高中數(shù)學(xué)新教材解三角形教案

中學(xué)數(shù)學(xué)新教材解三角形教案

中學(xué)數(shù)學(xué)新教材解三角形教案1

一、教學(xué)內(nèi)容分析

向量作為工具在數(shù)學(xué)、物理以及實(shí)際生活中都有著廣泛的應(yīng)用.

本小節(jié)的重點(diǎn)是結(jié)合向量學(xué)問(wèn)證明數(shù)學(xué)中直線的平行、垂直問(wèn)題，以及不等式、三角公式的證明、物理學(xué)中的應(yīng)用.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1、通過(guò)利用向量學(xué)問(wèn)解決不等式、三角及物理問(wèn)題，感悟向量作為一種工具有著廣泛的應(yīng)用，體會(huì)從不同角度去看待一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，使一些數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)有機(jī)聯(lián)系，拓寬解決問(wèn)題的思路.

2、了解構(gòu)造法在解題中的運(yùn)用.

三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面對(duì)量學(xué)問(wèn)在各個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用.

難點(diǎn)：向量的構(gòu)造.

四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)與回顧

1、提問(wèn)：下列哪些量是向量?

(1)力(2)功(3)位移(4)力矩

2、上述四個(gè)量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?

[說(shuō)明]復(fù)習(xí)數(shù)量積的有關(guān)學(xué)問(wèn).

二、學(xué)習(xí)新課

例1(書中例5)

向量作為一種工具，不僅在物理學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)它在數(shù)學(xué)學(xué)科中也有很多妙用!請(qǐng)看

例2(書中例3)

證法(一)原不等式等價(jià)于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.

證法(二)向量法

[說(shuō)明]本例關(guān)鍵引導(dǎo)學(xué)生視察不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造向量，并發(fā)覺(jué)(等號(hào)成立的充要條件是)

例3(書中例4)

[說(shuō)明]本例的關(guān)鍵在于構(gòu)造單位圓，利用向量數(shù)量積的兩個(gè)公式得到證明.

二、鞏固練習(xí)

1、如圖，某人在靜水中游泳，速度為km/h.

(1)假如他徑直游向河對(duì)岸，水的流速為4km/h，他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)?速度大小為多少?

答案：沿北偏東方向前進(jìn)，實(shí)際速度大小是8km/h.

(2)他必需朝哪個(gè)方向游才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)?實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少?

答案：朝北偏西方向前進(jìn)，實(shí)際速度大小為km/h.

三、課堂小結(jié)

1、向量在物理、數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.

2、要學(xué)會(huì)從不同的角度去看一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)有機(jī)聯(lián)系.

四、作業(yè)布置

1、書面作業(yè)：課本P73,練習(xí)8.44

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教學(xué)目標(biāo)：

1.了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系.

2.會(huì)求一些簡(jiǎn)潔函數(shù)的反函數(shù).

3.在嘗試、探究求反函數(shù)的過(guò)程中，深化對(duì)概念的相識(shí)，總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟，加深對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特別到一般等數(shù)學(xué)思想方法的相識(shí).

4.進(jìn)一步完善學(xué)生思維的深刻性，培育學(xué)生的逆向思維實(shí)力，用辯證的觀點(diǎn)分析問(wèn)題，培育抽象、概括的實(shí)力.

教學(xué)重點(diǎn)：求反函數(shù)的方法.

教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)的概念.

教學(xué)過(guò)程：

教學(xué)活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1.復(fù)習(xí)提問(wèn)

①函數(shù)的概念

②y=f(x)中各變量的意義

2.同學(xué)們?cè)谖锢碚n學(xué)過(guò)勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是時(shí)間t的函數(shù);在t=中，時(shí)間t是位移S的函數(shù).在這種狀況下，我們說(shuō)t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù).什么是反函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

3.板書課題

由實(shí)際問(wèn)題引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)愛(ài)好，展示了教學(xué)目標(biāo).這樣既可以撥去反函數(shù)這一概念的神奇面紗，也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性.

二、實(shí)例分析，組織探究

1.問(wèn)題組一：

(用投影給出函數(shù)與;與()的圖象)

(1)這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系?這兩組函數(shù)有什么關(guān)系?(生答：與的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱;與()的圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱.是求一個(gè)數(shù)立方的運(yùn)算，而是求一個(gè)數(shù)立方根的運(yùn)算，它們互為逆運(yùn)算.同樣，與()也互為逆運(yùn)算.)

(2)由，已知y能否求x?

(3)是否是一個(gè)函數(shù)?它與有何關(guān)系?

(4)與有何聯(lián)系?

2.問(wèn)題組二：

(1)函數(shù)y=2x1(x是自變量)與函數(shù)x=2y1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

(2)函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2y1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

(3)函數(shù)()的定義域與函數(shù)()的值域有什么關(guān)系?

3.滲透反函數(shù)的概念.

(老師點(diǎn)明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探究其特點(diǎn))

從學(xué)生熟知的函數(shù)動(dòng)身，抽象出反函數(shù)的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有利于培育學(xué)生抽象、概括的實(shí)力.

通過(guò)這兩組問(wèn)題，為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識(shí)，在最近進(jìn)展區(qū)設(shè)計(jì)問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)反函數(shù)有一個(gè)直觀的粗略印象，為進(jìn)一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ).

三、師生互動(dòng)，歸納定義

1.(依據(jù)上述實(shí)例，老師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義)

函數(shù)y=f(x)(x∈A)中，設(shè)它的值域?yàn)镃.我們依據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出來(lái)，得到x=j(y).假如對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=j(y)，x在A中都有的值和它對(duì)應(yīng)，那么,x=j(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=j(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù).記作:.考慮到用x表示自變量,y表示函數(shù)的習(xí)慣，將中的x與y對(duì)調(diào)寫成.

2.引導(dǎo)分析：

1)反函數(shù)也是函數(shù);

2)對(duì)應(yīng)法則為互逆運(yùn)算;

3)定義中的假如意味著對(duì)于一個(gè)隨意的函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)不肯定有反函數(shù);

4)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)的值域、定義域;

5)函數(shù)y=f(x)與x=f(y)互為反函數(shù);

6)要理解好符號(hào)f;

7)交換變量x、y的緣由.

3.兩次轉(zhuǎn)換x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系

(原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y是等價(jià)的，原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價(jià)的.)

4.函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系

函數(shù)y=f(x)

函數(shù)

定義域

A

C

值域

C

A

四、應(yīng)用解題，總結(jié)步驟

1.(投影例題)

【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù)

(1)y=3x-1(2)y=x1

【例2】求函數(shù)的反函數(shù).

(老師板書例題過(guò)程后，由學(xué)生總結(jié)求反函數(shù)步驟.)

2.總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟:

1°由y=f(x)反解出x=f(y).

2°把x=f(y)中x與y互換得.

3°寫出反函數(shù)的定義域.

(簡(jiǎn)記為：反解、互換、寫出反函數(shù)的定義域)【例3】(1)有沒(méi)有反函數(shù)?

(2)的反函數(shù)是________.

(3)(x0)的反函數(shù)是__________.

在上述探究的基礎(chǔ)上，揭示反函數(shù)的定義，學(xué)生有針對(duì)性地體會(huì)定義的特點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)定義有更深刻的相識(shí)，與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生沖突沖突，體會(huì)反函數(shù).在剖析定義的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程、一般到特別的數(shù)學(xué)思想，并對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言有更好的把握.

通過(guò)動(dòng)畫演示，表格對(duì)比，使學(xué)生對(duì)反函數(shù)定義從感性相識(shí)上升到理性相識(shí)，從而消化理解.

通過(guò)對(duì)詳細(xì)例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用，并剛好歸納總結(jié)，培育學(xué)生分析、思索的習(xí)慣，以及歸納總結(jié)的實(shí)力.

題目的設(shè)計(jì)遵循了從了解到理解，從駕馭到應(yīng)用的不同層次要求，由淺入深，按部就班.并體現(xiàn)了對(duì)定義的反思理解.學(xué)生思索練習(xí)，師生共同分析訂正.

五、鞏固強(qiáng)化，評(píng)價(jià)反饋

1.已知函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，求它的反函數(shù)y=f(x)

(1)y=-2x3(xR)(2)y=-(xR,且x)

(3)y=(xR,且x)

2.已知函數(shù)f(x)=(xR,且x)存在反函數(shù)，求f(7)的值.

五、反思小結(jié)，再度設(shè)疑

本節(jié)課主要探討了反函數(shù)的定義，以及反函數(shù)的求解步驟.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象究竟有什么特點(diǎn)呢?為什么具有這樣的特點(diǎn)呢?我們將在下節(jié)探討.

(讓學(xué)生談一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會(huì)，老師適時(shí)點(diǎn)撥)

進(jìn)一步強(qiáng)化反函數(shù)的概念，并能正確求出反函數(shù).反饋學(xué)生對(duì)學(xué)問(wèn)的駕馭狀況，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實(shí)程度.詳細(xì)實(shí)踐中可實(shí)行同學(xué)板演、分組競(jìng)賽等多種形式調(diào)動(dòng)學(xué)生的樂(lè)觀性.問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂又帶著新的問(wèn)題走出課堂.

六、作業(yè)

習(xí)題2.4第1題，第2題

進(jìn)一步鞏固所學(xué)的學(xué)問(wèn).

教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.一個(gè)概念的形成是螺旋式上升的，一般要經(jīng)過(guò)詳細(xì)到抽象，感性到理性的過(guò)程.本節(jié)教案通過(guò)一個(gè)物理學(xué)中的詳細(xì)實(shí)例引入反函數(shù)，進(jìn)而又通過(guò)若干函數(shù)的圖象進(jìn)一步加以誘導(dǎo)剖析，最終形成概念.

反函數(shù)的概念是教學(xué)中的難點(diǎn)，緣由是其本身較為抽象，經(jīng)過(guò)兩次代換，又接受了抽象的符號(hào).由于沒(méi)有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念.為此，我們大膽地運(yùn)用教材，把互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示，進(jìn)而探究緣由，找尋規(guī)律，程序是從問(wèn)題動(dòng)身，探討性質(zhì)，進(jìn)而得出概念，這正是數(shù)學(xué)探討的依次，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有助于概念的建立與形成.另外，對(duì)概念的剖析以及習(xí)題的配備也很精當(dāng)，通過(guò)不同層次的問(wèn)題，滿意學(xué)生多層次須要，起到評(píng)價(jià)反饋的作用.通過(guò)對(duì)函數(shù)與方程的分析，互逆探究，動(dòng)畫演示，表格對(duì)比、學(xué)生探討等多種形式的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探求欲，在探究與剖析的過(guò)程中，完善學(xué)生思維的深刻性，培育學(xué)生的逆向思維.使學(xué)生自然成為學(xué)習(xí)的主子。

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一：說(shuō)教材

平面對(duì)量的數(shù)量積是兩向量之間的乘法，而平面對(duì)量的坐標(biāo)表示把向量之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的運(yùn)算。本節(jié)內(nèi)容是在平面對(duì)量的坐標(biāo)表示以及平面對(duì)量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，介紹了平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，平面兩點(diǎn)間的距離公式，和向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。為解決直線垂直問(wèn)題，三角形邊角的有關(guān)問(wèn)題供應(yīng)了很好的方法。本節(jié)內(nèi)容也是全章重要內(nèi)容之一。

二：說(shuō)學(xué)習(xí)目標(biāo)和要求

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生駕馭

(1)：平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示。

(2)：平面兩點(diǎn)間的距離公式。

(3)：向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。

以及它們的一些簡(jiǎn)潔應(yīng)用，以上三點(diǎn)也是本節(jié)課的重點(diǎn)，本節(jié)課的難點(diǎn)是向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件以及它的敏捷應(yīng)用。

三：說(shuō)教法

在教學(xué)過(guò)程中，我主要接受了以下幾種教學(xué)方法：

(1)啟發(fā)式教學(xué)法

因?yàn)楸竟?jié)課重點(diǎn)的坐標(biāo)表示公式的推導(dǎo)相對(duì)比較簡(jiǎn)潔，所以這節(jié)課我打算讓學(xué)生自行推導(dǎo)出兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)幾個(gè)重要的結(jié)論：如模的計(jì)算公式，平面兩點(diǎn)間的距離公式，向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。

(2)講解式教學(xué)法

主要是講清概念，解除學(xué)生在概念理解上的懷疑感;例題講解時(shí)，演示解題過(guò)程!

主要協(xié)助教學(xué)的手段(powerpoint)

(3)探討式教學(xué)法

主要是通過(guò)學(xué)生之間的相互溝通來(lái)加深對(duì)較難問(wèn)題的理解，提高學(xué)生的自學(xué)實(shí)力和發(fā)覺(jué)、分析、解決問(wèn)題以及創(chuàng)新實(shí)力。

四：說(shuō)學(xué)法

學(xué)生是課堂的主體，一切教學(xué)活動(dòng)都要圍繞學(xué)生綻開(kāi)，借以誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛(ài)好，增加課堂上和學(xué)生的溝通，從而達(dá)到剛好發(fā)覺(jué)問(wèn)題，解決問(wèn)題的目的。通過(guò)精講多練，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的樂(lè)觀性。如讓學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)4個(gè)重要的結(jié)論!并在詳細(xì)的問(wèn)題中，讓學(xué)生建立方程的思想，更好的解決問(wèn)題!

五：說(shuō)教學(xué)過(guò)程

這節(jié)課我打算這樣進(jìn)行：

首先提出問(wèn)題：要算出兩個(gè)非零向量的數(shù)量積，我們須要知道哪些量?

接著提出問(wèn)題：假如知道兩個(gè)非零向量的坐標(biāo)，是不是可以用這兩個(gè)向量的坐標(biāo)來(lái)表示這兩個(gè)向量的數(shù)量積呢?

引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，在此公式基礎(chǔ)上還可以引導(dǎo)學(xué)生得到以下幾個(gè)重要結(jié)論：

(1)模的計(jì)算公式

(2)平面兩點(diǎn)間的距離公式。

(3)兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示

(4)兩個(gè)向量垂直的標(biāo)表示的充要條件

其次部分是例題講解，通過(guò)例題講解，使學(xué)生更加熟識(shí)公式并會(huì)加以應(yīng)用。

例題1是書上122頁(yè)例1，此題是干脆用平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)公式的題，目的是讓學(xué)生熟識(shí)這個(gè)公式，并在此題基礎(chǔ)上，求這兩個(gè)向量的夾角?目的是讓學(xué)生熟識(shí)兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示公式例題2是干脆證明直線垂直的題，雖然比較簡(jiǎn)潔，但體現(xiàn)了一種重要的證明方法，這種方法要讓學(xué)生駕馭，其實(shí)這一例題也是兩個(gè)向量垂直坐標(biāo)表示的充要條件的一個(gè)應(yīng)用：即兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為零是推斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一。

例題3是在例2的基礎(chǔ)上略微作了一下變更，目的是讓學(xué)生會(huì)應(yīng)用公式來(lái)解決問(wèn)題，并讓學(xué)生在這要有建立方程的思想。

再配以練習(xí)，讓學(xué)生能嫻熟的應(yīng)用公式，駕馭今日所學(xué)內(nèi)容。

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一教材分析

本節(jié)學(xué)問(wèn)是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有親密的聯(lián)系與判定三角形的全等也有親密聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時(shí)常有解三角形的問(wèn)題，而且解三角形和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當(dāng)中也時(shí)常考一些解答題。因此，正弦定理和余弦定理的學(xué)問(wèn)特別重要。

依據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有學(xué)問(wèn)水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)正弦定理的內(nèi)容，推證正弦定理及簡(jiǎn)潔運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問(wèn)題。

實(shí)力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)視察，推導(dǎo)，比較，由特別到一般歸納出正弦定理，培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和視察與邏輯思維實(shí)力，能體會(huì)用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

情感目標(biāo)：面對(duì)全體學(xué)生，制造同等的教學(xué)氛圍，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的溝通、合作和評(píng)價(jià)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和樂(lè)觀性，給學(xué)生勝利的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愛(ài)好。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探究及證明，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)推斷解的個(gè)數(shù)。

二教法

依據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點(diǎn)，為是更有效地突出重點(diǎn)，空破難點(diǎn)，以學(xué)業(yè)生的進(jìn)展為本，遵照學(xué)生的相識(shí)規(guī)律，本講遵照以老師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的指導(dǎo)思想，接受探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作溝通為前提，以“正弦定理的發(fā)覺(jué)”為基本探究?jī)?nèi)容，以生活實(shí)際為參照對(duì)象，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題起先，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化。突破重點(diǎn)的手段：抓住學(xué)生情感的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的愛(ài)好，鼓舞學(xué)生大膽猜想，樂(lè)觀探究，以及剛好地鼓舞，使他們知難而進(jìn)。另外，抓學(xué)問(wèn)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的學(xué)問(wèn)特點(diǎn)入手，老師在學(xué)生主體下給以適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。突破難點(diǎn)的方法：抓住學(xué)生的實(shí)力線聯(lián)系方法與技能使學(xué)生較易證明正弦定理，另外通過(guò)例題和練習(xí)來(lái)突破難點(diǎn)

三學(xué)法：

指導(dǎo)學(xué)生駕馭“視察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，實(shí)行個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)學(xué)問(wèn)應(yīng)用于對(duì)隨意三角形性質(zhì)的探究。讓學(xué)生在問(wèn)題情景中學(xué)習(xí)，視察，類比，思索，探究，概括，動(dòng)手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，增加學(xué)生由特別到一般的數(shù)學(xué)思維實(shí)力，形成了實(shí)事求是的科學(xué)看法，增加了鍥而不舍的求學(xué)精神。

四教學(xué)過(guò)程

第一：創(chuàng)設(shè)情景，也許用2分鐘

其次：實(shí)踐探究，形成概念，大約用25分鐘

第三：應(yīng)用概念，拓展反思，大約用13分鐘

(一)創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

“愛(ài)好是的老師”，假如一節(jié)課有個(gè)好的開(kāi)頭，那就意味著勝利了一半，本節(jié)課由一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入，“工人師傅的一個(gè)三角形的模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB長(zhǎng)為1m,想修好這個(gè)零件，但他不知道AC和BC的長(zhǎng)度是多少好去截料，你能幫師傅這個(gè)忙嗎?”激發(fā)學(xué)生幫助別人的熱忱和學(xué)習(xí)的愛(ài)好，從而進(jìn)入今日的學(xué)習(xí)課題。

(二)探尋特例，提出猜想

1.激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟識(shí)的特例(直角三角形)入手進(jìn)行探討，發(fā)覺(jué)正弦定理。

2.那結(jié)論對(duì)隨意三角形都適用嗎?指導(dǎo)學(xué)生分小組用刻度尺、量角器、計(jì)算器等工具對(duì)一般三角形進(jìn)行驗(yàn)證。

3.讓學(xué)生總結(jié)試驗(yàn)結(jié)果，得出猜想：

在三角形中，角與所對(duì)的邊滿意關(guān)系

這為下一步證明樹(shù)立信念，不斷的使學(xué)生對(duì)結(jié)論的相識(shí)從感性逐步上升到理性。

(三)邏輯推理，證明猜想

1.強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，須要嚴(yán)格的理論證明。

2.鼓舞學(xué)生通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的直角三角形進(jìn)行證明。

3.提示學(xué)生思索哪些學(xué)問(wèn)能把長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，繼而思索向量分析層面，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

4.思索是否還有其他的方法來(lái)證明正弦定理，布置課后練習(xí)，提示，做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，或用坐標(biāo)法來(lái)證明

(四)歸納總結(jié)，簡(jiǎn)潔應(yīng)用

1.讓學(xué)生用文字?jǐn)⑹稣叶ɡ?，引?dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)定理具有對(duì)稱和諧美，提升對(duì)數(shù)學(xué)美的享受。

2.正弦定理的內(nèi)容，探討可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問(wèn)題。

3.運(yùn)用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長(zhǎng)的問(wèn)題。自己參與實(shí)際問(wèn)題的解決，能激發(fā)學(xué)生學(xué)問(wèn)后用于實(shí)際的價(jià)值觀。

(五)講解例題，鞏固定理

1.例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1簡(jiǎn)潔，結(jié)果為解，假如已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對(duì)邊，都可利用正弦定理來(lái)解三角形。

2.例2.在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學(xué)生熟識(shí)駕馭已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形。完了把時(shí)間交給學(xué)生。

(六)課堂練習(xí)，提高鞏固

1.在△ABC中,已知下列條件,解三角形.

(1)A=45°,C=30°,c=10cm

(2)A=60°,B=45°,c=20cm

2.在△ABC中,已知下列條件,解三角形.

(1)a=20cm,b=11cm,B=30°

(2)c=54cm,b=39cm,C=115°

學(xué)生板演，老師巡察，剛好發(fā)覺(jué)問(wèn)題，并解答。

(七)小結(jié)反思，提高相識(shí)

通過(guò)以上的探討過(guò)程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些學(xué)問(wèn)和方法?你對(duì)此有何體會(huì)?

1.用向量證明白正弦定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

2.它表述了三角形的邊與對(duì)角的正弦值的關(guān)系。

3.定理證明分別從直角、銳角、鈍角動(dòng)身，運(yùn)用分類探討的思想。

(從實(shí)際問(wèn)題動(dòng)身，通過(guò)猜想、試驗(yàn)、歸納等思維方法，最終得到了推導(dǎo)出正弦定理。我們探討問(wèn)題的突出特點(diǎn)是從特別到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探究過(guò)程我們也駕馭了探討問(wèn)題的一般方法。在強(qiáng)調(diào)探討性學(xué)習(xí)方法，留意學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生樂(lè)觀性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。)

(八)任務(wù)后延，自主探究

假如已知一個(gè)三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦?發(fā)覺(jué)正弦定理不適用了，那么自然過(guò)渡到下一節(jié)內(nèi)容，余弦定理。布置作業(yè)，預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。

五板書設(shè)計(jì)

板書設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生一目了然本節(jié)課所學(xué)的學(xué)問(wèn)，證明正弦定理的方法以及正弦定理可以解決的兩類問(wèn)題。

中學(xué)數(shù)學(xué)新教材解三角形教案5

教學(xué)分析

本節(jié)課的探討是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的持續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步進(jìn)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的詳細(xì)問(wèn)題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分相識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行視察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還支配了一些簡(jiǎn)潔的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生留意對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛(ài)好，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具探討不等關(guān)系的愿望.依據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

在本節(jié)教學(xué)中，老師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)潔的數(shù)形結(jié)合工具，干脆用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的依次關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的相識(shí).

三維目標(biāo)

1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.

2.會(huì)用作差法推斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法推斷二次式的大小和范圍.

3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的相識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛(ài)好，體會(huì)數(shù)學(xué)的神奇與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，推斷二次式的大小和范圍.

教學(xué)難點(diǎn)：精確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

課時(shí)支配

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯麗畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近凹凸各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在詳細(xì)情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)探討不等關(guān)系的劇烈愿望，自然地引入新課.

思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成果的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟識(shí)的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地綻開(kāi)聯(lián)想，老師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行視察、歸納，使學(xué)生在詳細(xì)情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具探討不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.

推動(dòng)新課

新知探究

提出問(wèn)題

1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式探討及表示不等關(guān)系?

2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?

3數(shù)軸上的隨意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

4隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?

活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“”“”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“ab”“a

老師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作探討，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.

實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，氣溫32℃，最低氣溫26℃.

實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上隨意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA

實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.

實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短.

實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

實(shí)例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40km/h.

實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

老師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)覺(jué)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們探討數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行視察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)探討數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所探討過(guò)的什么學(xué)問(wèn)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很簡(jiǎn)潔想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式子.如-7-5，3+41+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

老師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC||AB|，如下圖.

|AB|+|BC||AC|、|AC|+|BC||AB|、|AB|+|AC||BC|.

|AB|-|BC||AC|、|AC|-|BC||AB|、|AB|-|AC||BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.

實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，老師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生留意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿意，避開(kāi)寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對(duì)以上問(wèn)題，老師讓學(xué)生輪番回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論.

探討結(jié)果：

(1)(2)略;(3)數(shù)軸上隨意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.

(4)對(duì)于隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，ab，a應(yīng)用示例

例1(教材本節(jié)例1和例2)

活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟識(shí)兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常運(yùn)用的方法，應(yīng)讓學(xué)生嫻熟駕馭.

變式訓(xùn)練

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()

A.f(x)g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥10，∴f(x)g(x).

2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x20.從而(x2+1)2x4+x2+1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a0，b0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常依據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小依次的關(guān)系，歸結(jié)為推斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最終的符號(hào)推斷說(shuō)理中，要理由充分，不行忽視這點(diǎn).

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

∵a0，b0且a≠b，∴a+b0，(a-b)20.∴a-b22a+b0，即a+b221a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))，

又a≠b，∴(a-b)20,2a2+(a+b)20.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]0.

∴a4-b44a3(a-b).

點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——推斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.

變式訓(xùn)練

已知xy，且y≠0，比較xy與1的大小.

活動(dòng)：要比較隨意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.

解：xy-1=x-yy.

∵xy，∴x-y0.

當(dāng)y0時(shí)，x-yy0，即xy-10.∴xy1;

當(dāng)y0時(shí)