江西省景德鎮(zhèn)市樂(lè)平中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

20232024（下）樂(lè)平中學(xué)高一第一次月考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.2.已知扇形的半徑為1，圓心角為30°，則扇形的面積為（）A.30 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式求得結(jié)果.【詳解】已知扇形圓心角為30°，即，扇形半徑為1，所以扇形的面積.故選：B.3.已知是第二象限角，則點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所以在第三象?故選：C.4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B.3 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦的定義得到，解出即可.【詳解】因?yàn)椋墙墙K邊上一點(diǎn)，所以，由三角函數(shù)的定義，得，解得（正值舍去）.故選：A.5.在上，滿(mǎn)足的的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像求得不等式的解集.【詳解】如圖所示，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出在上的圖像和的圖像.由圖可知：滿(mǎn)足的的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角不等式的解法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的最小正周期，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上是減函數(shù)B.函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為C.函數(shù)是偶函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的最小正周期可得到，從而可寫(xiě)出函數(shù)的解析式：，然后根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，奇偶性，以及最值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，，得，所以，⑴令，解得：，函數(shù)在上是增函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑵令，解得：，其對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑶因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑷當(dāng)時(shí)，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較易題.7.函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)（其中，的圖象，可得，，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，，．故把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象，故選：D．8.將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象平移與伸縮變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象先判斷，根據(jù)正弦型圖象的零點(diǎn)，列出不等式組，解出的范圍即可.【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，因?yàn)?，周期，函?shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以，又在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以，解得，又因?yàn)?，，，所以或，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是利用圖象變換能準(zhǔn)確求出變換后的函數(shù)解析式；二是利用區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)列出限制條件.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)立事件一定是互斥事件B.若互斥事件，則C.甲乙兩人獨(dú)立地解同一道題，已知各人能解出該題的概率分別是0.5和0.25，則該題被解出的概率是0.75D.從中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系判斷A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式判斷B；根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算判斷C；根據(jù)古典概型的概率計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系可知，對(duì)立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是對(duì)立事件，A正確，對(duì)于B，根據(jù)互斥事件的概率加法公式知，是互斥事件，則，正確；對(duì)于C，甲乙兩人獨(dú)立地解同一道題，各人能解出該題的概率分別是0.5和0.25，則該題被解出的概率是，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，從中任取2個(gè)不同的數(shù)，共有和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6種情況，其中取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的情況為1和3，2和4，故取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是，故選：ABD10已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的定義域?yàn)镃.若，則 D.在其定義域上是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】A：由正切型函數(shù)性質(zhì)知的最小正周期為，對(duì)；B：由正切函數(shù)知，可得，錯(cuò)；C：，則，可得，對(duì)；D：由正切函數(shù)單調(diào)性知：在上遞增，但在定義域上不單調(diào)，錯(cuò).故選：AC11.已知奇函數(shù)定義域?yàn)?，若?duì)，有，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為2C.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是7個(gè)D.對(duì)，【答案】BCD【解析】【分析】通過(guò)賦值法可以判斷A選項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)的周期性判斷B選項(xiàng)；由對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)圖像即可判斷C、D選項(xiàng)．【詳解】解：由，令得：，．∵為奇函數(shù)，，，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)為的左右兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出與的圖像如下所示：由圖像易知有7個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)，由對(duì)稱(chēng)性可知：關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，又大于0，，小于0，，所以，所以選項(xiàng)D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是畫(huà)出及的圖像，判斷出函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視是圖像上的點(diǎn)，導(dǎo)致在選項(xiàng)C中判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)出錯(cuò)．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期的計(jì)算公式，可得：函數(shù)的最小正周期為.故答案為：.13.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，得到，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，列出方程，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，又由是偶函數(shù)，則有，解得，因?yàn)?，可得．故答案為?14.已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且在上單調(diào)，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及條件可求得ω的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)可知－＝≤＝，求得ω≤12，經(jīng)驗(yàn)證ω＝11不滿(mǎn)足題意，ω＝9滿(mǎn)足條件，得解.【詳解】因?yàn)閤＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)，所以－＝≤＝，解得ω≤12，ω＝11時(shí)f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不成立，ω＝9時(shí)滿(mǎn)足條件，由此得ω的最大值為9.故答案為：9四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.平面直角坐標(biāo)系中，若角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求sinα和tanα的值（2）若，化簡(jiǎn)并求值【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算；（2）用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)后，弦化切代入計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】∵，由三角函數(shù)的定義得，；【小問(wèn)2詳解】∵，∴.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由的范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所?又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，即；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，即.故在上的值域?yàn)?17.某校為了解該校男生的身高情況，隨機(jī)抽取100名男生，測(cè)量他們的身高（單位：厘米），將測(cè)量結(jié)果按分成六組.得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)該校男生身高的中位數(shù)；（2）若采用分層抽樣的方法從身高在和內(nèi)的男生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人的身高在內(nèi)的概率.【答案】（1）155.625厘米（2）【解析】【分析】（1）首先判斷該校男生身高的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該校男生身高的中位數(shù)為，則，解得即可；（2）分別求出身高在、內(nèi)的男生中抽取的人數(shù)，利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以該校男生身高的中位?shù)在內(nèi).設(shè)該校男生身高的中位數(shù)為，則，解得，即該校男生身高的中位數(shù)約為厘米.【小問(wèn)2詳解】由題意可知從身高在內(nèi)男生中抽取的人數(shù)為，記為，從身高在內(nèi)的男生中抽取的人數(shù)為，記為，從這5人中隨機(jī)抽取2人的情況有共10種，其中符合條件的情況有共7種，故所求概率.18.已知函數(shù)（，），若的圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，且過(guò)點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）記方程在上的根從小到大依次為，，…，，試確定n的值，并求的值．【答案】（1）（2），n=5

【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可求的值，再利用整體法可求函數(shù)的值域.（2）結(jié)合圖象特征可求的值．【小問(wèn)1詳解】的圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，故，故，故，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，故，故，故.當(dāng)時(shí)，，，故函數(shù)的值域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】在上的圖象如圖所示：因此與的圖象在上共有5不同的交點(diǎn)，這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，…，,故n=5.令，則，故的圖象在內(nèi)的對(duì)稱(chēng)軸分別為：，，，，，結(jié)合圖象可得，，，，故.19.已知函數(shù)（，）的圖象兩鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是，若將的圖象先向右平移單位，再向上平移1個(gè)單位，所得函數(shù)為奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)的圖象在區(qū)間（且）上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿(mǎn)足條件的區(qū)間上，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可求得參數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象的平移以及函數(shù)的奇偶性求得，即得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)，求得函數(shù)的范圍，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題求解，即可求得參數(shù)范圍；（3）令，求得函數(shù)零點(diǎn)的表達(dá)式，根據(jù)題意判斷相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為或，根據(jù)區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可確定答案.【小問(wèn)1詳解】由,得，則,則為奇函數(shù)，所以，又，則，故.【小問(wèn)2詳解】由于，則，，故,而恒成立,即，整理可得，