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文檔簡介
2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高一上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},則圖中陰影部分表示的集合為
A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}
【正確答案】B
【詳解】試題分析:由韋恩圖可知,圖中陰影部分可表示為?B)cA且G/={1,5,6}
,A={1,2}
所以(QB)cA={l}故選B.
1、集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算:2、韋恩圖表示集合.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是韋恩圖表示集合和集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于容易
題,首先要把韋恩圖中的陰影部分翻譯為集合語言(QB)CA,再進(jìn)行集合的補(bǔ)集,交集
運(yùn)算.本題也可以直接在韋恩圖中標(biāo)出陰影部分的所以元素,從而直接得到答案.
2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)是增函數(shù)的是()
A.y=-x+lB.y=x2-4x+5C.y=4xD.>=-
【正確答案】C
【分析】直接判斷一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、基函數(shù)在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性即可
得到結(jié)果.
【詳解】y=-x+l、y=xJ4x+5、y=g在區(qū)間(o,2)是減函數(shù),
y=&在區(qū)間(0,2)是增函數(shù).
故選C.
一次函數(shù)的單調(diào)性判斷:y=kx+b(k^0),當(dāng)k>0時(shí)在R上遞增,當(dāng)々<0時(shí)在R上遞減;
二次函數(shù)的單調(diào)性判斷:y=cvc+bx+c{a^(S),當(dāng)a>0時(shí)在18,一5)上遞減,在
(一品+8)上遞增;當(dāng)a<0時(shí)在卜8,-5)上遞增,在(一/+刃)上遞減.
3.已知集合厶={。+1,/+4a—9,2021},若-4eA,則實(shí)數(shù)。的值為().
A.-5B.1C.5或TD.-5或1
【正確答案】B
【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系,及集合元素的互異性即可求出”的值.
【詳解】A=|?+l,a2+4?-9,20211,且TwA,.,.Y=a+1或7=巒+44-9
⑴、當(dāng)-4=/+4a-9即。=一5或a=l,
①、當(dāng)°=一5時(shí),a+l=-4,巒+4“_9=-4,此時(shí)A={T,T,2021},不滿足集合元素的互
異性,故舍去;
②、當(dāng)。=1時(shí),a+1=2,a2+46/-9=-4,此時(shí)A={2,-4,2021},符合題意;
⑵、當(dāng)a+i=_4即。=-5時(shí),此時(shí)A={-4,-4,2021},不滿足集合元素的互異性,故舍去;
綜上所述:實(shí)數(shù)〃的值為1.
故選:B
4.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問
題的重要依據(jù),通過這一原理,很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明,并稱之為“無
字證明現(xiàn)有如下圖形:AB是半圓。的直徑,點(diǎn)O在半圓周上,CD丄居于點(diǎn)C,設(shè)AT>=a,
BD=b,直接通過比較線段。。與線段8的長度可以完成的“無字證明”為()
〉a+b
A.cr+b2>2abB.
2ab
C.-a-<>[aba>0b>0D.>4ciba>0Z?>0
a+b2
【正確答案】A
【分析】易得828,再分別用AO,89的表達(dá)式表達(dá)28再化簡即可
【詳解】易得ODNCD,又。。=絲=魚土忙,又1心3。=丄4"8,故
2222
ADBDab故年"帰'化簡得巒+八2"
CD=
AB\la2+b2
故選:A
本題主要考查了幾何法證明基本不等式,屬于基礎(chǔ)題
5.已知函數(shù)f(x)=x,-2x+2,xe(-2,2),函數(shù)/(x)的值域?yàn)?)
A.(2,10)B.[1,2)
C.[2,10]D.[1,10)
【正確答案】D
【分析】利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)/(X)的值域.
【詳解】當(dāng)xe(-2,2)時(shí),-3<x-l<l,貝IJ/(x)=x2-2x+2=(x-l)2+le[l/0).
故選:D.
6.設(shè)集合"={R04xM2},N={Y04yM3}.下列四個(gè)圖象中能表示從集合M到集合N
的函數(shù)關(guān)系的有()
A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)
【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.
【詳解】A中2中的x沒有對(duì)應(yīng)的象,不符合;B符合函數(shù)定義,C也符合函數(shù)定
義,D中對(duì)于0<xW2的x有兩個(gè)象與之對(duì)應(yīng),不符合.所以有2個(gè)滿足.
故選:B.
7.已知命題p:Vxe/?,x'+x+awO,若命題p是假命題,則實(shí)數(shù)“的取值范圍是()
A.卜B.上依
C.或a>0}D.或”2:0}
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意,分析可得若命題p:VxeR,f+x+”0為假,則方程Y+x+a4有
解,結(jié)合二次方程的性質(zhì)可得力為真命題時(shí)。的取值范圍,可得答案.
【詳解】根據(jù)題意,若命題p:VxeR,f+x+"0為假,則力為真命題
方程/+x+a=0有解,
,A=l-4?>0,
解得:
4
故選:A.
8.設(shè)函數(shù)則滿足/。+1)<〃2尤)的x的取值范圍是()
A.(—00>—~]B,(-(x>,—)
C.(—,0)D.(—>+00)
22
【正確答案】B
【分析】化簡函數(shù)解析式,分區(qū)間討論化簡不等式f(x+l)<〃2x)求其解.
【詳解】:/(x)
[1,X>1
(2-x,x<\
/(x)=,|,
[1,X>1
當(dāng)x+141且2x41時(shí),不等式F(x+l)</(2x)可化為2-x—l<2-2x,
二x<0,
當(dāng)x+141且2x>l時(shí),不等式f(x+l)<〃2x)可化為2-x-1<1,
滿足條件的x不存在,
當(dāng)x+1>1且2x>1時(shí),不等式/(x+1)</(2x)可化為|<1,
,滿足條件的x不存在,
當(dāng)x+l>l且2xVl時(shí),不等式f(x+l)</(2x)可化為l<2-2x,
...滿足/(X+D</(2x)的X的取值范圍是(F,g),
故選:B.
二、多選題
9.已知a>6,c>d,則下列不等關(guān)系正確的是()
A.ac2>be2B.a'〉//
C.—<7-D.a-d>b-c
ab
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合特例法進(jìn)行判斷即可.
【詳解】A:當(dāng)c=0時(shí),顯然不成立,所以本選項(xiàng)不正確;
B:因?yàn)閍>b,所以。*—/=(a+a。+)=(。一b)[(a4—by+—b~]>0,
24
即/>庁,所以本選項(xiàng)正確;
C:若。=0,顯然丄沒有意義,所以本選項(xiàng)不正確;
a
D:因?yàn)閏>d,所以而“>〃,所以-c,因此本選項(xiàng)正確,
故選:BD
10.下面命題為真命題的是()
A.設(shè)a,6e/?,則“a片0”是“必二0”的既不充分也不必要條件
B."ac<0"是"二次方程渡+/?x+c=o有一正根一負(fù)根”的充要條件
C.“加=2”是“屈={乂32+(加+2卜+2=0}為單元素集”的充分而不必要條件
D.“a>1”是“丄<1”的充分不必要條件
a
【正確答案】BCD
【分析】A由必70,則0,6都不為0則可判斷命題;B結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷命題;C根
據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求出參數(shù)即可判斷;D結(jié)合不等式的性質(zhì)以及解分式不等式即可判斷.
【詳解】A若awO,b=0,則"=0;若洋中0,則。泊都不為0,則“。/0”是“而*0”的
必要不充分條件;故A為假命題;
B若二次方程以2+法+c=o有一正根一負(fù)根,則兩根之積為負(fù),即一<0,從而及<0,故
a
“的<0”是“二次方程如2+瓜+0=0有一正根一負(fù)根”的必要條件,
若ac<0,則?=〃-4ac>0,£<0,即方程有兩根且兩根之積為負(fù),所以二次方程
a
or?+fer+c=0有一正根一負(fù)根,故"or<0"是"二次方程以2+fer+c=0有一正根一負(fù)根”的
充分條件,綜上“収<0”是“二次方程62+"+c=0有一正根一負(fù)根”的充要條件,故B為真
命題;
C因?yàn)镸={x|*+(利+2)x+2=0}為單元素集,若m=0,則”={-1}符合題意;若相片0,
則△=(機(jī)+2/-8/>J=0,則〃?=2,則M={-1}符合題意;綜上:M=|x|/7ir2+(〃?+2)x+2=0}
為單元素集,則加=0或2,因此“加=2”是“知={力加+(加+2)N+2=0}為單元素集”的充
分而不必要條件,故C是真命題;
D因?yàn)?。?,所以丄-1=匕纟<0,但是若丄<1,貝或。<0,則“a>l”是“丄<1”的充
aaaa
分不必要條件,故D是真命題,
故選:BCD.
11.下列函數(shù)〃x)中,滿足對(duì)任意不,/?1,田),有<0的是()
"百X])一:%"2々)
13
A../(X)=-2(X-1)2-2B./(%)=--
1-X
c./(x)=l+1D./(x)=|x-4|
【正確答案】AC
由題意可得只需滿足函數(shù)在區(qū)間(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減即可.
【詳解】對(duì)任意王,々€(1,m),有一’⑷<0,
x\~xi
則函數(shù)在區(qū)間(1,”)上為減函數(shù),
對(duì)于A,/(X)=-2(X-1)2-2,由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知滿足題意,故A可選;
,3
對(duì)于B,f{x}=—,根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)在區(qū)間。,m)上為增函數(shù),故B不可選;
I-X
對(duì)于c,〃x)=l+J,函數(shù)在區(qū)間(l,y)上為減函數(shù),故C可選;
x—4x24
'一,顯然函數(shù)在區(qū)間(1,位)上不是單調(diào)函數(shù),故D不可
{■-I,人?
選;
故選:AC.
關(guān)鍵點(diǎn)睛:熟記二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、幕函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
12.已知a>0,b>0,且a+2b=1,則下列說法正確的是()
A.標(biāo)+戸的最小值為:B.M的最大值為:
58
1A11—
C.j"的最大值為7D.—7的最小值為4V5
a+b3ab
【正確答案】AB
【分析】利用基本不等式及函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】解:對(duì)于A:由。>0,b>0,a+2Z?=l,則。=1一2人,
[1-2/?>01
所以厶A,解得0<人<彳,
仍>02
所以=(1_%)2+/=5從_46+]=5(6-|)+1,
2]
所以當(dāng)〃=:時(shí),片+從有最小值點(diǎn),故A正確.
對(duì)于B:由。>0,Z?>0,\=a+2h>lyjlab,即。人工:,當(dāng)且僅當(dāng)。=2&,即。=彳,/?=—
824
時(shí)等號(hào)成立,
所以油的最大值是:,故B正確;
fl-2/?>01
對(duì)于C:由。>0,Z?>0,a+2b=\,貝lja=l—26,所以八,解得0<厶<一,
\h>02
11-1,11
所以--->因?yàn)?<b<「,所以一1<力一1<一;,
a+b1一2"。b-\22
1-11
所以一2<丁匚<—1,所以1〈丁二<2,ER1<--<2,故C錯(cuò)誤;
h-\b-\a+b
NT、11a+2ba+2b,2b*a._12ba.、a
ababab\ab
當(dāng)且僅當(dāng)弓=£,即方=三巨,〃=應(yīng)_1時(shí)取等號(hào),故D錯(cuò)誤;
故選:AB
三、填空題
Jx—3
13.函數(shù)=的定義域?yàn)開_________
|x+l|-5
【正確答案】[3,4)U(4,M)
利用被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)、分式分母不為零列不等式組,解不等式組求得函數(shù)的定義域.
fx-3>0
【詳解】要使函數(shù)有意義,貝U解得x±3且xw4.
故[3,4)(4,+oo)
本小題主要考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎(chǔ)題.
14.若函數(shù)〃2X+1)=X2-2X,則〃3)=.
【正確答案】-1
【分析】利用換元法求出/(x)的解析式,代入數(shù)字即可求解.
【詳解】f(2x+1)=x2-2x,
..?令/=2x+1,則x=-----?
2
-2X3J-&+5
x-6x+5
即/(x)=
32-6X3+5
故答案為.-1
15.十六、十七世紀(jì)之交,隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展,改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了
當(dāng)務(wù)之急,數(shù)學(xué)家約翰?納皮爾正是在研究天文學(xué)的過程中,為了簡化其中的計(jì)算而發(fā)明了
對(duì)數(shù),后來數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系,即a〃=N=6=log.N,現(xiàn)已知。=1唯36,
2〃=36貝丄+x3工=.
【正確答案】2后
i?-
由題b=log236=21og26,分別化簡丄+的值代入即可.
ab
【詳解】因?yàn)?'=36,所以〃=log236=21og26,
1212
+
所以一+工=1~~7Vi~~-=log63+log62=l,
ahlog3621og26
In6
a嗎62h^In2J^iL
21og61^2i^32°g3x32
3b=32=3=3=3=353呪=6x2=26
所以+^]x3^=1x26=2后.
故答案為.2有
本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算公式是解決問題的關(guān)鍵.
21
16.已知:X>},y>0,--+-=1,且恒成立,則。的取值范圍是_________.
x-1y
【正確答案】“<4+2竝
【分析】由x+y=(x-i+y)+i,結(jié)合已知等式及基本不等式“1”的代換求x+y的最小值,
注意等號(hào)成立條件是否滿足,進(jìn)而由不等式恒成立確定。的取值范圍.
【詳解】由題設(shè),x-l>o,y>0,
x+y=(x-l+y)+l=(x-l++—)+1=(3+~-)+1>4+2,±1
x-1yx-1y^x-1y
=4+2及,當(dāng)且僅當(dāng)0y=x-l時(shí)等號(hào)成立,
二要使x+y>”恒成立,只需a<4+2&.
故答案為.“<4+2&
四、解答題
17.計(jì)算:
丄1
⑴J;)+(L5廠
⑵lgg+1g20-/2+log.9Jog,8
47
【正確答案】(1)-2
(2)1
【分析】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)‘僵化簡求值即可;(2)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式進(jìn)行化簡即
可.
丄1
閶--(-9.6)。-國3+(1.5尸
【詳解】(1)
3,94
=—1-----1—
249
_47
--36-
ln2
(2)lg^+lg20-e+log89-log,8
ln2
=lg2-'+lg(2xl0)-e+^|i|.log38
=-1g2+lg2+1-2+log39
=I—2+2=1.
18.解下列不等式:
(1)4X2-4X+1>0;
(2)X2-6X+9<0;
(3)—%2+2x—3>0;
(4)(x+2)(x-3)<6.
【正確答案】(i){xix*m
⑵{x|x=3}
⑶0
(4){X|-3<X<4)
【分析】(1)配方法求解即可;
(2)配方法求解即可;
(3)先看判別式正負(fù),確定有沒有解;
(4)因式分解即可求解.
【詳解】(1)4/一4x+l>0,
(21『>0,
解得
所以解集為:{x|xw;}
(2)x2-6x+9<0,
(X-3)2<0,
解得.x=3
所以解集為:{x|x=3}
(3)—x2+2x-3>0,
A=22-4X(-1)X(-3)=-8<0,
所以方程無解,解集為0.
所以解集為:0
(4)(x+2)(x-3)<6,
(x+3)(x-4)<0,
解得.-3<x<4
所以解集為:{x|-3<x<4}
19.已知集合厶={吊^^<():,8={耳2_帆<》<,"+1}
(1)當(dāng)機(jī)=2時(shí)求AcB,(aA)u8;
(2)若AuB=A,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.
【正確答案】(1乂“。<2}:{小4—1或X>0}
(2)/M£1
【分析】(1)把集合A8化簡再求解.
(2)根據(jù)題意得到B=然后根據(jù)3=0和BH0兩種情況討論.
【詳解】⑴=40=卜一2)小+1)40=_142
x+1x+lwO
A=1x|-1<x<2},當(dāng),〃=2時(shí)8={x[O<x<3},
所以ACB={M-1<X42}C{X[0<:X<3}={X[0<X42}
4厶={小4-1或x>2},
所以低A)u8={x|x4-1或x>2}u{x[0<x<3}
={小4-1或x>0}
(2)A<JB=A:.B^A
當(dāng)5=0時(shí)滿足2-2,〃+145滿足B右A;
1f1
m>-m>—
221
當(dāng)8x0時(shí)滿足《2-加2-1=>4%43=x>—<z?i<l
2
m+\<2m<\
綜上:,“£1
20.現(xiàn)有三個(gè)條件:①對(duì)任意的xeR都有/(x+D-/(x)=2x-2;②不等式/(x)<0的解集
為{x[l<x<2};③函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(3,2).請(qǐng)你在上述三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下
面的問題中,并求解(請(qǐng)將所選條件的序號(hào)填寫在答題紙指定位置)
已知二次函數(shù),(x)=or2+/>x+c,且滿足(填所選條件的序號(hào)).
⑴求函數(shù)〃x)的解析式;
(2)已知g(x)=x-l,若存在x使y=/(x)的圖象在y=g(x)圖象的上方,求滿足條件的實(shí)數(shù)
x的取值范圍.
【正確答案】(l)/(x)=d-3x+2
(2)(-00,1)1(3,+00)
【分析】(1)條件①:由/(》+1)-/(無)=2x—2可得“涉;條件②:由八幻<0的解集得aec
的關(guān)系:條件③:尸/⑶的圖象過點(diǎn)(3,2)得9a+3b+c=2.
選擇條件①②:由。為可得/(x);選擇條件①③:由。,加c關(guān)系可得/(幻;選擇條件②③:
由a,。,c關(guān)系可得/(x).
(2)由y=/(x)的圖象在y=g(x)圖象的上方得f-3x+2>x-l,解不等式可得答案.
【詳解】(1)條件①;H^3/(X)=ax2+bx+c(a*0),
22
所以/(x+1)-/(x)=a(x+1)+b(x+1)+c-(or+for+c)=2ax+a+h=2x-29
2(〃-1)=0a=1
即2(a-l)x+a+8+2=0對(duì)任意的x恒成立,所以a=-2,解?得
+bb=-3
a>0
a>0
條件②:因?yàn)椴坏仁健ɑ?lt;0的解集為&|l<x<2},所以■--=3,B|J-b=-3a.
a
c=2a
-=2
a
條件③:函數(shù)了=/*)的圖象過點(diǎn)(3,2),所以9a+3b+c=2.
選擇條件①②:a-l,Z?=-3,c=2,此時(shí)f(x)=x2-3x+2;
a=1
選擇條件①③:,〃=一3,貝lJ〃=l,Z?=-3,c=2,止匕時(shí)/(x)=f—3x+2;
9。+3。+。=2
。>0
x-xb=-3a.
選擇條件②③:\。,則〃=1,〃=-3,c=2,此時(shí)/(x)=f-3x+2.
c=2a
9a+3b+c=2
(2)由題知因?yàn)榇嬖趚使y=fM的圖象在y=g(x)圖象的上方,
所以f_3x+2>x-l,
解得(3,叱).
21.首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開,本屆大會(huì)以“節(jié)能減排,綠色生態(tài)”為主題.某單位
在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采取了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化
工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處
理量X(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為y=:x2-200x+80000,且處理每噸二氧化碳
得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補(bǔ)貼多
少元才能使單位不虧損?
【正確答案】(1)400噸;
(2)不獲利,需要國家每個(gè)月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.
【分析】(1)由題設(shè)平均每噸二氧化碳的處理成本為上,應(yīng)用基本不等式求其最小值,注
X
意等號(hào)成立條件.
(2)根據(jù)獲利S=100x-y,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利,由其值域確定最少的補(bǔ)貼
額度.
【詳解】(1)由題意知,平均每噸二氧化碳的處理成本為
y180000…H~~80000……
—=-xH-----------200>2j—x-------------200=200;
x2xV2x
當(dāng)且僅當(dāng)!吧,即x=400時(shí)等號(hào)成立,
故該當(dāng)每月處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低為200元.
(2)不獲利,設(shè)該單位每個(gè)月獲利為S元,則
22
S=100x-y=100x-QY_200%+80000)=-1x+300x-80000=-1(%-300)-35000,
因?yàn)閤e[400,600],貝I]Se[-80000,Y0000],
故該當(dāng)單位每月不獲利,需要國家每個(gè)月至少補(bǔ)貼4000()元才能不虧損.
22.對(duì)于
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