浙江省寧波市山第三中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

浙江省寧波市山第三中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．（log2x）′= B．（x+）′=1+C．（cosx）′=sinx D．（）′=參考答案：A【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：=，=1﹣，（cosx）′=﹣sinx，=，可知：只有A正確．故選：A．2.

以原點(diǎn)為圓心的圓全部都在平面區(qū)域內(nèi)，則圓面積的最大值為(

).

A、

B、

C、

D、參考答案：C3.在中，，是邊的中點(diǎn)，，交的延長線于，則下面結(jié)論中正確的是（

）A．∽

B．∽C．∽

D．∽參考答案：C4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．半圓 C．直線 D．射線參考答案：C【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的幾何意義，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，復(fù)數(shù)z的幾何意義是復(fù)平面的點(diǎn)到（3，﹣4），（﹣3，4）距離相等的點(diǎn)的軌跡，是兩點(diǎn)的中垂線，故選：C．5.直線kx-y+1=0，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.復(fù)數(shù)z滿足?（1+2i）=4+3i，則z等于(

)A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．解答：解：∵?（1+2i）=4+3i，∴===2﹣i，∴z=2+i．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題7.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5min)、刷水壺(2min)、燒水(8min)、泡面(3min)、吃飯(10min)、聽廣播(8min)幾個(gè)步驟、從下列選項(xiàng)中選最好的一種算法（）A．S1洗臉?biāo)⒀?、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播B．刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯、S5

聽廣播C．刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀馈3泡面、S4吃飯同時(shí)聽廣播D．吃飯同時(shí)聽廣播、S2泡面、S3燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S4刷水壺參考答案：C8.若關(guān)于x的不等式的解集為，則a=（

）A.－2 B.2 C.－3 D.3參考答案：C【分析】原不等式等價(jià)于，分，，三種情況討論即可.【詳解】不等式可化為，當(dāng)時(shí)，恒成立，不等式的解集為，不合題意；當(dāng)時(shí)，則不等式的解為，故，無解；當(dāng)時(shí)，則不等式的解為，故，解得；綜上，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意合理去除絕對(duì)值的符號(hào)及對(duì)參數(shù)的合理分類討論.9.若△ABC的個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周長為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A． B．（y≠0）C．（y≠0） D．（y≠0）參考答案：D【考點(diǎn)】與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由△ABC的個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周長為18，得頂點(diǎn)C到A、B的距離和為定值10＞8，由橢圓定義可知，頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓，且求得橢圓的長軸長及焦距，則答案可求．【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，又△ABC的周長為18，∴|BC|+|AC|=10．∴頂點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，則a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為．故選：D．10.函數(shù)f（x）=2sin（3x+φ）的圖象向右平移動(dòng)個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則|φ|的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=2sin（3x+φ），圖象向右平移動(dòng)個(gè)單位嗎，可得2sin（3x++φ），得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則+φ=，k∈Z．∴φ=，當(dāng)k=0時(shí)，可得|φ|的最小值為．故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等價(jià)于f（x）min≤g（x）max，利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的最小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等價(jià)于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，所以當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；當(dāng)x=﹣1時(shí)g（x）取得最大值為g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥．故答案為：a≥．12.在數(shù)列{an}中，已知其前n項(xiàng)和為，則an=

．參考答案：時(shí)，兩式相減可得，時(shí)，，，故答案為.

13.在△ABC中，若c2＞a2+b2，則△ABC必是

（填銳角，鈍角，直角）三角形．參考答案：鈍角【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【分析】由條件利用余弦定理求得cosC＜0，可得△ABC必是鈍角三角形．【解答】解：△ABC中，若c2＞a2+b2，則由余弦定理可得cosC=＜0，故C為鈍角，故△ABC必是鈍角三角形，故答案為：鈍角．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.根據(jù)如圖所示的算法流程圖，可知輸出的結(jié)果i為________．參考答案：715.程序框圖如下：如果上述程序運(yùn)行的結(jié)果為S＝132，那么判斷框中應(yīng)填入

參考答案：

或16.若a10=，am=，則m=

．參考答案：5【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，直接求解m的值即可．【解答】解：a10=，am==，可得=a2m．即2m=10，解得m=5．故答案為：5．17.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若，則|AF|—|BF|=

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.（Ⅰ）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；（Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求的概率.參考答案：19.如圖，平面α截三棱錐P﹣ABC得截面DEFG，設(shè)PA∥α，BC∥α．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）設(shè)PA=6，BC=4，PA與BC所成的角為600，求四邊形DEFG面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面平行的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出DG∥EF，GF∥DE，由此能證明四邊形DEFG為平行四邊形．（2）設(shè)DG=x（0＜x＜6），推導(dǎo)出DE=GF=，∠GDE=60°，四邊形DEFG面積S=DG?DE?sin60°，由此能求出四邊形DEFG面積取最大值．【解答】證明：（1）∵面α截三棱錐P﹣ABC得截面DEFG，PA∥α，BC∥α．平面PAB∩截面DEFG=DG，∴PA∥DG，PA∥EF，∴DG∥EF，同理，GF∥DE，∴四邊形DEFG為平行四邊形．解：（2）設(shè)DG=x（0＜x＜6），則，∴，∴DE=GF=，∵PA∥DG，BC∥DE，PA與BC所成的角為600，∴∠GDE=60°，∴四邊形DEFG面積S=DG?DE?sin60°=x??sin60°=﹣（x﹣3）2+3．∴當(dāng)x=3時(shí)，四邊形DEFG面積取最大值3．20.某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）求在這60名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在[60，90）的人數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，求出分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率以及，補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）求出分?jǐn)?shù)在[60，90）的頻率與頻數(shù)即可．【解答】解：（1）根據(jù)頻率和為1，得；分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，在頻率分布直方圖中，分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的矩形高為=0.030，補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖，如圖所示；（2）這60名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在[60，90）的頻率為（0.015+0.030+0.025）×10=0.7，所求的人數(shù)為60×0.7=42．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率=的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．21.已知是奇函數(shù)

（Ⅰ）求的值，并求該函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，判斷在上的單調(diào)性，并給出證明.參考答案：解:（Ⅰ）是奇函數(shù),

,即

則，即，--------------------3分當(dāng)時(shí)，，所以---------------4分

定義域?yàn)椋?------------------------6分（Ⅱ）在上任取，并且，則---------8分又，又，-----10分所以，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)-----12分略22.如圖，已知直線l1：kx+y=0和直線l2：kx+y+b=0（b＞0），射線OC的一個(gè)法向量為=（﹣k，1），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且k≥0，直線l1和l2之間的距離為2，點(diǎn)A、B分別是直線l1、l2上的動(dòng)點(diǎn)，P（4，2），PM⊥l1于點(diǎn)M，PN⊥OC于點(diǎn)N；（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，求?的最大值；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】（1）若k=1，則可得|OM|=．|ON|=3，進(jìn)而得到|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，利用柯西不等式可得≤32；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，當(dāng)且僅當(dāng)B取點(diǎn)（0，﹣2）時(shí)，|BM|+|QB|取得最小值．【解答】解：（1）∵k=1．∴射線OC的一個(gè)法向量為=（﹣1，1），∴射線OC的斜率為1，射線OC的方程為：y=x（x≥0）．∴|PN|==，|OP|==2，∴|ON|==3．直線l1：x+y=0，|PM|==3，∴|OM|==．∴|OM|+|ON|=4．（2）k≥0，b＞0，直線l1和l2之間的距離為2，∴=2，化為：b2=4（k2+1）．設(shè)A（m，﹣km），B（n，﹣kn﹣b）．∵P（4，2），|+|=8，∴=（m+n﹣8，﹣km﹣kn﹣b﹣4），則（m+n﹣8）2+（km+kn+b+4）2=64≥2（m﹣4）（n﹣4）+2（k