安徽省皖江名校2023-2024學年高二年級上冊開學聯(lián)考數(shù)學

數(shù)學試卷

本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

考生注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知集合“=卜上2-2%-8<0},N={-3,-2,0,2,3)-則=的最小值是

A.{x|-2<x<4}B.{-2,0,2}C.{-3,-2,0}D.{0,2,3}

2.已知復數(shù)z=(加+l)+(m—l)i(weR)+(m-l)i(加cR)為純虛數(shù)，則復數(shù)z(3—i)在復平面內(nèi)對

應的點在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量0=(42),6=(2,4),且(a叫〃則九=

A.-2B.-1C.1D.2

一,、sin3(7r-(z)+cos3(-a)

4.已知在平面直角坐標系中，點M(2,4)在角a終邊上，則一「~」——一一L=

sina-2cos-a

5.手工課上某同學用六個邊長相等的正方形卡片拼接成一個幾何圖形，如圖所示，其中AB,CD,EF,

MN為對角線，該兒何圖形恰好能折疊組裝成一個正方體卡片紙盒，則在正方體卡片紙盒中

A.CM上EFB.CMLABC.CMLCDD.CMLMN

6.2013年7月18日，第31屆全國青少年愛國主義讀書教育活動啟動，某校為了迎接此次活動，對本校

高一高二年級學生進行了前期閱讀時間抽查，得到日閱讀時間(單位：分鐘)的統(tǒng)計表如下：

年級抽查人數(shù)平均時間方差

高一40504

高二60406

則估計兩個年級學生日閱讀時間的方差為

A.52B.29.2C.10D.6.4

,「.iIn4

7.已知實數(shù)mb,C滿足。=log43,b=log75,l+log5c=—,貝ij

In5

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

TT

8.已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=一，點Q在邊BC上，且滿足

3

(\

ARAT

AQ=Aj+3(2>0),AQ=46,則b+16c的最小值是

〔網(wǎng)MJ

A.32B.64C.100D.120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。

9.CPI是居民消費價格即消費價格指數(shù)，是反映居民家庭一般所購買的消費品和服務項目價格水平變動的

宏觀經(jīng)濟指標.下圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2022年5月至2023年5月全國居民消費價格漲跌幅統(tǒng)計圖，其

中同比是與上年同期對比（如今年5月與上年5月），側(cè)重數(shù)據(jù)長期趨勢，環(huán)比是與上月對比（如今年5月

與4月），側(cè)重數(shù)據(jù)短期變化，則下列說過正確的是

A.2022年5月至2023年5月同比漲幅極差為2.7%

B.2023年1月至5月同比漲幅的75%分位數(shù)為1.0%

C.從環(huán)比看，CPI由2023年2月至4月開始持續(xù)上漲

2

D.隨機從2023年1月至5月的同比數(shù)據(jù)選擇兩個研究，則選取4月和5月的概率為］

10.已知函數(shù)/(x)=sin(iyx+e)。>0,0<9<］的部分圖象如圖所示，其中B,C兩點縱坐標相等,

則

A./(x)=sin(2x+y

B./(x)=sin12x+￡

C./（力的圖象向右平移三個單位長度可得一個奇函數(shù)的圖象

6

TT

D./（力的圖象向左平移內(nèi)個單位長度可得一個偶函數(shù)的圖象

11.直四棱錐S-ABCO中，SAJ?底面ABCQ,A￡>=4BC.AD//BC,AC,8。的交點為P,點Q在

SO上且。Q=4QS,三棱錐S-48c和三棱錐Q-ACD的體積分別為匕，匕，則

A.PQ//SBB.CQ〃平面SABC.乂>匕D.V,=—^

16

?2sin63°sin64°

12.已知x=--------------------y=(l+tan26°)(l+tan27°),則

cosl80cosl90

A.x=(1+tanl8°)(l+tan190)B.x>y

C.孫=4D.x+y>4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.復數(shù)z=-------,貝ij|z|=.

4+3i11-------------------

14.已知正四棱臺上下底面邊長分別為2和8,側(cè)面梯形的高為5,則該四棱臺的體積為.

15.隨著國家“雙碳”（碳達峰與碳中和的簡稱）目標的提出，我國風電發(fā)展駛?cè)肟燔嚨?，陸地、海上?/p>

風機（如下左圖，頂端外形是大風車，又稱風力發(fā)電大風車）紛紛“拔地而起”，成為保護環(huán)境、輸送綠

色能源的“風中使者”.如圖，一學習興趣小組為了測量某風力發(fā)電大風車48的高度，在點A正東方點

C處測得風車頂端點B的仰角為30°,在點A南偏西30°方向的點D處測得點B的仰角為60°,且C,

。相距一--米，其中A5_L平面AOC,則AB的高度為米.

3

16.若“X）的定義域為[0,1],對于OW%W/W1,都有且滿足/仁卜;〃x）,

/（l-x）=l-/（x）,則稱“可為康托爾函數(shù).當xe時，康托爾函數(shù)/（力=；

/U[02-3J1=-------------

四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

設平面向量4,人滿足,1=1，Z?=（G』），（2a+8）?（a—。）=一3.

（1）求卜-q；

（2）求向量a在向量b上的投影向量（用坐標表示）.

18.（12分）

已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，h,c,且滿足9+2-且=夜.

haah

（1）求角C；

（2）若sinA=千，c=5啦＜b,求A鉆。的面積.

19.（12分）

2023年7月II日第64屆國際數(shù)學奧林匹克競賽結(jié)果公布，中國隊6名參賽選手全員金牌，再奪第一.某

班級為了選拔數(shù)學競賽選手，舉行初次選拔考試，共有排好順序的兩道解答題.規(guī)定全部答對者，通過選

12I2

拔考試.設甲答對第一道和第二道題的概率分別為一，一，乙答對第一道和第二道題的概率分別為一，一，

2323

甲，乙相互獨立解題，答對與否互不影響.

（1）求甲，乙都通過考試的概率；

（2）記事件￡="甲、乙共答對兩道題”，求P（E）.

20.（12分）

如圖，。為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，P為。。的中點，AA3C是底面的內(nèi)接正三角形.

（1）若底面圓的半徑為2,直線PB與底面的夾角為45°,求圓錐側(cè)面展開圖的面積；

（2）若PALPB,證明：平面尸平面也艮

21.（12分）

如圖所示，AABC中，AQ為邊BC的中線，AP=tAQ,MP=xMN,AM=AAB,AN=RAC,其

中/>0,x>0,2>0.〃>0.

1

（1）當/=-時，用向量AB,AC表示AP；

3

（2）證明：工+工為定值.

22.（12分）

已知f（x）=2百COS69XSinCOX-COS269X4-sin469X+COS269xsin2>0）.

（1）若G=1,且=?！?,萬），求cos（2a-專）的值；

（2）若函數(shù)y=/（楙）在區(qū)間（1,與）上沒有零點，求①的取值范圍.

數(shù)學參考答案

題號123456789101112

答案DCCBABACABACDADACD

1?【解析】由〃={x,—2》一8<0}=卜卜2Vx<4},={-3,-2,0,2,3},得MCN={0,2,3}.

2.【解析】由復數(shù)z=（m+l）+（加一l）i（mwH）為純虛數(shù)，可得復數(shù)加=一1,所以復數(shù)z（3—i）=—i（3—i）

=—1—3i,所以在復平面內(nèi)對應的點為（一1,一3）,在第三象限，故選C.

3.【解析】由題意可得a—匕=（%—2,—2）,因為（a—〃）〃〃，所以4（2—2）=T,解得X=l,故選C.

■…三’口csincr+cosatana+18+13

4.【解析】由題后、可得tana=2,所以原式=—：------z—=—：------=-----=—，故選B.

sina-2cosatana-28-22

5.A

【解析】由題意可得正方體卡片紙盒如圖所示，則易知CM_LE/，CM//AB,CM與CQ,MN的夾角

均為60°,故選A.

_406（）

6.【解析】由題意估計高一高二日閱讀時間的平均數(shù)為x=50x—+40x—=44,

100100

方差為S2=4+(50—44)[x^^+6+(40—44)[x，^=29.2,故選B.

i44

7.【解析】由l+log5c=np~^,得logs(5c)=logs4，即5c=4,即。=1,

a=log43=log4療=log4^243<log4^256=log4竹=1,

7

b=log75=log7=log7V3125>log7V240T=log7V7=I1綜上可知a<c</?,故選A.

/、

ADArAn4r

8.【解析】因為廠f，—分別是向量AB,AC的單位向量，所以由A。=/l尸i+f4（2>0）,

網(wǎng)"[M|因）

易知AQ是AABC中角A平分線，于是結(jié)合8cUSMBO+SMCO，AQ=4百可得，

，機41160。=!*46。8出30。+!*4341130。，化簡得慶=43+。，故！

222tyc4

所以〃+16c=4(/?+16。)2100,當且僅當人=20,c=5時等號成立，故

選c.

9.【解析】A選項中的極差為2.8—0.1=2.7(%),故A正確；B選項中的數(shù)據(jù)由小到大排列為0.1%,

0.2%,0.7%,1.0%,2.1%,由1=5x75%=3.75,不是整數(shù)，所以75%分位數(shù)為第4個數(shù)1.0%,故B正

確；C選項中2月至4月均為負數(shù)，說明下降，故C錯誤；D選項等價于從5個數(shù)字中隨機選取2個，樣

本空間包含的樣本點總數(shù)為10,其中隨機事件”選到4月和5月”包含的樣本點數(shù)為1,古典概型概率計

算公式可得所求概率為「=’,故D錯誤.綜上，選AB.

10

冗2萬

萬+5]7萬7萬萬萬

10.【解析】由題意知所以/(x)的圖像的一條對稱軸方程為----—=—

1234

127r\71\7171

-X—,所以啰=2.由于函數(shù)/(X)圖像過［彳,°b由2x§+o=%+2A%,女eZ,且0<°<5,

得夕=?,所以/(x)=sin[2x+qj,故A正確，B錯誤；/(力的圖象向右平移(■個單位長度得到

TT7T\TT

(2x--+-\=sm2x,是奇函數(shù)，故C正確；〃x)的圖象向左平移三個單位長度得到

/z(x)=sinI2x+—+yI=cos2x,是偶函數(shù)，故D正確.故選ACD.

11.【解析】連接PQ,AD=4BC,AD〃BC,所以OP=4BP,又因為。Q=4QS,所以PQ〃跖，

14

故A正確；過。作QM〃AZ)交SA于點M,由。。=4QS,可得QM=,所以四邊形

BC0M是梯形，。。與的延長線必定相交，故C。與平面SAB必定相交，故B錯誤；設直四棱錐S-

4

ABCD的高為H,底面梯形A3CQ的高為〃，則易得三棱錐S-A5C和三棱錐Q-AC。的高分別為Hf-H,

U-x—xBCxhxH]s

所以—L=y_^-------------=-,所以C錯誤，D正確.綜上，選AD.

匕1X1XADX/ZX4H4X916

3255

…匚、Ld2sin63°sin64°V2sin(45°+18°)-V2sin(45°+19°)sin18°+cos18°

12.【解析】因為x=--------------------=-----------------------------------------------=---------------------

cos18°cos19°cos18°cos19°cos18°

qjnIX。_i_ccq18。(TT、

--°^190=(1+tan18°)(1+tan19°),所以A正確；由正切函數(shù)在J上恒為正且單調(diào)遞增得

x=(1+tan18°)(1+tan19°)<(1+tan26°)(1+tan270)=y,所以B錯誤；注意到1=tan(18。+27。)

tan180+tan27°

所以tan180+tan270+tan18°tan27°=1同理

1-tan18°tan27°

tan190+tan260+tan19°tan26°=1,于是

◎=(1+tan18。)(1+tan27。).(1+tan19。)(1+tan26。)=(1+tan18。+tan27。+tan18。tan27。)

(l+tanl90+tan26o+tanl90tan260)=2x2=4,故C正確；由基本不等式可得x+y>2而=4,故

D正確.綜上，選ACD.

13.【答案】！

5

—i(4—3i)_3-4i

【解析】z

4+3i(4+3i)(4-3i)-25

14.【答案】112

【解析】由題意可知正四棱臺的高為A/52-32=4所以該四棱臺的體積為

1X(22+82+V22X82)X4=112.

15.【答案】40

【解析】由題意知，ZADB=60°,N5C4=30°,ZZMC=120°,設QA=x,則=AC=3x,

在AABC,由余弦定理可得(—1)=尤?+(3x)2_2,x-3%.(——,解得x=—,所以

AB=y/3x=40(米).

1

16.【答案】一

2128

【解析】在/仁卜中，分別令x=0,得/（0）=0,在"1—x）=l—“X）中，令x=l,

x=+,

得/⑴"佃+嗚卜.又令V'得《卜"⑴4所以山卜佃4結(jié)合

對于都有〃與了了（々），可得當無€g時，康托爾函數(shù)/（x）=；，反復利用

*卜“⑺.，可得

'33、

23J41^2023),2023,

(3334、'34'35'363636

Z，注意到一=6-<

(202342023,,2023,2023,2023336X3729X3

36<36_2X36_21

所以/=-x-=—,故第二空填_L.(注：第一空2分，第

2023729x-3‘x332023642128128

2

二空3分)

17.【解析】

(1)因為(2a+Z?)(a-b)=-3,所以2a"=一3,

又忖=1,卜卜2,所以。%=1,

因為任一々=a-2a,b+b-I2-2xl+22=3,

所以卜—q=g.

(2)設a,b的夾角e,由(1)中可得cose=gig=,，故。=C.

\a\\b\23

因為〃=

所以向量。在向量b上的投影向量為便

4

18.【解析】

..,abc-n-a+h--crr.a~+b--c~

(1)由一+------=J2,得-----------=J2,所以-----------

baabah2ab

結(jié)合余弦定理可知cosC=Y-,而0＜。＜/，所以c=工.

24

(2)由正弦定理可得:=二0，解得a=4后,

2V5＜2

52

又由余弦定理可得50=^2+80-2x4&x^,即人2—4癡。+30=0,

2

解得。=3屈，或6=加，

而c=5&</?,所以》=3jl。，

ii6

所以AABC的面積S=-aAinC=—x4j^x3jl6xJ=30

222

19?【解析】設事件4=”甲答對了，道題”，事件與="乙答對了i道題"，j=0,1,2,

3\111”.'11111C/“\111

由感意尸（4））=-x—=一,P（A）=-x—I—x-二一,P（A,）=_x一=一,

2241,22222'.224

3

）=lxi=-,P（fi1）=-x-+-xl=-,/（B,）=-x-=-,

'"33933339'，339

ii221

（1）由題意得，甲，乙都通過考試的概率：P（A2B2）=P（A2）P（B2）=-X-X-X-=-.

由題意得，

（2）E=A[B{+A2BO+\82,

14111413

所以尸（E）=P（A）P（4）+P（4）P（B°）+P（4）尸（與卜^丁^^+不丁亞

20.【解析】

（1）連接OB,由題意知。O_L平面ABC,故。0,80,則直線尸8與底面的夾角為NPBO=45。.

因為底面圓的半徑為2,所以PO=BO=2,底面圓的周長為4萬，

而P為。。的中點，所以。0=4,所以圓錐的母線長為J4?+2?=2加,

所以圓錐側(cè)面展開圖的面積為工x4萬x26=46萬.

2

（2）證明：連接0A,0C,

二PA=PB=PC,

???A48C是圓內(nèi)接正三角形，

AAB=BC=CA,所以"AB四APBC,"AB會"AC,

NBPC=NAPC=90°,即PBLPC,PAYPC,PAPB=P,

，PC_L平面以B,PCu平面以C,

二平面~BC_L平面PAB.

21?【解析】

(I)當/='時，AP=—AQ,

33

因為AQ為邊BC的中線，

11/X11

所以AQ=AB+60=48+580=48+5(40—48)=548+54。,

11

所以AP=-AB+-4c.

66

(2)證明：由(1)可知40=；AB+gAC,

所以AP=.AQ=((A6+4C).

而MP=xMN,AM=2cAB,AN=〃AC,

所以AP—AM=xAN-xAM,

即((AB+AC)-AAB=X/.IAC-xAAB,

整理可得-4+ja[A3=(x〃—AC,

而AB,AC是不共線向量，所以(一/l+x/l=x〃一;=