重慶市萬州區(qū)萬州第一中學2023-2024學年高一下學期3月月考數(shù)學試題

重慶市萬州第一中學高一數(shù)學下期3月月考試題學校：____姓名：____班級：____考號：____一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．1.下列說法錯誤的是（）A.B.，是單位向量，則C.若，則D.任一非零向量都可以平行移動【答案】C【解析】【分析】利用向量的有關概念即可.【詳解】對于A項，因為，所以，故A項正確；對于B項，由單位向量的定義知，，故B項正確；對于C項，兩個向量不能比較大小，故C項錯誤；對于D項，因為非零向量是自由向量，可以自由平行移動，故D項正確．故選：C．2.設非零向量，若，則的取值范圍為（）A.[0，1] B.[0，2]C.[0，3] D.[1，2]【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單位向量、向量加法等知識確定正確答案.【詳解】因為是三個單位向量，因此，當三個向量同向時，取得最大值為；當三個向量兩兩成角時，它們的和為，也即的最小值為，所以的取值范圍為.故選：C3.若向量與的夾角為，，則等于（）A.2 B.4 C.6 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算化簡已知條件，從而求得.【詳解】因為，，解得（負根舍去）.故選：C4.已知單位向量的夾角為，則（）A.9 B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量模的計算公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，故.故選：B.5.已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量夾角為銳角得到關于的不等式組，進而求得的取值范圍，再結合為假命題取的取值范圍的補集即可得解.【詳解】當向量向量與的夾角為銳角時，有且與方向不相同，即，解得且，因為是假命題，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.6.已知三點A，B，C共線，不共線且A在線段BC上（不含BC端點），若，則的最小值為（）A.不存在最小值 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】結合已知條件，由三點共線充要條件可知，所以，由“乘1”法結合基本不等式即可求解.【詳解】設，因為A在線段BC上（不含BC端點），所以由向量共線定理設，所以，由題意有，所以，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：D.7.在中，點在邊上，且．點滿足．若，，則（）A. B. C.12 D.11【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)平面向量的線性運算將用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】因為，所以，因為，所以為的中點，則，故故選：A.8.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖是一個正八邊形窗花隔斷，圖是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖，若正八邊形的邊長為，是正八邊形八條邊上的動點，則的最小值為（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的位置進行分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】設，當與重合時，；當在線段（除）、線段、線段，線段，線段（除）點上運動時，，所以，當與重合時，，所以，以為原點，、分別為軸建立平面直角坐標系，根據(jù)正八邊形的性質可知，，則，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，當在線段（除）上運動時，設，所以，當在線段上運動時，設，所以，當在線段（除）上運動時，設，所以.綜上所述，的最小值為.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9.在中，下列式于與的值相等的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得結果.【詳解】由正弦定理可得，設，則，故滿足條件為AC選項.故選：AC.10.【多選題】已知，則（）A.若，則B.若，則C.的最小值為2D.若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】利用向量平行、垂直的坐標表示，向量模和夾角的坐標表示，通過計算驗證各選項中的結論.【詳解】已知，若，則，解得，A選項正確；若，則，解得，B選項正確；，，當時，有最小值，C選項錯誤；當時，，，向量與向量的夾角為，D選項錯誤.故選：AB11.設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)余弦定理判斷A；根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可判斷B；利用反證法，假設，結合余弦定理和不等式的性質，即可判斷C；舉反例，即可判斷D.【詳解】A.由，可以得出，所以，故A正確；B.由，得，得，故B錯誤；C.假設，則，，，，即，與矛盾，,故C正確；D.取，滿足，此時,故D錯誤．故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．12.已知向量．若，則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量共線的坐標形式得到方程，解出即可.【詳解】因為，所以.又，所以，解得.故答案為：.13.如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點，則的最大值為______.【答案】6【解析】【分析】由題建立平面直角坐標系，再由平面向量數(shù)量積的坐標運算得到，再求二次函數(shù)的最大值即可．【詳解】以為原點，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標系，則，，，，設，其中，則，，，當時，有最大值6．故答案為：6.14.在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，則=______；若，則面積的最大值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】先由正弦定理化邊為角整理得到，兩邊平方即得的值；再利用同角的三角函數(shù)基本關系式求得的值，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，從而得到面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理得，因為，則有，所以，得，即，故；因，，故，可得，由，解得，得，由余弦定理得，，所以，由，當且僅當時等號成立，可得，，即面積的最大值為.故答案為：；.四、解答題：本大題共5小題，共77分，請在答題卡指定區(qū)域內作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知，.（1）設，求；（2）求向量在上的投影的數(shù)量.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用向量的坐標運算，以及數(shù)量積的運算公式，準確運算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的幾何意義，即可求解.【小問1詳解】解：由向量，，可得，且，所以.【小問2詳解】解：由向量，，可得，且，所以向量在上的投影的數(shù)量為.16.已知向量是同一平面內的三個向量，其中．（1）若，且，求向量的坐標；（2）若是單位向量，且，求與的夾角.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設，由，且，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由，求得，利用向量的夾角公式，求得，即可求解.【小問1詳解】解：設，因為，且，可得，解得或，所以或.【小問2詳解】解：因為，且為單位向量，可得，，又因為，可得，所以，則，因為，所以.17.已知中，,，是線段上一點，且，是線段上的一個動點.（1）若，求（用的式子表示）；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量運算法則得到，從而得到，求出答案；（2）建立平面直角坐標系，設，由三點共線，可得，從而求出，，從而求出的取值范圍.【小問1詳解】由得，解得，又已知，∴，故；【小問2詳解】以C為原點，CB為軸，CA為軸建立平面直角坐標系，則，設，，可得，由三點共線，可得，即，代入整理得，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故當時，取得最大值，最大值為，又當時，，當時，，故的取值范圍為18.已知，，分別為三個內角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用內角和定理與和角的正弦公式化簡得到，即可求得角A；（2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式計算即得；（3）由三角形面積公式求出，利用余弦定理變形轉化求出，即得周長.【小問1詳解】．由正弦定理可得，因，所以，可得，為三角形內角，，解得，，．【小問2詳解】由已知，，所以，，，.【小問3詳解】，，由余弦定理得，即，解得，的周長為．19.蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之首．1915年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點D為邊BC上靠近B點的三等分點，，．（1）若，求三角形手巾的面積；（2）當取最小值時，請幫設計師計算BD的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求得的長，即可得的長，由三角形面積公式即可求得答案.（2）設