2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修二 6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 同步練習(xí)

2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修二6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示同步練習(xí)一、選擇題1．已知|a|=1，|b|=2，|2aA．－1 B．?12 C．02．已知向量a、b，“|a|=|b|”是“a在b方向上的數(shù)量投影與A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．已知向量a=(3，1)，bA．?32 B．32 C．?4．已知向量a=(2，3)，bA．(3，5) B．(?5，?7) C．5．已知向量a=(1，m)，b=(2，A．-2 B．?12 C．16．已知向量a=(2，2)A．a(chǎn)=?2b B．a(chǎn)=2b C．7．已知a，b是單位向量，|2a+b|=3A．π6 B．π3 C．2π38．在?ABCD中，G為△ABC的重心，滿足AG=xAB+yA．43 B．53 C．09．折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.某折扇如圖1所示，其平面圖為如圖2所示的扇形AOB，其半徑為3，∠AOB=150°，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且FE=2OF，則A．[?6，152C．[?32，10．已知點P在△ABC所在平面內(nèi)，滿足PA+PB+PC=A．23 B．1 C．4311．如圖，在△AOD中，|OA|>|OD|，B，C分別在AD上，且OP?OA B．OP?OB C．二、多項選擇題12．已知單位向量a，b滿足|2aA．a(chǎn)?b=C．向量a，b的夾角為30° D．b在a上的投影向量為113．在平面直角坐標(biāo)系中，已知a=(cosα，sinα)A．|b|B．當(dāng)b≠0時，a在bC．|2a?D．若c=xa+yb，且14．下列說法正確的是（）A．對任意向量a，b，都有|B．對任意非零向量a，b，都有|C．若向量a，b滿足(a+D．若非零向量a，b滿足a⊥b15．下列說法正確的是（）A．若a//b，bB．|(C．若a⊥(bD．(16．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，BC=2AB=2，點E是邊AD上的動點（包含端點），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)點E是AD的中點時，BDB．存在點E，使得(C．EB?ECD．若CE=xCB+yCD，x三、填空題17．如果平面向量a=(1，?2)，b=(?6，18．已知平面向量a=(3，1)，b=(?1，1)，c=(x19．已知a=(2，?3)，b=(020．已知向量a，b滿足|a|=2|b|=2，a21．已知平面向量a，b，|a|=1，b=(1，?1)，a22．已知向量a，b的夾角為π3，a=(2，0)四、解答題23．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點M、N分別是邊BC、CD的中點，設(shè)向量AB=a（1）試用a、b表示向量AM與（2）求AM?24．已知a=(m，2)，b（1）若a∥(b+2（2）若(a?b25．如圖，已知ABCD為平行四邊形．（1）若|AB|=5，|AD|=4，|BD（2）記平行四邊形ABCD的面積為S，設(shè)AB=(x1，26．已知平面向量a，b，|（1）求a與b的夾角θ的值；（2）當(dāng)|b?λa27．已知a，b是非零向量，①|(zhì)a|=3|b|；（1）從①②③中選取其中兩個作為條件，證明另外一個成立；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.）（2）在①②的條件下，(a+b28．記a、b、c為平面單位向量，且|a（1）求?a（2）若a?c=29．已知e1，e2是夾角為（1）若a+λb與b垂直，求實數(shù)（2）若c=xa+yb(30．設(shè)平面向量a、b的夾角為θ，a?b=|a|?|b|（1）求f(x)的解析式；（2）若f(x)g(x)=?cos2x﹐證明：不等式ef(x)

答案解析部分1．答案：A解析：解：由題意得2a→?b→2=4a→故答案為：A.

分析：對|2a?b|=4兩邊平方結(jié)合a→2．答案：A解析：解：設(shè)a→與b→的夾角為則a→在b→方向上的數(shù)量投影為a→cosθ，b若|a|=|b若a→cosθ=例如θ=π2，滿足a→cosθ=故“|a|=|b|”是“a→在b故答案為：A.分析：設(shè)a→與b→的夾角為3．答案：C解析：因為a//b，則3×m=1×?2，解得m=?23.4．答案：C解析：解：2a→?b→=2(2，3)?(?1，?2)＝＝(5，8)5．答案：B解析：因為a∥b，則1×?1=2×m，解得m=?126．答案：D解析：解：A.∵a→=2，2，1b→=1，?1

∴?2b→=?2，2，a→≠?2b→，故A錯誤；

B.∵2b→=2，?2，∴a→≠b→，故B錯誤；

C.7．答案：C解析：根據(jù)題意，設(shè)a→與b→的夾角為θ，

將|2a+b|=3兩邊平方得到4a→2+b→2+48．答案：A解析：解：因為G為△ABC的重心，則AG→=13AB→+13AC→

又因為在?ABCD中，AC故答案為：A.分析：根據(jù)重心的性質(zhì)可知AG→9．答案：D解析：解：設(shè)∠AOE=θ，由∠AOB=150°，可得0°≤θ≤150°，因為AF→所以AF→?OE→=(13OE→?OA→)·OE→=?

分析：先利用向量的運算用向量OF→，OA→表示AF→10．答案：D解析：因為PA+PB+PC=0，則點P為△ABC的重心，

取BC的中點D，

則AP→=23AD→=23×12AB11．答案：D解析：由題意可得：OP→=12OA→+12OD→，

OB→=OA→+AB→=OA→+13AD→=OA→+13OD→?OA→=23OA→+13OD→，

OC→=OA→+AC→=OA→+23AD→=OA12．答案：A,D解析：解：根據(jù)單位向量a，b滿足|2a?b|=3，將其兩邊平方得(2a→?b→)2=4a→2?4a→·b→+b→2=4?4a→故答案為：AD.

分析：先將|2a?b13．答案：A,C,D解析：解：對于A：因為b→=cos2β+(2所以|b|的取值范圍是對于B：由題意可得：a→·b→=cosαcosβ+2sinαcosβ=cosβ2sinα+cosα=5cosβsinα+φ，其中tanφ=12，φ∈0，對于C：因為a→=cos2α+sin2α=1，

則∣2a→?b對于D：因為c=xa+yb，則∣c→∣=故答案為：ACD.

分析：對于A：根據(jù)向量模長的坐標(biāo)運算結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對于B：根據(jù)向量的投影數(shù)量公式結(jié)合三角函數(shù)分析判斷；對于C、D：根據(jù)向量模長的三角不等式以及基本不等式分析判斷14．答案：A,C解析：對A：設(shè)θ=?a→，b→對B：當(dāng)向量a，b同向時，|a→+對C：若(a+b)⊥(a對D：若非零向量a，b滿足a⊥b，則a→·b→=0因為|a→||b→故答案為：AC.分析：對A：根據(jù)數(shù)量積定義和三角函數(shù)有界性判斷；對B：由向量三角不等式等號成立條件判斷；對C：根據(jù)向量垂直的充要條件推導(dǎo)判斷；對D：根據(jù)已知分別計算|a15．答案：B,C解析：A、當(dāng)b→=0→時，有a//b，b//c，但a→不一定與c→平行，A錯誤；

B、∵(a→?b→)?c→=a→b→cosa→，b→c→16．答案：A,C,D解析：對A：當(dāng)點E是AD的中點時，BD→=BE→+ED→=BE→+12BC→，故A正確；

對D：因為CE→=CD→+DE→=xCB→+yCD→，則DE→=xCB→，y=1，可得x∈0，1，

所以x+2y=x+2∈2，3，故D正確；

可得CE→=xCB→+CD→，x∈0，1，17．答案：(?解析：解：∵a→+b→=?5，1，a→=1+?22故答案為：(?7

分析：先求出a→+b→=?5，1，a→18．答案：?2解析：解：根據(jù)向量的坐標(biāo)運算得：a→+2b→=1，3，因為故答案為：-2.

分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運算以及向量共線的充要條件列出方程，求解即可.19．答案：0解析：解：∵2a→+b→=22，?3+0，k故答案為：0.

分析：先求2a20．答案：13解析：解：由已知條件可得2故答案為：13分析：利用平面向量的模和數(shù)量積的定義即可求解.21．答案：3解析：解：設(shè)a→=(x，y)，

∵a⊥(a?b)

∴a→×(a→?b→)=0，

∴x2?x+y2+y=0，

∵|a|=1，

∴x2+y222．答案：1解析：解：由題意得a→=2，b→≠0，a→·b→=故答案為：1.

分析：先求出a→=2，a→·b23．答案：（1）解：如圖，因為點M是邊BC的中點，所以BM=則AM=同理，AN=（2）解：由（1）可知，AM=a+又因為ABCD為矩形，所以a·則AM·【解析】分析：(1)根據(jù)中點和矩形的性質(zhì)利用向量的加法運算求解；

(2)結(jié)合(1)根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則，進(jìn)行計算求解.24．答案：（1）解：由已知得，b+2∵a∥(b+2c∴m=8（2）解：由已知得，a?b=(m+2∵(a?b)⊥(∴m=?5.【解析】分析：(1)根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運算結(jié)合向量的平行的坐標(biāo)運算求解；

(2)根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運算結(jié)合向量的垂直的坐標(biāo)運算求解.25．答案：（1）解：在平行四邊形ABCD中BD=所以|=|即42?2AB所以|=（2）證明：因為SABCD=|AB又cosA=所以S2整理得S2又|AB|2=x所以S2所以S=|x【解析】分析：(1)根據(jù)BD=AD?AB，結(jié)合數(shù)量積的運算律可得AB?AD=1026．答案：（1）解：由b?(a?b)=0又|a|=2，所以cosθ=a?（2）解：因為a?b=所以|b所以|b?λa|的最小值為【解析】分析：(1)根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合夾角公式運算求解；

(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合二次函數(shù)運算求解.27．答案：（1）解：選①②：若|a|=3|=3|b選①③：由|a?b|=|b|，得即cos?a，b?=32選②③：由|a?b|=|b|，得整理得|a|2?3|a（2）解：由(a+b)⊥(a而|a|=3|b|，所以λ=9【解析】分析：(1)根據(jù)數(shù)量積的定義以及運算律分析證明；

(2)根據(jù)向量垂直結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.28．答案：（1）解：由已知|a|=|b所以，|a?b所以，cos?因為0≤?a，b（2）解：由已知可得|a|=|c所以，|2c【解析】分析：（1）首先利用平面向量數(shù)量積的運算求出cos?a→，b→?，再根據(jù)0≤?29．答案：（1）因為e1，e2是夾角為所以(=(2+λ)=13λ+∴λ=?（2）因為a=2所以a?|a|b|=(∴|∴|當(dāng)xy=?12時，【解析】分析：(1)由向量垂直的性質(zhì)列方程，結(jié)合數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡方程，可求出實數(shù)λ的值；

(2)由數(shù)量積的運算和模的性質(zhì)求出a→·b→，30．答案：（1）解：因為a=(sinx，1)所以|a|=sin2所以cosθ=則sin===|所以f(x)=a因為0≤x<3π4，當(dāng)0≤x≤π4時cosx≥所以f(x)=（2）解：當(dāng)x∈[π2，又f(x)g(x)=?cos所以g(x)=sin令t=f