高中數(shù)學(xué)新教材解三角形教案

中學(xué)數(shù)學(xué)新教材解三角形教案

中學(xué)數(shù)學(xué)新教材解三角形教案1

一、教學(xué)內(nèi)容分析

向量作為工具在數(shù)學(xué)、物理以及實際生活中都有著廣泛的應(yīng)用.

本小節(jié)的重點是結(jié)合向量學(xué)問證明數(shù)學(xué)中直線的平行、垂直問題，以及不等式、三角公式的證明、物理學(xué)中的應(yīng)用.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

1、通過利用向量學(xué)問解決不等式、三角及物理問題，感悟向量作為一種工具有著廣泛的應(yīng)用，體會從不同角度去看待一些數(shù)學(xué)問題，使一些數(shù)學(xué)學(xué)問有機聯(lián)系，拓寬解決問題的思路.

2、了解構(gòu)造法在解題中的運用.

三、教學(xué)重點及難點

重點：平面對量學(xué)問在各個領(lǐng)域中應(yīng)用.

難點：向量的構(gòu)造.

四、教學(xué)流程設(shè)計

五、教學(xué)過程設(shè)計

一、復(fù)習(xí)與回顧

1、提問：下列哪些量是向量?

(1)力(2)功(3)位移(4)力矩

2、上述四個量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?

[說明]復(fù)習(xí)數(shù)量積的有關(guān)學(xué)問.

二、學(xué)習(xí)新課

例1(書中例5)

向量作為一種工具，不僅在物理學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，同時它在數(shù)學(xué)學(xué)科中也有很多妙用!請看

例2(書中例3)

證法(一)原不等式等價于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.

證法(二)向量法

[說明]本例關(guān)鍵引導(dǎo)學(xué)生視察不等式結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造向量，并發(fā)覺(等號成立的充要條件是)

例3(書中例4)

[說明]本例的關(guān)鍵在于構(gòu)造單位圓，利用向量數(shù)量積的兩個公式得到證明.

二、鞏固練習(xí)

1、如圖，某人在靜水中游泳，速度為km/h.

(1)假如他徑直游向河對岸，水的流速為4km/h，他實際沿什么方向前進?速度大小為多少?

答案：沿北偏東方向前進，實際速度大小是8km/h.

(2)他必需朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進?實際前進的速度大小為多少?

答案：朝北偏西方向前進，實際速度大小為km/h.

三、課堂小結(jié)

1、向量在物理、數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.

2、要學(xué)會從不同的角度去看一個數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)學(xué)問有機聯(lián)系.

四、作業(yè)布置

1、書面作業(yè)：課本P73,練習(xí)8.44

中學(xué)數(shù)學(xué)新教材解三角形教案2

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系.

2.會求一些簡潔函數(shù)的反函數(shù).

3.在嘗試、探究求反函數(shù)的過程中，深化對概念的相識，總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟，加深對函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特別到一般等數(shù)學(xué)思想方法的相識.

4.進一步完善學(xué)生思維的深刻性，培育學(xué)生的逆向思維實力，用辯證的觀點分析問題，培育抽象、概括的實力.

教學(xué)重點：求反函數(shù)的方法.

教學(xué)難點：反函數(shù)的概念.

教學(xué)過程：

教學(xué)活動

設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1.復(fù)習(xí)提問

①函數(shù)的概念

②y=f(x)中各變量的意義

2.同學(xué)們在物理課學(xué)過勻速直線運動的位移和時間的函數(shù)關(guān)系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是時間t的函數(shù);在t=中，時間t是位移S的函數(shù).在這種狀況下，我們說t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù).什么是反函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

3.板書課題

由實際問題引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)愛好，展示了教學(xué)目標(biāo).這樣既可以撥去反函數(shù)這一概念的神奇面紗，也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性.

二、實例分析，組織探究

1.問題組一：

(用投影給出函數(shù)與;與()的圖象)

(1)這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系?這兩組函數(shù)有什么關(guān)系?(生答：與的圖像關(guān)于直線y=x對稱;與()的圖象也關(guān)于直線y=x對稱.是求一個數(shù)立方的運算，而是求一個數(shù)立方根的運算，它們互為逆運算.同樣，與()也互為逆運算.)

(2)由，已知y能否求x?

(3)是否是一個函數(shù)?它與有何關(guān)系?

(4)與有何聯(lián)系?

2.問題組二：

(1)函數(shù)y=2x1(x是自變量)與函數(shù)x=2y1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

(2)函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2y1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

(3)函數(shù)()的定義域與函數(shù)()的值域有什么關(guān)系?

3.滲透反函數(shù)的概念.

(老師點明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探究其特點)

從學(xué)生熟知的函數(shù)動身，抽象出反函數(shù)的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，有利于培育學(xué)生抽象、概括的實力.

通過這兩組問題，為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在最近進展區(qū)設(shè)計問題，使學(xué)生對反函數(shù)有一個直觀的粗略印象，為進一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ).

三、師生互動，歸納定義

1.(依據(jù)上述實例，老師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義)

函數(shù)y=f(x)(x∈A)中，設(shè)它的值域為C.我們依據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=j(y).假如對于y在C中的任何一個值，通過x=j(y)，x在A中都有的值和它對應(yīng)，那么,x=j(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=j(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù).記作:.考慮到用x表示自變量,y表示函數(shù)的習(xí)慣，將中的x與y對調(diào)寫成.

2.引導(dǎo)分析：

1)反函數(shù)也是函數(shù);

2)對應(yīng)法則為互逆運算;

3)定義中的假如意味著對于一個隨意的函數(shù)y=f(x)來說不肯定有反函數(shù);

4)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)的值域、定義域;

5)函數(shù)y=f(x)與x=f(y)互為反函數(shù);

6)要理解好符號f;

7)交換變量x、y的緣由.

3.兩次轉(zhuǎn)換x、y的對應(yīng)關(guān)系

(原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y是等價的，原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價的.)

4.函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系

函數(shù)y=f(x)

函數(shù)

定義域

A

C

值域

C

A

四、應(yīng)用解題，總結(jié)步驟

1.(投影例題)

【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù)

(1)y=3x-1(2)y=x1

【例2】求函數(shù)的反函數(shù).

(老師板書例題過程后，由學(xué)生總結(jié)求反函數(shù)步驟.)

2.總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟:

1°由y=f(x)反解出x=f(y).

2°把x=f(y)中x與y互換得.

3°寫出反函數(shù)的定義域.

(簡記為：反解、互換、寫出反函數(shù)的定義域)【例3】(1)有沒有反函數(shù)?

(2)的反函數(shù)是________.

(3)(x0)的反函數(shù)是__________.

在上述探究的基礎(chǔ)上，揭示反函數(shù)的定義，學(xué)生有針對性地體會定義的特點，進而對定義有更深刻的相識，與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生沖突沖突，體會反函數(shù).在剖析定義的過程中，讓學(xué)生體會函數(shù)與方程、一般到特別的數(shù)學(xué)思想，并對數(shù)學(xué)的符號語言有更好的把握.

通過動畫演示，表格對比，使學(xué)生對反函數(shù)定義從感性相識上升到理性相識，從而消化理解.

通過對詳細(xì)例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用，并剛好歸納總結(jié)，培育學(xué)生分析、思索的習(xí)慣，以及歸納總結(jié)的實力.

題目的設(shè)計遵循了從了解到理解，從駕馭到應(yīng)用的不同層次要求，由淺入深，按部就班.并體現(xiàn)了對定義的反思理解.學(xué)生思索練習(xí)，師生共同分析訂正.

五、鞏固強化，評價反饋

1.已知函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，求它的反函數(shù)y=f(x)

(1)y=-2x3(xR)(2)y=-(xR,且x)

(3)y=(xR,且x)

2.已知函數(shù)f(x)=(xR,且x)存在反函數(shù)，求f(7)的值.

五、反思小結(jié)，再度設(shè)疑

本節(jié)課主要探討了反函數(shù)的定義，以及反函數(shù)的求解步驟.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象究竟有什么特點呢?為什么具有這樣的特點呢?我們將在下節(jié)探討.

(讓學(xué)生談一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會，老師適時點撥)

進一步強化反函數(shù)的概念，并能正確求出反函數(shù).反饋學(xué)生對學(xué)問的駕馭狀況，評價學(xué)生對學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實程度.詳細(xì)實踐中可實行同學(xué)板演、分組競賽等多種形式調(diào)動學(xué)生的樂觀性.問題是數(shù)學(xué)的心臟學(xué)生帶著問題走進課堂又帶著新的問題走出課堂.

六、作業(yè)

習(xí)題2.4第1題，第2題

進一步鞏固所學(xué)的學(xué)問.

教學(xué)設(shè)計說明

問題是數(shù)學(xué)的心臟.一個概念的形成是螺旋式上升的，一般要經(jīng)過詳細(xì)到抽象，感性到理性的過程.本節(jié)教案通過一個物理學(xué)中的詳細(xì)實例引入反函數(shù)，進而又通過若干函數(shù)的圖象進一步加以誘導(dǎo)剖析，最終形成概念.

反函數(shù)的概念是教學(xué)中的難點，緣由是其本身較為抽象，經(jīng)過兩次代換，又接受了抽象的符號.由于沒有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念.為此，我們大膽地運用教材，把互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示，進而探究緣由，找尋規(guī)律，程序是從問題動身，探討性質(zhì)，進而得出概念，這正是數(shù)學(xué)探討的依次，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有助于概念的建立與形成.另外，對概念的剖析以及習(xí)題的配備也很精當(dāng)，通過不同層次的問題，滿意學(xué)生多層次須要，起到評價反饋的作用.通過對函數(shù)與方程的分析，互逆探究，動畫演示，表格對比、學(xué)生探討等多種形式的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分調(diào)動了學(xué)生的探求欲，在探究與剖析的過程中，完善學(xué)生思維的深刻性，培育學(xué)生的逆向思維.使學(xué)生自然成為學(xué)習(xí)的主子。

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一：說教材

平面對量的數(shù)量積是兩向量之間的乘法，而平面對量的坐標(biāo)表示把向量之間的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的運算。本節(jié)內(nèi)容是在平面對量的坐標(biāo)表示以及平面對量的數(shù)量積及其運算律的基礎(chǔ)上，介紹了平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，平面兩點間的距離公式，和向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。為解決直線垂直問題，三角形邊角的有關(guān)問題供應(yīng)了很好的方法。本節(jié)內(nèi)容也是全章重要內(nèi)容之一。

二：說學(xué)習(xí)目標(biāo)和要求

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生駕馭

(1)：平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示。

(2)：平面兩點間的距離公式。

(3)：向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。

以及它們的一些簡潔應(yīng)用，以上三點也是本節(jié)課的重點，本節(jié)課的難點是向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件以及它的敏捷應(yīng)用。

三：說教法

在教學(xué)過程中，我主要接受了以下幾種教學(xué)方法：

(1)啟發(fā)式教學(xué)法

因為本節(jié)課重點的坐標(biāo)表示公式的推導(dǎo)相對比較簡潔，所以這節(jié)課我打算讓學(xué)生自行推導(dǎo)出兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺幾個重要的結(jié)論：如模的計算公式，平面兩點間的距離公式，向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。

(2)講解式教學(xué)法

主要是講清概念，解除學(xué)生在概念理解上的懷疑感;例題講解時，演示解題過程!

主要協(xié)助教學(xué)的手段(powerpoint)

(3)探討式教學(xué)法

主要是通過學(xué)生之間的相互溝通來加深對較難問題的理解，提高學(xué)生的自學(xué)實力和發(fā)覺、分析、解決問題以及創(chuàng)新實力。

四：說學(xué)法

學(xué)生是課堂的主體，一切教學(xué)活動都要圍繞學(xué)生綻開，借以誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，增加課堂上和學(xué)生的溝通，從而達到剛好發(fā)覺問題，解決問題的目的。通過精講多練，充分調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)的樂觀性。如讓學(xué)生自己動手推導(dǎo)兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)4個重要的結(jié)論!并在詳細(xì)的問題中，讓學(xué)生建立方程的思想，更好的解決問題!

五：說教學(xué)過程

這節(jié)課我打算這樣進行：

首先提出問題：要算出兩個非零向量的數(shù)量積，我們須要知道哪些量?

接著提出問題：假如知道兩個非零向量的坐標(biāo)，是不是可以用這兩個向量的坐標(biāo)來表示這兩個向量的數(shù)量積呢?

引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，在此公式基礎(chǔ)上還可以引導(dǎo)學(xué)生得到以下幾個重要結(jié)論：

(1)模的計算公式

(2)平面兩點間的距離公式。

(3)兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示

(4)兩個向量垂直的標(biāo)表示的充要條件

其次部分是例題講解，通過例題講解，使學(xué)生更加熟識公式并會加以應(yīng)用。

例題1是書上122頁例1，此題是干脆用平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)公式的題，目的是讓學(xué)生熟識這個公式，并在此題基礎(chǔ)上，求這兩個向量的夾角?目的是讓學(xué)生熟識兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示公式例題2是干脆證明直線垂直的題，雖然比較簡潔，但體現(xiàn)了一種重要的證明方法，這種方法要讓學(xué)生駕馭，其實這一例題也是兩個向量垂直坐標(biāo)表示的充要條件的一個應(yīng)用：即兩個向量的數(shù)量積是否為零是推斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一。

例題3是在例2的基礎(chǔ)上略微作了一下變更，目的是讓學(xué)生會應(yīng)用公式來解決問題，并讓學(xué)生在這要有建立方程的思想。

再配以練習(xí)，讓學(xué)生能嫻熟的應(yīng)用公式，駕馭今日所學(xué)內(nèi)容。

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一教材分析

本節(jié)學(xué)問是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有親密的聯(lián)系與判定三角形的全等也有親密聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時常有解三角形的問題，而且解三角形和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當(dāng)中也時?？家恍┙獯痤}。因此，正弦定理和余弦定理的學(xué)問特別重要。

依據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有學(xué)問水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺正弦定理的內(nèi)容，推證正弦定理及簡潔運用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問題。

實力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過視察，推導(dǎo)，比較，由特別到一般歸納出正弦定理，培育學(xué)生的創(chuàng)新意識和視察與邏輯思維實力，能體會用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

情感目標(biāo)：面對全體學(xué)生，制造同等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的溝通、合作和評價，調(diào)動學(xué)生的主動性和樂觀性，給學(xué)生勝利的體驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愛好。

教學(xué)重點：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學(xué)難點：正弦定理的探究及證明，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時推斷解的個數(shù)。

二教法

依據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點，為是更有效地突出重點，空破難點，以學(xué)業(yè)生的進展為本，遵照學(xué)生的相識規(guī)律，本講遵照以老師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的指導(dǎo)思想，接受探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主和合作溝通為前提，以“正弦定理的發(fā)覺”為基本探究內(nèi)容，以生活實際為參照對象，讓學(xué)生的思維由問題起先，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化。突破重點的手段：抓住學(xué)生情感的興奮點，激發(fā)他們的愛好，鼓舞學(xué)生大膽猜想，樂觀探究，以及剛好地鼓舞，使他們知難而進。另外，抓學(xué)問選擇的切入點，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的學(xué)問特點入手，老師在學(xué)生主體下給以適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。突破難點的方法：抓住學(xué)生的實力線聯(lián)系方法與技能使學(xué)生較易證明正弦定理，另外通過例題和練習(xí)來突破難點

三學(xué)法：

指導(dǎo)學(xué)生駕馭“視察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，實行個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學(xué)學(xué)問應(yīng)用于對隨意三角形性質(zhì)的探究。讓學(xué)生在問題情景中學(xué)習(xí)，視察，類比，思索，探究，概括，動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，增加學(xué)生由特別到一般的數(shù)學(xué)思維實力，形成了實事求是的科學(xué)看法，增加了鍥而不舍的求學(xué)精神。

四教學(xué)過程

第一：創(chuàng)設(shè)情景，也許用2分鐘

其次：實踐探究，形成概念，大約用25分鐘

第三：應(yīng)用概念，拓展反思，大約用13分鐘

(一)創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

“愛好是的老師”，假如一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著勝利了一半，本節(jié)課由一個實際問題引入，“工人師傅的一個三角形的模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB長為1m,想修好這個零件，但他不知道AC和BC的長度是多少好去截料，你能幫師傅這個忙嗎?”激發(fā)學(xué)生幫助別人的熱忱和學(xué)習(xí)的愛好，從而進入今日的學(xué)習(xí)課題。

(二)探尋特例，提出猜想

1.激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟識的特例(直角三角形)入手進行探討，發(fā)覺正弦定理。

2.那結(jié)論對隨意三角形都適用嗎?指導(dǎo)學(xué)生分小組用刻度尺、量角器、計算器等工具對一般三角形進行驗證。

3.讓學(xué)生總結(jié)試驗結(jié)果，得出猜想：

在三角形中，角與所對的邊滿意關(guān)系

這為下一步證明樹立信念，不斷的使學(xué)生對結(jié)論的相識從感性逐步上升到理性。

(三)邏輯推理，證明猜想

1.強調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，須要嚴(yán)格的理論證明。

2.鼓舞學(xué)生通過作高轉(zhuǎn)化為熟識的直角三角形進行證明。

3.提示學(xué)生思索哪些學(xué)問能把長度和三角函數(shù)聯(lián)系起來，繼而思索向量分析層面，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

4.思索是否還有其他的方法來證明正弦定理，布置課后練習(xí)，提示，做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，或用坐標(biāo)法來證明

(四)歸納總結(jié)，簡潔應(yīng)用

1.讓學(xué)生用文字?jǐn)⑹稣叶ɡ?，引?dǎo)學(xué)生發(fā)覺定理具有對稱和諧美，提升對數(shù)學(xué)美的享受。

2.正弦定理的內(nèi)容，探討可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問題。

3.運用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長的問題。自己參與實際問題的解決，能激發(fā)學(xué)生學(xué)問后用于實際的價值觀。

(五)講解例題，鞏固定理

1.例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1簡潔，結(jié)果為解，假如已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。

2.例2.在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學(xué)生熟識駕馭已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。完了把時間交給學(xué)生。

(六)課堂練習(xí)，提高鞏固

1.在△ABC中,已知下列條件,解三角形.

(1)A=45°,C=30°,c=10cm

(2)A=60°,B=45°,c=20cm

2.在△ABC中,已知下列條件,解三角形.

(1)a=20cm,b=11cm,B=30°

(2)c=54cm,b=39cm,C=115°

學(xué)生板演，老師巡察，剛好發(fā)覺問題，并解答。

(七)小結(jié)反思，提高相識

通過以上的探討過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些學(xué)問和方法?你對此有何體會?

1.用向量證明白正弦定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

2.它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關(guān)系。

3.定理證明分別從直角、銳角、鈍角動身，運用分類探討的思想。

(從實際問題動身，通過猜想、試驗、歸納等思維方法，最終得到了推導(dǎo)出正弦定理。我們探討問題的突出特點是從特別到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探究過程我們也駕馭了探討問題的一般方法。在強調(diào)探討性學(xué)習(xí)方法，留意學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生樂觀性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。)

(八)任務(wù)后延，自主探究

假如已知一個三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦?發(fā)覺正弦定理不適用了，那么自然過渡到下一節(jié)內(nèi)容，余弦定理。布置作業(yè)，預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。

五板書設(shè)計

板書設(shè)計可以讓學(xué)生一目了然本節(jié)課所學(xué)的學(xué)問，證明正弦定理的方法以及正弦定理可以解決的兩類問題。

中學(xué)數(shù)學(xué)新教材解三角形教案5

教學(xué)分析

本節(jié)課的探討是對初中不等式學(xué)習(xí)的持續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步進展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的詳細(xì)問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分相識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點進行視察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還支配了一些簡潔的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生留意對數(shù)學(xué)學(xué)問和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具探討不等關(guān)系的愿望.依據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

在本節(jié)教學(xué)中，老師可讓學(xué)生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡潔的數(shù)形結(jié)合工具，干脆用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的依次關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對不等式的相識.

三維目標(biāo)

1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.

2.會用作差法推斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法推斷二次式的大小和范圍.

3.通過溫故知新，提高學(xué)生對不等式的相識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，體會數(shù)學(xué)的神奇與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.

重點難點

教學(xué)重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，推斷二次式的大小和范圍.

教學(xué)難點：精確比較兩個代數(shù)式的大小.

課時支配

1課時

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯麗畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近凹凸各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在詳細(xì)情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)探討不等關(guān)系的劇烈愿望，自然地引入新課.

思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學(xué)成果的多少等現(xiàn)實生活中學(xué)生身邊熟識的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢?讓學(xué)生自由地綻開聯(lián)想，老師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點進行視察、歸納，使學(xué)生在詳細(xì)情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具探討不等關(guān)系的愿望，從而進入進一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.

推動新課

新知探究

提出問題

1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式探討及表示不等關(guān)系?

2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?

3數(shù)軸上的隨意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

4隨意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?

活動：老師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用符號“”“”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“ab”“a

老師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作探討，使學(xué)生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.

實例1：某天的天氣預(yù)報報道，氣溫32℃，最低氣溫26℃.

實例2：對于數(shù)軸上隨意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA

實例3：若一個數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.

實例4：兩點之間線段最短.

實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

實例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.

實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

老師進一步點撥：能夠發(fā)覺身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們探討數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點進行視察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個探討數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所探討過的什么學(xué)問來表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很簡潔想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-7-5，3+41+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

老師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實例3，若用x表示一個非負(fù)數(shù)，則x≥0.實例5，|AC|+|BC||AB|，如下圖.

|AB|+|BC||AC|、|AC|+|BC||AB|、|AB|+|AC||BC|.

|AB|-|BC||AC|、|AC|-|BC||AB|、|AB|-|AC||BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.

實例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，老師應(yīng)點撥學(xué)生留意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿意，避開寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對以上問題，老師讓學(xué)生輪番回答，再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.

探討結(jié)果：

(1)(2)略;(3)數(shù)軸上隨意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.

(4)對于隨意兩個實數(shù)a和b，在a=b，ab，a應(yīng)用示例

例1(教材本節(jié)例1和例2)

活動：通過兩例讓學(xué)生熟識兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常運用的方法，應(yīng)讓學(xué)生嫻熟駕馭.

變式訓(xùn)練

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()

A.f(x)g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥10，∴f(x)g(x).

2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x20.從而(x2+1)2x4+x2+1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a0，b0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動：比較兩個實數(shù)的大小，常依據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小依次的關(guān)系，歸結(jié)為推斷它們的差的符號來確定.本例可由學(xué)生獨立完成，但要點撥學(xué)生在最終的符號推斷說理中，要理由充分，不行忽視這點.

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

∵a0，b0且a≠b，∴a+b0，(a-b)20.∴a-b22a+b0，即a+b221a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時取等號)，

又a≠b，∴(a-b)20,2a2+(a+b)20.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]0.

∴a4-b44a3(a-b).

點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——推斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.

變式訓(xùn)練

已知xy，且y≠0，比較xy與1的大小.

活動：要比較隨意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.

解：xy-1=x-yy.

∵xy，∴x-y0.

當(dāng)y0時，x-yy0，即xy-10.∴xy1;

當(dāng)y0時