高中數(shù)學解題基本方法

一篇收全高中數(shù)學解題基本方法【考生必看，錯過遺憾】

一、配方法

配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁

為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。

有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不

等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,將這個公式靈活運用，可得到各種基

本配方形式,如：

a:+b)=(a+b)：—2ab=(a-b)'+2ab；

卜

a2+ab+b:—(a+b)2-ab=(a-b)'+3ab=(a+尸+(---b):；

22

a:+b:+c:+ab+bc+ca=—[(a+b):+(b+c)'+(c+a):]

2

a2+b，+L=(a+b+c)：-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-be-ca)=?

結合其它數(shù)學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：

l+sin2Q=l+2sinQcosQ=(sinQ+cosQ)2；

x'+'=(x+-2=(x—工)？+2；a”等等0

xx

I、再現(xiàn)性題組:

1.在正項等比數(shù)列｛a｝中，%+2^3v+@3=25,則a3+a.=。

2.方程x:+y2—4kx--2y+5k=0表不回的充要條件是-

A./<k〈lB.k〈/或k>lC.kGRD.k=1?或k=l

3.已知sin4Q+cos4a=1,則sinQ+cosQ的值為.

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log(-2x?+5x+3)的單調遞噌區(qū)間是。

A.(―0°,=]B.[1J00)C.(一"：]D.[f,3)

5.已知方程x：+(a-2)x+aT=0的兩根％、x：,則點P(x]，xJ在圓x?+y?=4上，則

實數(shù)a=o

【藺解】1小題：利用等比數(shù)列性質a.a+=a\將已知等式左邊后配方(%+

a.)'易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標準方程形式(x-a尸+(y—b)?=r。解r'>0即可，選B。

3小題：已知等式經配方成(sin，U+cos*a)'—2sin-Qcos'a=1,求出sinQcos

a，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結合定義域和對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調性求解。選D.

5小題：答案3-vTT.

II,示范性題組：

例L已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對

角線長為.

A.2百B.C.5D.6

【分析】先轉換為數(shù)學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z,則

2(xy+yz+xz')=11

，而欲求對角線長,將其配湊成兩已知式的組合形式

4(x+y+z)=24

可得.

【解】設長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長

2(xy+yz+xz')=11

度之和為24”而得:

4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：+y'+z'—J(x+『+z)'-2(x7+'z+xz)=

yj6-11=5

所以選B.

【注】本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數(shù)學表示式，觀察和分析

三個數(shù)學式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解.

這也是我們使用配方法的一種解題模式.

例2.設方程l+kx+2=0的兩實根為p、q,若（巴尸+（2尸W7成立，求實數(shù)k的

qp

取值范圍。

【解】方程x：+kx+2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：p+q=-k,pq=2,

f尸…士q\n_/+_(/+q)-2,如_[(P+?)'-2pq]2-2P

qp。力(尸力(pqY

(k8W7,解得kW-Ji6或k三JT?.

4

又.3、q為方程x-+kx+2=0的兩實根，r.A=k"-8'0即kN2V或kW—2c

綜合起來，k的取值范圍是：一x/F6"WkW—2、5或者2WkW^/［萬。

【注】關于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式已知方程有兩

根時，可以恰當運用韋達定理.本題由韋達定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其

結構特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式.假如本題不對討論，結

果將出錯，即庾有些題目可能結果相同，去掉對的討論，但解答是不嚴密、不完整的,

這一點我們要尤為注意和重視.

例3.設非零復數(shù)a、b滿足a^+ab+b、。，求（‘一）"”+（上）.

a+ba+b

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為（士尸+（巴）+1=0,則±=3（3為1的立方

bbb

虛根）；或配方為（a+b）：=ab.則代入所求式即得.

【解】由個+ab+b：=0變形得：（巴尸+（巴）+1=0,

bb

設3=巴，則3'+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：—=WJ=7J=l.

bG）a

又由a?+ab+b10變形得：（a+b）:=ab,

所以（-^—嚴無+（^-嚴9$=（或產9+（'）9=（巴）”。+（幺）9=3999

a+ba+bababba

+a'"=2.

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用3的性質，計

算表達式中的高校幕.一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開.

【另解】由a?+ab+b：=0變形得：（“尸+（"）+1=0,解出"=二上■、'§后,

bba2

化成三角形式，代人所求表達式的變形式（3）噂+（0）叱后，完成后面的運算。此方法用

ba

于只是未-1--?聯(lián)想到W時進行解題。

2

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a2+ab+b?=0解出：a=

_1+乃

b,直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復數(shù)的三角形式，利用棣莫佛

2

定理完成最后的計算。

UK崎：

1.函數(shù)y=（x—a）?+（x—b）：（a、b為常數(shù)）的最小值為.

A.8B.（”與C.°+》D.最小值不存在

22

2.0（、0是方程x:-2ax+a+6=0的兩實根,則（Q-1尸+隼T）'的最小值是?

A.一：B.8C.18D.不存在

3.已知x、yER+,且滿足x+3y—1=0,則函數(shù)t=2+8有。

A.最大值2右B,最大值"2C.最小值2eB.最小值、5

22

4.怖圓1—2ax+3y，+a'一6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，貝Ua=0

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2v'l-sin8+J2+2co$8的結果是。

A.2sin4B.2sin4-4cos4C.—2sin4D.4cos4-2sin4

6.設F]和F、為雙曲線L-—=l的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足/F】PF、=90°,

4

則△號PF2的面積是-

7.若乂>一1,則f(x)=/+2x+」_的最小值為.

川

8.已知江<0<,cos(Qsin(U+B)=-3求sin2a的值。(92

24135

年高考題)

9.設二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C,給定m、n(m<n)，且滿足A:[(m+n)*+m:n:]+

2A[B(m+n)-Cmn]+B:+C2=0。

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個實數(shù)也使當tE(m+t,n-t)時，f(x)<0?若不存在，說出理由；若存

在，指出t的取值范圍。

10.s>l,t>l,mGR,x=logt+logs,y=log1t+log1s+m(log31+log's),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關于x的方程f(x)=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡

化，這叫換元法.換元的實質是轉化，關建是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是

變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜

問題藺單化，變得容易處理.

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過弓I進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系

起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來.或者變?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的

計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在

研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用.

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在

已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而藺化問題，當然有時候

要通過變形才能發(fā)現(xiàn).例如解不等式：4+2-2>0,先變形為設2=t(t>0),而變?yōu)?/p>

熟悉的一元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題.

三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與

三角知識中有某點聯(lián)系進行換元.如求函數(shù)y=五+的值域時，易發(fā)現(xiàn)xG[0,1],

設乂=$皿％,a問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域.為什么會想到如此設，

其中主要應該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要.如變量x、y適合條件x?+/=r'

(r>0)時，則可作三角代換x=rcos0、y=rsin0化為三角問題.

SS

均值換元，如遇到乂+丫=$形式時，設X=]+t,y=]-t等等.

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變

量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大.如上

幾例中的t>o和ae[0,-].

2

I、再現(xiàn)性的：

1.y=sinxzcosx+sinx+cosx的最大值是。

2,設f(x，+l)=log(4—x*)(a>l),則f(x)的值域是o

3.已知數(shù)列｛a｝中，ai=-l,aa=aa，則數(shù)列通項a=。

4.設實數(shù)x、y滿足X?+2xy-1=0,則x+y的取值范圍是-

5.方程I+'=3的解是______________=

1+3

6.不等式log：(2-1)1logj(2"-2)《2的解集是.

__]

(=-

【簡解】1小題：設sinx+cosx=tE[—9五]>則y=+t——,對稱軸t1,

22

當t=VT，丫3=；+及；

2小題:設x:+l=t(t>l),則f(t)=log[-(t-1):+4],所以值域為(一8,log4].

3小題：已知變形為1—1=-1,設b=1,則可=—1,b=-1+(n—1)(-1)

&卬°a

=—n,所以a=一；

4小題：設x+y=k,則x‘一2kx+l=0,△=41一4三0,所以kZ1或kW—1；

5小題：設3=y>則3y：+2y—1=0,解得y=,所以x=—1；

3

6小題：設log、(2—l)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y<l,所以xG(log,二，log、3)。

?4?

n、燕性迪

例1.實數(shù)x、y滿足4x2—5xy+4y:=5(①式)，設S=x:+y，,求—....1-----

的值。(93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題)

【分析】由S=x?+y：聯(lián)想到cos2a+sin:a=1,于是進行三角換元，設

X=cosa

代人①式求S皿x和Sa的值。

(y=\!"Ssina

(x=v*5*cosa

【解】設代人①式得:4s—5S'sinQcosQ=5

1/=sina

10

解得S=

8-5sin2a

TWsin2UW13W8—5sin2UW13—W----------W一

138-5sina3

.1,13,13168

??------+-----=—+—=—=-

%Sa1。1。1。5

oc*_in

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由Sin2a=——的有界性而求，即解不等

S

2<7—1n

式：I|W1。這種方法是求函數(shù)值域時經常用到的“有界法”。

S

sssS

【另解】由5=/+丫。設6=1+t,y?==y-t,tG[-y,y]，

則xy=±—/代入①式得：4S±5、'三-一廣=5,

移項平方整理得100t3+39S'—160S+100=0.

39S--1605+100^0解得：1°10

133

1,13,13168

?___+___=__t--------=—

Sax10I。105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法"，主要是利用已知條件S=x：+y:與三角

公式cos%+sin%=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉化為三角函數(shù)值

域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x'+y：而按照均值換元的思

路，設/=￡+t、y'=￡-t,激少了元的個數(shù)，問題且容易求解.另外，還用到了求值

22

域的幾種方法：有界法、不等式性質法、分離參數(shù)法.

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設x

=a+b,y=a—b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能藺化代數(shù)式,本題設x=a+b,y

=a-b,代入①式整理得3a：+13b'=5,求得a?E[0,—],所以S=(a—b)'+(a+b)：

3

=2O)=；：+；；ay；；,；],再求一的值.

111Ax

例2.AABC的三個內角A、C滿足：A+C=2B,―---F—--=-,求

cosCOSCCOSB

cos土A上C的值.(96年全國理)

2

【分析】由已知"A+C=2B”和"三角形內角和等于180°”的性質，可得

M+C=120'(A=600+a

那Q；由"C=】2。。”進行均值換元，則設|c=6Q._q.再代入可

求costt即COS------

2

(A+C=120

【解】由aABC中已知A+C=2B,可得

600

(A=60°+a

由A+C-2。。,設］。=6。?一」代入已知等式得:

11]]1

+4-+

cos/cosCcos(600+a)cos(600-a)1昭.

cosa-sina

22

1cosacosa：

1，3,、3

—cosa+—sinacos-a-sin'acos*a-

22444

解得：cosa=v,

21

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°.所以-------1-------=------

cosJ4COSCCOSB

——2y/l9設-----=_yj2+m,------==-\2-m,

cosAcosC

所以cosA=---T=----,cosC=---T=----，兩式分別相力口、相誠得：

-，2+m-V2-

A+CA-C_A-C_2。

cosA+cosC=2COSCOS=COS=-；----,

222MT-2

A+CA-C_X-C_2m

cosA-cosC=-2sin-----sin------=—73sin------=—；----,

222加?一2

立“，日GA-C也

解得：cosa=——,a即n：cos------=

222

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°.所以------1-----------------

cosCOSCCOSB

=-2y/2，設-----=-\J2+m,------=-&-m,

cos/cosC

所以cosA=---T=----,cosC=-----p-------'兩式分別相力口、相減得:

-V2+W1-V2-m

A+CA-C_A-C_2VI

cosA+cosC=2COSCOS=COS=-；----,

222行-2

cosA-cosC=-2sin-----sin------=-sin------=—；----,

222沈.-2

anH-C2m2^2,A-C,,A-C—管

即：sin—=——=—；-----9=——；-----9代入sin*——Feos*-=1整理

2V3(?n*-2)加一222

得：3m.—16m—12=0,解出=6,代入cos------=]=、。

2m?-22

【注】本題兩種解法由“A+C=120°”、“二一+—」=—2"”分別進行均

cosAcosC

值換元，隨后結合三角形角的關系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求

對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A+

]1^2-

C=2B,得A+C=120°,B=60".所以------1---------、’=—2"，即cosA+

COSJ4COSCCOSB

cosC=-2V2cosAcosC,和積互化得：

2cos，+°cosd——=-y[2[cos(A+C)+cos(A_C),RPcos———=———、萬cos(A-C)

2222

A—C_ACAC

=...-v;2(2cos:—1),整理得：4y[2cos:+2cos—3=0$

2222

解得:

22

例3.設a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinxzcosx—2a,的

最大值和最小值.y

，，

【解】設sinx+cosx=t,貝IJtE2,\2],由(sinx+—v2/^\<2

cosx)-=l+2sinx'cosx得：sinxTcosx=---------

2

f(x)=g(t)=——(t—2a)'+—(a>0),tE[-J2,yfl]

22

t=-V2W，取最小值：-2a:-2>/2a--

2

當2a手時，t=航,取最大值：-2a2+2a------；

2

當0<2aWv2時，t=2a,取最大值：。

???f(x)的最小值為一2a,-2Jia-匕，最大值為2一。

2|?廠18

i-2a'+2yj2a-~(a>-----)

I22

【注】此題屬于局部換兀法，設sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinxTcosx

的內在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題,使得容易求解.

換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(tG[-V2,VI])與sinx+cosx對應，否則將會

出錯.本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位

置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論.

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大

值和最小值的題型時，即函數(shù)為flsinx±cosx,sinxcsox),經常用到這樣設元的換元法，

轉化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究.

例4.設對所于有實數(shù)x,不等式x'log、」---->+2xlog,2"+log、+?>0

'a'a+1"Aa'

恒成立，求a的取值范圍.(87年全國理)

【分析】不等式中l(wèi)og、4S+D、log,—slog、七匯三項有何聯(lián)系？進行對

a-"1

數(shù)式的有關變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。

■切.、幾2。[4((74-1)8(?+1).a+1

=

【解】設log5-------=t,貝IJlog,log,=3+log5--------=3-

a+1a2a2a

2a(a+a+1

log、----=3-t,log、-----；-=21og、----=-2t,

-a+14a'2a

代入后原不等式簡化為（3-t）x:+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以:

[3-f>0fi<32a

?、,解得《二t<0即log,<0

[△=4f+8t（3-t）<0卜<0或1>62r2+1

0<-^-<1,解得0〈a〈l。

a+1

【注】應用局部換元法，起到了化鱉為藺、化難為易的作用.為什么會想到換元及如何

設元，關腱是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og,"上12、log,—slog,（<7+0'三項之間的聯(lián)

a'a+\4a'

系.在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”.另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟

練.一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所

給的已知條件進行適當變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一

點°

"I-IFsin6cos8_cos*9,sin*010/八、x.

例5.已知------=------,且——；—+———=—；———（②式；），求n一的z

XyX*7-3（1+廠）y

值.

sin0cos0

【解】設------=---=卜貝|jsin8=kx,cosQ=ky,且sin*6+cos29=

*y

k"x：4y：）=l,代入②式得：*y：+<==?即：,：+二=

父y3（J+廠）3父y'

10

3

設==t,則t+L=12,解得：t=3或L.?.±=±Ji或土3

廠t33y3

【另解】由±==-=七88,將等式②兩邊同時除以里J,再表示成含tge

ycosox-

的式子：1+tg'e=(1+tg’8)x------j----=—tg?6?設tg’8=t,則3t‘一10t+3

3(1+,)

tg-0

=0?

1xr~Ji

，t=3或—，解得=±>/^或土---?

3y3

【注】第一種解法由吧-而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù).

Iy

第二種解法將已知變形為“=SinB，不難發(fā)現(xiàn)進行結果為tg8，再進行換元和變形.兩

ycos8

種解法要求代數(shù)變形比較熟練.在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低.

例6.實數(shù)x、y滿足出二上+紅上上=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范圍.

916

【分析】由已知條件出二Y+^^=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a'+b：=：L有相似之處,

916

于是實施三角換元.

r翻]由(x_a0+1)2得x_l_

I解】田十一1>lx.....-cost),-------smH>

91634

fx=1+3cos8

即：《代入不等式x+y—k>0得：

［」=-1+4sin0

3cos0+4sin6—k>0,即k〈3cos8+4sin0—5sin(0+l|J)

所以k<-5時不等式恒成立.

【注】本題進行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式

恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍.一

般地，在遇到與扇、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、桶扇、雙曲線等

有關問題時，經常使用“三角換元法”.

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式ax+by

+c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=O所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部

分.此題不等式恒成立問題化為圖形問題：桶圓上的

點始終位于平面上x+y-k>0的區(qū)域.即當直線x+y

-k=0在與桶扇下部相切的切線之下時.當直線與橢

圓相切時，方程組《有相

[r+『-k=0

等的一組實效解，消元后由△=()可求得k=-3,所以

k<-3時原不等式恒成立.

HR崎:

1.已知f(x')=lgx(x>0),則f(4)的值為,

A.21g2B.1lg2C.2lg2D.2lg4

333

2.函數(shù)y=(x+l)'+2的單調噌區(qū)間是.

A.[-2,+8)B.[-1,+0°)D.(-8,+8)c.(-8,-1]

3.設等差數(shù)列｛a｝的公差d=：,且Sloo=145,則ax+a3+a,+??+@99的值為

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x:+4y:=4x,則x+y的范圍是□

5.已知a三。，b>0,a+b=l.則+(77；的范圍是?

6.不等式?>ax+。的解集是(4,b),則a=>b=.

2

7.函數(shù)y=2x+、&"，!■的值域是。

8.在等比數(shù)列｛a｝中，aj+a,+?+a10=2,au+au+?+a”=12,求a”+a”

I,,Ia,0。

9.實數(shù)m在什么范圍內取值，對任意實數(shù)X,

不等式sin:x+2mcosx+4m—1<0恒成V7.

10.已知矩形ABCD,頂點C(4,4),A點在曲線

x:+y:=2(x>0,y>0)上移動，且AB、AD

始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面

積.

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關系，設出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理

論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者

兩個多項式各同類項的系數(shù)對應相等。

待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，

通過引入一些待定的系數(shù)，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學

問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、

求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求

解。

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方

面著手分析：①利用對應系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③利用定義本身的屬性列方程；④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把

兒何條件轉化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系

數(shù)代入己經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

V

1.設f(x)=+m,f(x)的反函數(shù)f"(x)=nx—5,那么m、n的值依次為.

2

5555

A,一,-2B.——,2C.—2D.——,~2

2222

2.二次不等式ax:+bx+2>0的解集是(一^「)，則a+b的值是.

23

A.10B.—10C.14D.—14

3.在(1+x)的展開式中，/的系數(shù)是.

A.-297B.一252C.297D.207

31

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為一，最小值為一一，則y=-4asin3bx的最小

22

正周期是。

5.與直線L：2x+3y+5=0平行且過點的直線L'的方程是?

6.與雙曲線x:-尸=1有共同的漸近線，且過點⑵2)的雙曲線的方程是

4

V

【藺解】1小題：由f(x)=+m求出f"(X)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2

2小題：由不等式解集(-L,L),可知一L、L是方程ax'+bx+2=0的兩根，代入

2323

兩根，列出關于系數(shù)a、b的方程組，易求得a+b,選D；

3小題：分析x'的系數(shù)由C；。與(一l)C；0兩項組成，相加后得￡的系數(shù)，選力

4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代人求得答案竺；

3

5小題：設直線L'方程2x+3y+c=0,點A(l,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0；

yyj

6小題：設雙曲線方程/一匚=入，點⑵2)代人求得A=3,即得方程二一匕=1.

4312

n、鈕性蚪

例1.已知函數(shù)丫=-----；---------的取大值為7,取小值為一1,求此函數(shù)式.

X"+1

【分析】求函數(shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際

是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”.

【解】函數(shù)式變形為：(y—m)x?-4>/3x+(y—n)=0,xGR,由已知得y-m#0

△=(—4萬)'-4(y—m)(y—n)三0即：y:—(m+n)y+(mn-12)WO①

不等式①的解集為(T,7),則一1、7是方程y'一(m+n)y+(mn—12)=