湖南省衡陽市 市第十四中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

湖南省衡陽市市第十四中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線﹣=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）A． B． C．3 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】確定拋物線y2=12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得雙曲線的一條漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離．【解答】解：拋物線y2=12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）∵雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合∴4+b2=9∴b2=5∴雙曲線的一條漸近線方程為，即∴雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于故選A．2.所示結(jié)構(gòu)圖中要素之間表示從屬關(guān)系是（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】結(jié)構(gòu)圖．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是結(jié)構(gòu)圖，由于結(jié)構(gòu)圖反映的要素之間關(guān)系有：從屬關(guān)系和邏輯關(guān)系，我們逐一判斷四個答案中結(jié)構(gòu)圖中要素之間的關(guān)系，即可得到答案．【解答】解：分析四個答案中的要素之間關(guān)系，A、B、D均為邏輯關(guān)系，只有C是從屬關(guān)系．故選C．3.如圖，在長方體ABCD—EFGH中，∠BEF=60°，∠DEH=45°，則sin∠BED的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，則與事件恰有兩個紅球既不對立也不互斥的事件是（）A．至少有一個黑球 B．恰好一個黑球C．至多有一個紅球 D．至少有一個紅球參考答案：D【考點(diǎn)】互斥事件與對立事件．【分析】利用對立事件、互斥事件定義直接求解．【解答】解：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，在A中，至少有一個黑球與事件恰有兩個紅球是對立事件，故A不成立；在B中，恰好一個黑球與事件恰有兩個紅球是互的事件，故B不成立；在C中，至多一個紅球與事件恰有兩個紅球是對立事件，故C不成立；在D中，至少一個紅球與事件恰有兩個紅球既不對立也不互斥的事件，故D成立．故選：D．5.已知點(diǎn)P（x，y）在直線2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值為（）A． B．2 C．5 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】x2+y2的最小值可看成直線2x+y+5=0上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線長度的平方最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．【解答】解：x2+y2的最小值可看成直線2x+y+5=0上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線長度的平方最小值，即為原點(diǎn)到該直線的距離平方d2，由點(diǎn)到直線的距離公式易得d==．∴x2+y2的最小值為5，故選：C6.△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a2+b2﹣c2=ab，則角C為（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：A考點(diǎn)：余弦定理．專題：計算題；解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)．解答：解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴根據(jù)余弦定理得：cosC==，又∵C為三角形的內(nèi)角，則∠C=30°．故選：A．點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了整體代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．7.本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，不同的分法種數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

解析：甲得本有，乙從余下的本中取本有，余下的，共計8.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積與的面積之比為A. B. C. D.2參考答案：D【分析】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)，并設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出，由拋物線的定義得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義得，得，，，，可得出，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達(dá)定理在直線與拋物線綜合問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用拋物線的定義以及韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，并將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為高之比來處理，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。9.已知拋物線上，定點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動點(diǎn)，則的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：A10.全稱命題“所有被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是（

）A．所有被5整除的整數(shù)都不是奇數(shù)；

B．所有奇數(shù)都不能被5整除C．存在一個被5整除的整數(shù)不是奇數(shù)；

D．存在一個奇數(shù)，不能被5整除參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)常數(shù)．若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則

．參考答案：12.如圖1，線段AB的長度為，在線段AB上取兩個點(diǎn)C、D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列{Sn}的四個命題：①數(shù)列{Sn}是等比贊列；②數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列；

③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有；④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有.其中真命題的序號是__________．(請寫出所有真命題的序號）.參考答案：②④分析：求出數(shù)列是的前四項(xiàng)，可得到①錯，②對；利用等比數(shù)列求和公式求出，利用不等式恒成立可判斷③錯，④對.詳解：由圖可知，，不是等比數(shù)列，①錯誤；是遞增數(shù)列，②正確；，對于③，，要使恒成立，只需，無最小值，③錯誤；對于④，，要使恒成立，只需，即的最大值為，④正確，真命題是②④，故答案為②④.點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的求和公式，不等式恒成立問題以及歸納推理的應(yīng)用，屬于難題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.13.設(shè)f(x)=且

，則=

.參考答案：14.計算定積分

；參考答案：15.過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截的弦長為__________。參考答案：216.觀察下列等式：

可以推測：__________．（，用含有n的代數(shù)式表示）參考答案：試題分析：根據(jù)所給等式，，，，…，可以看出，等式左邊各項(xiàng)冪的底數(shù)的和等于右邊的冪的底數(shù)，推測：．考點(diǎn)：歸納推理．17.甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時,假定它們在一晝夜的時間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表.

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10

乙班

30

合計105

已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.(I)請完成上面的列聯(lián)表；(II)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”；(Ⅲ)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到6號或10號的概率．附

P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635參考答案：(1)

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050合計3075105

…………3分(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到≈6.109＞3.841，因此有95%的把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．

…………7分(3)設(shè)“抽到6號或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為(x，y)則所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36個．事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個，∴P(A)＝.

…………12分19.已知圓C1：（x+1）2+y2=8，點(diǎn)C2（1，0），點(diǎn)Q在圓C1上運(yùn)動，QC2的垂直平分線交QC1于點(diǎn)P．（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡W的方程；（Ⅱ）設(shè)M，N是曲線W上的兩個不同點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第三象限，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線MN的斜率k；（Ⅲ）過點(diǎn)且斜率為k的動直線l交曲線W于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)D，使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（I）由QC2的垂直平分線交QC1于P，知|PQ|=|PC2|，動點(diǎn)P的軌跡是點(diǎn)C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓．由此能夠求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）設(shè)M（a1，b1），N（a2，b2），則a12+2b12=2，a22+2b22=2．由，a1+2a2=﹣2，b1+2b2=0，由此能求出直線MN的斜率．（Ⅲ）直線l的方程為y=kx﹣，聯(lián)立直線和橢圓方程，得，整理得（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)，，由此能夠求出D點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解（1）∵QC2的垂直平分線交QC1于P，∴|PQ|=|PC2|，|PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=|QC1|=2＞|C1C2|=2，∴動點(diǎn)P的軌跡是點(diǎn)C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓．設(shè)這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，∵2a=2，2c=2，∴b2=1，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（Ⅱ）設(shè)M（a1，b1），N（a2，b2），則a12+2b12=2，a22+2b22=2．∵，則a1+2a2=﹣2，b1+2b2=0，∴，，∴直線MN的斜率為．（Ⅲ）直線l的方程為y=kx﹣，聯(lián)立直線和橢圓方程，得，∴9（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，由題意知，點(diǎn)S（0，﹣）在直線上，動直線l交曲線W于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)，則，，∵，∴x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2=（k2+1）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2++，=﹣==0．∴，∴m=1，所以，在y軸上存在滿足條件的定點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．20.（本小題滿分10分）已知函數(shù)和的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且．（1）求的表達(dá)式；（2）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：(1)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上∴（2）①②ⅰ）ⅱ）21.（