人教A數(shù)學(xué)必修三教案學(xué)案1.1.1 算法的概念

1.1.1算法的概念

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解算法的含義，體會(huì)算法的思想。

2.能夠用自然語言敘述算法。

3.掌握正確的算法應(yīng)滿足的要求。

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：算法的含義、解二元一次方程組和判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)。

教學(xué)難點(diǎn)：把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言。

【教學(xué)過程】

1.情境導(dǎo)入：

算法作為一個(gè)名詞，在中學(xué)教科書中并沒有出現(xiàn)過，我們?cè)诨A(chǔ)教育階段還沒有接觸算

法概念。但是我們卻從小學(xué)就開始接觸算法，熟悉許多問題的算法。如，做四則運(yùn)算要先乘

除后加減，從里往外脫括弧，豎式筆算等都是算法，至于乘法口訣、珠算口訣更是算法的具

體體現(xiàn)。我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，

解線性方程組的算法，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的算法等。因此，算法其實(shí)是重要的數(shù)學(xué)對(duì)象。

2.探索研究

算法(algorithm)—?詞源于算術(shù)(algorism),即算術(shù)方法，是指一個(gè)由己知推求未知的

運(yùn)算過程。后來，人們把它推廣到一般，把進(jìn)行某一工作的方法和步驟稱為算法。

廣義地說，算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法，洗衣機(jī)的使用說

明書是操作洗衣機(jī)的算法，歌譜是一首歌曲的算法.在數(shù)學(xué)中，主要研究計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)的算

法，即按照某種機(jī)械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問題的程序。比如解方程的算法、函

數(shù)求值的算法、作圖的算法，等等。

3.例題分析

例1.任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n,試設(shè)計(jì)一個(gè)程序或步驟對(duì)n是否為質(zhì)數(shù)做出判定。

解析：根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義判斷

解：算法如下：

第一步：判斷n是否等于2,若n=2,則n是質(zhì)數(shù)；若n>2,則執(zhí)行第二步。

第二步：依次從2至(nT)檢驗(yàn)是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù)，若有這樣的數(shù)，則

n不是質(zhì)數(shù)；若沒有這樣的數(shù)，則n是質(zhì)數(shù)。

這是判斷一個(gè)大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)的最基本算法。

點(diǎn)評(píng)：通過例1明確算法具有兩個(gè)主要特點(diǎn)：有限性和確定性。

變式訓(xùn)練1：一個(gè)人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容納一個(gè)人和兩只動(dòng)

物.沒有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會(huì)吃掉羚羊.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)過河的算

法。

解：算法或步驟如下：

S1人帶兩只狼過河；

S2人自己返回；

S3人帶一只羚羊過河；

S4人帶兩只狼返回；

S5人帶兩只羚羊過河；

S6人自己返回；

2

S7人帶兩只狼過河；

S8人自己返回；

S9人帶一只狼過河.

2x+y=7

例2給出求解方程組1'的一個(gè)算法.

4x+5y=11

解析：解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別，

為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，我們用高斯消元法(即先將方程

組化為一個(gè)三角形方程組，在通過回代過程求出方程組的解)解線性方程組.

解：用消元法解這個(gè)方程組，步驟是：

第一步：方程①不動(dòng)，將方程②中x的系數(shù)除以方程①中x的系數(shù)，得到乘數(shù)m=24=2；

2

第二步：方程②減去〃，乘以方程①，消去方程②中的x項(xiàng)，得到

2x+y=7

〈；

3y=—3

第三步：將上面的方程組自下而上回代求解，得到y(tǒng)=-1,x=4.

所以原方程組的解為《

y=-1

點(diǎn)評(píng)：通過例2再次明確算法特點(diǎn)：有限性和確定性

變式訓(xùn)練2:寫出求過兩點(diǎn)M(-2,T)、N(2,3)的直線與坐標(biāo)軸圍成面積的一個(gè)算法。

解：算法：第一步：取為=-2,yp-1,xz-2,度=3；

第二步：計(jì)算上?=土玉；

必一必々一再

第三步：在第二步結(jié)果中令下0得到y(tǒng)的值m,得直線與y軸交點(diǎn)(0,m)；

第四步：在第二步結(jié)果中令片0得到x的值n,得直線與x軸交點(diǎn)(n,0)：

第五步：計(jì)算

2

第六步：輸出運(yùn)算結(jié)果

例3用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求解方程x2-2=0的近似根的算法。

算法分析：回顧二分法解方程的過程，并假設(shè)所求近似根與準(zhǔn)確解的差的絕對(duì)值不超

過0.005,則不難設(shè)計(jì)出以下步驟：

第一步：令f(x)=x：-2。因?yàn)閒(l)<0,f(2)>0,所以設(shè)xi=l,X2=2?

第二步：令m=(x,+x2)/2,判斷f(m)是否為0,若則，則m為所長(zhǎng)；若否，則繼續(xù)判斷

f(xi)?￡加)大于0還是小于0。

第三步:若f(xi)?f(m)>0,則令xi=m；否則，令X2=m。

第四步：判斷|x「xj<0.005是否成立？若是，則xi、xz之間的任意取值均為滿足條件的近

似根；若否，則返回第二

點(diǎn)評(píng)：滲透循環(huán)的思想，為后面教學(xué)做鋪墊。

變式訓(xùn)練3給出求1+2+3+4+5的一個(gè)算法.

解：算法1按照逐一相加的程序進(jìn)行.

第一步：計(jì)算1+2,得到3；

第二步：將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加，得到6；

3

第三步：將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加，得到10；

第四步：將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加，得到15.

算法2運(yùn)用公式1+2+3+.+〃="S+D直接計(jì)算.

2

第一步：取〃=5；

第二步：I十算一^——

2

第三步：輸出運(yùn)算結(jié)果.

算法3用循環(huán)方法求和.

第一步：使5=1,；

第二步：使/=2；

第三步：使S=S+/；

第四步：使/=/+1；

第五步：如果/W5,則返回第三步，否則輸出S.

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)問題的算法可能不唯一.

4.回顧小結(jié)

1.算法的概念：對(duì)一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法.算法是由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)

算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟，或者是按照要求設(shè)計(jì)好的有限的計(jì)算序列，并且這樣的步

驟或序列能解決一類問題.

2.算法的重耍特征：

(1)有限性：一個(gè)算法在執(zhí)行有限步后必須結(jié)束；

(2)確定性：算法的每一個(gè)步驟和次序必須是確定的；

(3)輸入：一個(gè)算法有0個(gè)或多個(gè)輸入，以刻劃運(yùn)算對(duì)象的初始條件.所謂0個(gè)輸入是指

算法本身定出了初始條件.

(4)輸出：一個(gè)算法有1個(gè)或多個(gè)輸出，以反映對(duì)輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果.沒有輸出的

算法是毫無意義的.

5.課后作業(yè)

寫出求1+,+,++」一的一個(gè)算法

23100

解：第一步：使S=l,；

第二步：使/=2；

第三步：使”=—；

I

第四步：使s=s+〃；

第五步：使/=/+1;

第六步：如果/K100,則返回第三步，否則輸出S.

4

1.1.1.算法的概念

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：了解算法的含義，體會(huì)算法的思想。

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：

1.算法的概念及其特點(diǎn)

2.判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)

三、提出疑惑：如何快速準(zhǔn)確的寫出一個(gè)問題的算法？

課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解算法的含義，體會(huì)算法的思想；

2.能夠用自然語言敘述算法；

3.知道算法應(yīng)滿足的要求。

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：算法的含義、判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言。

三、學(xué)習(xí)過程：

（一）、自主學(xué)習(xí)：

1.算法的概念

2.算法的重要特征：

（二）、例題分析：

例1.任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n,試設(shè)計(jì)一個(gè)程序或步驟對(duì)n是否為質(zhì)數(shù)做出判定

變式訓(xùn)練1：一個(gè)人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容納一個(gè)人和兩

只動(dòng)物.沒有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會(huì)吃掉羚羊.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)過河

的算法。

例2給出求解方程組1'的一個(gè)算法.

4x+5y=11

變式訓(xùn)練2：寫出求過兩點(diǎn)M（-2,-l）、N（2,3）的直線與坐標(biāo)軸圍成面積的一個(gè)算法。

例3用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求解方程x2-2=0的近似根的算法。

變式訓(xùn)練3給出求1+2+3+4+5的一個(gè)算法

（三）、回顧小結(jié)：

（1）算法的概念

（2）算法的重要特征

（四）、當(dāng)堂檢測(cè)：

寫出求1+,+,++」一的一個(gè)算法

23100

解：第一步：使S=l,；

第二步：使/=2；

第三步：使〃=1；

I

第四步：使5=5+”；

第五步：使/=/+1；

第六步：如果/W100,則返回第三步，否則輸出S.

課后練習(xí)與提高:

1.下列關(guān)于算法的說法中，正確的是（）.

A.算法就是某個(gè)問題的解題過程B.算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果

C.解決某類問題的算法不是惟一的D.算法可以無限地操作下去不停止

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2.有一堆形狀大小相同的珠子，其中只有一粒質(zhì)量比其他的輕，某同學(xué)利用科學(xué)的算法,

兩次利用天平找出這粒最輕的珠子，則這堆珠子最多有多少粒（）

A.4B.5