福建省廈門某中學2023-2024學年高一年級上冊期中考試數(shù)學試題

福建省廈門某中學2023-2024學年高一上學期期中考試數(shù)

學試題

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合A={2,0,3},8={2,3},則()

A.A=BB.C.ABD.BA

2.設a,b,ceR,且則下列結(jié)論正確的是()

A.a2>h2B.C.2">2"D.ac2>be2

3.已知函數(shù)〃x）=（x+a—2乂2W+。—I）為奇函數(shù)，則〃的值是（)

A.1B.2C.1或2D.0

4.“陛2工＜2”是的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.在同?直角坐標系中，函數(shù)/*）=/（工之0）送（1）=1留,/的圖像可能是（）

6.“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收'’（明?《增廣賢文》）是勉勵人

們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%,那么一年后是（1+1%產(chǎn)5=1.0儼5；如果每

天的“退步”率都是1%,那么一年后是（1-1%產(chǎn)5=0.99殮.一年后“進步”的是“退步”的

上空晨=（_L2L）365aH481倍.如果每天的“進步”率和“退步”率都是20%,那么大約經(jīng)過

0.993650.99

()天后“進步”的是“退步”的一萬倍.(lg2?0.3010,lg3?0.4771)

A.20B.21C.22D.23

/[\0.9]

7.已知〃=0.9>=f-j，c=-log279,則()

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

8.已知定義域為(o,+8)的函數(shù)/(x)滿足對于任意公，%€(0,物)，X產(chǎn)々，都有

且"3)=2,則不等式/(x)<x-1的解集為()

一一一

A.(-oo,2)B.(0,2)C.(0,3)D.(2,3)

二、多選題

9.下列說法中正確的有()

2

A.命題p：eR,XQ+2x0+2<0,則命題p的否定是WxeR,x+2x+2>0

B."加<0"是“關(guān)于x的方程V-2X+M?=0有一正一負根”的充要條件

C.奇函數(shù)“X)和偶函數(shù)g(x)的定義域都是R,則函數(shù)6(x)=f(g(x))為偶函數(shù)

D.“五>。>是“x>y”的必要條件

10.若a>0,b>0,S.a+b=4,則下列不等式恒成立的()

]]12

A.—>—B.一■C.yfab>2D.a1+b2>8

ab4ab

11.雙曲余弦函數(shù)chA="二常出現(xiàn)于某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義

2

懸鏈線和拉普拉斯方程等，其圖象如圖.已知函數(shù)〃X)=W：+表V,則滿足

</(a+2)的整數(shù)°的取值可以是()

/、「、i/、\4x-2x2,xe[0,11

12.已知函數(shù)〃x)的定義域為[0,+e),當xer[0,2]時，〃x)="./J,當

4—ZXyX€(1,2]

試卷第2頁，共4頁

x>2,/(x)=,"(x-2)"〃為非零常數(shù)).則下列說法正確的是()

A.當機=2時，/(5.5)=2

B.當機=；時，y=/(x)的圖象與曲線y=log/的圖象有3個交點

C.若對任意的x,毛e［0,+co),都有則制41

D.當0<相<1,〃eN+時，y=/(x)的圖象與直線y=2,〃"T在［0,2“］內(nèi)的交點個數(shù)

是2〃一1

三、填空題

13.若函數(shù)/(五+1)=三貝I佃=.

14.已知集合4={-2,—l,0,l,2},8={x|y=ln(x2—3x—4)},則AB=

1

Og，

15.求值：9^'°+f-LY-0.027-Ulog62+—I—=___.

181J&i+iog32

1+z

16.已知正數(shù)x,y,z滿足3/+2y2+z2=1,則5=--的最小值為_____.

xyz

四、解答題

17.已知集合A={x，-4or+3/<()},集合5={x［(x-3)(2-x)N0}.

⑴當。=1時，求Ac3,A^JB；

⑵設心0,若是號仁夕的必要不充分條件，求實數(shù)。的取值范圍.

18.已知函數(shù)

⑴判斷函數(shù)/(X)的奇偶性，并說明理由；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性并證明.

五、問答題

19.已知函數(shù)〃x)滿足/(x+y)=/(x)+〃y)-2(x,yeR),且/⑵=6.

⑴求“0)，判斷函數(shù)g(x)=/(x)-2的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

⑵若對任意“y,都有［“X)-/(y)］(x-y)>0成立，且當xe(0,4］時，不等式

/(力+/(--m)±8恒成立，求實數(shù)〃？的取值范圍.

20.已知實數(shù)a滿足/43，l°g，，34g.

(1)求實數(shù)”的取值范圍；

(2)若a>l,/(x)=,nr"+ln(l+x)”-aln(l-x)-2(mwR),且/(；)=",求/(—g)的

值.

六、應用題

21.杭州亞運會田徑比賽10月5日迎來收官,在最后兩個競技項目男女馬拉松比賽中，

中國選手何杰以2小時13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國隊亞運史上首枚男子馬拉

松金牌.人類長跑運動一般分為兩個階段，第一階段為前1小時的穩(wěn)定階段，第二階段

為疲勞階段.現(xiàn)一60kg的復健馬拉松運動員進行4小時長跑訓練，假設其穩(wěn)定階段作

速度為匕=30km/h的勻速運動，該階段每千克體重消耗體力A2=4x2匕?表示該

階段所用時間)，疲勞階段由于體力消耗過大變?yōu)榈?30704的減速運動(F表示該

階段所用時間).疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復，該階段每千克體重消耗體力

—LX2V

△。2=七］n，已知該運動員初始體力為。。=100。。燈,不考慮其他因素，所用時間為■

(單位：h),請回答下列問題：

(1)請寫出該運動員剩余體力。關(guān)于時間f的函數(shù)Q。)；

(2)該運動員在4小時內(nèi)何時體力達到最低值，最低值為多少？

七、問答題

22.已知函數(shù)=9'-2?3""'(/?>0).

⑴當機=1時，求不等式/(》)427的解集；

⑵若三>n>0且中2=病，試比較/(王)與/(&)的大小關(guān)系；

⑶令g(x)=/(x)+〃T),若y=g(x)在R上的最小值為T1,求〃?的值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【詳解】根據(jù)集合相等的概念，集合交集運算法則，集合包含關(guān)系等知識點直接判斷求解.

【分析】因為集合4={2,0,3},B={2,3},

所以AwB,ACB={2,3},B是A的真子集，

所以A,B,C錯誤，D正確.

故選：D

2.C

【分析】利用特殊值舉反例排除即可得到答案.

【詳解】對于A,若。=0/=-1,則故A錯誤；

對于B,若“=1]=—1,則工>：,故B錯誤；

ab

對于C,由于y=2"在R上單調(diào)遞增，所以。時，2">2J故C正確；

對于D,若。=0,貝！)。。2=稅2,故口錯誤.

故選：C

3.B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)/(。)=0得到a的值再用定義法驗證即可.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=(x+a-2乂2/+。-1)為奇函數(shù)，定義域為(《,”)，

所以〃0)=(a_2)(a_l)=0,解得a=I或a=2,

當a=l時，/(X)=2X2(X-1),則〃—X)=2X2(T—1)H—/(X),不滿足題意；

當”=2時，/(x)=x(2x2+l),WJ/(-x)=-x(2x2+1)=-/(%),滿足題意.

所以”的值是2.

故選：B

4.B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念和對數(shù)函數(shù)相關(guān)概念求解即可.

【詳解】i|log2x<2=log24,解得0?4,

由“0?4”是"l<x<3"的必要不充分條件，

所以“l(fā)og?x<2"是“1<x<3"的必要不充分條件.

答案第1頁，共12頁

故選：B

5.D

【分析】通過分析基函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特征可得解.

【詳解】函數(shù)y=x"(xNO),與y=log“x(x>0),

答案A沒有事函數(shù)圖像，

答案B.y=x"(x20)中a>l,y=log〃x(x>0)中0<a<l,不符合,

答案Cy=x"(xNO)中0<a<l,y=log“x(x>0)中々>1,不符合,

答案Dy=x"(xNO)中0<a<l,y=log“x(x>0)中0<。<1,符合，故選D.

【點睛】本題主要考查了事函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎題.

6.D

【分析】根據(jù)題意可列出方程10000x(1-0.2)*=1.2",求解即可，

【詳解】設經(jīng)過x天“進步”的值是“退步”的值的10000倍,

貝1)10000x(1-0.2)，=12,

12

Bp(—y=loooo,

44

??--v=loga23

l2—轡/Ig3-lg20.1761

0?81§(18，g2

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)運算法則計算即可.

2

【詳解】由題意得，c=^log179=llogl,3=ix|=h

22233

因為y=在R上單調(diào)遞減,

0.5

所以

由于《『=曰<0,7

所以gvKO.7；

答案第2頁，共12頁

因為y=0.9",在R上單調(diào)遞減，所以a=0.9；>09=09

所以cv。va.

故選：D

8.C

【分析】將為"々)一%"*)>1變?yōu)椤?1-"3+1>0,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)

X2-X1々菁

g(x)=〃"+l,">0),即可判斷g(x)的單調(diào)性，由此將不等式/(x)<x-1可化為

X

g(x)<g(3),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可得答案.

【詳解】由題意知對于任意為，Aje(0,-Ko),內(nèi)工々，不妨設為<七，則馬-芭>0,

/(x)+l/(x1)+l

由〃占)>]得%"%)_]>0,即2

*2%

%)一%%>一石----

結(jié)合9-演>。,儀>。得小業(yè)-①！>(),即回1>31,

X2Xy%2X)

設g(x)J㈤+l,(x>0),則該函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(3)=幽±1=1,

x3

則/(“<》-1即,(力+1<1,即g(x)<g⑶，

X

故0<x<3,即不等式的解集為(0,3),

故選：C

9.BC

【詳解】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定可判斷A；判斷“加<0”和“關(guān)于x的方程

丁-2了+機=0有一正一負根”之間的邏輯關(guān)系可判斷B；根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷C；判斷

“4>6"和'5>尸'的推出關(guān)系可判斷D.

【分析】對于A,命題p：3x0eR,x；+2xo+2<O,

則命題p的否定是VxwR,X2+2X+2>0,A錯誤；

對于B,當,〃<0時，對于X?-2》+機=0有△=4-4/〃>0,

即方程有兩個不等實根，設為中三，則看超="<0,即牛三一正一負；

x2-2x+m=0W一正一負根時，只需滿足中2<。，即僧<0，

答案第3頁，共12頁

即“機<0”是“關(guān)于x的方程V-2x+m=0有一正一負根”的充要條件，B正確；

對于C,由題意知〃(x)的定義域為R,

由/(-x)=-/(X),g(-x)=g(x)可得h(-x)=/(g(-x))=f(g(x))=/z(x),

即函數(shù)〃(x)=/(g(x))為偶函數(shù)，C正確;

對于D,當五時，可得x>yNO,

反之，當x>y,比如0>x>y時，五,J7無意義，

故“6>4”是“x>y”的充分條件，D錯誤，

故選：BC

10.AD

【分析】運用基本不等式和特殊值法判斷各個選項即可.

【詳解】對于A和C,因為a>0,b>0,所以4+6=4225^,即

當且僅當a=0=2時等號成立，故0VHW4,則故A正確，C錯誤；

ah4

1213

對于B,代入。=。=2,-+-=-+1=^-<2,故B錯誤；

ah22

對于D,川+八-=8,當且僅當。=8=2時等號成立，故D正確.

一2

故選：AD

11.BCD

【分析】判斷函數(shù)〃"=紅三二+七/的奇偶性以及單調(diào)性，則由F(四)</(。+2)可

得|百〃|<|〃+2|,將各選項中的數(shù)代入驗證，即可得答案.

【詳解】由題意知〃x)=1^+」一Y的定義域為R,

v122023

/(-x)=e丑+—1—(-x)2=/(x),

v722023

即f(x)為偶函數(shù)，

又x>0時，e'>I,令/=e*,(/>l),且『=e'在(0，+°°)上單調(diào)遞增，

函數(shù)y=f+l在(1,+8)上單調(diào)遞增，

t

答案第4頁，共12頁

ev+e-r

故y=在(0,”)上單調(diào)遞增,

2

pA_i.p~x1

則小)=/在(0,+s)上單調(diào)遞增，在(7,0)上單調(diào)遞減,

22023

故由石〃）＜/（。+2）得|耳|＜|〃+2|,

將各選項中的數(shù)代入驗證，0,1,2適合,

故選：BCD

12.BCD

【分析】化簡得到〃x+2)=2〃x),進而求得則〃5.5)=4,可判定A錯誤；當機=1時,

作出函數(shù)y=/(x)的圖象與曲線y=log,x的圖象，結(jié)合圖象，可判定B正確；根據(jù)題意得

出函數(shù)“X)的值域?qū)?，”進行分類討論，可判定C正確；由y=/(x)的圖象與直線y=2加-在

［02”內(nèi)的交點個數(shù)可判定D正確.

【詳解】當機=2時，函數(shù)f(x)=2〃x—2)可轉(zhuǎn)化為〃x+2)=2/(x),

則/(5.5)=/(3.5+2)=2〃3.5)=2(L5+2)=4/(L5)=4xl=4,所以A錯誤；

當初=；時，函數(shù)y=/(x)的圖象與曲線y=log,x的圖象，如圖所示，

可得函數(shù)y=/(x)的圖象與曲線y=log4》的圖象有3個交點，所以B正確；

對于C中，依題意，/UU-/U)mi?＜4,當x?0,2］時，函數(shù).f(x)的值域為［0,2］；

當卬＞1時，若xe［0,2］時，可得函數(shù)/(%)的值域為［0,2］,

若xe(2,4］時，函數(shù)〃x)的值域為［0,2m］；

若xe(4,6］時，函數(shù)〃x)的值域為［0,2W］,；

隨著x依次取值，值域?qū)⒆兂伞?8),不符合題意，

若加＜-1時，若xe［0,2］時,可得函數(shù)f(x)的值域為［0,2］,

答案第5頁，共12頁

若xw(2,4］時，函數(shù)f(x)的值域為［2肛0］；/(x)max-/(x)min?22m>4,不符合題意，

所以C正確；

對于D,

當xe［0,2］時,可得函數(shù)/(X)的值域為［0,2］,

當xe(2,4］時,函數(shù)f(x)的值域為［0,2間；

當xe(4,6］時，函數(shù)的值域為［0,2*］.........

當xe(2〃-4,2〃-2］時，函數(shù)/(x)的值域為［。,2/一2］,

當xe(2〃-2,2〃］時，函數(shù)的值域為［0,2加一］

當xe(2〃,2〃+2］時，函數(shù)/(x)的值域為［0,2加1,

若0<加<1,2m"<2m<2,由圖象可知，y=/(x)的圖象與直線y=2”T在區(qū)間

［0,2］,(2,41............(2〃-4,2〃-2］上均有2個交點，

在(2〃-2,2〃1上有一個交點，在(2〃,+oo)上無交點，所以y=〃x)的圖象與直線y=2加一在

［0,2〃］內(nèi)的交點個數(shù)是2〃-1,

所以D正確.

故選：BCD.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是準確作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得判斷B,D,利用

/(x+2)=2〃x)迭代可判斷A,對于C,分機>1和m<-1兩種情況討論可判斷.

7

13.—/—3.5

2

【分析】根據(jù)題意，令x=t，準確運算，即可求解.

4斤-+3

【詳解】由函數(shù)/(?+1)=晉，令1=看，可得嗎)="《+】)=鼻—=-g.

----1

9

—?7

故答案為：-

14.{-2}

【分析】根據(jù)不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合B,結(jié)合集合并集的運算，即可求

答案第6頁，共12頁

解.

【詳解】由不等式f-3x-4=(x-4)(x+l)>0,解得x<T或x>4,

即8={x[x<-l或x>4},

因為集合4={—2,-1,0,1,2},所以AI3={-2}.

故答案為：{-2}.

15.8

【分析】根據(jù)指對幕運算法則進行計算即可.

lo￡

【詳解】由題意得，9>=9io8,io=10,

3

標號2^=喘2+氤=皿2+陶3=1,

0.0273

所以原式=10+g-￥+l=8.

故答案為：8

16.8#

【分析】先代換1+z,結(jié)合基本不等式求解可得答案.

【詳解】因為3x2+2y2+z2=l,所以3x2+2y2=l—z2=(l—z)(l+z)；

易知z<l,所以1+Z=3'+2)]

1-z

所以s=H^=3*]2)、,由z(1-z)w!，當且僅當z=!時取等號，

xyzxyz(l-z)42

可得0)2還"8折當且僅當3f=2y2=|,即工=變,>=且時，取到

xyxyo44

最小值.

故答案為：8n.

17.⑴AB={x|2<x<3},=l<x<3}；

(2)l<a<2.

【分析】(1)化簡集合A,B,再利用交集、并集的定義直接計算得解.

答案第7頁，共12頁

(2)由“xEA”是“xe8”的必要不充分條件可得集合2A,再利用集合的包含關(guān)系列出不等式

組求解即得.

【詳解】(1)當。=1時，/A={x|(X—l)(x—3)<0}={x|1<x<3},

B={x|(x-3)(x-2)<0}={x|2<x<3},

所以AB={x|2<x<3},AuB={x|l<x<3}.

(2)因為a>0,則A={x[a<x<3a},由⑴知,B={x|2<x<3},

\a<2

因為“xCA”是“xdB”的必要不充分條件，于是得BA,則有。,解得

[3a>3

所以實數(shù)。的取值范圍是

18.(l)/(x)是奇函數(shù)，理由見解析

⑵/(X)在(T1)上單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進行判斷證明；

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進行證明.

【詳解】(1)/(X)是奇函數(shù)，理由如下：

函數(shù)"X)=合(T<X<1)，則定義域關(guān)于原點對稱，

因為〃-x)=?\=-〃x)，所以是奇函數(shù)；

(2)任取,

則f(X)-f(々)=普-壬=2謁-產(chǎn)，戶;+2占

X,-1x2-1(X1-l)(x2-1)

_2xlx2(x2一％)+2(.r2—X))_2(xtx2+l)(x2-內(nèi))

(xj2—1)(^2-1)(X；—1)(^2—1)'

因為一1<%<W<1,所以尤/2+1>°，m2-%<0,不；一1<0,

所以/(刈一/(%2)>°，所以〃X)在(TD上單調(diào)遞減.

19.(1)/(0)=2,函數(shù)g(x)=〃x)—2是奇函數(shù)，證明見解析

⑵2，0]

答案第8頁，共12頁

【分析】(1)利用賦值法即可求得，(0)=2,利用奇函數(shù)定義和已知條件即可證明函數(shù)

g(x)=/(x)-2奇偶性;

(2)根據(jù)條件得到函數(shù)/(x)單調(diào)性，再結(jié)合題中條件將原不等式化簡，將恒成立問題轉(zhuǎn)化

為最值問題進而求解.

【詳解】(1)因為函數(shù)/(x)滿足〃x+y)=/(x)+/(y)—2(x,ywR),

所以令y=0,得到/(x)=〃x)+〃0)—2,所以"0)=2；

函數(shù)8(引=/(》)-2定義域為(-00,+00),

因為g(x)+g(_x)=〃x)+〃-x)-4=[〃x)+〃_x)_2]-2=〃0)-2=0,

所以函數(shù)g(x)=/(x)-2是奇函數(shù)

(2)因為對任意x*y,都有卜⑺-任y)](x-y)>0成立,

所以函數(shù)/(X)在(一內(nèi))單調(diào)遞增，

不等式/(力+/(^-5)±8,即/(尤)+/(5_〃?)_226,

即f(x)+/(g)-2*/(2),即/卜+；_#4⑵，

所以x+，-，“22,所以，對xe(0,4|恒成立，

因為X+1N2、R=2,當且僅當》=工，即x=l時等號成立，

xVxx

所以〃后卜+，-2)=2-2=0,即實數(shù)，"的取值范圍為~,0]

20.(1)(0,1)1{9}

(2)-13

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)基的含義以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求得。的取值范圍，綜合可得答

案；

(2)由題意確定a的值，化簡/(X),由/(；)="可得9=雙;)9+91n3-2,再由

-=〃?(-g)9-91n-2,兩式相加即可求得答案.

【詳解】(1)由4昊3可得°4〃49,

答案第9頁，共12頁

當0<”1時，由log034g得bg“34log"；，

則二43,，0<aV9，故。<。<1；

當時，由log034g得]og“34log.)，

則笳23,，a29，故“29；

綜合可得實數(shù)a的取值范圍(0，DJ9｝；

(2)由題意知則a=9,貝ij/(x)=+]n(l+x)“一91n(l—x)—2,需滿足一Ivxvl,

則f(x\=inx)+91n-^-^-2,

\-x

故由=a得9=〃?(gy+91n3-2,

則=-91n3-2,貝!l/1j+9=-4,;./(-；)=-13.

10000-3600/,0<Z<l

21.(1)Q⑺=|4800

''400+1200r+-^,l<f<4

t

(2)f=2時有最小值，最小值為5200kJ.

【分析】（1）先寫出速度-關(guān)于時間r的函數(shù)，進而求出剩余體力。關(guān)于時間r的函數(shù);

（2）分0<fVl和1</44兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值.

【詳解】（1）由題可先寫出速度v關(guān)于時間f的函數(shù)u（，）=130_io（一］）1</<4>

10000-60-/-2X30,0</<1

代入A0與AQ?公式可得。⑺=?60(f-l)-2[30-10(r-l)]

6400-

r-1+l

10000-3600/,0</<1

解得。（。=，4800,一

400+1200?+------,1<?<4

(2)①穩(wěn)定階段中Q⑺