高考一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)數(shù)學(xué)課時(shí)規(guī)范練32數(shù)列的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法

課時(shí)規(guī)范練32數(shù)列的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)鞏固組1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n+1,n的第一個(gè)取值應(yīng)是()A.1 B.2 C.3 D.42.用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn=na1+n(n-1)2d時(shí),假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),公式成立,則A.a1+(k1)d B.kC.ka1+k(kD.(k+1)a1+k(k+13.某小鎮(zhèn)在今年年底統(tǒng)計(jì)有人口20萬,預(yù)計(jì)人口年平均增長率為1%,那么五年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為()A.20×(1.01)5萬 B.20×(1.01)4萬C.20×1.0D.20×1.4.對于不等式n2+n<n+1(n∈N+(1)當(dāng)n=1時(shí),12+1<1+1,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),不等式成立,即k2+k<k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)2所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,則上述證法()A.過程全部正確B.n=1驗(yàn)得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確5.今年“五一”期間,北京十家重點(diǎn)公園舉行免費(fèi)游園活動(dòng),北海公園免費(fèi)開放一天,早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園,接下來的第一個(gè)30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來,第二個(gè)30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來,第三個(gè)30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來,第四個(gè)30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來……按照這種規(guī)律進(jìn)行下去,到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是.

6.某市利用省運(yùn)會(huì)的契機(jī),鼓勵(lì)全民健身,從7月起向全市投放A,B兩種型號的健身器材.已知7月投放A型號健身器材300臺,B型號健身器材64臺,計(jì)劃8月起,A型號健身器材每月的投放量均為a臺,B型號健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底該市A,B型號兩種健身器材投放總量不少于2000臺,則a的最小值為.

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+12+13+18.已知數(shù)列{xn},{yn}滿足x1=5,y1=5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+1=13.求證:xn=3n+2,yn=12·3n(n∈N*).綜合提升組9.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)=;當(dāng)n>4時(shí),f(n)=(用n表示).

10.某大學(xué)畢業(yè)生為自主創(chuàng)業(yè)于2019年8月初向銀行貸款240000元,與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款,從2019年9月初開始,每個(gè)月月初還一次款,貸款月利率為0.5%,現(xiàn)因經(jīng)營狀況良好準(zhǔn)備向銀行申請?zhí)崆斑€款計(jì)劃于2024年8月初將剩余貸款全部一次還清,則該大學(xué)畢業(yè)生按現(xiàn)計(jì)劃的所有還款數(shù)額比按原約定所有還款數(shù)額少()(注:“等額本金還款法”是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還,每一期所還款金額由兩部分組成,一部分為每期本金,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是利息,即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率;1年按12個(gè)月計(jì)算)A.18000元 B.18300元C.28300元 D.36300元11.用數(shù)學(xué)歸納法證明:112+13-14+…12.一對夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用,從孩子一周歲生日開始,每年到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期,若年利率為r保持不變,且每年到期時(shí)存款(含利息)自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入,將所有存款(含利息)全部取回,則取回的錢的總數(shù)為多少.13.已知n∈N*,Sn=(n+1)(n+2)·…·(n+n),Tn=2n×1×3×…×(2n1).(1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3;(2)猜想Sn與Tn的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.14.已知某中學(xué)食堂每天供應(yīng)3000名學(xué)生用餐,為了改善學(xué)生伙食,學(xué)校每星期一有A,B兩種菜可供大家免費(fèi)選擇(每人都會(huì)選而且只能選一種菜).調(diào)查資料表明,凡是在這星期一選A種菜的,下星期一會(huì)有20%改選B種菜;而選B種菜的,下星期一會(huì)有40%改選A種菜.用an,bn分別表示在第n個(gè)星期一選A種菜的人數(shù)和選B種菜的人數(shù),如果a1=2000.(1)請用an,bn表示an+1與bn+1;(2)證明:數(shù)列{an2000}是常數(shù)列.創(chuàng)新應(yīng)用組15.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(Sn-1)2=anSn(n∈N*),設(shè)bn=(1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),數(shù)列{bn}(1)求S1、S2、S3的值;(2)利用“歸納—猜想—證明”求出Sn的通項(xiàng)公式;(3)求數(shù)列Tn的通項(xiàng)公式16.某學(xué)校實(shí)驗(yàn)室有濃度為2g/mL和0.2g/mL的兩種K溶液.在使用之前需要重新配制溶液,具體操作方法為取濃度為2g/mL和0.2g/mL的兩種K溶液各300mL分別裝入兩個(gè)容積都為500mL的錐形瓶A,B中,先從瓶A中取出100mL溶液放入B瓶中,充分混合后,再從B瓶中取出100mL溶液放入A瓶中,再充分混合.以上兩次混合過程完成后算完成一次操作.設(shè)在完成第n次操作后,A瓶中溶液濃度為ang/mL,B瓶中溶液濃度為bng/mL.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)(1)請計(jì)算a1,b1,并判定數(shù)列{anbn}是否為等比數(shù)列?若是,求出其通項(xiàng)公式;若不是,請說明理由;(2)若要使得A,B兩個(gè)瓶中的溶液濃度之差小于0.01g/mL,則至少要經(jīng)過幾次?參考答案課時(shí)規(guī)范練32數(shù)列的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法1.C∵n=1時(shí),21=1,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2時(shí),22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3時(shí),23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一個(gè)取值應(yīng)是3.2.C假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Sk=ka1+k(3.A某小鎮(zhèn)在今年年底統(tǒng)計(jì)有人口20萬,預(yù)計(jì)人口年平均增長率為1%,那么1年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%),2年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)2,3年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)3,4年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)4,5年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1+1%)5=20×(1.01)5.4.D在n=k+1時(shí),沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.5.4039設(shè)每個(gè)30分鐘進(jìn)去的人數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an},則a1=2=20,a2=41,a3=82,a4=163,a5=324,…,an=2n(n1).設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,依題意,只需求S11=(20)+(221)+(232)+…+(21110)=(2+22+23+…+211)(1+2+…+10)=2(1-211)1-2-11×102=26.74設(shè)B型號健身器材這6個(gè)月投放量為{bn},公比為q,則bn是以b1=64為首項(xiàng),q=32的等比數(shù)列,q≠1,∴其前6項(xiàng)和為S6=64×[1-(32)

6]1-32=1330,∴5a+300+7.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k,k∈N*時(shí),不等式成立,即有1+12+13+1則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+12+13+14+…+12k-1又12k+12k+1+即1+12+13+14+…+即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.綜上可得,對于任意n∈N*,1+12+13+148.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),x1=5=31+2,y1=12×31=5,滿足條件,命題成立.(2)假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即xk=3k+2,yk=12·3k成立.當(dāng)n=k+1時(shí),由2xk+1+3yk=7,有xk+1=12(73yk)=7-3(1-2由6xk+yk+1=13,有yk+1=136xk=136×(3k+2)=12·3k+1.所以n=k+1時(shí)命題也成立.綜上(1)和(2)可知,對一切n∈N*,命題xn=3n+2,yn=12·3n(n∈N*)成立.9.512(n+1)(n2)由題意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以歸納出每增加一條直線,交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線的條數(shù).所以f(4)f(3)=3,f(5)f(4)=猜測得出f(n)f(n1)=n1(n≥4).有f(n)f(3)=3+4+…+(n1),所以f(n)=12(n+1)(n2).n=3時(shí),也滿足此式10.B由題意可知,該大學(xué)畢業(yè)生兩種還款方式所還的本金最終都是240000元,∴兩種還款方式的本金沒有差額.∵該大學(xué)畢業(yè)生決定2024年8月初將剩余貸款全部一次還清,∴從2019年9月初第一次還款到2024年8月初這5整年即60個(gè)月兩種還款方式所還的利息也是一樣的.∴按原約定所有還款數(shù)額按現(xiàn)計(jì)劃的所有還款數(shù)額=原約定還款方式從2024年9月起到最后還完這整60個(gè)月所還的利息.∵每月應(yīng)還本金:240000÷120=2000(元),2024年8月還完后本金還剩2400002000×60=120000(元).∴2024年9月應(yīng)還利息為:120000×0.5%,2024年10月應(yīng)還利息為:(1200002000)×0.5%,2024年11月應(yīng)還利息為:(1200002000×2)×0.5%,…最后一次應(yīng)還利息為:(1200002000×59)×0.5%.后60個(gè)月所還的利息為:120000×0.5%+(1200002000)×0.5%+(1200002000×2)×0.5%+…+(1200002000×59)×0.5%=0.5%×[120000+(1200002000)+(1200002000×2)+…+(1200002000×59)]=0.5%×[120000×602000×(1+2+…+59)]=18300(元).11.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=112=12,右邊=(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即112+13-14+…當(dāng)n=k+1時(shí),112+13=1k+1+1=1k+2+…=1k+2+1=1(k+1)+1根據(jù)(1)和(2),可知112+13-14+…+原等式得證.12.解根據(jù)題意,當(dāng)孩子18歲生日時(shí),孩子在一周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r)17,同理,孩子在2周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r)16,孩子在3周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r)15,……孩子在17周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1+r),可以看成是以a(1+r)為首項(xiàng),(1+r)為公比的等比數(shù)列的前17項(xiàng)的和,此時(shí)將存款(含利息)全部取回,則取回的錢的總數(shù)S=a(1+r)17+a(1+r)16+…+a(1+r)=a(1+r)[(1+r)1713.解(1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120;(2)猜想:Sn=Tn(n∈N*).證明:①當(dāng)n=1時(shí),S1=T1;②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí),Sk=Tk,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k1),則當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(2k)(2k+1)(2k+2)=2k×1×3×…×(=2k+1×1×3×…×(2k1)(2k+1)=Tk+1.即n=k+1時(shí)也成立,由①和②可知n∈N*,Sn=Tn成立.14.(1)解由題意知:an+1=45an+25bn,bn+1=15an+3(2)證明∵an+1=45an+25bn,且an+bn=3∴an+1=45an+25(3000an),∴an+1=25an+∴an+12000=25(an2000),又a12000=∴數(shù)列{an2000}是常數(shù)列.15.解(1)由(Sn-1)2=anSn,令n=1,則(S當(dāng)n≥2時(shí),由an=SnSn1,得(Sn-1)2=(SnSn1)Sn,令n=2,得S2=23,令n=3,得S3=34,即S1=12,S2=23,(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=34,猜想Sn下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),由猜想知顯然成立;②假設(shè)n=k猜想成立,即Sk=kk則當(dāng)n=k+1時(shí),由(1)有Sk+1=12即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想Sn=nn+1綜合①和②可知,猜想Sn=nn+1成立,即Sn(3)由(2)知a1=12,當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=n綜合知an=1n(n+1),又bn=(1)n+1(n+1)2·a則bn=(1)n+1(n+1)2·1n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=1211312-14+13-1514-16+…+1n=1211n+1-1