湖南省衡陽市南京中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

湖南省衡陽市南京中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的最小正周期是3π，則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時，.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.2.定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（

）A.(－∞,0) B.(－∞,2)C.(0,+∞) D.(2,+∞)參考答案：C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，并將所求不等式化為，利用單調(diào)性可解出該不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，則，，可得，即，，因此，不等式的解集為.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，通過導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3.歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，（

）A.1 B.－1 C.i D.－i參考答案：B【分析】由題意將復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復(fù)數(shù)的運算化簡即可得答案．【詳解】由得故選B．【點睛】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)值的求法與復(fù)數(shù)的化簡求值，是基礎(chǔ)題．4.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a6+8a3=0,則.=（

）A.11

B.5

C-8

D-11參考答案：D略5.空間四邊形ABCD的對角線AC=10，BD=6，M、N分別為AB、CD的中點，MN=7，則異面直線AC和BD所成的角等于（）A．30° B．60° C．90° D．120°參考答案：B【考點】異面直線及其所成的角．【分析】由題意畫出圖形，得到異面直線AC和BD所成的角（或補角），由余弦定理求解得答案．【解答】解：如圖，取AD中點G，連接MG，NG，∵AC=10，BD=6，M、N分別為AB、CD的中點，∴NG=5，MG=3，又MN=7，cos∠MGN=，∴cos∠MGN=120°，則異面直線AC和BD所成的角等于60°．故選：B．6.設(shè)、是曲線上的點，，則必有

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.已知平面α∥平面β，它們之間的距離為，直線，則在β內(nèi)與直線相距為的直線有

(

)A．1條

B．2條

C．無數(shù)條

D．不存在參考答案：B略8.直線的傾斜角為

（

）A.

B. C.

D.參考答案：D9.已知數(shù)列中，，則數(shù)列通項公式為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.從一個不透明的口袋中摸出紅球的概率為1/5，已知袋中紅球有3個，則袋中共有除顏色外完全相同的球的個數(shù)為(

)．A．5個

B．8個

C．10個

D．15個參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)導(dǎo)數(shù)是

。參考答案：12.曲線是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論：①、曲線過坐標(biāo)原點；②、曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；③、若點在曲線上，則的面積不大于.其中，所有正確結(jié)論的序號是____

_____參考答案：②__③13.比較大?。?/p>

參考答案：14.設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=-f(1-x)，若f(3)=2，則f(2013)=____.設(shè)函數(shù)的定義域為，令，參考答案：15.如圖，棱長為1的正方體OABC﹣D′A′B′C′中，G為側(cè)面正方形BCC′B′的中心，以頂點O為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點G的坐標(biāo)為

．參考答案：

【考點】空間中的點的坐標(biāo)．【分析】G是BC′的中點，由B（1，1，0），C′（0，1，1），利用中點坐標(biāo)公式能求出點G的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，棱長為1的正方體OABC﹣D′A′B′C′中，G為側(cè)面正方形BCC′B′的中心，以頂點O為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則G是BC′的中點，∵B（1，1，0），C′（0，1，1），∴點G的坐標(biāo)為：．故答案為：．16.若如下框圖所給的程序運行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是-------.參考答案：17.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點，為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則的軌跡方程為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線ax﹣y+5=0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切，且半徑為5，所以，由此能求了圓的方程．（Ⅱ）把直線ax﹣y+5=0代入圓的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直線ax﹣y+5=0交圓于A，B兩點，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．（Ⅲ）設(shè)符合條件的實數(shù)a存在，則直線l的斜率為，l的方程為，由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，由此推導(dǎo)出存在實數(shù)使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB．【解答】（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切，且半徑為5，所以，即|4m﹣29|=25．因為m為整數(shù)，故m=1．故所求圓的方程為（x﹣1）2+y2=25．…（Ⅱ）把直線ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圓的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直線ax﹣y+5=0交圓于A，B兩點，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以實數(shù)a的取值范圍是（）．（Ⅲ）設(shè)符合條件的實數(shù)a存在，則直線l的斜率為，l的方程為，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在實數(shù)使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB．…19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=，E是A1C1的中點，F(xiàn)是AB中點．（1）求證：EF∥面BB1C1C；（2）求直線EF與直線CC1所成角的正切值；參考答案：略20.如圖，在圓上任取一點P，過點P作軸的垂線段PD，D為垂足.點M在線段DP上，且.（Ⅰ）當(dāng)點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程；（Ⅱ）記（Ⅰ）所得的曲線為C，已知過點的直線與曲線C相交于兩點A、B兩點，設(shè)Q為曲線C上一點，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點），求整數(shù)的最大值．參考答案：22.（Ⅰ）解：設(shè)點M的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為，則由，即，得：，因為點P在圓上運動，所以.①把代入方程①，得，即這就是點M的軌跡方程.……5分（Ⅱ）曲線的方程為．由題意知直線的斜率存在.設(shè)直線的方程：，………6分，，，由得.………8分，.

……9分∵，∴，，

.

…………10分∵點在橢圓上，∴，∴

…………11分，

……………13分∴的最大整數(shù)值為1.

……14分

略21.（10分）設(shè)f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值為－12.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．參考答案：(1)；(2)、試題分析：(1)根據(jù)為奇函數(shù)可得。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，的最小值可求，從而可得的解析式。(2)先求導(dǎo)，在令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零得減區(qū)間，從而求得在上的極值。再求兩端點處函數(shù)值，比較極值與端點處函數(shù)值最小的為最小值，最大的為最大值。22.已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．參考答案：【考點】8E：數(shù)列