1.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（九大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第1章二次函數(shù)1.4二次函數(shù)的應(yīng)用（九大題型）分層練習(xí)題型目錄考查題型一圖形問題考查題型二圖形運(yùn)動問題考查題型三拱橋問題考查題型四銷售問題考查題型五投球問題考查題型六噴水問題考查題型七增長率問題考查題型八其他問題考查題型九二次函數(shù)的綜合考查題型一圖形問題1．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D，曉波家的院墻一邊靠墻處，用米長的鐵柵欄圍成了三個相連的養(yǎng)殖小院子，總面積為平方米，為方便喂養(yǎng)這些不同類的動物，在各個養(yǎng)殖院子之間留出了米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個米寬的缺口作小門．若設(shè)米，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖所示（見詳解），設(shè)米，則可求出的長，根據(jù)矩形的面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)米，則，又小院子的總面積為，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，理解圖形面積的計算方法，掌握數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，要圍一個矩形菜園，共中一邊是墻，且的長不能超過，其余的三邊用籬笆，且這三邊的和為．有下列結(jié)論：①的長可以為；②的長有兩個不同的值滿足菜園面積為；③菜園面積的最大值為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)的長為，矩形的面積為，則的長為，根據(jù)矩形的面積公式列二次函數(shù)解析式，再分別根據(jù)的長不能超過，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程求解即可．【詳解】設(shè)的長為，矩形的面積為，則的長為，由題意得，其中，即，①的長不可以為，原說法錯誤；③菜園面積的最大值為，原說法正確；②當(dāng)時，解得或，∴的長有兩個不同的值滿足菜園面積為，說法正確；綜上，正確結(jié)論的個數(shù)是2個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，準(zhǔn)確理解題意，列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為厘米和厘米，現(xiàn)在長寬上分別剪去寬為厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．

【答案】【分析】陰影部分的長方形的的長為，寬為，然后根據(jù)長方形的面積公式即可求解．【詳解】陰影部分的長方形的的長為，寬為，所以面積．【點(diǎn)睛】本題考查了利用長方形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，其中根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖是某小區(qū)大門上方拱形示意圖，其形狀為拋物線，測得拱形水平橫梁寬度為8m，拱高為2m，在五一節(jié)到來之際，擬在該拱形上懸掛燈籠（高度為1m），要求相鄰兩盞燈籠的水平間距均為1m，掛滿后不擦橫梁且成軸對稱分布，則最多可以懸掛個燈籠．【答案】6【分析】以拋物線狀拱形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，即設(shè)拋物線的解析式為：，結(jié)合圖象求出拋物線解析式為：，當(dāng)時，可得，如圖，，問題隨之得解．【詳解】如圖，以拋物線狀拱形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，即設(shè)拋物線的解析式為：，根據(jù)題意可知：，將代入中，有，解得：，則拋物線解析式為：，當(dāng)時，，解得：，如圖，，∵相鄰兩盞燈籠的水平間距均為1m，且按軸對稱的方式擺放，∴共計最多可以掛6盞燈籠，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造合適的直角坐標(biāo)系，求出二次函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，用總長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖雞棚，墻長為．(1)如果這個矩形雞棚與墻平行的一邊長為，求雞棚與墻垂直的一邊的長（用含a的式子表示）(2)設(shè)雞棚與墻垂直的一邊的長為xm，求這個矩形雞棚面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍(3)試探索，這個矩形雞棚的面積S能否等于，若可以，求出此時的長，若不行，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)這個矩形雞棚的面積S不能等于【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）由題意可知，然后根據(jù)矩形面積可進(jìn)行求解；（3）由（2）及根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：由題意得：，∵，∴；（3）解：由（2）可知：，化簡得，∵，∴該方程無實(shí)數(shù)解，即這個矩形雞棚的面積S不能等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．考查題型二圖形運(yùn)動問題1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度沿射線向左勻速運(yùn)動，過點(diǎn)作，垂足為，連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的距離為，的面積為，則能反映與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)H作于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得是等邊三角形，從而得到，，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的面積公式可得與之間的函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)H作于點(diǎn)D，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，即，∴，∴，∴，∴，∴，∴與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為拋物線的一部分，且開口向上．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，根據(jù)題意準(zhǔn)確得到與之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊（或）于點(diǎn)．設(shè)，的面積為，如圖②是與的函數(shù)關(guān)系的大致圖像，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定與的函數(shù)關(guān)系式，判斷的面積與的關(guān)系，分類討論：點(diǎn)在上時，點(diǎn)在上時，點(diǎn)在點(diǎn)上時，由此即可求解．【詳解】解：在中，，，，∴，∴的面積為，當(dāng)時，，則（舍去），，∴當(dāng)時，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)時，的面積，隨的增大而增大；當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)時，如圖所示，∵，，∴，，∴，的面積，此時隨的增大而減小，∴當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)處，的面積最大，且，如圖所示，∴在中，，，，∴，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形與動點(diǎn)問題，理解動點(diǎn)運(yùn)動圖像的變換，結(jié)合面積圖像的最大值是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·九年級課時練習(xí)）在線段上取點(diǎn)，分別以、為邊在的同一側(cè)構(gòu)造正方形和正方形，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接，若，則線段的最小值為．【答案】4【分析】過點(diǎn)Q作，垂足為H，求出，設(shè)，利用勾股定理表示出，根據(jù)x的值即可求出的最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)Q作，垂足為H，則H為中點(diǎn)，∵P，Q分別為、的中點(diǎn)，，∴，設(shè)，則，∴，則當(dāng)時，最小，最小值為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，線段最值問題，解題的關(guān)鍵是表示出的長．4．（2022秋·貴州黔東南·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)Q是該拋物線上一點(diǎn)，若將拋物線向左平移得到一條新拋物線，其中點(diǎn)P，，平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，若曲線段掃過的面積為15（圖中陰影部分），則新拋物線的解析式為．【答案】【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)P，再根據(jù)題意求出，最后結(jié)合二次函數(shù)的平移即可求解．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，∴，曲線段掃過的面積，則，故拋物線向左平移5個單位，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和二次函數(shù)的平移，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級?？计谥校┮阎喝鐖D所示，在中，，cm，cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．(1)如果分別從同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于4cm2？(2)幾秒時，的面積最大？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，的面積等于4cm2，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解．（2）設(shè)經(jīng)過t秒以后面積最大，用含的式子表示的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒以后面積為，則

，整理得：，解得：，∵當(dāng)時，，∴不合題意，答：1秒后的面積等于；（2）解：當(dāng)秒時，面積最大．理由如下：設(shè)經(jīng)過t秒以后面積最大，則，當(dāng)秒時，面積最大．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“的面積最大”得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．考查題型三拱橋問題1．（2023·山西大同·大同一中校考模擬預(yù)測）如圖，有一個截面邊緣為拋物線型的水泥門洞．門洞內(nèi)的地面寬度為，兩側(cè)距地面高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為，則這個門洞內(nèi)部頂端離地面的距離為（）

A． B．8 C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，得到二次函數(shù)，門洞高度即為二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】解：如圖，以地面為x軸，門洞中點(diǎn)為O點(diǎn)，畫出y軸，建立直角坐標(biāo)系，

由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，設(shè)拋物線解析式為把B、D兩點(diǎn)帶入解析式，∴，解得：，∴解析式為，則，所以這個門洞內(nèi)部頂端離地面的距離為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的簡單應(yīng)用，能夠建立直角坐標(biāo)系解出二次函數(shù)解析式是本題關(guān)鍵.2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某市新建一座景觀橋．如圖，橋的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度為40米，橋拱的最大高度為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細(xì)），則與的距離為5米的景觀燈桿的高度為（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米【答案】C【分析】以所在直線為x軸、所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，可設(shè)該拋物線的解析式為，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入求得拋物線解析式，再求當(dāng)時y的值即可．【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線表達(dá)式為，由題意可知，B的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，．答：與距離為5米的景觀燈桿的高度為15米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的知識，建立合適的平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）如圖1，某地大橋橋拱形狀近似拋物線，其高度約為20米，跨度為120米，以橋底部（正好為水面）所在直線為軸，以橋拱最高點(diǎn)到水面的垂線的垂足為原點(diǎn)O建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為．【答案】【分析】設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意可得，拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，代入即可求出．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，由題意可知：，拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，把、，代入得：，解得：，∴拋物線解析式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線解析式，正確設(shè)出解析式和確定點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O，B．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線，橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好位于水面，且軸，若米，則橋面離水面的高度AC為．【答案】2.25米【分析】根據(jù)知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，據(jù)此求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】解：∵軸，米，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，∴，∴橋面離水面的高度為米．故答案為：米．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是明確題意找出所求問題需要的條件．5．（2023·河南鄭州·校考三模）一座拋物線型拱橋如圖所示，當(dāng)橋下水面寬度為20米時，拱頂點(diǎn)O距離水面的高度為4米．如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以橋面所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的解析式；(2)汛期水位上漲，一艘寬為5米的小船裝滿物資，露出水面部分的高度為3米（橫截面可看作是長為5米，寬為3米的矩形），若它恰好能從這座拱橋下通過，求此時水面的寬度（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)該拋物線的解析式；(2)水面寬度為米．【分析】（1）由題意可以寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出a，c的值即可；（2）把代入拋物線解析式，求出對應(yīng)函數(shù)值y，再把代入計算即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，

∴橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面高度為4米，∴點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的解析式；（2）解：∵船寬5米，∴當(dāng)時，，若該漁船能安全通過，此時水面高為米，∴當(dāng)時，，解得，∴水面寬度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，運(yùn)用二次函數(shù)解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．考查題型四銷售問題1．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤y（元）與售價x（元/個）之間關(guān)系式滿足，第一天將售價定為16元/個，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價定為20元/個，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價是多少元/個？（單位利潤=售價?成本價）（

）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】A【分析】根據(jù)題意列方程組求出二次函數(shù)的解析式，再列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意知：當(dāng)時，；當(dāng)時，代入中，得，解得：，∴，當(dāng)每天利潤為0元時，售價即為成本價．令，解得：，由題意可知38不符合條件，∴，∴這種口罩的成本價是10元/個；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某種商品每件進(jìn)價為元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)若以每件元（，且為整數(shù)）出售，可賣出件，要使利潤最大，每件的售價應(yīng)為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】設(shè)利潤為w根據(jù)利潤等于利潤單價乘以數(shù)量列出函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可得到答案；【詳解】解：設(shè)利潤為w，由題意可得，，∵，，∴當(dāng)時w最大，故選B；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解決銷售利潤問題中最值問題，解題的關(guān)鍵是列出函數(shù)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）中國的新冠疫苗受到世界各國的高度認(rèn)可，中國人民完全免費(fèi)接種，但對國外要收取費(fèi)用已知出口某國的疫苗原價是元劑，每周可出口劑，在該國懇請對其優(yōu)惠銷售的條件下，每劑的售價每降低元，每周可多出口劑，設(shè)出口疫苗的銷售收入為元，銷售價格為元劑，則與之間的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】【分析】根據(jù)利潤=每件利潤×銷量求解．【詳解】解：由題意得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式．4．（2022秋·北京·九年級北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）某服裝店銷售一批服裝，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果一件衣服每降價1元，商店平均每天可多售出2件，則每件衣服降價元時，服裝店每天盈利最多．【答案】15【分析】根據(jù)總利潤=單價利潤×銷售數(shù)量，列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】解：設(shè)每件衣服降價元，獲得的總利潤為元，由題意得：，整理得：，∴當(dāng)時，取得最大值；故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：銷售問題．根據(jù)總利潤=單價利潤×銷售數(shù)量準(zhǔn)確的列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┠呈泄簿纸痪ш?duì)在全市范圍內(nèi)開展“一盔一帶”安全守護(hù)行動，某商場的頭盔銷量不斷增加，該頭盔銷售第天與該天銷售量（件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式為：（且為整數(shù)），為減少庫存，該商場將此頭盔的價格不斷下調(diào)，其銷售單價（元）與第天成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時，，當(dāng)時，．已知該頭盔進(jìn)價為元／件．(1)求與之同的函數(shù)關(guān)系式；(2)求這天中第幾天銷售利潤最大，并求出最大利潤；(3)在實(shí)際銷售的前天，為配合“騎乘人員佩戴頭盔專題周”活動的開展，商場決定將每個頭盔的單價在原來價格變化的基上再降價元（）銷售，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前8天中，每天的利潤隨時間（天）的增大而增大，試求的取值范圍．【答案】(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）(2)第天利潤最大，最大值為元(3)的取值范圍為【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)總利潤為元，可得出總利潤與第天的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式即可求解；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）．（2）解：設(shè)總利潤為元，則，當(dāng)時，取得最大值，∴第天利潤最大，最大值為：（元）．（3）解：由題意可設(shè)第天的銷售利潤為元，則，∴對稱軸為又知前天中，每天的利潤隨時間（天）的增大而增大，∴即，又，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查銷售問題，理解題目中數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型五投球問題1．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）具有函數(shù)關(guān)系為，則小球從飛出到落地的所用時間為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題．【詳解】解：依題意，令得，得，解得（舍去）或，即小球從飛出到落地所用的時間為，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）足球運(yùn)動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：）之間的關(guān)系如下表：t01234567……h(huán)08141820201814……下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為；②足球飛行路線的對稱軸是直線；③足球被踢出時落地；④足球被踢出時，距離地面的高度是，其中正確的結(jié)論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意，拋物線經(jīng)過，所以可以假設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得，可得，由此即可一一判斷．【詳解】解：∵當(dāng)和時，h的值相同，∴拋物線的對稱軸為直線，故②正確；∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，即足球被踢出時落地，故③錯誤；∴可設(shè)拋物線的解析式為，把代入得解得，∴，∴足球距離地面的最大高度為，故①正確，∴足球被踢出時落地，故③錯誤，∵時，，故④正確．∴正確的有①②④，共3個，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離m．

【答案】10【分析】令，則，再解方程，結(jié)合函數(shù)圖象可得答案．【詳解】解：令，則，解得：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意令求解方程的解是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）教練對小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），發(fā)現(xiàn)鉛球與地面的高度和運(yùn)動員出手點(diǎn)的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為，由此可知鉛球的落地點(diǎn)與運(yùn)動員出手點(diǎn)的水平距離是m．【答案】10【分析】根據(jù)鉛球落地時，高度，實(shí)際問題可理解為當(dāng)時，求的值即可；【詳解】當(dāng)時，得：，解得：，（舍去）即鉛球的落地點(diǎn)與運(yùn)動員出手點(diǎn)的水平距離是故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用時求出的值是解題關(guān)鍵．5．（2023·河南周口·統(tǒng)考三模）科技進(jìn)步促進(jìn)了運(yùn)動水平的提高．某運(yùn)動員練習(xí)定點(diǎn)站立投籃，他利用激光跟蹤測高儀測量籃球運(yùn)動中的高度．圖1所示拋物線的一部分是某次投籃訓(xùn)練中籃球飛行的部分軌跡，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知籃球每一次投出時的出手點(diǎn)到地面的距離都為．當(dāng)球運(yùn)行至點(diǎn)處時，與出手點(diǎn)的水平距離為，達(dá)到最大高度為．

(1)求該拋物線的表達(dá)式．(2)在球出手后，未達(dá)到最高點(diǎn)時，被防守隊(duì)員攔截下來稱為蓋帽，但球到達(dá)最高點(diǎn)后，處于下落過程時，防守隊(duì)員再出手?jǐn)r截，屬于犯規(guī)．在（1）的條件下，防守隊(duì)員前來蓋帽，已知防守隊(duì)員的最大摸球高度為3.05m，則他應(yīng)在運(yùn)動員前面什么范圍內(nèi)跳起攔截才能蓋帽成功？【答案】(1)(2)應(yīng)在運(yùn)動員前面范圍內(nèi)跳起攔截才能蓋帽【分析】（1）根據(jù)題意得出，，設(shè)，待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）根據(jù)題意，令，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵到地面的距離都為．當(dāng)球運(yùn)行至點(diǎn)處時，與出手點(diǎn)的水平距離為，達(dá)到最大高度為∴，，設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴拋物線解析式為，（2）將代入解析式，，解得：或（舍去），答：應(yīng)在運(yùn)動員前面范圍內(nèi)跳起攔截才能蓋帽．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型六噴水問題1．（2023春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期末）為了使居住環(huán)境更加美觀，某小區(qū)建造了一個小型噴泉，水流從地面上的點(diǎn)O噴出，在各個方向上沿形狀相同的拋物線落到地面，某方向上拋物線的形狀如圖所示，落點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4，水流噴出的高度與水平距離之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則水流噴出的最大高度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4，得到,代入求得，再將解析式化為頂點(diǎn)式即可得解；【詳解】點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4，,把代入得，，，水流噴出的最大高度為，故選擇：Ａ【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是（）A．4.5米 B．5米 C．6.25米 D．7米【答案】C【分析】將拋物線解析式配方為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)解題即可．【詳解】解：，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即水噴出的最大高度是，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的配方是解題的關(guān)鍵．3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是米．

【答案】【分析】將拋物線解析式配方為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)解題即可．【詳解】解：，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即水噴出的最大高度是米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，將二次函數(shù)由一般式變形為頂點(diǎn)式，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱如圖所示．現(xiàn)以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線為軸，水管所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，噴出的拋物線水柱對應(yīng)的函數(shù)解析式是，則水管長為．【答案】【分析】由題意令，得到的值即為水管的長．【詳解】解：在中，令，得，水管的長為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解水管的長即是時的值．5．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）如圖為某居民小區(qū)計劃修建的圓形噴水池的效果圖，在池中心需安裝一個柱形噴水裝置，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高高度為．水柱落地處離池中心的水平距離為．小剛以柱形噴水裝置與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線為軸，柱形噴水裝置所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．水柱噴出的高度y()與水平距離x()之間的函數(shù)關(guān)系如圖．(1)求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式：(2)若不計其他因素，求柱形噴水裝置的高度．【答案】(1)拋物線函數(shù)表達(dá)式為或(2)m【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,由題意得，該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）當(dāng)時，代入解析式，解得．【詳解】（1）解：由于點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，因此可設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由題意得，該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，∴該拋物線函數(shù)表達(dá)式為或．（2）當(dāng)時，，解得．答：柱形噴水裝置的高度為m．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵．考查題型七增長率問題1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元，年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江紹興·九年級校考階段練習(xí)）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，某省2019年第二個月總值約為7.9億元人民幣，若該省第四個月總值為y億元人民幣，平均每個月增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是

（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均每個月增長的百分率為，可得第三月的總值為，第四月的總值為，即可解答．【詳解】解：設(shè)平均每個月增長的百分率為，∵第二個月總值約為億元人民幣，∴第三月的總值為，∴第四月的總值為，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確理解增長率問題的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江杭州·八年級校考期中）為了讓農(nóng)民能種植高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，某農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地大力開展種子實(shí)驗(yàn)．該實(shí)驗(yàn)基地兩年前有100種種子，經(jīng)過兩年不斷地努力，現(xiàn)在已有144種種子．若培育的種子平均每年的增長率為x，則x的值為．【答案】20%【分析】利用該實(shí)驗(yàn)基地現(xiàn)在擁有的種子種數(shù)＝該實(shí)驗(yàn)基地兩年前擁有的種子種數(shù)×(1+培育的種子平均每年的增長率)2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：(不符合題意，舍去)，∴x的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·九年級校考期中）仙桃市大力推進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)，計劃用三年時間對全市學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進(jìn)行全面改造，年市政府已投資億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預(yù)計年投資億元人民幣，那么每年投資的增長率為．【答案】【分析】設(shè)每年投資的增長率為，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)每年投資的增長率為，根據(jù)題意得，解得：（舍去）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┠成痰赀M(jìn)購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎(chǔ)上，第二、三天的銷售量達(dá)到605件，求第二、三天的日平均增長率；(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．①現(xiàn)要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，則每件應(yīng)張價多少元？②現(xiàn)需按毛利潤的交納各種稅費(fèi)，人工費(fèi)每日按銷售量每件支出0.9元，水電房租費(fèi)每日102元，若剩下的每天總純利潤要達(dá)到5100元，則每件漲價應(yīng)為多少？【答案】(1)(2)①每件應(yīng)張價5元；②每件漲價應(yīng)為8元【分析】（1）設(shè)第二、三天的日平均增長率為x，利用第三天的銷售量=第一天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)每件應(yīng)張價y元，則每件盈利（毛利潤）為元，銷售數(shù)量為件，根據(jù)每件盈利（毛利潤）×銷售數(shù)量＝每天總毛利潤列方程求解即可；②設(shè)每件漲價應(yīng)為z元，則每天總毛利潤為元，每天總純利潤為元，根據(jù)每天總純利潤要達(dá)到5100元，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)第二、三天的日平均增長率為x，根據(jù)題意，得，解得：，(不符合題意，舍去)，∴，答：第二、三天的日平均增長率為10%．（2）解：①設(shè)每件應(yīng)張價y元，根據(jù)題意，得，解得：，，∵要使顧客得到實(shí)惠，∴，答：每件應(yīng)張價5元；②設(shè)每件漲價應(yīng)為z元，根據(jù)題意，得，解得：，∴，答：每件漲價應(yīng)為8元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．考查題型八其他問題1．（2020秋·廣東惠州·九年級惠州一中?？茧A段練習(xí)）飛機(jī)著陸后滑行的距離（單位：米）關(guān)于滑行時間（單位，秒）的函數(shù)解析式是．在飛機(jī)著陸滑行中，最后6秒滑行的距離為（

）米．A．24 B．36 C．48 D．54【答案】D【分析】當(dāng)y取得最大值時，飛機(jī)停下來，，即當(dāng)t=20時，飛機(jī)滑行600米才停下來，當(dāng)時，，即可求解．【詳解】解：當(dāng)y取得最大值時，飛機(jī)停下來，，即當(dāng)時，飛機(jī)滑行600米才停下來，當(dāng)時，，∴米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題要首先確定飛機(jī)最大滑行時間，然后確定最后6秒滑行的距離．2．（2023春·廣東深圳·七年級?？计谀┯螛穲@里的大擺錘如圖1所示，它的簡化模型如圖2，當(dāng)擺錘第一次到達(dá)左側(cè)最高點(diǎn)A點(diǎn)時開始計時，擺錘相對地面的高度y隨時間t變化的圖象如圖3所示．?dāng)[錘從A點(diǎn)出發(fā)再次回到A點(diǎn)需要（

）秒．

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象即可解答．【詳解】由函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)當(dāng)擺錘第一次到達(dá)左側(cè)最高點(diǎn)到第一次到達(dá)右側(cè)最高點(diǎn)一共用了4秒，從右側(cè)最高點(diǎn)回到左側(cè)最高點(diǎn)也是4秒，∴擺錘從A點(diǎn)出發(fā)再次回到A點(diǎn)需要秒，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，正確從圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用表示．在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，如果燈離地面的高度為，那么兩排燈的水平距離是米．【答案】【分析】把代入解析式，再解方程即可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，則，解得：，，∴兩排燈的水平距離是米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題解決．4．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）公路上行駛的汽車急剎車時，剎車距離s(m)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)遇到緊急情況剎車時，由于慣性的作用，汽車要滑行m才能停下．【答案】16【分析】由題意得，此題實(shí)際是求從開始剎車到停止所走的路程，即s的最大值．把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式后，即可解答．【詳解】解：依題意，該函數(shù)關(guān)系式化簡為，當(dāng)時，汽車停下來，滑行了16米，故滑行的時間為2秒，最大的滑行距離16米，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，即考查二次函數(shù)的最值問題，解答關(guān)鍵是弄懂題意，熟練對函數(shù)式變形，從而取得最值．4．（2023·河南南陽·校考三模）某校為加強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了豐富多彩的體育活動，本周末，將舉行“跳大繩”比賽，比賽規(guī)則：每班選擇兩名學(xué)生在距離的位置搖動大繩，大繩下至少有10名學(xué)生同時跳繩，按同時跳繩的時間計算名次．九（2）班選擇小明和小亮搖動大繩，在訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)，他們持繩點(diǎn)距地面均為，大繩在最高處時，大繩的形狀可近似看作拋物線，如圖，以小明的持繩點(diǎn)的豎直方向?yàn)閥軸，以水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，小明和小亮的持繩點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，在離點(diǎn)O的水平距離為時，大繩的最大高度為．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)為增加比賽的觀賞性，九（2）班準(zhǔn)備選擇若干名身高均為的同學(xué)參與跳繩，已知每位同學(xué)在繩下的距離均為，請問，九（2）班這樣的設(shè)計是否能夠達(dá)到比賽的要求？請說明理由．【答案】(1)（或）(2)能夠達(dá)到比賽的要求，見解析【分析】（1）根據(jù)題意，拋物線頂點(diǎn)為，過點(diǎn)，用待定系數(shù)法可得函數(shù)解析式；（2）結(jié)合（1）令得，或，根據(jù)，可知在繩下可以站11人，故九（2）班這樣的設(shè)計能夠達(dá)到比賽的要求．【詳解】（1）設(shè)大繩所在拋物線的解析式為由題意得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線解析式為，將點(diǎn)代入可得，，∴所求的拋物線的解析式是（或）；（2）當(dāng)時，，解得，，（人）則九（2）班這樣的設(shè)計能夠達(dá)到比賽的要求．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式．考查題型九二次函數(shù)的綜合1．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中記載，浮箭漏出現(xiàn)于漢武帝時期，如圖，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數(shù)計算時間．某學(xué)校小組仿制了一套浮箭漏，通過觀察，每2小時記錄一次箭尺讀數(shù)，得到表格如下．供水時間（小時）02468箭尺讀數(shù)（厘米）618304254那么箭尺讀數(shù)和供水時間最可能滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系【答案】B【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，然后描出各點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的分別規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，以供水時間為橫軸，箭尺讀數(shù)為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的點(diǎn)，，，，：

觀察圖中各點(diǎn)的分布規(guī)律，可知它們都在同一條直線上，∴箭尺讀數(shù)和供水時間最可能滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象是一條直線是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋·九年級統(tǒng)考期末）拋物線是由平移得到，它經(jīng)過原點(diǎn)，且交x軸正半軸于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，以，為邊構(gòu)造，點(diǎn)恰好落在拋物線上，連接交于點(diǎn)，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得，，則；根據(jù)，得，，則，得點(diǎn)是新拋物線對稱軸與軸的交點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)，則，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，求出；可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴；∴，∴點(diǎn)是新拋物線對稱軸與軸的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為；∴，∴，∴點(diǎn)，∴平移后的拋物線為：，∴把點(diǎn)代入，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的兩點(diǎn)式，對稱軸的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．3．（2020秋·廣東中山·九年級中山市華僑中學(xué)校考期中）如下圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，若的面積為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】或【分析】求出點(diǎn)C坐標(biāo)，得到的長，設(shè)，再根據(jù)三角形面積公式列出方程，求出a值，即可得到結(jié)果．【詳解】解：在中，令，則，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：或，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三角形的面積．4．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）華羅庚說過：“復(fù)雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅．”可見，復(fù)雜的問題有時要“退”到本質(zhì)上去研究．如圖，已知拋物線的圖象與f的圖象關(guān)于直線對稱，我們把探索線的變化規(guī)律“退”到探索點(diǎn)的變化規(guī)律上去研究，可以得到圖象f所對應(yīng)的關(guān)于x與y的關(guān)系式為．若拋物線與g的圖象關(guān)于對稱，則圖象g所對應(yīng)的關(guān)于x與y的關(guān)系式為．【答案】【分析】設(shè)，為圖象上任意點(diǎn)，則關(guān)于的對稱點(diǎn)為，，把，代入拋物線后即可得出要求的函數(shù)解析式；【詳解】解：設(shè)，為圖象上任意點(diǎn)，則關(guān)于的對稱點(diǎn)為，，把，代入得∶∴，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，明確關(guān)于的對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．5．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸的兩個交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在該拋物線上，當(dāng)?shù)拿娣e為時，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，求出，；（2）以為底，求出的高，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，進(jìn)而將的縱坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，求解其橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點(diǎn)，在拋物線上，，解得，拋物線的解析式為．（2）解：，，．又，，即．①令，該方程無解，不符合題意；②令，解得，．或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與三角形面積的綜合，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．1．（2023·山西晉中·山西省平遙中學(xué)校?？寄M預(yù)測）某服裝店購進(jìn)單價為15元的童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價為25元時，平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價每降低2元時，平均每天能多售出4件．求當(dāng)每件的定價為多少元時，該服裝店平均每天的銷售利潤最大？小穎的想法是根據(jù)“銷售利潤=（售價-成本）×銷售量”列出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式進(jìn)行解答．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．整體思想 B．函數(shù)思想 C．方程思想 D．公理化思想【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值體現(xiàn)了函數(shù)思想．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值體現(xiàn)了函數(shù)思想，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，這種方法是函數(shù)思想的運(yùn)用．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關(guān)注，在半決賽中，梅西的一腳射門將足球沿著拋物線飛向球門，此時，足球距離地面的高度h與足球被踢出后經(jīng)過的時間t之間的關(guān)系式為．已知足球被踢出9s時落地，那么足球到達(dá)距離地面最大高度時的時間t為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)時，，再代入，可得到該函數(shù)解析式為，然后化為頂點(diǎn)式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)時，，∴，解得：，∴該函數(shù)解析式為，∵，∴足球到達(dá)距離地面最大高度時的時間t為．故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確確定函數(shù)解析式，掌握函數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式．3．（2023秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期末）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，軸，，最低點(diǎn)C在x軸上，高，則右輪廓所在拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)、關(guān)于y軸對稱，得出點(diǎn)坐標(biāo)為，再求出左邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則右邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)右邊拋物線的解析式為，代入即可得出答案．【詳解】解：∵高，，、關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∵軸，，最低點(diǎn)在x軸上，∴關(guān)于直線對稱，∴左邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴右邊拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)右邊拋物線的解析式為，把代入得，解得，故右邊拋物線的解析式為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：關(guān)鍵是確定某些點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再利用拋物線的性質(zhì)解決問題．4．（2023秋·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）如圖，當(dāng)某運(yùn)動員以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論不正確的是（

）A．小球從飛出到落地要用B．小球飛行的最大高度為C．當(dāng)小球飛出時間從到時，飛行的高度隨時間的增大而減小D．當(dāng)小球飛出時間從到時，飛行的高度隨時間的增大而減小【答案】C【分析】根據(jù)解析式，令，解方程，即可判斷A，將解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由題意，，令，即，解得：，∴小球從飛出到落地要用，故A正確，不符合題意；∵，最大值為，故B正確，符合題意；∴對稱軸為直線，開口向下，當(dāng)時，飛行的高度隨著時間的增大而增大，故C錯誤，不符合題意；當(dāng)時，飛行的高度隨時間的增大而減小，故D正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以的速度移動（不與點(diǎn)重合），動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以的速度移動（不與點(diǎn)重合）．如果、分別從、同時出發(fā)，那么經(jīng)過（）秒，四邊形的面積最?。瓵．0.5 B．1.5 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)移動時間為秒，四邊形的面積為，先分別求出的長，再利用面積減去面積求出四邊形的面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：設(shè)移動時間為秒，四邊形的面積為，由題意得：，，，，，，整理得：，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最小值，即經(jīng)過秒，四邊形的面積最小，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．6．（2023春·湖南長沙·八年級?？计谀┮蛔皹虻妮喞菕佄锞€形，拱高10米，跨度為40米，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為．【答案】【分析】先設(shè)拋物線的解析式為，再根據(jù)拋物線與x的交點(diǎn)可得其對稱軸為，從而可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入即可得．【詳解】解：由題意，設(shè)拋物線的解析式為，此拋物線的對稱軸為，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入拋物線的解析式得：，解得，則拋物線的解析式為，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）如圖是一座拋物線形拱橋側(cè)面示意圖，水面寬與橋長均為12m，橋拱頂部離水面的距離為6m，以橋拱頂點(diǎn)為原點(diǎn)，橋面為軸建立平面直角坐標(biāo)系．的中點(diǎn)到橋拱的距離為m．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得，，設(shè)拋物線的解析式為，通過待定系數(shù)法，求得解析式，再將F點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，即可解答．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，，，橋拱頂部離水面的距離為6m，，，將代入解析式得：，解得，拋物線的解析式為，的中點(diǎn)為，，設(shè)，將，代入解析式得：，m．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式是解