2023-2024學年湖南省長沙市雨花區(qū)南雅中學九年級（上）入學數學試卷（含解析）

2023-2024學年湖南省長沙市雨花區(qū)南雅中學九年級（上）入學

數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.一爭的倒數為（）

1

A.1B.3C.-3D.-1

2.某市新改擴建幼兒園、中小學80所，新增學位82000個，請將數據82000用科學記數法表

示為（）

A.8.2x103B.8.2x104C.8.2x105D.0.82x105

3.如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，41=30。，Z2=

50%則乙3的度數等于（）

A.20°

B.30°

C.50°

D.80°

4.下列運算正確的是()

A.a2+2a2=3a4B.(2a2)3=8a6

C.a3-a2=a6D.(a—b)2=a2—b2

5.若正多邊形的一個外角是60。，則該正多邊形的內角和為（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

6.如圖，一次函數丫=kx+H0）與y=%+2的圖象相交

于點M（m,4）,則關于x,y的二元一次方程組%；］"一°的解

是（）

(x=2.4

(y=4

%=3

D.

y=4

7.甲、乙、丙、丁四人進行射箭測試，每人測試10次，射箭成績的平均數都是8.8環(huán)，方差

分別為s帝=065,s1=0.45,s東=0.55,sj.=0.50,則射箭成績最穩(wěn)定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

8.下列命題是真命題的是（）

A.每個內角都相等的多邊形是正多邊形B.對角線相等的平行四邊形是矩形

C.兩直線平行，同位角互補D.過線段中點的直線是線段的垂直平分線

9.如圖，在長為32米、寬為20米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分

種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設道路的寬為工米，則可列方程為（）

A.32x20-32%-20%=100B.(32-x)(20-%)-+-%2=100

C.32%+20%=100+%2D.(32-x)(20-%)=100

10.如圖，在正方形ABC。中，點E在4。邊上，且DE=3AE,連接BE,CE,EF平分乙BEC,

過點B作BF，E尸于點F,若正方形的邊長為4,則的面積是()

A16-4C5

.5

B16-4\H7

?3

C20-4C7

■5

D.8-2v17

二、填空題(本大題共6小題，共18?0分)

11.分解因式：2x2—2=.

12.若x=-1關于x的一元二次方程a/+6x+23=0的解，則一a+b+2000的值是

13.已知y=+V1-x+4，則xy的平方根為.

14.直線y=2x-4向上平移2個單位后所得的直線與x軸交點的坐標是

三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）

17.計算：（兀一3.14）°—（；廠2+舊一C.

四、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.（本小題6.0分）

先化簡，再求值：之空上），其中x=C.

X2+3X'x+3J

19.（本小題6.0分）

（1）解方程：X2—x—6=0；

（2）解方程：2x（x-l）=l-x.

20.（本小題8.0分）

深圳某學校為了解初中學生每天在校體育活動的時間（單位：九），隨機調查了該校的部分初中

學生，根據調查結果，繪制出如下的統(tǒng)計圖圖①和圖②，請根據相關信息，解答下列問題:

(2)接受調查的學生每天在校體育活動時間的眾數是h,中位數是h；

(3)求接受調查學生每天在校體育活動時間的平均數.

21.(本小題8.0分)

已知關于x的一元二次方程/—(m-3)%—m=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；

(2)如果方程的兩實根為%1、x2,且*+妗-%1刀2=27,求Tn的值.

22.(本小題9.0分)

如圖，在〃1BCD中，對角線4C,BD交于點。，過點8作BE_LCD于點E,延長CD到點F,使

DF=CE,連接4F.

(1)求證：四邊形4BEF是矩形；

(2)連接09，若48=6,DE=2,乙4DF=45。，求OF的長度.

23.(本小題9.0分)

已知一箱蘋果比一箱梨子的價格高30元，且用400元購買蘋果的箱數和用250元購買梨子的箱

數相等.

(1)求蘋果、梨子每箱各多少元？

(2)若要購進蘋果、梨子共60箱，且蘋果的箱數不少于梨子的箱數的2倍，試求購買這兩種水

果總費用的最小值.

24.(本小題10.0分)

如圖，拋物線yi=a/+"+c的圖象經過4(-6,0),6(-2,0),C(0,6)三點，且一次函數y=

依+6的圖象經過點B.

(1)求拋物線和一次函數的解析式；

(2)點E,F為平面內兩點，若以E、F、8、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點F的左側.這

樣的E,F兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標；如果不存在，

請說明理由；

(3)將拋物線y1=ax2+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線y2，此拋物線的圖象

與x軸交于M,N兩點(M點在N點左側).點P是拋物線曠2上的一個動點且在直線NC下方.已知點

P的橫坐標為m.過點P作PD1NC于點D,求他為何值時，CD+^PD有最大值，最大值是多少？

黨的二十大報告指出：“高質量發(fā)展”是全面建設社會主義現代化國家的首要任務，在數學

中，我們不妨約定：在平面直角坐標系內，如果點P(rn,n)的坐標滿足n=m2,則稱點P為“高

質量發(fā)展點”.

(1)若點P(m,4)是正比例函數y=依(k為常數，k力0)的圖象上的“高質量發(fā)展點”求這個正

比例函數的解析式；

(2)若函數y=2x+3-p(p為常數)圖象上存在兩個不同的“高質量發(fā)展點”，且這兩點都在

第一象限，求P的取值范圍；

(3)若二次函數y=ax2+(b-l)x+2(a,b是常數，a>1)的圖象上有且只有一個“高質量發(fā)

展點”，令w=-川一8(a-1),當t-lSbSt時，w有最大值一3求t的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:V(-1)x(-3)=1,

???一：的倒數為一3.

故選C.

直接根據倒數的定義即可得出結論.

本題考查的是倒數的定義，熟知乘積是1的兩數互為倒數是解答此題的關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：82000=8.2x104,

故選：B.

將一個數表示成ax10拉的形式，其中ri為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據

此即可求得答案.

本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查的是平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵.

根據平行線的性質求出44,根據三角形的外角的性質計算即可.

【解答】

解：

???AB//CD,Z2=50°,Z1=30°,

44=42=50°,

???Z3=z4-Z.1=20°,

故選A.

4.【答案】B

【解析】解：4因為。2+2。2=3。2,故A選項不符合題意；

員因為(2a2)3=8a6,故8選項符合題意；

C.因為a2y3=a2+3=a5,故C選項不符合題意；

D因為(a—b)2=a?-2ab+爐，故。選項不符合題意.

故選：B.

4應用合并同類項法則進行求解即可得出答案；

反應用積的乘方運算法則進行計算即可得出答案；

C.應用同底數基的乘法運算法則進行計算即可得出答案；

D應用完全平方公式進行計算即可得出答案.

本題主要考查了同底數基乘法，耗的乘方與積的乘方，合并同類項法則和完全平方公式，熟練掌

握運算法則進行求解是解決本題的關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：該正多邊形的邊數為：360。+60。=6,

該正多邊形的內角和為：(6-2)x180°=720°.

故選：C.

【分析】本題考查了多邊形的內角和與外角和，熟練掌握多邊形的外角和與內角和公式是解答本

題的關鍵.

根據多邊形的邊數與多邊形的外角的個數相等，可求出該正多邊形的邊數，再由多邊形的內角和

公式求出其內角和.

6.【答案】B

【解析】解：把M(zn,4)代入y=x+2得m+2=4,

解得=2,

M點的坐標為(2,4),

??,一次函數y-kx+b(k*0)與y=x+2的圖象相交于點M(2,4),

.??關于x,y的二元一次方程組%；］"一"的解是

故選:B.

先利用y=久+2確定M點的坐標，然后根據方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標

求解.

本題考查了一次函數與二元一次方程（組）：由兩個函數解析式所組成的方程組的解就是兩個相應

的一次函數圖象的交點坐標.

7.【答案】B

【解析】解：,,s*=0.65,=0.45,s,=0.55,s彳=0.50,

乙的方差最小，

???射箭成績最穩(wěn)定的是：乙.

故選：B.

根據方差的意義先比較出甲、乙、丙、丁四人誰的方差最小，則誰的成績最穩(wěn)定.

此題考查了方差的意義，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離

平均數越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數

據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩(wěn)定.在解題時要能根據方差的意義和本題的實際，得

出正確結論是本題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：力、每個內角都相等，每條邊都相等的多邊形是正多邊形，故原命題錯誤，是假命

題，不符合題意：

8、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，是真命題，符合題意；

C、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

D,過線段中點的垂直于線段的直線是線段的垂直平分線，故原命題錯誤，不符合題意.

故選:B.

利于正多邊形的定義、矩形的判定方法、平行線的性質及垂直平分線的定義進行判斷后即可確定

正確的選項.

本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解有關的定義及定理，難度不大.

9.【答案】C

【解析】解：設道路的寬x米，則

32%+20%=100+X2.

故選C.

設道路的寬x米，小路的面積+/=一個長32寬%的矩形面積+一個長20寬x的矩形的面積，即可得

出關于x的一元二次方程，此題得解.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程.

io.【答案】c

【解析】【分析】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形面積的計算，正確的作

出輔助線是解題的關鍵.

延長BF交CE于G,過B作BH1CE于根據角平分線的定義得到NBEF=/GEF,根據垂直的定

義得至此BFE=4GFE=90。，根據全等三角形的性質得到BF=FG,EG=BE,根據勾股定理得

到BE=V12+42=VT7，CE=V32+42=5，BH=I42-(y)2=學，根據三角形的面積

公式即可得到結論.

【解答】

解：延長BF交CE于G,過B作BH1CE于H,

vEF平分4BEC,

???乙BEF=Z-GEF,

vEF1BF,

???乙BFE=Z.GFE=90°,

在ABEF與AGEF中,

（Z.BEF=Z.GEF

lEF=EF,

I乙BFE=/,GFE

???△8E尸三△GEF（ASA）,

??.BF=FG,EG=BE,

vAB=AD=CD=4,DE=3AE,

:.AE—1,DE=3,

.??BE=Vl24-42=V17，CE=732+42=5，

???乙BHE=Z-BHC=90°,

???BC2-CH2=BE2-EH2=BH2,

???42-CH2=（Afl7）2-（5-CH/,

CH=y,

=J42一直）2=等

ccr-1..1/~~-T-=16c8，17

?，?S^BCG=S^BCE_S^BEG=2X^X^~2X"乂亍=8-------?

故選：c.

11.【答案】2(x+l)(x-l)

【解析】解：2x2-2=2(x2-1)=2(x+1)(%-1).

故答案為：2(x+l)(x-l).

先提取公因式2,再根據平方差公式進行二次分解即可求得答案.

本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分

解要徹底.

12.【答案】2023

【解析】解：把x=代入方程a/+bx+23=0,

得a—b+23=0,

所以a—b——23.

-a+b=23,

—a+b+2000—23+2000—2023,

故答案為:2023.

利用一元二次方程根的定義把x=—1代入方程可得到a-b的值.

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的

解.

13.【答案】±2

【解析】解：由題意得：］：一1

11—%>0

解得：X=1,

把x=l代入已知等式得：y=4,

所以，xy=1x4=4,

故孫的平方根是±2.

故答案為：±2.

直接利用二次根式有意的條件得出x、y的值，進而得出答案.

此題主要考查了二次根式有意的條件，正確得出x的值是解題關鍵.

14.【答案】(1,0)

【解析】解：直線y=2x-4沿y軸向上平移2個單位，

則平移后直線解析式為：y=2x-4+2=2x—2,

當y=0時，則*=1,

故平移后直線與x軸的交點坐標為：(1,0).

故答案為：(1,0).

利用一次函數平移規(guī)律，上加下減進而得出平移后函數解析式，再求出圖象與坐標軸交點即可.

此題主要考查了一次函數平移變換，正確記憶一次函數平移規(guī)律是解題關鍵.

15.【答案】-2

【解析】解：將分式方程舒=親一2兩側同乘(x+1)

得％—1=a-2(x+1),

將x=代入整式方程得a=-2.

故答案為：一2

將分式方程化成整式方程后，將增根代入整式方程即可求出a的值.

本題考查了分式方程的增根問題，增根是在分式方程化成整式方程過程中產生的，它不是分式方

程的根，卻是整式方程的根.

16.【答案】y=

【解析】【分析］1」5

延長B4交y軸于D,則BOLy軸，依據點4的坐標為(3,4),即可得出//

B(8,4),再根據/HOC的角平分線所在直線經過點B,即可得到函數/_________/1

0\Cx

關系式.

此題主要考查了待定系數法求正比例函數解析式以及菱形的性質的

運用，正確得出8點坐標是解題關鍵.

【解答】

解：如圖所示，延長B4交y軸于。，則BDly軸，

■:點4的坐標為(3,4),

:*AD=3,0D=4,

??.AO=AB=5,

.??BD=3+5=8,

???8(8,4),

設乙40c的角平分線所在直線的函數關系式為y=kx,

??,菱形。力BC中，乙40c的角平分線所在直線經過點8,

???4=8k,即k=：,

???乙40C的角平分線所在直線的函數關系式為y=\x,

故答案為y=^x.

17.【答案】解：原式=1—4+3—2\[~2

=-2<^.

【解析】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

直接利用零指數基的性質以及負指數幕的性質和立方根的性質分別化簡得出答案.

18.【答案】解：原式=竽《十i±|

為Q+3)x+3

二Q+2)2%+3

%(x+3)x+2

_x+2

=----->

x

當％=時，

原式

=1+V-2-

【解析】先計算括號內的，再將除法轉化為乘法，因式分解，約分，通分，再代值計算.

本題考查了分式的化簡求值，分式的混合運算需特別注意運算順序及符號的處理，也需要對通分、

分解因式、約分等知識點熟練掌握.

19.【答案】解：(1)原方程因式分解得:(x+2)(%-3)=0,

解得：Xi=-2,x2=3；

(2)原方程變形得：2x(x-l)+(x-1)=0,

因式分解得：(x-l)(2x+l)=0,

=—

解得：Xj=1,X2

【解析】⑴利用十字相乘法解方程即可；

(2)將原方程變形后利用提公因式法解方程即可.

本題考查解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵.

20.【答案】40251.51.5

【解析】解：(1)本次接受調查的初中學生人數為：4+10%=40,

m%=等=25%,

40

故答案為：40,25；

(2)由條形統(tǒng)計圖得，4個0.9,8個1.2,15個1.5,10個1.8,3個2.1,

.?.1.5出現的次數最多，15次，

???眾數是1.5無，

第20個數和第21個數都是1.5,

二中位數是1.5九；

故答案為：1.5；1.5；

⑶2x(0.9X4+1.2x8+1.5x15+1.8x10+2.1x3)=1.5(小時)，

答：接受調查學生每天在校體育活動時間的平均數為1.5小時.

(1)根據統(tǒng)計圖中的數據可以求得本次調查的學生人數，進而求得小的值；

(2)根據統(tǒng)計圖中的數據可以求得這組數據的平均數和眾數、中位數；

(3)利用加權平均數公式可求得這組數據的平均數.

本題考查了條形統(tǒng)計圖：條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數據，根據數量的多少畫成長短不同的矩

形直條，然后按順序把這些直條排列起來.從條形圖可以很容易看出數據的大小，便于比較.也

考查了扇形統(tǒng)計圖和利用樣本估計總體.

21.【答案】(1)證明：x2-(m-3)x-m=0.

4=(m-3)2-4x(-m)

=m2—6m+9+4m

=m2-2m+1+8

=(m-l)2+8>8>0.

.?.方程有兩個不相等的實數根；

(2)解：由根與系數的關系可得：%1+x2=m-3,xtx2=-m,

vxf+%2—xix2—27,

2

(xx+x2)—3%1必=27,即(m—3)2+3m=27.

解得：m=-3或?n=6.

故m的值是-3或6.

【解析】(1)表示出根的判別式，判斷其正負即可作出判斷；

(2)利用根與系數的關系表示出兩根之積與兩根之和，已知等式變形代入代入計算即可求出山的值.

此題考查了根與系數的關系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關

鍵.

22.【答案】(1)證明：???在弘BCD中,

??.AD//BC5.AD=BC,

，Z.ADF=乙BCE,

在△40/和△BCE中，

(AD=BC

,:UADF=乙BCE

[DF=CE

???AF=BE,Z.AFD=(BEC=90°,

:.AF〃BE,

，四邊形4BEF是矩形；

(2)解:由(1)知：四邊形4BE尸是矩形,

??.EF=AB=6,

???DE=2,

:.DF=CE=4,

??"/=4+4+2=10,

尸中，/LADF=45°,

???AF=DF=4,

由勾股定理得：AC=VAF2+CF2=V42+102=2<^9.

??,四邊形4BCD是平行四邊形，

:.0A=0C,

OF=^AC=V^9.

【解析】本題考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題

的關鍵.

(1)根據平行四邊形的性質得到4D〃BC且4。=BC,證明A4DFmABCE,推出四邊形2EFD是平

行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論;

(2)根據直角三角形斜邊中線可得：OF=^AC,利用勾股定理計算AC的長，可得結論.

23.【答案】解：(1)設梨子的價格是x元/箱，則蘋果的價格是Q+30)元/箱，

根據題意得：-^=—，

x+30x

解得：x=50,

經檢驗，X=50是所列方程的解，且符合題意，

:.%+30=504-30=80.

答：蘋果的價格是80元/箱，梨子的價格是50元/箱；

(2)設購進蘋果m箱，則購進梨子(60-瓶)箱，

根據題意得：m>2(60-m),

解得：m>40.

設購買這兩種水果總費用為w元，則w=80m+50(60-m),

即w=30m+3000,

30>0,

???w隨m的增大而增大，

.??當m=40時，w取得最小值，最小值=30x40+3000=4200.

答：購買這兩種水果總費用的最小值為4200元.

【解析】(1)設梨子的價格是x元/箱，則蘋果的價格是Q+30)元/箱，利用數量=總價+單價，結

合用400元購買蘋果的箱數和用250元購買梨子的箱數相等，可列出關于x的分式方程，解之經檢

驗后，可得出梨子的價格，再將其代入(％+30)中，即可求出蘋果的價格；

(2)設購進蘋果m箱，則購進梨子(60-巾)箱，根據購進蘋果的箱數不少于梨子的箱數的2倍，可

列出關于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范圍，設購買這兩種水果總費用為w元，利用

總價=單價x數量，可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題.

本題考查了分式方程的應用、一次函數的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出分式

方程：(2)根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式.

24.【答案】解:⑴???拋物線yi=a/+bx+c的圖象經過4(一6,0),B(-2,0),C(0,6)三點,

’36a—6b+c=0

■■4-a—2b+c=0,

c=6

1

?,?乃=9+4%+6,

把8(—2,0)代入一次函數y=kx+6中，

得k=3,

???y=3%+6?

答：拋物線的解析式為yi=：M+4X+6,一次函數的解析式為y3%+6.

(2)①當BC為正方形的邊長時，

分別過B點，C點作/送21BC,F#21BC,使E]B=E2B=BC,C&CF2=BC,連接%尸1，%尸2,

過點當作1x軸于“1，???△BE、H小CBO(AAS),

E1H1=OB=2,MB=OC=6,

?，?E1(-8,2)>

同理可得，E2(4,-2).

②以BC為正方形的對角線時，

過BC的中點G作E3F31BC,使E3F3與BC互相平分且相等,

則四邊形E3B&C為正方形，

過點作3作&N1y軸于點N,過點B作BM1JN于點M,

■■■ACE3N^^E3BM(AAS),

CN=E3M,BM=E3N,

???BC=2<10.

E3G=BG=V10>

???E3B=2-7~~5，

222

在RtZiJNC中，E3C=CN+E3N,

(20=CN2+(6-CN)2,

解得CN=2或4,

當CN=4時，E3(2,2),此時點E在點F右側，舍去;

當CN=2時，E3(-4,4).

綜上，%(-8,2),%(4,-2),F3(-4,4).

(3)?,?拋物線%=92+4x+6向右平移8個單位長度得到拋物線丫2，

???M(2,0),N(6,0),

,??內過加，/V,C三點，

12

：?y2=5%-4%+6,

在直線CN下方的拋物線上任取一點P，作PH工工軸交NC于點H,過“作“Gly軸于G,

???N(6,0),C(0,6),

???ON=OC,

，△CON時等腰直角三角形，

???Z.CHG=45°,(GHP=90°,

???乙PHD=45°,

???PD1CN,

??.△HPD是等腰直角三角形，

:.HD=DP=—HP，

???點P在拋物線為上，且橫坐標為加，

:.CG=GH=m,

???CH=\T~2m^

???ycN=r+6，

???+6),

:.HP=—m+6-(1m2—4m4-6)=—+3m,

口八T-212Io\>/~-22?3V-2

:、HD=DnPn=-r-(f—-mz+3m)=———H——

2'2z42

CD+^PD=CH+HD+^PD=CH+山D=+上一岑/+率小)=-卑(巾_

2222'42'8、

打+空

答：當巾=苧時，CD+“。的最大值為里2.

【解析】(1)利用待定系數法求解函數解析式即可.

(2)分①BC為正方形的邊長，②8c為正方形的對角線兩種情況討論，作輔助線，構造全等三角形，

利用全等三角形的性質和勾股定理即可求解.

(3)求出刈的解析式，證明△CON時等腰直角三角形，△〃0￡)是等腰直角三角形，求出H的坐標,

進而求出HP和即可求解.

本題考查了二次函數的綜合應用，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，利用全等三角形的

性質和勾股定理解決問題.

25.【答案】解:(1)將P(m,4)代入y=履,

得：km=4即m-7,

k

又???P(m,4)是“高質量發(fā)展

:.m2=4,

；?(軟=4，

解得：卜=2或卜=一2,

則這個正比例函數的解析式為：y=2x或y=-2x；

(2)設圖象上存在的“高質量發(fā)展點"坐標為?52),

依據題意將(t,t?)代入y=2x+3-p得：產一2t-(3-p)=0,

?.?函數y=2x+3—p(p為常數)圖象上存在兩個不同的“高質量發(fā)展點”，

???方程t2-2t-(3-p)=0有兩個不相等的實