2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點分類）切線的判定與性質(zhì)

切線的判定與性質(zhì)43．（2023?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，點F是AB延長線上一點，連接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．（1）求證：CF是⊙O切線；（2）若AF＝10，sinF=23，求【答案】（1）證明見解析；（2）85【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得出CB=DB，進而得出∠COB＝∠DOB，再根據(jù)圓周角定理得出∠DOB＝2∠DAF，結(jié)合已知∠FCD＝2∠DAF得出∠FCD＝∠COB，根據(jù)CD⊥AB得出∠COB＋∠OCE＝90°，于是有∠FCD＋∠（2）在Rt△OCF中，根據(jù)∠F的正弦值設(shè)出OC＝2x，OF＝3x，再根據(jù)OF的長即可求出x的值，然后證得∠OCE＝∠F，即可求出OE的長，根據(jù)勾股定理求出CE的長，最后根據(jù)垂徑定理即可求出CD的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，OD，∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴CB=∴∠COB＝∠DOB，∵∠DOB＝2∠DAF，∴∠COB＝2∠DAF，∵∠FCD＝2∠DAF，∴∠FCD＝∠COB，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，∴∠COB＋∠OCE＝90°，∴∠FCD＋∠OCE＝90°，即∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，又OC為⊙O的半徑，∴CF是⊙O切線；（2）解：如圖，連接OC，由（1）知OC⊥CF，∴sinF=OC設(shè)OC＝2x，則OF＝3x，∴OA＝OC＝2x，∵AF＝10，∴OA＋OF＝10，即2x＋3x＝10，解得，x＝2，∴OC＝4，∵OC⊥CF，∴∠OCE＋∠FCE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠F＋∠FCE＝90°，∴∠F＝∠OCE，∴sinF＝sin∠OCE，在Rt△CEO中，sin∠OCE=OE即OE4∴OE=8由勾股定理得，CE=O∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴CD=2CE=8【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟知經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線的判定與性質(zhì)16．（2023?東營）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠C＝30°，CD＝23，求BD的長．【答案】（1）證明見解答；（2）BD的長是23．【分析】（1）連接OD，則OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，則∠ODB＝∠C，所以O(shè)D∥AC，則∠ODE＝∠CED＝90°，即可證明DE是⊙O的切線；（2）連接AD，由AB是⊙O的直徑，得∠ADB＝90°，則AD⊥BC，因為AB＝AC，CD＝23，所以BD＝CD＝23．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于點E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，CD＝23，∴BD＝CD＝23，∴BD的長是23．【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理等知識，證明OD∥AC是解題的關(guān)鍵．17．（2023?遼寧）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，點F在線段AB的延長線上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求【答案】（1）詳見解答；（2）245【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得OE⊥EF即可；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)可求出半徑，進而得到AB的長，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出AC，由勾股定理求出BC即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE，∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB＋∠ABC＝∠FOE＋∠AFE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°＝∠FOE＋∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△EOF中，設(shè)半徑為r，即OE＝OB＝r，則OF＝r＋1，∵sin∠AFE=4∴r＝4，∴AB＝2r＝8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=∴AC=45×∴BC=A【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，掌握切線的判定方法，銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的前提．切線的判定與性質(zhì)34．（2023?眉山）如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，AE平分∠BAC，過點E作ED⊥AC于點D，延長DE交AB的延長線于點P．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）若sin∠P=13，BP＝4，求【考點】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；角平分線的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】（1）連接OE，證明OE∥AD，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)先求出半徑和AD的長，然后證明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，進而根據(jù)線段的和差即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，∵OE是⊙O的半徑，∴PE是⊙O的切線；（2）解：∵sin∠P=13=OEOP，BP∴OEOE+4∴OE＝2，∴AB＝2OE＝4，∴AP＝AB+BP＝8，在Rt△APD中，sin∠P=AD∴AD=13AP∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°＝∠AEC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC＝4，∴CD＝AC﹣AD＝4?8∴CD的長為43【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題．35．（2023?涼山州）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點F，點P是CD延長線上一點，DE⊥AP，垂足為點E，∠EAD＝∠FAD．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半徑和DE的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】（1）連接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF＝90°，故∠FAD+∠OAD＝90°，根據(jù)∠EAD＝∠FAD，得∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，OA⊥AE，從而可得AE是⊙O的切線；（2）連接AC，AO，證明△ADP∽△CAP，可得4CP=24，CP＝8，故CD＝CP﹣PD＝6，⊙O的半徑為3；再證△OAP∽△DEP，得DE【解答】（1）證明：連接OA，如圖：∵AB⊥CD，∴∠AFD＝90°，∴∠FAD+∠ADF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADF，∴∠FAD+∠OAD＝90°，∵∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O半徑，∴AE是⊙O的切線；（2）解：連接AC，AO，如圖：∵CD為⊙O直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠C+∠ADC＝90°，∵∠FAD+∠ADC＝90°，∴∠C＝∠FAD，∵∠EAD＝∠FAD，∴∠C＝∠EAD，∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△CAP，∴APCP∵PA＝4，PD＝2，∴4CP解得CP＝8，∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，∴⊙O的半徑為3；∴OA＝3＝OD，∴OP＝OD+PD＝5，∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，∴△OAP∽△DEP，∴DEOA=PD∴DE=6∴⊙O的半徑為3，DE的長為65【點評】本題考查圓的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及切線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓的相關(guān)性質(zhì)．36．（2023?武威）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上的一點，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足為E，AB與CD相交于點F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）當(dāng)⊙O的半徑為5，sinB=35時，求【考點】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；角平分線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【分析】（1）根據(jù)“過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線”進行證明；（2）根據(jù)三角函數(shù)的意義及勾股定理求解．【解答】（1）證明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO＝∠D，∴∠D＝∠OCD，∴OC∥DE，∴∠OCE＝∠E＝90°，∵OC是圓的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵sinB=AC∴AC＝6，∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，∴sin∠ACE＝sinB=AE解得：AE＝3.6，∴CE=A【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的意義及勾股定理是解題的關(guān)鍵．切線的判定與性質(zhì)38．（2023?廣西）如圖，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點A，延長AO交PD于點C，過點O作OB⊥PD，垂足為B．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，OC＝5，求PA的長．【答案】（1）證明見解答；（2）PA的長是12．【分析】（1）由切線的性質(zhì)得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以O(shè)B＝OA，則點B在⊙O上，即可證明PB是⊙O的切線；（2）由OA＝OB＝4，OC＝5，得AC＝OA+OC＝9，BC=OC2?OB2=3，由PAAC=OB【解答】（1）證明：∵PA與⊙O相切于點A，且OA是⊙O的半徑，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于點B，OA⊥PA于點A，∴OB＝OA，∴點B在⊙O上，∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切線．（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，∴BC=O∵∠A＝90°，∴PAAC=OBBC∴PA=43AC∴PA的長是12．【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明OB＝OA是解題的關(guān)鍵．39．（2023?聊城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，∠ADC的平分線DE交AC于點E．以AD上的點O為圓心，OD為半徑作⊙O，恰好過點E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若CD＝12，tan∠ABC=34，求⊙【答案】（1）見解析；（2）15﹣35．【分析】（1）連接OE，由題意得到OD＝OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OED＝∠ODE，求得∠OED＝∠CDE，根據(jù)平行線的判定定理得到OE∥CD，根據(jù)∠ACB＝90°，得到OE⊥AC，于是得到結(jié)論；（2）過D作DF⊥AB，根據(jù)角平分線的小知道的CD＝DF，根據(jù)勾股定理得到BD=DF2+BF2=【解答】（1）證明：連接OE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC；（2）解：過D作DF⊥AB，∵AD平分∠A＝BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DF，∵CD＝12，tan∠ABC=3∴BF=DF∴BD=D∴BC＝CD+BD＝32，∴AC＝BC?tan∠ABC＝24，∴AD=AC2∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，∴EOCD∴EO12解得EO＝15﹣35，∴⊙O的半徑為15﹣35．【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．40．（2023?郴州）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點．在AB的延長線上取一點D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD＝23，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．【答案】（1）見解答．（2）23?【分析】（1）連接OC，由AB是直徑，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再證∠OCA＝∠A＝∠BCD，從而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可證明．（2）由圓周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面積公式和扇形的面積公式即可解答．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=tan60°，CD∴23OC=∴陰影部分的面積＝S△ACD﹣S扇形BOC=12×2【點評】本題主要考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式及解直角三角形，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．切線的判定與性質(zhì)35．（2023?隨州）如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是BE的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若AE＝2，sin∠AFD=1①求⊙O的半徑；②求線段DE的長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）①⊙O的半徑為3；②線段DE的長為2．【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂直定義可得∠D＝90°，根據(jù)已知易得CE=CB，從而利用等弧所對的圓周角相等可得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB＝∠OCA，從而可得∠DAC＝∠OCA，進而可得AD∥OC，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠OCF＝∠（2）①過點O作OG⊥AE，垂足為G，根據(jù)垂徑定理可得AG＝EG＝1，再根據(jù)垂直定義可得∠AGO＝∠DGO＝90°，從而可得∠D＝∠AGO＝90°，進而可得OG∥DF，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠AFD＝∠AOG，從而可得sin∠AOG＝sin∠AFD=13，最后在Rt△②根據(jù)平角定義可得∠OCD＝90°，從而可得四邊形OGDC是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得OC＝DG＝3，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【解答】（1）證明：連接OC，∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，∵點C是BE的中點，∴CE=∴∠DAC＝∠CAB，∴OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：①過點O作OG⊥AE，垂足為G，∴AG＝EG=12∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，∵∠D＝∠AGO＝90°，∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG，∵sin∠AFD=1∴sin∠AOG＝sin∠AFD=1在Rt△AGO中，AO=AG∴⊙O的半徑為3；②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四邊形OGDC是矩形，∴OC＝DG＝3，∵GE＝1，∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，∴線段DE的長為2．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．切線的判定與性質(zhì)44．（2023?十堰）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓分別交AC，BC，AB于點D，E，F(xiàn)，且點E是弧DF的中點．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若CE=2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π【答案】（1）見解答．（2）2?π【分析】（1）連接OE、OD，證出OE⊥BC，即可得出結(jié)論，（2）根據(jù)S陰影＝S△OEB﹣S扇形OEF，分別求出△OEB和扇形OEF的面積即可．【解答】（1）證明：連接OE、OD，如圖：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°，∵點E是弧DF的中點．∴∠DOE＝∠EDF=12∠∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°∴OE⊥BC，∵OE是半徑，∴BC是⊙O的切線，（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，∴△OEB是等腰三角形，設(shè)BE＝OE＝x，則OB=2x∴AB＝x+2x∵AB=2BC∴x+2x=2（2解得x＝2，∴S陰影＝S△OEB﹣S扇形OEF=12×2×2?【點評】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理，扇形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題關(guān)鍵．切線的判定與性質(zhì)19．（2023?樂山）如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB＝90°，D是圓上一點，E是DC延長線上一點，連結(jié)AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．?（1）求證：直線AE是⊙O是的切線；（2）若sinE=23，⊙O的半徑為3，求【答案】（1）證明見解答；（2）AD的長是85【分析】（1）先由∠ACB＝90°，證明AB是⊙O的直徑，再證明∠CAE＝∠B，則∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可證明直線AE是⊙O是的切線；（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得CAAB=sinB＝sinE=CFCE=23，則CE＝CA=23AB=23×6＝4，CF=23CE=2【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直徑，∵AD＝AE，∴∠E＝∠D，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠B，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE，∴∠CAE＝∠B，∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AE⊥OA，∴直線AE是⊙O是的切線．（2）解：作CF⊥AE于點F，則∠CFE＝90°，∵∠E＝∠CAE＝∠B，∴CAAB=sinB＝sinE∵OA＝OB＝3，∴AB＝6，∴CE＝CA=23AB∴CF=23CE=2∴AF＝BF=C∴AD＝AE＝2AF＝2×4∴AD的長是85【點評】此題重點考查切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．切線的判定與性質(zhì)15．（2023?張家界）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AD＝10，cosB=35，求【答案】（1）見解答；（2）907【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由cosB=35，根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得CD：AC：【解答】（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB=3∴cos∠ADC=3在Rt△ACD中，∵cos∠ADC=35=∴CD＝AD?cos∠ADC＝10×3∴AC=A∴CDAC∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC設(shè)FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD?FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=30∴FD＝3x=90【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．切線的判定與性質(zhì)21．（2023?湖北）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD是邊AC上的中線，過點C作AB的平行線交BD的延長線于點E，BE交⊙O于點F，連接AE，F(xiàn)C．（1）求證：AE為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝6，求FC的長．【答案】（1）證明過程見解析；（2）52．【分析】（1）證明△ABD≌△CED（AAS），得出AB＝CE，則四邊形ABCE是平行四邊形，AE∥BC，作AH⊥BC于H．得出AH為BC的垂直平分線，則OA⊥AE，又點A在⊙O上，即可得證；（2）過點D作DM⊥BC于M，連接OB，垂徑定理得出BH＝HC=12BC＝3，勾股定理得OH＝4，進而可得AH，勾股定理求得AB，證明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，證明△FCD∽△【解答】（1）證明，∵AB∥CE，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，又∵AD＝CD，∴△ABD≌△CED（AAS），∴AB＝CE．∴四邊形ABCE是平行四邊形．∴AE∥BC．作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，∴AH為BC的垂直平分線．∴點O在AH上．∴AH⊥AE．即OA⊥AE，又點A在⊙O上，∴AE為⊙O的切線；（2）解：過點D作DM⊥BC于M，連接OB，∵AH為BC的垂直平分線，∴BH＝HC=12∴OH=O∴AH＝OA+OH＝5+4＝9，∴AB＝AC=A∴CD=12AC∵AH⊥BC，DM⊥BC，∴DM∥AH∴△CMD∽△CHA，又AD＝CD，∴DMAH∴MH=12HC=32，DM∴BM＝BH+MH＝3+3∴BD=B∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB，∴△FCD∽△ABD，∴FCAB∴FC3∴FC＝52．【點評】本題考查了切線的判定，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．切線的判定與性質(zhì)38．（2023?齊齊哈爾）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點E是斜邊AC上一點，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過點D，交AB于點F，連接DF．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BD＝5，tan∠ADB=3，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π?【答案】（1）證明見解析；（2）50π9【分析】（1）連接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分線定義得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半徑OD⊥BC，即可證明問題；（2）連接OF，DE，由tan∠ADB=3，得到∠ADB＝60°，由直角三角形的性質(zhì)求出AD長，由銳角的余弦求出AE長，得到圓的半徑長，由OD∥AB，推出陰影的面積＝扇形OAF【解答】（1）證明：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AB，∴∠ODC＝∠B＝90°，∴半徑OD⊥BC于點D，∴BC是⊙O的切線；（2）解：連接OF，DE，∵∠B＝90°，tan∠ADB=3∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝10，∵cos∠DAE=AD∴AE=20∴OA=12AE∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴∠AOF＝60°，∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF，∴S陰影＝S扇形OAF=60π×(【點評】本題考查切線的判定，扇形面積的計算，解直角三角形，圓周角定理，角平分線定義，關(guān)鍵是證明OD∥AB；推出S陰影＝S扇形OAF．39．（2023?張家界）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AD＝10，cosB=35，求【答案】（1）見解答；（2）907【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由cosB=35，根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得CD：AC：【解答】（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB=3∴cos∠ADC=3在Rt△ACD中，∵cos∠ADC=35=∴CD＝AD?cos∠ADC＝10×3∴AC=A∴CDAC∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC設(shè)FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD?FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=30∴FD＝3x=90【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．切線的判定與性質(zhì)40．（2023?常德）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，C是BD的中點，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE．DE的長．【答案】（1）詳見解答；（2）DE=185，EC【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及圓心角、弦、弧之間的關(guān)系可得∠CAE＝∠OCA，進而得到OC∥AE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出OC⊥EC即可；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，勾股定理以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系進行計算即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵點C是BD的中點，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC是半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵BC＝6，AC＝8，∴AB=B又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△AEC∽△ACB，∴ECCB即EC6∴EC=24∵點C是BD的中點，即BC=∴CD＝BC＝6，∴DE=6答：DE=185，EC【點評】本題考查切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理以及圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，掌握切線的判定方法，圓周角定理，勾股定理以及圓心角、弦、弧之間的關(guān)系是正確解答的前提．切線的判定與性質(zhì)32．（2023?煙臺）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，⊙O經(jīng)過A，D兩點，交對角線AC于點F，連接OF交AD于點G，且AG＝GD．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑與菱形的邊長之比為5：8，求tan∠ADB的值．【考點】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；菱形的性質(zhì)；圓周角定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）連接OA，則∠OAF＝∠OFA，由垂徑定理得OF⊥AD，則∠AGF＝90°，由菱形的性質(zhì)得AB＝AD，AC⊥BD，則∠BAE＝∠DAE，所以∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，即可證明AB是⊙O的切線；（2）由OAAD=58，AD＝2AG，得OAAG=54，設(shè)AG＝4m，則OF＝OA＝5m，由勾股定理得OG=OA2?AG2=3【解答】（1）證明：連接OA，則OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∵AG＝GD，∴OF⊥AD，∴∠AGF＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，∴OA是⊙O半徑，且AB⊥OA，∴AB是⊙O的切線．（2）解：∵OAAD=58，∴OA2AG∴OAAG設(shè)AG＝4m，則OA＝5m，∴OF＝OA＝5m，∵∠AGO＝90°，∴OG=OA2∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m，∵∠AED＝∠AGF＝90°，∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE，∴tan∠ADB＝tan∠AFG=AG∴tan∠ADB的值是2．【點評】此題重點考查菱形的性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”、直角三角形的兩個銳角互余、切線的判定定理、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．33．（2023?達州）如圖，△ABC、△ABD內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，P是OB延長線上的一點，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于點E．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的長．?【考點】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）連接OA，利用等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，垂直的定義，等量代換和圓的切線的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OA，如圖，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠PAB＝∠ACB，∴∠BAC＝∠PAB．∵AB＝BC，∴AB=∴OB⊥AC，∴∠BAC+∠ABO＝90°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠BAO+∠∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠PAB＝90°，∴∠PAO＝90°，即OA⊥AP，∵OA為⊙O的半徑，∴AP是⊙O的切線；（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB為等邊三角形，∴AO＝AB．由（1）知：∠BAC＝∠BCA，∵∠BCA＝∠D，∴∠BAC＝∠D．∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴ABBE∴AB2∴AB2＝12，∴AB＝23，∴OA＝23．在Rt△OAP中，∵tanP=OA∴AP=2【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，特殊角的三角函數(shù)值，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．34．（2023?巴中）如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過D作DF⊥AC于點E，交BA延長線于點F．（1）求證：DF是⊙O的切線．（2）若CE=3，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用π【考點】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算；等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定