山西省忻州市花園私立學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省忻州市花園私立學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用數(shù)學(xué)歸納法證明”能被9整除，要利用歸納假設(shè)證時(shí)的情況，只需展開()A．

B．

C．

D．參考答案：A2.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略3.已知A，B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且|AB|=，單位圓的圓心是O，則·=

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)不可能取到的值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D5.如果(

)A．

B．{1，3}

C．{2，5}

D．{4}參考答案：C6.設(shè)復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）

A．

B.

C．

D．參考答案：D7.若函數(shù)f(x)=,若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A（-1，0）∪（0，1）

B（-∞，-1）∪（1,+∞）

C（-1，0）∪（1,+∞）

D（-∞，-1）∪（0,1）參考答案：C略8.如圖，已知AB是半圓O的直徑，M，N，P是將半圓圓周四等分的三個(gè)分點(diǎn)，從A，B，M，N，P這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)組成直角三角形的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】這是一個(gè)古典概型問題，我們可以列出從A、B、M、N、P這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，可能組成的所有三角形的個(gè)數(shù)，然后列出其中是直角三角形的個(gè)數(shù)，代入古典概型公式即可求出答案．【解答】解：從A、B、M、N、P這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，一共可以組成10個(gè)三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP，3個(gè)，所以這3個(gè)點(diǎn)組成直角三角形的概率P=，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的概率問題，掌握古典概型的計(jì)算步驟和計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．9.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，確定其圓心的直角坐標(biāo)再化成極坐標(biāo)即可?！驹斀狻繄A化為,，配方為，因此圓心直角坐標(biāo)為，可得圓心的極坐標(biāo)為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，比較基礎(chǔ)。

10.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則cosB=A．

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用一張長6，寬2的矩形鐵皮圍成圓柱形的側(cè)面，則這個(gè)圓柱形的體積是

。參考答案：12.對(duì)于數(shù)列，若中最大值，則稱數(shù)列為數(shù)列的“凸值數(shù)列”。如數(shù)列2,1,3,7,5的“凸值數(shù)列”為2,2,3,7,7；由此定義，下列說法正確的有___________________.①遞減數(shù)列的“凸值數(shù)列”是常數(shù)列；②不存在數(shù)列，它的“凸值數(shù)列”還是本身；③任意數(shù)列的“凸值數(shù)列”是遞增數(shù)列；④“凸值數(shù)列”為1,3,3,9的所有數(shù)列的個(gè)數(shù)為3.參考答案：①④13.若不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___參考答案：略14.下列命題正確的序號(hào)是

①命題“若a＞b，則2a＞2b”的否命題是真命題；②命題“a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是真命題；③若p是q的充分不必要條件，則￢p是￢q的必要不充分條件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要條件是a=±．參考答案：①②③【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；②寫出逆否命題即可；③根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可；④通過討論a=0，a≠0判斷即可．【解答】解：①若a＞b，則2a＞2b的否命題是：若a≤b，則2a≤2b，是真命題，故①正確；②命題“a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是：若a+b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)，是真命題，故②正確；③若p是q的充分不必要條件，則￢p是￢q的必要不充分條件，故③正確；④若方程ax2+x+a=0有唯一解，則a=0，或△=1﹣4a2=0，解得；a=±，故方程ax2+x+a=0有唯一解的充要條件是a=±，或a=0，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③．15.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是，在，的條件下，它的極坐標(biāo)是__________.參考答案：【分析】根據(jù)，可得．【詳解】，，，，，且在第四象限，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬基礎(chǔ)題．16.設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是,若,,則等于__________.參考答案：【分析】可設(shè)，由,可得關(guān)于a,b的方程，即可求得，然后求得答案.【詳解】解析：設(shè),因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,所以.所以,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，難度不大.17.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于

▲

．參考答案：24【分析】先由雙曲線的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面積．【詳解】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，設(shè)|PF2|=x，則|PF1|=x，由雙曲線的性質(zhì)知x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面積=×8×6=24．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)a∈{2,4}，b∈{1,3}，函數(shù).(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率；(2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求它們?cè)?1，f(1))處的切線互相平行的概率．參考答案：略19.如圖，在三棱錐C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2，D為AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB⊥平面COD；（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)E滿足CE∥平面AOB，問：當(dāng)AE=BE時(shí)，平面ACE與平面AOB所成的銳二面角是否為定值？若是，求出該銳二面角的余弦值；若不是，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；LW：直線與平面垂直的判定；MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CO⊥AB，DO⊥AB．由此能證明AB⊥平面COD．（Ⅱ）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ACE與平面AOB所成的銳二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在三棱錐C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，∴CO⊥AB．…又OA=OB，D為AB的中點(diǎn)，∴DO⊥AB．…∵DO∩CO=O，∴AB⊥平面COD．…（Ⅱ）∵OA=OB=2，AB=2，∴AO⊥BO．…由CO⊥平面AOB，故以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由已知可得O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），D（1，1，0）．…由CE∥平面AOB，故設(shè)E（x，y，1）．…由AE=BE，得，故x=y，即E（x，y，1），（x≠0）．…設(shè)平面ACE的法向量為，由，=（x，y，0），得，令a=1，得=（1，﹣1，2）．…又平面AOB的法向量為，…∴cos＜＞==．故平面ACE與平面AOB所成的銳二面角為定值，且該銳二面角的余弦值為．…20.（本題滿分15分）已知定義在R上的函數(shù)，其中a為常數(shù)．（1）若是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）當(dāng)a=時(shí)，令．求證：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．參考答案：（3）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=，，要證：(x>0)，只需證：

(x>0)，即證設(shè)，得F′(x)=…………11分令F′(x)=0，得x=，x=-(舍去)∴F（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)．∴F(x)min=F(x）極小值=F（）=

………………

14分∴F（x）≥F（x）min=0，即x2-2elnx≥0，∴原不等式成立．

………………15分21.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為，且，。（1）求證：平面。（2）求二面角的余弦值。（12分）參考答案：（12分）

解：（法一）（1）因?yàn)榈酌鍭BCD，所以是SB與平面ABCD所成的角?！?1分由已知，所以，易求得?！?2分又因?yàn)樗裕浴?3分因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以，………….4分由于，所以平面SAP。………….5分（2）設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，………….6分由于底面ABCD，且平面SAD，則平面SAD平面PAD?！?7分因?yàn)樗云矫鍿AD，過Q作，垂足為R，連接PR，由三垂線定理可知，所以是二面角的平面角?！?9分容易證明∽，則。因?yàn)?，所以………?10分在中，因?yàn)椋?，………?11分所以二面角的余弦值為?！?12分（法二）因?yàn)榈酌鍭BCD，所以是SB與平面ABCD所成的角?！?1分所以，所以。建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由已知P為BC的中點(diǎn)，于是A（0，0，0），B（1，0，0），P（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）。（1）

易求得，（-1，1，0），（-1，-1，1）。因?yàn)?，所以。由于，所以平面SAP。………….5分（2）

設(shè)平面SPD的法向量為，由得，解得，所以?！?8分又因?yàn)槠矫?/p>