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平方和數(shù)列求和S=12+22+32+42++n2=?＜法一＞利用立方差公式:n3-(n-1)3二1?[n2+(n-1)2+n(n-1)]=2n2+(n-1)2-n貝9n=2時，23-13=22+12-2n=3時，33-23=2?32+22-3n=4時，43-33=242+32-4n3-(n-1)3=2?n2+(n-1)2-n將上式累加，n3-l3=2?(22+32+...+n2)+[l2+22+...+(n-1)2]-(2+3+4+...+n)=3?(l2+22+32+...+n2)-2-n2-(1+2+3+...+n)+13S二n3+n2+_Ln(n+1)2二丄n(2n+1)(n+1)2?'?S」n(2n+1)(n+1)＜法二＞由n2=n(n+1)-n，S=(1x2-1)+(2x3-2)++[n(n+1)-n]=[1x2+2x3+...+n(n+1)]-(1+2+...+n)設(shè)S'=1x2+2x3+...+n(n+1)，貝卩S二S'-丄n(n+1)2Vn(n+1)二丄[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3?S'二丄[1x2x3-0+2x3x4-1x2x3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3二丄n(n+1)(n+2)3?'?S二丄n(n+1)(n+2卜丄n(n+1)32二n(n+1)(丄n+丄)36=Ln(2n+1)(n+1)6＜法三＞圖像法QQQQnQnQnQnQnQnQnQnQns二圓圈內(nèi)所有數(shù)字和將這個正三角形順時針旋轉(zhuǎn)60度，得到第二個三角形再將第二個正三角形順時針旋轉(zhuǎn)60度，得到第三個三角形然后，將這三個三角形對應的圓圈內(nèi)的數(shù)字相加，所有圈內(nèi)的數(shù)字都變成了2n+1?S=(2n+1)(1+2+3+...+n)=n(2n+1)(n+1)6＜法四＞待定系數(shù)法求和之后的表達式會升一次冪，所以求和的函數(shù)最高是三次項。設(shè)f(n)=an3+bn2+cn+d(n是正整數(shù))n=1,f(1)=1n=2.f(2)=12+22=5n=3.f(3)=12+22+32=14(3)n=4.f=12+22+32+42=30(4):(a+b+c+d=18a+4b+2c+d=527a+9b+3c+d=14-64a+16a+4c+d=30Ld=0?*.f=二n3+二n2+二n(n)延伸：13+23+33+43+??…+n3二二n

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