蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)題型突破提高類型一反比例k的幾何意義之求k(原卷版+解析)

類型一、反比例”k”的幾何意義之求k【解惑】從反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）圖象上任一點(diǎn)P，向x軸和y軸作垂線，以點(diǎn)P及點(diǎn)P的兩個(gè)垂足和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的面積等于常數(shù)，以點(diǎn)P及點(diǎn)P的一個(gè)垂足和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于【融會(huì)貫通】1．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B，軸于點(diǎn)C，平移直線，使其過(guò)點(diǎn)C，且與函數(shù)的圖象交于D，若，則k的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．122．如圖，反比例函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)，且軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，，，則（）A．4 B． C． D．63．如圖，直線AB與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)A，與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，若，且的面積為8，則k的值為______．【知不足】1．如圖，的邊在x軸上，若過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)D，且，則k的值是（

）A．12 B．24 C．28 D．322．如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸、y'軸的平行線交于點(diǎn)C，點(diǎn)C恰在反比例函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為點(diǎn)B橫坐標(biāo)的一半，則k的值為（）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線交x軸于點(diǎn)C，若，四邊形的面積是4，則k的值為_____．4．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為的正方形連在一起，三點(diǎn)在同一直線上，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)小正方形右下頂點(diǎn)．若，則的值是_____．【一覽眾山小】1．如圖，將一塊含角的三角板AOB按如圖所示擺放在平面直角坐標(biāo)系中，，，的面積為4，BO與x軸的夾角為，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則k的值為（

）A．3 B． C．6 D．92．兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化；③與始終相等；④當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)一定是的中點(diǎn)．其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，軸，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形ABCD為面積是9的矩形，則k的值為______．4．如圖，已知直角三角形中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，且在中點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，則的值_____．5．如圖，在中，，軸，垂足為A．反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．已知，．(1)若，求k的值；(2)連接，若，求的長(zhǎng)．【溫故為師】1．如圖，等腰直角三角形中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，直角頂點(diǎn)C落在反比例函的圖象上，的中點(diǎn)D落在y軸上，若，則______．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個(gè)等腰紙片，，邊與軸重合，點(diǎn)坐標(biāo)為，若反比例函數(shù)與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，反比例函數(shù)的表達(dá)式為______；（2）將如圖放置的紙片的沿過(guò)點(diǎn)的直線翻折，當(dāng)點(diǎn)落到中點(diǎn)時(shí)，______；（3）若雙曲線與折線、所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）有2個(gè)橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則的取值范圍是______．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線、分別與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)、，若的面積為3，則___________．4．如圖，已知A是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，交x軸于點(diǎn)C，，，的面積為，則_______．5．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是反比例函數(shù)圖象上不與點(diǎn)A重合的點(diǎn)，以為邊作菱形，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．(1)已知當(dāng)時(shí)，菱形面積為20，則此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)A在（1）中的反比例函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)菱形面積是48時(shí)，求的值．6．如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)、．過(guò)點(diǎn)A分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．連接．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若四邊形的面積記作，的面積記作，求的值．7．如圖，直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)M，連接，若，，求k的值．類型一、反比例”k”的幾何意義之求k【解惑】從反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）圖象上任一點(diǎn)P，向x軸和y軸作垂線，以點(diǎn)P及點(diǎn)P的兩個(gè)垂足和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的面積等于常數(shù)，以點(diǎn)P及點(diǎn)P的一個(gè)垂足和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于【融會(huì)貫通】1．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B，軸于點(diǎn)C，平移直線，使其過(guò)點(diǎn)C，且與函數(shù)的圖象交于D，若，則k的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，由直線可知，設(shè)∴，，∴，由題意可知，∴，即，∴，，∴∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為∵點(diǎn)B、點(diǎn)D在反比例函數(shù)上，∴,解得：或(舍)∴2．如圖，反比例函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)，且軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，，，則（）A．4 B． C． D．6【答案】B【詳解】解：連接，如下圖，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，，∵，∴①，∵，∴②，由①②兩式解得，則．3．如圖，直線AB與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)A，與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，若，且的面積為8，則k的值為______．【答案】【詳解】解：如圖：分別過(guò)點(diǎn)A、B作軸，軸，垂足分別為點(diǎn)E、F，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，，，，，，得，，，點(diǎn)C在y軸上，，，，得，解得，【知不足】1．如圖，的邊在x軸上，若過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)D，且，則k的值是（

）A．12 B．24 C．28 D．32【答案】C【詳解】解：過(guò)點(diǎn)、分別作，，垂足為、，由圖像可知：，在中，，∴，是的中點(diǎn)，∴，，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，，，，設(shè)點(diǎn)，，，在中，令，則，∴，，即，，，，，解得，2．如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸、y'軸的平行線交于點(diǎn)C，點(diǎn)C恰在反比例函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為點(diǎn)B橫坐標(biāo)的一半，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：對(duì)于一次函數(shù)，令，則，解得：，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為點(diǎn)B橫坐標(biāo)的一半，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為把代入，解得，∴，∵過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸、y'軸的平行線交于點(diǎn)C，∴，∴，∵，∴，3．如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線交x軸于點(diǎn)C，若，四邊形的面積是4，則k的值為_____．【答案】【詳解】解∶設(shè)，則，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，解得，4．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為的正方形連在一起，三點(diǎn)在同一直線上，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)小正方形右下頂點(diǎn)．若，則的值是_____．【答案】4【詳解】解：連接，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，和都是等腰直角三角形，，，，即，，，，．【一覽眾山小】1．如圖，將一塊含角的三角板AOB按如圖所示擺放在平面直角坐標(biāo)系中，，，的面積為4，BO與x軸的夾角為，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則k的值為（

）A．3 B． C．6 D．9【答案】C【詳解】過(guò)作軸交于點(diǎn)∵將一塊含角的三角板AOB按如圖所示擺放∴∵∴解得∵BO與x軸的夾角為∴∴在中，∴，則可將代入中，，解得2．兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化；③與始終相等；④當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)一定是的中點(diǎn)．其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：∵點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，，∴，結(jié)論①正確；∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，∴，即四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化，結(jié)論②正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，與的關(guān)系無(wú)法確定，結(jié)論③錯(cuò)誤；如圖，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，即，，∴點(diǎn)一定是的中點(diǎn)，結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論有3個(gè)，3．如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，軸，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形ABCD為面積是9的矩形，則k的值為______．【答案】13【詳解】解：延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E，則軸，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是4，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是，∵四邊形的面積是9，∴，∵反比例函數(shù)在第一象限，∴．4．如圖，已知直角三角形中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，且在中點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，則的值_____．【答案】【詳解】解：連接，作軸于點(diǎn)，由題意知，是中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，在反比例函數(shù)上，．5．如圖，在中，，軸，垂足為A．反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．已知，．(1)若，求k的值；(2)連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)12(2)【詳解】（1）作，垂足為E，，，．點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，在Rt中，，，，，，，，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，把點(diǎn)代入反比例函數(shù)中得：，解得．（2）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為：．由（1）可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)C，D都在反比例函數(shù)的圖像上，，，，解得，C點(diǎn)的坐標(biāo)為：，．【溫故為師】1．如圖，等腰直角三角形中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，直角頂點(diǎn)C落在反比例函的圖象上，的中點(diǎn)D落在y軸上，若，則______．【答案】4【詳解】過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于，于，則，，∵是的等腰直角三角形，∴，，則，∴，∴，∴，則，可設(shè)，則，∵的中點(diǎn)落在軸上，則，∴，即，∴，，，由得，，解得：，即∴，2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個(gè)等腰紙片，，邊與軸重合，點(diǎn)坐標(biāo)為，若反比例函數(shù)與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，反比例函數(shù)的表達(dá)式為______；（2）將如圖放置的紙片的沿過(guò)點(diǎn)的直線翻折，當(dāng)點(diǎn)落到中點(diǎn)時(shí)，______；（3）若雙曲線與折線、所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）有2個(gè)橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】

【詳解】（1）作于點(diǎn)F，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴．∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，折線，點(diǎn)B落在上點(diǎn)處．由（1）可知，，∴，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，是的中點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，解得，∴，設(shè)，∵，∴，解得，∴，∴，∴．（3）∵點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴若雙曲線與折線、所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）有2個(gè)橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)一定是點(diǎn)A和點(diǎn)，把代入得，把代入得，∴．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線、分別與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)、，若的面積為3，則___________．【答案】4【詳解】解：作軸于，軸于，如圖，解方程組得或，則，，解方程組得或，則，，，而，，．4．如圖，已知A是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，交x軸于點(diǎn)C，，，的面積為，則_______．【答案】【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，如圖所示．∵，∴，，∴．，又∵，∴，∴，∴，∴．5．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是反比例函數(shù)圖象上不與點(diǎn)A重合的點(diǎn)，以為邊作菱形，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．(1)已知當(dāng)時(shí)，菱形面積為20，則此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)A在（1）中的反比例函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)菱形面積是48時(shí)，求的值．【答案】(1)3，8：y=(2)【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)T，∴菱形面積，∴，在中，，∴，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴，，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，，（2）解：設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，∵菱形面積是48，∴，∴，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，∴．6．如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)、．過(guò)點(diǎn)A分別向x軸、y軸作垂