2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二十八章銳角三角函數(shù)檢測(cè)題新人教版

第二十八章檢測(cè)題(時(shí)間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．tan30°的值等于(A)A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(3),2)C．1D．eq\r(3)2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則cosB的值是(A)A．eq\f(5,13)B．eq\f(13,5)C．eq\f(12,13)D．eq\f(12,5)3．某書(shū)店拿取高處書(shū)籍的登高梯按如圖位置擺放，登高梯AC的頂端A恰好放在書(shū)架的第七層的頂端．已知登高梯的長(zhǎng)度AC為3米，登高梯與地面的夾角∠ACB為72°，則書(shū)架第七層頂端離地面的高度AB為(A)A．3sin72°米B．eq\f(3,sin72°)米C．3cos72°米D．eq\f(3,cos72°)米eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))4．把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若sin∠1＝eq\f(\r(2),2)，則∠2的度數(shù)為(B)A．120°B．135°C．145°D．150°5．如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝2，sinB＝eq\f(3,5)，則AC的長(zhǎng)為(B)A．3B．eq\r(13)C．2eq\r(3)D．46．若tanA＝2，則∠A的度數(shù)估計(jì)在(D)A．在0°和30°之間B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間D．在60°和90°之間7．(通遼中考)如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為(B)A．eq\f(2\r(13),13)B．eq\f(3\r(13),13)C．eq\f(2,3)D．eq\f(\r(5),3)8．(2023·杭州)第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE.設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1∶n，tanα＝tan2β，則n＝(C)A．5B．4C．3D．2eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))9．(2023·日照)日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測(cè)量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至C處測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)(B)A．31mB．36mC．42mD．53m10．黑龍江亞布力地區(qū)的滑雪場(chǎng)在國(guó)內(nèi)享譽(yù)盛名，如圖所示為該地區(qū)某滑雪場(chǎng)的一段賽道示意圖，AB段為助滑段，長(zhǎng)為12米，坡角α為16°，一個(gè)曲面平臺(tái)BCD連接了助滑坡AB與著陸坡DE.已知著陸坡DE的坡度為i＝1∶2.4，DE長(zhǎng)度為19.5米，B，D之間的垂直距離為5.5米，則一人從A出發(fā)到E處下降的垂直距離約為(參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，結(jié)果保留一位小數(shù))(C)A．15.9米B．16.0米C．16.4米D．24.5米二、填空題(每小題3分，共15分)11．△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA＝sinB＝eq\f(1,2)，則△ABC是__鈍角__三角形．12．如果一個(gè)行人在斜坡為1∶2.4的坡面上行走130米，則他升高了__50__米．13．(2023·黃石)如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到某地面目標(biāo)在點(diǎn)B處，此時(shí)飛行高度AC＝1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)B的俯角為37°，飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行943米到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)D的仰角為47.4°，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為_(kāi)_423__米．(參考數(shù)據(jù)：tan37°≈eq\f(3,4)，tan47.4°≈eq\f(10,9))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))14．如圖，甲樓高21m，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°，看乙樓底的俯角是30°，則乙樓高度約為_(kāi)_57__m．(結(jié)果精確到1m，eq\r(3)≈1.7)15．市民小張積極響應(yīng)“全民健身動(dòng)起來(lái)”號(hào)召，堅(jiān)持在某環(huán)形步道上跑步．已知此步道外形近似于如圖所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB與BC間另有步道DE相連，D地在AB正中位置，E地與C地相距1km.若tan∠ABC＝eq\f(3,4)，∠DEB＝45°，小張某天沿A→C→E→B→D→A路線跑一圈，則他跑了__24__km.三、解答題(共75分)16．(8分)計(jì)算：(1)sin60°·tan30°＋cos60°·tan45°；解：原式＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1(2)2cos30°－eq\f(tan260°,3tan45°)＋eq\r(（sin60°－1）2).解：原式＝2×eq\f(\r(3),2)－eq\f(（\r(3)）2,3×1)＋1－eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)－1＋1－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)17．(8分)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求證：AC＝BD；(2)若sinC＝eq\f(12,13)，BC＝12，求AD的長(zhǎng)．解：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB＝eq\f(AD,BD)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，又∵tanB＝cos∠DAC，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝BD(2)在Rt△ADC中，sinC＝eq\f(12,13)，故可設(shè)AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝5k，∵BC＝BD＋CD，又AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k，∵BC＝12，∴18k＝12，∴k＝eq\f(2,3)，∴AD＝12k＝12×eq\f(2,3)＝8，∴AD的長(zhǎng)為818．(8分)(2023·朝陽(yáng))如圖，CD是一座東西走向的大橋，一輛汽車(chē)在筆直的公路l上由南向北行駛，在A處測(cè)得橋頭C在北偏東30°方向上，繼續(xù)行駛500米后到達(dá)B處，測(cè)得橋頭D在北偏東45°方向上．已知大橋CD長(zhǎng)300米，求橋頭C到公路l的距離．(結(jié)果保留根號(hào))解：延長(zhǎng)DC交直線l于H，設(shè)CH＝x米，∴HD＝(x＋300)米，根據(jù)題意，得∠DHA＝90°，在Rt△AHC中，∠A＝30°，tan30°＝eq\f(CH,AH)，∴AH＝eq\r(3)x米，∵AB＝500米，∴HB＝(eq\r(3)x－500)米，在Rt△BHD中，∠HBD＝45°，∴HB＝HD，∴eq\r(3)x－500＝x＋300，解得x＝400(eq\r(3)＋1)米，答：橋頭C到公路l的距離為400(eq\r(3)＋1)米19．(9分)(2023·湖北)為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長(zhǎng)度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長(zhǎng)．(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，由題意，得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,4)，∴設(shè)AF＝3x米，則BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝eq\r(AF2＋BF2)＝eq\r(（3x）2＋（4x）2)＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝eq\f(31,15)，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的長(zhǎng)約為10.3米20．(10分)(2023·泰州)如圖，堤壩AB長(zhǎng)為10m，坡度i為1∶0.75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD.小明欲測(cè)量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35′.求堤壩高及山高DE.(sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m)解：過(guò)B作BH⊥AE于H，∵坡度i為1∶0.75，∴設(shè)BH＝4xm，AH＝3xm，∴AB＝eq\r(AH2＋BH2)＝5x＝10m，∴x＝2，∴AH＝6m，BH＝8m，過(guò)B作BF⊥CE于F，則EF＝BH＝8，BF＝EH，設(shè)DF＝am，∵α＝26°35′.∴BF＝eq\f(DF,tan26°35′)≈eq\f(a,0.5)＝2a，∴AE＝6＋2a，∵坡度i為1∶0.75，∴CE∶AE＝(20＋a＋8)∶(6＋2a)＝1∶0.75，∴a＝12，∴DF＝12米，∴DE＝DF＋EF＝12＋8＝20(米)，答：堤壩高為8米，山高DE為20米21．(10分)圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角∠EAD為22°，長(zhǎng)為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為37°，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長(zhǎng)度為0.5米．(1)真空管上端B到水平線AD的距離；(2)求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度．(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sin22°≈eq\f(3,8)，cos22°≈eq\f(15,16)，tan22°≈0.4.)解：(1)過(guò)B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，sin∠BAF＝eq\f(BF,AB)，則BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×eq\f(3,5)＝1.8(米).答：真空管上端B到AD的距離約為1.8米(2)在Rt△ABF中，cos∠BAF＝eq\f(AF,AB)，則AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4(米)，∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四邊形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD－CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝eq\f(DE,AD)，則AD＝eq\f(DE,tan∠EAD)≈eq\f(1.3,0.4)＝3.25(米)，∴BC＝DF＝AD－AF＝3.25－2.4≈0.9(米)，答：安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度約為0.9米22．(10分)(丹東中考)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，連接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BE，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CE.(1)請(qǐng)判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若sin∠ECD＝eq\f(3,5)，CE＝5，求⊙O的半徑．解：(1)CD是⊙O的切線．理由：連接OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線(2)設(shè)OA＝OC＝r，設(shè)AE交OC于點(diǎn)J.∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四邊形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝eq\f(DE,CE)＝eq\f(3,5)，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝(r－3)2＋42，∴r＝eq\f(25,6)，∴⊙O的半徑為eq\f(25,6)23．(12分)(濟(jì)寧中考)知識(shí)再現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.∵sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)，∴c＝eq\f(a,sinA)，c＝eq\f(b,sinB).∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).拓展探究如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.請(qǐng)?zhí)骄縠q\f(a,sinA)，eq\f(b,s