空間向量基本定理 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）+選擇性必修第一冊

1.2空間向量基本定理知識回顧重溫基礎(chǔ)問題1：平面向量基本定理內(nèi)容是什么？提示：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a=λ1e1+

λ2e2，{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.任一向量都可以由同一個基底唯一表示.問題2：已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個向量a=(1,3),b=(m,2m－3),使得平面內(nèi)的任意一個向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,則m的取值范圍是___________.

解析:要使c=λa+μb成立,則只需a與b不共線,即只需滿足即3m≠2m－3,故m≠－3.m≠－3創(chuàng)設(shè)情境問題引入1.平面向量基本定理表明，平面內(nèi)任一向量可以用該平面的兩個不共線向量來線性表示，那么，空間任一向量能用三個不共線的向量來線性表示嗎？平面向量p=λ1a+

λ2b空間向量

p=?2.我們所在的教室是一個立體圖形,即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為坐標(biāo)原點,沿著三條墻縫作射線可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,那么這三個空間向量能否表示空間任意其它向量呢?創(chuàng)設(shè)情境問題引入xyzkijQPO定理推導(dǎo)形成新知如果i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，對空間任一個向量p，存在一個有序?qū)崝?shù)組使得p=xi+yj+zk.我們稱xi,yj,zk為向量p在i,j,k上的分向量.

探究：在空間中，任意三個不共面的向量a，b，c代替兩兩垂直的向量i,j,k，你能得出類似的結(jié)論嗎?．OAP’A’CBB’P證明:（1）先證存在性過點P作直線PP’∥OC，交平面OAB于點P’；在平面OAB內(nèi)，過點P’作直線P’A’∥OB，P’B’∥OA，分別交直線OA，OB于點A’，B’.存在實數(shù)則(x,y,z),使C’設(shè)a，b，c是三個不共面的向量，過空間一點O作(2)再證唯一性用反證法假設(shè)存在實數(shù)組,使所以即因為從而a，b，c共面,這與a，b，c不共面矛盾,所以有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)唯一.所以1.如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空間中不共面的三個向量a,b,c組成的集合{a,b,c},常稱為空間向量的一組基底.a,b,c都叫做基向量2.空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．3.如果空間一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做正交基底，常用{i,j,k}表示.對空間任一個向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．空間向量基本定理【小試身手】答案：c答案：共線答案：共面溫馨提示1.空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.2.一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.3.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.舉例應(yīng)用鞏固新知例1(1)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個C

點撥：判斷基底的基本思路及方法(1)基本思路:判斷三個空間向量是否共面,若共面,則不能構(gòu)成基底;若不共面,則能構(gòu)成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,則不能作為基底;如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示,則不能構(gòu)成基底.②假設(shè)a=λb+μc,運用空間向量基本定理,建立λ,μ的方程組,若有解,則共面,不能作為基底;若無解,則不共面,能作為基底.點撥：用基底表示空間向量的解題策略1.空間中,任一向量都可以用一個基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時,一般要結(jié)合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.

點撥：應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證