2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023北京市朝陽(yáng)高三(上)期中

數(shù)學(xué)

本試卷分為第一部分(選擇題)和第二部分(非選擇題)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必

將答案寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合

題目要求的一項(xiàng)。

1.已知全集。=Z,集合A={xeZ卜2Vx<2},?={-1,0,1,2),則(Q,A)iB=

A.{-1,2}B.{1}C.{0,l}D.{2}

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,”o)上單調(diào)遞增的是

A.y=lgxB.y=xiC.y=x+-D.y=2X+Tx

X

3.若sinO=V^cos。,則tan26二

A「且B至C.一或D音

3322

4.已知a=logs0.5,b=50,5,c=O.50,6,則

\.a<c<bB.a<b<cC.c<a<hD.b<c<a

5.函數(shù)y=2sin(2x+3)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是

兀C八八兀c兀

A.x=—B.x=()C.x=-D.x=—

662

6.設(shè)xeR,則“X(1+X)>0”是"0<x<l”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿(mǎn)足BA=2￡)B-2￡)C,則=

\BC\

23

A.-B.-C.2D.3

32

8.已知一個(gè)圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為刎.在該圓錐內(nèi)有一個(gè)正方體，其下底面的四個(gè)頂

3

點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長(zhǎng)為

A.—B.1C.2—5/2D.4—2^2

3

9.已知函數(shù)f(x)=8'°),g(x)=f-4尤_4.設(shè)方wR,若存在QER,使得f(a)+gS)=0,

lln(x+l),XG[0,+oo)

則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

A.[-1,5]B.(-03,-1][5收)

C.[-l,+a>)D.(-oo,5]

10.已知點(diǎn)集A={(x,y)|xeZ,yeZ},S={(a,6)eA\\<a<5,l<b<5}.設(shè)非空點(diǎn)集TgA,若對(duì)S中任意一

點(diǎn)尸，在T中存在一點(diǎn)0(。與P不重合)，使得線(xiàn)段PQ上除了點(diǎn)P,Q外沒(méi)有A中的點(diǎn)，則T中的元素個(gè)

數(shù)最小值是

A.lB.2C.3D.4

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知函數(shù)/(%)=sinTtx+cos7tx,則/(x)的最小正周期是.

12.已知單位向量a1滿(mǎn)足e(a+2b)=2,則向量。與。的夾角為.

13.設(shè)公差為〃的等差數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和為S“(〃€N*),能說(shuō)明“若d<0,則數(shù)列{S,J是遞減數(shù)列”為

假命題的一組內(nèi)/的值依次為.

14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，----

他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表(即不同圓心角的弦長(zhǎng)表)，//\\

這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，/“N

用圓的半徑長(zhǎng)的」■■作為單位來(lái)度量弦長(zhǎng).將圓心角a所對(duì)的弦長(zhǎng)\0

60\7

記為crda.如圖，在圓。中，60。的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)恰好等于，

圓。的半徑，因此60。的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位，

即crd60°=60.若。為圓心角，cos":(0。<6<180。)，則crde=.

15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8C￡>-AB|CQ中，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是側(cè)面OCCQ上(包括邊

界)的動(dòng)點(diǎn)，且給出下列四個(gè)結(jié)論：

①動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是一段圓?。?/p>

J.G

②動(dòng)點(diǎn)N的軌跡與C"沒(méi)有公共點(diǎn)；/V7

③三棱錐N-B]BC的體積的最小值為七；A'T~~|

④平面8AW截該正方體所得截面的面積的最大值為，\/''、、J

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.”/口/

AB

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

16.(本小題13分)

已知｛%｝是遞增的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“(”eN*),滿(mǎn)足％=6,S3=26.

(I)求｛%｝的通項(xiàng)公式及S,；

(II)若S.+an>2024,求n的最小值.

17.(本小題13分)

在中，b2+c2-a2^bc.

(I)求ZA；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使AABC存在且唯一確定，求

△ABC的面積.

條件①：cosB=—；

14

條件②：a+h-12；

條件③：c=12.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問(wèn)得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按

第一組解答計(jì)分.

18.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P—ABC中，m_L平面ABC,PA=AC=BC=2,PB=2g.

(I)求證：BC,平面RAC：

(II)求二面角A—P3—C的大小;

(111)求點(diǎn)C到平面加B的距離.

19.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=ex-sinx-ax2(aeR).

(1)若〃=0,求/(x)在區(qū)間嗚］上的最小值和最大值;

(H)若。求證：/(%)在工=0處取得極小值.

20.(本小題15分)

已知函數(shù),f(x)=〃?xlnx-*2+1(mGR).

(I)當(dāng)加=1時(shí),求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線(xiàn)方程;

(II)若f(x)W0在區(qū)間［L+0O)上恒成立，求機(jī)的取值范圍；

(III)試比較山4與血的大小，并說(shuō)明理由.

21.(本小題15分)

01,2J

已知4“=%七2"2",(加22)是/個(gè)正整數(shù)組成的加行加列的數(shù)表，當(dāng)

<am,\am2ammJ

l<i<s<m,1<j<t<m^t9記d(q.|+|〃.-4，|.設(shè)〃cN”,若滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì):

①%產(chǎn){1,2,3,,〃}(i=1,2,?,，〃;/=1,2,…,〃?)；

②對(duì)任意％e{1,2,3,,〃},存在ie{1,2,je{1,2,,m],使數(shù)表得%j=k,則稱(chēng)4“為「”數(shù)表.

’1