方程的根.【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算和解分式方程,正確掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵.25、(1)CD=BE,理由見解析;(1)證明見解析.【解析】
(1)由兩個(gè)三角形為等腰三角形可得AB=AC,AE=AD,由∠BAC=∠EAD可得∠EAB=∠CAD,根據(jù)“SAS”可證得△EAB≌△CAD,即可得出結(jié)論;(1)根據(jù)(1)中結(jié)論和等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠EBF=90°,在Rt△EBF中由勾股定理得出BF1+BE1=EF1,然后證得EF=FD,BE=CD,等量代換即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)CD=BE,理由如下:∵△ABC和△ADE為等腰三角形,∴AB=AC,AD=AE,∵∠EAD=∠BAC,∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,即∠EAB=∠CA
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