4.5 相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用（9大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第4章相似三角形4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用（9大題型）分層練習(xí)考查題型一重心的有關(guān)性質(zhì)1．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）①等邊三角形三條高的交點(diǎn)就是它的重心；②三角形的重心到一邊的距離等于這邊上中線長(zhǎng)的三分之一；③三角形的重心到一邊中點(diǎn)的距離等于這邊上中線長(zhǎng)的三分之一；④三角形的重心到一邊的距離等于這邊上高的三分之一A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)分別判斷，利用相似三角形的判定和性質(zhì)判斷相應(yīng)推論．【詳解】解：①等邊三角形三條高的交點(diǎn)既是它的垂心，也是重心，故正確；③三角形的重心到一邊中點(diǎn)的距離等于這邊上中線長(zhǎng)的三分之一，故正確；如圖，O為重心，過點(diǎn)O和點(diǎn)A分別作的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則，則，∴，即三角形的重心到一邊的距離等于這邊上高的三分之一，故②錯(cuò)誤，④正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)G為的重心，連接CG，AG并延長(zhǎng)分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，若，則EF的長(zhǎng)度為（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)G為的重心，可知點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)G為的重心，∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的概念，知道重心是中線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？级＃┑妊?，，，則重心G到底邊的距離是．【答案】/【分析】根據(jù)題意作出高線，首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)重心的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

∵，，∴，∴，∵為等腰三角形底邊上的中線，∴重心一定在上，且重心G到底邊的距離為的長(zhǎng)，根據(jù)重心的性質(zhì)可知，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，重心的性質(zhì)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，，點(diǎn)M為的重心，若將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】由重心的性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證全等即可求得旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，點(diǎn)M為的重心∴,∵點(diǎn)∴點(diǎn)

∵將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°過點(diǎn)作軸，連接∵∴∵∴∴∴點(diǎn)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了重心的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等．熟記相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵．5．（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的重心，且，，，求中邊上的高．

【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使得，與交于點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明，繼而求得的面積，最后根據(jù)的面積求得邊上的高即可．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，與交于點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，如圖，

是的重心，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，設(shè)中邊上的高為，則，．故中邊上的高為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．考查題型二相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則陰影部分的面積為（

）A．7.5 B．8 C． D．【答案】C【分析】證明，求得，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于證明．2．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在中，，分別是和的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）．

A．4 B．2 C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：，分別是和的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，根據(jù)三角形中位線定理求出是解題的關(guān)鍵．3．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，求得，再根據(jù)勾股定理得到，然后證明，列比例式即可解得答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，，，∵E是邊的中點(diǎn)，，，，，，，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，于，，，則的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】證明，得到，代入已知數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴（負(fù)值舍去），故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是邊上一點(diǎn)，且滿足．

(1)證明：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判斷方法，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，先求出，即可求出．【詳解】（1）證明：，，，，∴；（2）解：，，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．考查題型三利用相似三角形的性質(zhì)求解1．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一銳角為的三角尺，它的內(nèi)外兩個(gè)三角形是相似的，三角尺的斜邊長(zhǎng)為，其內(nèi)部三角形的最短邊長(zhǎng)為，則這個(gè)三角尺內(nèi)外兩個(gè)三角形的面積比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)含有角的直角三角形的三邊關(guān)系得到兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)比，再利用相似三角形的性質(zhì)得到兩個(gè)三角形的面積比等于邊長(zhǎng)比的平方．【詳解】解：如圖，對(duì)圖中的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)注，

根據(jù)題意可得是直角三角形且，，，，這個(gè)三角尺內(nèi)外兩個(gè)三角形的面積比為，即這個(gè)三角尺內(nèi)外兩個(gè)三角形的面積比為，故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了含有角的直角三角形的三邊關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，熟知上述性質(zhì)得到兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)比是解題的關(guān)鍵．2（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)沈陽市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是邊上的點(diǎn)，且，相似比為，交于點(diǎn)F．則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵，是公共角，∴，∴，∵，∴，∵，相似比為，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，明確“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比”，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，小亮利用標(biāo)桿測(cè)量建筑物的高度，已知長(zhǎng)為，測(cè)得長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則長(zhǎng)為.

【答案】/4米【分析】根據(jù)得到，列式計(jì)算即可.【詳解】解：依題意得：，∴，∴，∵長(zhǎng)為，測(cè)得長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，∴，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握判斷是解題的關(guān)鍵.4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn)，且，，那么．

【答案】【分析】根據(jù)推出，根據(jù)推出，最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足．

(1)證明：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判斷方法，兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，證明即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，先求出，即可求出．【詳解】（1）證明：在與中，，∴；（2）解：∵，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，解得：，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型四證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例1．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，一點(diǎn)光源位于處，線段垂直于x軸，D為垂足，，則的長(zhǎng)為（

）．A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，利用相似三角形△的性質(zhì)解答．【詳解】∵軸，∴，∴，∴，∵，C點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如下圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC?AD．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對(duì)應(yīng)位置上并準(zhǔn)確確定出對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E、F分別位于△ABC的三邊上，滿足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=．【答案】3:2【詳解】因?yàn)镈E∥BC,所以,因?yàn)镋F∥AB,所以,所以,故答案為:3:2.4．（2023·江蘇徐州·校考一模）如圖，在中，分別平分與，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，作，垂足為E，若，，，則的面積為．【答案】【分析】過D點(diǎn)作交于點(diǎn)F，則，得到，可求出的長(zhǎng)，利用角平分線得到，進(jìn)而求出長(zhǎng)，計(jì)算面積即可．【詳解】解：如圖，過D點(diǎn)作交于點(diǎn)F，∴,∴,∵∴DF∵∴∵平分∴∴∴∵∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形組成了網(wǎng)格，點(diǎn)A、B均是格點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無刻度的直尺畫出滿足下列條件的點(diǎn)P，并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P．

(1)圖①中，點(diǎn)P為的中點(diǎn)；(2)圖②中，點(diǎn)P在線段上且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接圖中，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；（2）連接圖中，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；

（2）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握畫圖的技巧是解題的關(guān)鍵．考查題型五利用相似求坐標(biāo)1．（2022·海南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，平移的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BO′=3，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，∵頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四邊形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，將該直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，首先直線解析式的b值是不變的，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圖形和原圖形相似，根據(jù)一次函數(shù)的解析式，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可得，設(shè)原圖形與x軸交于A點(diǎn)，新函數(shù)與x軸交于B點(diǎn)，∴當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=-1，∴OA=1，OP=，∵旋轉(zhuǎn)90°，∴，∴，∵,∴,∴，∴OB=3，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0），設(shè)，將B（3,0）代入可得，∴.故選D【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式及三角形相似相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形相似，得到新函數(shù)解析式與x軸的交點(diǎn).3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線：與直線：相交于點(diǎn)，且兩直線的夾角為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】根據(jù)直線恒經(jīng)過點(diǎn)，分類討論，結(jié)合一次函數(shù)的圖象，構(gòu)建直角三角形，等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求值即可求解．【詳解】解：∵直線，即恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵兩直線的夾角為，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵點(diǎn)到軸的距離為1，故點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到軸的距離為2，故點(diǎn)到軸的距離為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵兩直線的夾角為，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵點(diǎn)到軸的距離為1，故點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到軸的距離為2，故點(diǎn)到軸的距離為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，連接，則（1）與的位置關(guān)系是；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】平行【分析】（1）通過中線倍長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形，然后二次全等證明幾點(diǎn)共線，直接判定平行即可．（2）先利用點(diǎn)在函數(shù)上求出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系，然后利用勾股定理直接求出邊長(zhǎng)；再通過一線三等角構(gòu)造相似三角形，利用相似比求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）如圖所示，延長(zhǎng)至H，使得，連接繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，，，那么在和中(SAS)，那么在和中(SAS)三點(diǎn)共線（2）如圖所示，過作于M，過作于N，設(shè)AB所在直線解析式為帶入，，解得設(shè)在中，，解得故答案為：平行；【點(diǎn)睛】此題考查利用相似求坐標(biāo)，涉及到勾股定理和一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，比較綜合，且計(jì)算量較大，解題關(guān)鍵是構(gòu)造一線三等角的相似來求解．5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．若a，b的值是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且．(1)直接寫出___________，___________(2)若點(diǎn)P在y軸上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)2，3(2)【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：，因式分解，得，解得或，的值是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，且，，故答案為：2，3．（2）解：由（1）可知，，，，，，，解得，又，且點(diǎn)在軸上，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程、相似三角形的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考查題型六在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，下列陰影部分的三角形與相似的是（）A．B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，A、三邊分別為，，，則，故與相似，符合題意；B、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；C、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；D、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．2．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在由小正方形組成的方格紙中，和的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使，則點(diǎn)所在的格點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似三角形的判定定理即可判斷．【詳解】解：中，是正方形的對(duì)角線，∴，且，，即，要使，則，觀察圖形，只有是正方形的對(duì)角線，即，且，，即，∴點(diǎn)符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握“根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E、F都在小正方形的頂點(diǎn)上，試在該網(wǎng)格中找點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DE、DF，使得△DEF與△ACB相似（在圖中畫出符合題意的點(diǎn)D）【答案】見解析【分析】利用相似三角形的判定方法——“兩組對(duì)邊成比例且夾角相等”作圖即可．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，利用格點(diǎn)作，若△DEF與△ACB相似，則，即，解得，因此在DF上取點(diǎn)D使得即可．如圖所示，△DEF與△ACB相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查畫相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·河北張家口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為“格點(diǎn)三角形”．如圖，在的網(wǎng)格中，是一個(gè)格點(diǎn)三角形，如果也是該網(wǎng)格中的一個(gè)格點(diǎn)三角形，它與相似且面積最大，那么與相似比的值是．【答案】【分析】根據(jù)表格求出的三邊長(zhǎng)，作出，求出的三邊長(zhǎng)，然后對(duì)應(yīng)的邊作比可得比值相等，兩個(gè)三角形相似，相似比即為對(duì)應(yīng)邊的比，此時(shí)面積是最大的．【詳解】解：由表格可得：，，，如圖所示：作，，，∵，∴與的相似比為，由于表格的限制，可得且此時(shí)面積最大，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，在表格中作出相似三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023春·吉林·九年級(jí)專題練習(xí)）圖①、圖②均是由48個(gè)小正方形組成的的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，如圖①，即為格點(diǎn)三角形，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中作，使是格點(diǎn)三角形且與相似．(2)在圖②中作，使與相等，要求點(diǎn)F為格點(diǎn)且不與點(diǎn)C重合．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角的性質(zhì)，取格點(diǎn)D，E，即可求解；（2）取格點(diǎn)F，使，可證明點(diǎn)B，A，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1中，即為所求；理由：根據(jù)題意得：，，∴，∴；（2）解：如圖2中，即為所求．理由：由（1）得：，∴，∴，連接，根據(jù)題意得：，，∴，∴，∴點(diǎn)B，A，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖的設(shè)計(jì)與應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．考查題型七相似三角形—?jiǎng)狱c(diǎn)問題1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，中，，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值是（

）

A．2或 B． C．3或 D．3【答案】A【分析】根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)求出，分兩種情況：①，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出，求出；②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出，求出即可．【詳解】解：∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴，即，∴，∴；

當(dāng)時(shí)，，，∴，∴，即，∴，∴；

綜上：的值是2或，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合題意的所有情況是解此題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南通·校考一模）如圖1，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大長(zhǎng)度是，則矩形的面積是（

）A．20 B．16 C． D．【答案】A【分析】由題意可知，易證，可得，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得在中點(diǎn)時(shí)，有最大值，列出方程式即可解題．【詳解】解：若點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，，，在和中，，，∴，由二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得在中點(diǎn)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，代入方程式解得：(舍去)，，，，，矩形的面積為；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了矩形面積的計(jì)算，本題中由圖象得出為中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與相似．【答案】或【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得比例關(guān)系進(jìn)而得出的值．【詳解】解：∵和相似時(shí)，∴或者，∵在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴由可得，由可得，故答案為：或，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意列出線段的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q也隨之停止．運(yùn)動(dòng)過程中，若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．【答案】2或【分析】設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則，，再分兩種情況求t的值，一是，則，可列方程；二是，則，可列方程，解方程求出相應(yīng)的t的值即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得．綜上所述，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或．故答案為：2或．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)問題的求解、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，正確地用代數(shù)式表示相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)的速度是，點(diǎn)的速度是，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．求：(1)當(dāng)時(shí)，、兩點(diǎn)之間的距離是多少？(2)若的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．(3)當(dāng)為多少時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）在中，當(dāng)秒，可知、的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可將的長(zhǎng)求出；（2）由點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又知的長(zhǎng)，可將用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式求解；（3）應(yīng)分兩種情況：當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可將時(shí)間t求出；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可求出時(shí)間t．【詳解】（1）由題意得則（1）當(dāng)秒時(shí)，，，由勾股定理得；故、兩點(diǎn)之間的距離是（2）由題意得則∴由題意可知∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（3）當(dāng)時(shí)即解得當(dāng)時(shí)即解得綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在解第三問時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行求解防止漏解或錯(cuò)解，注意方程思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．考查題型八相似三角形的應(yīng)用舉例1．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校考階段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料，邊為，邊上的高為，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為和的小長(zhǎng)方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長(zhǎng)為的邊在上，則按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有幾個(gè)（）

A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得底層可以放置個(gè)小長(zhǎng)方形，根據(jù)頂層與的邊交于點(diǎn)，可得，由此可求出的值，可得共堆疊的層數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：∵的底邊為，最底層的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為的邊在上，∴底層可以放置個(gè)小長(zhǎng)方形，即，如圖所示，頂層小長(zhǎng)方形與的邊交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∴，且，，，∴相似比為，∴，則，∴，∵小長(zhǎng)方形零件的高為，∴，即可以疊四層，∴共有個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，掌握其運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實(shí)像（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體AB的高為，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離分別為，則實(shí)像的高度為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比即可求得實(shí)像的高度．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，∴=（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比），∴，∴，∴實(shí)像的高度為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題是相似三角形的應(yīng)用，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，刻度尺的分度值為．玻璃管的內(nèi)徑正對(duì)“30”刻度線，正對(duì)“50”刻度線，，量得，則內(nèi)徑長(zhǎng)為．

【答案】6【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出進(jìn)而得出比例式求出答案．【詳解】解：由題意可得：∵，∴，又∵∴，∴，∵∴，解得：，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確比例關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是某風(fēng)力發(fā)電機(jī)示意圖，其相同的三個(gè)葉片均勻分布，每個(gè)葉片長(zhǎng)，即．水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方，即．當(dāng)風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片外端點(diǎn)A離地面的高度最大時(shí)，若垂直于地面的木棒與影長(zhǎng)的比為，則此刻風(fēng)力發(fā)電機(jī)的影長(zhǎng)為m．【答案】200【分析】當(dāng)在的延長(zhǎng)線時(shí)，風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片外端點(diǎn)A離地面的高度最大，最大高度為，然后設(shè)此刻風(fēng)力發(fā)電機(jī)的影長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可：，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：當(dāng)在的延長(zhǎng)線時(shí)，風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片外端點(diǎn)A離地面的高度最大，最大高度為，設(shè)此刻風(fēng)力發(fā)電機(jī)的影長(zhǎng)為，由題意得：，即：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的根，∴此刻風(fēng)力發(fā)電機(jī)的影長(zhǎng)為，故答案為：200．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，滹沱河是山西地區(qū)一條途經(jīng)了舟山和太行山的知名河流，這條河流的流域面積達(dá)到了萬平方公里，其發(fā)源地處于山西省繁峙縣泰戲山橋兒溝村，這條河流早在《山海經(jīng)》中就有出現(xiàn)過，被叫做為虔池．為了估算河流的寬度，我們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)，在近岸取點(diǎn)和，使點(diǎn)、、共線且與河垂直，接著在過點(diǎn)且與直線垂直的直線上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，確定與過點(diǎn)且與垂直的直線交點(diǎn)．測(cè)得，，，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)求河的寬度．

【答案】【分析】根據(jù)題意證明，再由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，即，∴，解得：，答：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．考查題型九相似三角形的綜合問題1．（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和位似，且相似比為．則與的面積比為（

）A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3【答案】B【分析】根據(jù)兩三角形相似，面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵與位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似三角形的性質(zhì)，明確兩三角形位似，面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·福建寧德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心是點(diǎn)P，其位似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答．【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，其位似比為1：2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方．3．（2021春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6點(diǎn)D在底邊BC上，且∠DAC=∠ACD，將△ACD沿著AD所在直線翻折，使得點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)BE，那么BE的長(zhǎng)為.【答案】1【分析】只要證明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解決問題．【詳解】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴∴，∴CD=，BD=BC-CD=6-=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴，即，∴DM=，MB=BD-DM=-=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四點(diǎn)共圓，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，本題需要三次相似解決問題.4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四邊形DBCE＝8，則AD：AB＝．【答案】1：3．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求出答案．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△AEC，∴=()2∵S△ADE＝1，S四邊形DBCE＝8，∴S△ABC＝9，∴=，∴，故答案為1：3．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、CD上，且于F．（1）求證：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析

（2）【分析】（1）證明∠BEF=∠CFG，結(jié)合∠B=∠C=可證得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入數(shù)據(jù)可得CG．【詳解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG=∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG(2)解:∵△BEF∽△CFG∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了在正方形中進(jìn)行一線三角形相似的證明，并利用相似進(jìn)行線段長(zhǎng)度的計(jì)算，熟知以上模型是解題的關(guān)鍵．1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在中，，于，且，那么（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵，，∴，，，∴，∴，∴，∴．即．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定與性質(zhì)．2．（福建省漳州市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（A卷））如圖，在菱形中，E為上一點(diǎn)，、交于點(diǎn)O，若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，再證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方得到即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，，∴，∴，∴，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校┱叫沃校?，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過作交于點(diǎn)．則的最小值為（

）

A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】通過證明，可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求的最大值，即可求解．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∵，，，，，，，∴，，，即，當(dāng)時(shí)，有最大值，∴的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽合肥·?？既＃┤鐖D，已知、，與相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】證明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．【詳解】解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，∴，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，求出．5．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，E為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連，下列結(jié)論：①；②；③；④．正確的有（）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用矩形的性質(zhì)，勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答．【詳解】解：①為中點(diǎn)，，，，，，，，，，故①正確；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

設(shè)，則，，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，，在中，由勾股定理得，，即，，，，故，故②錯(cuò)誤；③，，，，，，，，，故③正確；④如圖，

在，由勾股定理得，，，在，由勾股定理得，，在，由勾股定理得，，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵能運(yùn)用這些知識(shí)表示出需要的邊或角，即可解決．6．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，于D．若，，則．

【答案】【分析】可得，，從而可證，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，解得：（）．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，垂足為D，，垂足為E，若，則

【答案】4【分析】利用，，可判斷，則，利用比例性質(zhì)得，加上，根據(jù)三角形相似的判定方法即可得；據(jù)此求解即可．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，相似三角形面積的比等于相似比的平方．8．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形，長(zhǎng)，寬，P、Q分別是、上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)．若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．

【答案】或【分析】要使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，則要分兩種情況進(jìn)行分析．分別是或，利用相似的性質(zhì)得出比例線段并建立方程即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)x秒后，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，則，，∴，∵四邊形是矩形，∴，，，

①當(dāng)時(shí)，有，∴，即，解得；②當(dāng)時(shí)，有，∴，即，解得，∴經(jīng)過2秒或秒時(shí),以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確分類是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，將矩形沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)M，若，，則．

【答案】3【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和，可得，從而可得，再由矩形的性質(zhì)可得，再證明，可得，設(shè)，，利用勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∴，設(shè)，，∵，在中，，解得，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理、線段成比例，熟練掌握線段成比例定理及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·湖南衡陽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)(不與重合)，對(duì)角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的垂線，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點(diǎn)在兩點(diǎn)的連線上．其中正確的是．

【答案】①②③⑤【分析】①根據(jù)題意及正方形的性質(zhì)，即可判斷；②根據(jù)及正方形的性質(zhì)，得，同理可證，根據(jù)題意可證四邊形為矩形，則，則，，故證明；③根據(jù)四邊形為矩形的性質(zhì)，在直角三角形中，使用勾股定理，即可判斷；④是等腰直角三角形，而P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，無法保證是等腰直角三角形，故④可判斷；⑤連接，證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可證明．【詳解】解：∵四邊形是正方形，為對(duì)角線，∴，根據(jù)題意，故，∴，在三角形與中，，∴，故①正確；∴，同理，可證，，∵正方形中，，又∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，又∵，，∴，故②正確；∵四邊形為矩形，∴，在直角三角形中，，∴，故③正確；∵是等腰直角三角形，而P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，無法保證是等腰直角三角形，故④錯(cuò)誤；連接，在和中，∴，同理可證，又∵，，∴M，N，P在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上，又∵，∴是圓O的直徑，∴點(diǎn)在兩點(diǎn)的連線上．故⑤正確．故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何綜合問題，掌握正方形、矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，身高的小王晚上在燈柱下散步，他想通過測(cè)量自己的影長(zhǎng)來估計(jì)路燈的高度，具體做法如下：先從路燈底部點(diǎn)向東走20步到點(diǎn)處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)落在點(diǎn)處，作記號(hào)后，繼續(xù)沿剛才自己的影子走4步恰好到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)影子的端點(diǎn)在點(diǎn)處，已知小王和路燈的底端在同一水平線上，且小王每步的間距相同．計(jì)算路燈的高，并求影長(zhǎng)合計(jì)為多少步．

【答案】路燈的高為，影長(zhǎng)合計(jì)為步【分析】設(shè)步，則步，證明得到，由此代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：設(shè)步，則步由題意得，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∴路燈的高為，影長(zhǎng)合計(jì)為步．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．12．（2022·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，平分，交半圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由平分及圓周角定理可得，進(jìn)而證明．（2）連接，，設(shè)，則，，通過證明求解．【詳解】（1）證明：平分，，，，，即．（2）解：連接，，設(shè)，則，，

，，，，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的結(jié)合，解題關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理．13．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)校考階段