第13講 多邊形與平行四邊形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第13講多邊形與平行四邊形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.多邊形了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個(gè)正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性；了解特殊四邊形之間的關(guān)系．會(huì)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計(jì)算問題；能用正三角形、正方形、正六邊形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì)；能依據(jù)條件分解與拼接簡單圖形．2.平行四邊形會(huì)識(shí)別平行四邊形．掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡單問題．會(huì)運(yùn)用平行四邊形的知識(shí)解決有關(guān)問題．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、多邊形多邊形：在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形的對(duì)角線是連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段.2.多邊形的對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出(n－3)條對(duì)角線，共有n(n-3)/2條對(duì)角線，把多邊形分成了(n－2)個(gè)三角形．3．多邊形的角：n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°，外角和是360°.考點(diǎn)二、平面圖形的鑲嵌1．鑲嵌的定義用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．2．平面圖形的鑲嵌(1)一個(gè)多邊形鑲嵌的圖形有：三角形，四邊形和正六邊形；(2)兩個(gè)多邊形鑲嵌的圖形有：正三角形和正方形，正三角形和正六邊形，正方形和正八邊形，正三角形和正十二邊形；(3)三個(gè)多邊形鑲嵌的圖形一般有：正三角形、正方形和正六邊形，正方形、正六邊形和正十二邊形，正三角形、正方形和正十二邊形.考點(diǎn)三、三角形中位線定理1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.考點(diǎn)四、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．2．性質(zhì)：(1)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；(2)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心．3．判定：(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．考點(diǎn)五：平行線間的距離1．兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.

2．平行四邊形的面積：

平行四邊形的面積=底×高(等底等高的平行四邊形面積相等).【典型例題】題型一、多邊形與平面圖形的鑲嵌例1.如圖所示，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D，E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE重疊壓平，A與A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=_________.【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和公式可以求出四邊形ADA′E的內(nèi)角和，由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用鄰補(bǔ)角的關(guān)系即可求出∠1+∠2．【答案與解析】∵四邊形ADA′E的內(nèi)角和為（4-2）?180°=360°，

而由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，

∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°-∠A-∠A′=360°-2×70°=220°，

∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）=140°．【總結(jié)升華】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求和多邊形相關(guān)的角的度數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．【變式】一個(gè)多邊形截取一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）A.10B.11C.12D.以上都有可能【答案】D.例2．已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x、y的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，①當(dāng)x＜y時(shí)，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．【思路點(diǎn)撥】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可；（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFB=y﹣x=30°，進(jìn)而得出x，y的值；②當(dāng)x=y時(shí)，DC∥BF，即∠DFB=0，進(jìn)而得出答案．【答案與解析】解：（1）∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y；故答案為：360°﹣x﹣y；（2）如圖1，延長DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=（x+y），如圖2，連接DB，則∠CBD+∠CDB=180°﹣y，得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+（x+y）=180°﹣y+x，∴∠DFB=y﹣x=30°，解方程組：，解得：；②當(dāng)x=y時(shí)，DC∥BF，此時(shí)∠DFB=0，故x、y滿足x=y時(shí)，∠DFB不存在．【總結(jié)升華】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二、平行四邊形及其他知識(shí)的綜合運(yùn)用例3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于點(diǎn)G．若使EF=AD，那么平行四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是（）A．∠ABC=60°B．AB：BC=1：4C．AB：BC=5：2D．AB：BC=5：8【思路點(diǎn)撥】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行且相等，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代換后根據(jù)等角對(duì)等邊得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根據(jù)等式的基本性質(zhì)在等式兩邊都減去EF得到AF=DE，當(dāng)EF=AD時(shí)，設(shè)EF=x，則AD=BC=4x，然后根據(jù)設(shè)出的量再表示出AF，進(jìn)而根據(jù)AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB與BC的比值．【答案與解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，同理可得：DC=DF，∴AE=DF，∴AE-EF=DE-EF，即AF=DE，當(dāng)EF=AD時(shí)，設(shè)EF=x，則AD=BC=4x，∴AF=DE=（AD-EF）=1.5x，∴AE=AB=AF+EF=2.5x，∴AB：BC=2.5：4=5：8．故選D．【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分性的定義以及等式的基本性質(zhì)，利用了等量代換的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)融匯貫穿，靈活運(yùn)用．例4.已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F．（1）當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，連接AF、BE．證明：四邊形AEBF是平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)P不是AB的中點(diǎn)，如圖2，Q是AB的中點(diǎn)．證明：△QEF為等腰三角形．【思路點(diǎn)撥】（1）首先證明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定四邊形AEBF是平行四邊形；（2）首先證明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得QE=QF=QD，進(jìn)而可得結(jié)論．【答案與解析】證明：（1）如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中：∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，∴四邊形AEBF是平行四邊形；（2）QE=QF，如圖2，延長FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中，∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，∴QE=QF=QD，即QE=QF，∴△QEF是等腰三角形．【總結(jié)升華】此題主要考查了平行四邊形的判定，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．例5．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED∥CF，求證△ABD≌△CAF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；

（2）在（1）的條件下可直接寫出△AEF和△ABC的面積比；（3）根據(jù)ED∥FC，結(jié)合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求證△ABD≌△CAF，得出ED=CF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF=DC．【答案與解析】證明：∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等邊三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，∠BAD=∠ACF，AB=CA，∠FAC=∠B，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面積比為：1：4；（3）成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∠BDA=∠AFC，∠B=∠FAC，AB=CA∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=DC．【總結(jié)升華】此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．例6.在口ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可．（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)可直接求得．（3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.【答案與解析】（1）證明：如圖1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：連接GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點(diǎn)，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG與△DCG中，∵EG=CG，∠BEG=∠DCG，BE=DC，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，∴△DGB為等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，（3）解：延長AB、FG交于H，連接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四邊形AHFD為平行四邊形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF為等腰三角形∴AD=DF∴平行四邊形AHFD為菱形∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH

∴BH=GF

在△BHD與△GFD中，∵DH=DF∠BHD=∠GFDBH=GF，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°【總結(jié)升華】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．【變式】如圖，有八個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大四邊形ABCD和中間一個(gè)小四邊形MNPQ，連接EF、GH得到四邊形EFGH，設(shè)S四邊形ABCD=S1，S四邊形EFGH=S2，S四邊形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=，則S2=__________．【答案】.【中考過關(guān)真題練】一、單選題1．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）有一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，則n為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】根據(jù)選項(xiàng)求出每個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的正多邊形的中心角度數(shù)，與一致或有倍數(shù)關(guān)系的則符合題意．【詳解】如圖所示，計(jì)算出每個(gè)正多邊形的中心角，是的3倍，則可以旋轉(zhuǎn)得到．A.B.C.D.觀察四個(gè)正多邊形的中心角，可以發(fā)現(xiàn)正12邊形旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形中心角與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是求出中心角的度數(shù)并與旋轉(zhuǎn)度數(shù)建立關(guān)系．二、填空題2．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則_____．【答案】或【分析】由題意可求出，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進(jìn)而可求此時(shí)，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問題得解．【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)，∴，即，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時(shí)DE1∥BC，，∴，在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，綜上，的值為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．3．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，那么的面積與的面積的比是__________．【答案】．【詳解】試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以，DE∥BC，，所以，△ADE∽△ABC，又相似三角形的面積比等于相似比的平方，所以，的面積與的面積的比是＝．故答案為．考點(diǎn)：三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)．4．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖所示，在口ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，則=_____．【答案】【分析】利用向量相減平行四邊形法則：向量相減時(shí)，起點(diǎn)相同，差向量即從后者終點(diǎn)指向前者終點(diǎn)即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD交于點(diǎn)O，又，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，向量相減平行四邊形法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量相減平行四邊形法則．5．（2018·上海·統(tǒng)考中考真題）通過畫出多邊形的對(duì)角線，可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題．如果從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是_____度．【答案】540【詳解】【分析】利根據(jù)題意得到2條對(duì)角線將多邊形分割為3個(gè)三角形，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出該多邊形的內(nèi)角和．【詳解】從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，則將多邊形分割為3個(gè)三角形．所以該多邊形的內(nèi)角和是3×180°=540°，故答案為540．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與對(duì)角線，熟知n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形是關(guān)鍵.這里體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三、解答題6．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）已知，如圖，⊙是的外接圓，，點(diǎn)在邊上，∥，．（1）求證：；（2）如果點(diǎn)G在線段DC上（不與點(diǎn)重合），且AG=AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出∠B=∠ACB，再根據(jù)全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）連接AO并延長，交邊BC于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出AH⊥BC，再由垂徑定理得BH=CH，得出CG與AE平行且相等．【詳解】證明：（1）在⊙中，∵，∴，∴．∵∥，∴，∴．又∵，∴≌，∴；（2）聯(lián)結(jié)并延長，交邊于點(diǎn)，∵，是半徑，∴，∴．∵，∴，∴，即．∵，∴．又∵∥，∴四邊形是平行四邊形．7．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面積；（2）連接BD，求∠DBC的正切值．【答案】（1）39；（2）．【分析】(1)過C作CE⊥AB于E，推出四邊形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根據(jù)勾股定理得到，即可求出梯形的面積；(2)過C作CH⊥BD于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：(1)過C作CE⊥AB于E，如下圖所示：∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3，∴CE==6，∴梯形ABCD的面積=×(5+8)×6=39，故答案為：39．(2)過C作CH⊥BD于H，如下圖所示：∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD===10，∴，∴CH=3，∴BH===6，∴∠DBC的正切值===．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）多邊形的外角和等于（

）A．360° B．270° C．180° D．90°．【答案】A【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，直接求解即可．【詳解】解：多邊形的外角和等于360°，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和，理解多邊形的外角和為360°是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海松江·?？既＃┫铝忻}中，真命題的是（）A．一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形C．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組鄰邊相等且一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】對(duì)各個(gè)命題逐一判斷后找到正確的即可確定真命題．【詳解】解：、一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，如等腰梯形，原命題是假命題,不符合題意；B、一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；C、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，原命題是真命題,符合題意；D、一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了命題與定理，熟練利用相關(guān)定理以及性質(zhì)進(jìn)而判定舉出反例即可判定出命題正確性．3．（2022·上海金山·校考一模）已知一個(gè)凸四邊形的一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分，請(qǐng)你從下列四個(gè)條件中再選取一個(gè)作為已知條件，使得這個(gè)四邊形一定是平行四邊形．你的選擇是（

）A．一組對(duì)邊平行； B．一組對(duì)角相等； C．一組鄰邊相等； D．一組對(duì)邊相等．【答案】A【分析】選項(xiàng)A，利用AAS證明△OBC≌△ODA（AAS），由此根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明．【詳解】解：如圖，OA=OC，∵BC∥AD，∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，∵OA=OC，∴△OBC≌△ODA（AAS），∴OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A選項(xiàng)可以使得這個(gè)四邊形一定是平行四邊形．選項(xiàng)B、C、D均不能證明這個(gè)四邊形一定是平行四邊形．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列條件中，可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．兩條對(duì)角線相等C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等 D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)角相等【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不符合題意，B.兩條對(duì)角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，不符合題意C.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，可以使等腰梯形，不符合題意D.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)角相等，是平行四邊形，如圖，∵,四邊形是平行四邊形，故D選項(xiàng)正確故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）下列命題中正確的是A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是等腰梯形B．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是矩形C．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是正方形D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】D【分析】選項(xiàng)A根據(jù)等腰梯形的判定方法判斷即可；選項(xiàng)B根據(jù)矩形的判定方法判斷即可；選項(xiàng)C根據(jù)正方形的判定方法判斷即可；選項(xiàng)D根據(jù)菱形的判定方法判斷即可．【詳解】解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是等腰梯形或平行四邊形，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不合題意；B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不合題意；C．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不合題意；D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，說法正確，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的判定，矩形的判定，正方形的判定以及菱形的判定，掌握相關(guān)四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，分別連結(jié)、、、，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①的周長是周長的一半；②與互相平分；③如果，那么點(diǎn)O到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；④如果，那么點(diǎn)O到四邊形四條邊的距離相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)中位線的性質(zhì)，即可判斷；②根據(jù)中位線的性質(zhì)、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即可判斷；③根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，即可判斷；④根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，即可判斷．【詳解】解：①∵點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，∴DE、EF、DF是的中位線，∴，∴，即的周長是周長的一半，故①正確，符合題意；②∵點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴與互相平分，故②正確，符合題意；③由②得四邊形ADEF是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，如圖1，∴四邊形ADEF是矩形，∴，∴，∴點(diǎn)O到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故③正確，符合題意；④由①得，當(dāng)時(shí)，如圖2，∴，由②得四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是菱形，∴，∴，∴，∴點(diǎn)O到四邊形四條邊的距離相等，故④正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)．二、填空題7．（2022·上海楊浦·?？家荒＃┤绻粋€(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于1440°，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角是______度【答案】144【分析】設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n-2）=1440，即可求得n=10，再由多邊形的內(nèi)角和除以10，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n-2）=1440，解得：n=10，∴這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于：1440°÷10=144°．故答案為：144．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和的知識(shí)．注意掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）?180°是解題關(guān)鍵．8．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知正多邊形的內(nèi)角是外角大小的2倍，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是______．【答案】6【分析】設(shè)這個(gè)正多邊的外角為，則內(nèi)角為，根據(jù)內(nèi)角和外角互補(bǔ)可得，解可得的值，再利用外角和外角度數(shù)可得邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊的外角為，由題意得：，解得：，．故答案為6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，關(guān)鍵是根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得到每個(gè)外角都相等，計(jì)算出外角的度數(shù)，進(jìn)而得到邊數(shù)．9．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，中，E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，那么S△AFB:S四邊形FEDC的值為__________【答案】【分析】證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，分別求得S△AFB:S四邊形FEDC即可求解．【詳解】四邊形是平行四邊形，是邊AD的中點(diǎn)，設(shè)，則，S四邊形FEDCS△AFB:S四邊形FEDC的值為【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上海楊浦·校考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，如果，，用含、的式子表示向量＝_____【答案】【分析】如圖取AB中點(diǎn)F，連接EF，可證，即可解得【詳解】如圖取AB中點(diǎn)F，連接EF∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是DC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB邊中點(diǎn)∴∴∵，∴故本題答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線，點(diǎn)E在AB上，若AD：BC＝2：3，AD＝a，則用a表示FE＝________．【答案】a【分析】根據(jù)線段的比，即可用a表示出BC的長，再根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)即可求出EF的長．【詳解】∵AD：BC＝2：3，AD＝a，∴BCa，∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EFa，故答案為：a．【點(diǎn)睛】本題主要考查梯形中位線的性質(zhì)．掌握梯形中位線的長為上底與下底和的一半是解題關(guān)鍵．12．（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)是_____．【答案】6【分析】設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為（n-2）180°，再根據(jù)外角和等于360°列方程解答即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：（n-2）180°=360°×2，解得n=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角和為（n-2）180°．13．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若正多邊形的一個(gè)外角為30°，則這個(gè)多邊形為正_______邊形．【答案】12．【詳解】試題分析：正多邊形的一個(gè)外角等于30°，而多邊形的外角和為360°，則：多邊形的邊數(shù)=360°÷30°=12，考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角14．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知平行四邊形中，是上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于，若向量，向量，則向量________．【答案】【分析】先求出，再根據(jù)△AEF∽CBF，得出與的關(guān)系即可．【詳解】解：∵，，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽CBF，∴，∵，∴BC=AD=3AE，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握向量的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．15．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠BAC的角平分線AN⊥BN，M是BC的中點(diǎn)，已知AB＝4，AC＝6，則MN＝________．【答案】1【分析】延長線段BN，交AC于E，利用已知易證△ABN≌△AEN，所以BN＝EN，從而證得MN是△BCE的中位線，所以求出EC，再運(yùn)用中位線定理求MN．【詳解】解：如圖，延長線段BN，交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN．∵在△ABN與△AEN中，，∴△ABN≌△AEN（ASA）．∴AE＝AB＝4，BN＝NE．又∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，故MNEC（AC﹣AE）（6﹣4）＝1．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出正確的輔助線．16．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)．則與的面積的比等于___________．【答案】1：4【分析】根據(jù)OE是中位線，得BC=2OE，BC∥OE，利用三角形相似的性質(zhì)面積比性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，∴BC=2OE，BC∥OE，∴△DOE∽△DBC，∴=1：4，故答案為：1：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，正確運(yùn)用三條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）在梯形中，AB//CD，，E是腰的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．如果設(shè)，那么____________（含、的式子表示）【答案】【分析】先證明再利用三角形法則求出，從而可得答案．【詳解】解：如圖，是腰的中點(diǎn)，AB//CD，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查梯形的性質(zhì)，平面向量，三角形法則，熟練的應(yīng)用三角形法則表示向量之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．三、解答題18．（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．(1)求證：：(2)如果，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先通過兩組平行線等角對(duì)等邊，證明；再通過兩組對(duì)邊平行證明四邊形AFCD是平行四邊形，最后通過平行四邊形的性質(zhì)挖掘條件，即可證明全等（2）利用平行四邊形對(duì)邊平行，得到，再將題目條件轉(zhuǎn)化為，利用邊角邊證明，最后利用相似對(duì)應(yīng)角相等，即可得到結(jié)論（1）∵，∴∵∴∵∴∴∵∴四邊形AFCD是平行四邊形∴∴∴（2）∵∴在中，∴∴∵，在與中∴∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等，相似；注意第一小問平行四邊形的判定和性質(zhì)是重點(diǎn)，第二小問相似三角形的判定和性質(zhì)是重點(diǎn)19．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、DC的中點(diǎn)，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，且，連接CM、CN．(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；(2)如果，求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）只需要證明NF是△DCM的中位線，ME是△BCN的中位線，推出，即可證明四邊形AMCN是平行四邊形；（2）連接AC交BD于O，只需要證明四邊形AMCN是菱形，得到OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，從而推出OB=OD，AC⊥BD，即可證明四邊形ABCD是菱形．（1）解：∵，∴M、N分別是BN、DM的中點(diǎn)，又∵E、F分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴NF是△DCM的中位線，ME是△BCN的中位線，∴，，∴，∴四邊形AMCN是平行四邊形；（2）解：連接AC交BD于O，∵四邊形AMCN是平行四邊形，∴，∵，∴，∵AE=AF，∴ME=NF，∴AM=CN=AN=CM，∴四邊形AMCN是菱形，∴OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，又∵BM=DN，∴OB=OD，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，證明出四邊形AMCN是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．20．（2022·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在梯形ABCD中，ADBC，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OB上，AE的延長線與BC相交于點(diǎn)F，OD2=OB·OE．(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形；(2)如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求證：AE·DC=AD·BE．【答案】(1)見解析；(2)見解析；【分析】（1）由題意，得到，然后由AD∥BC，得到，則，即可得到AF//CD，即可得到結(jié)論；（2）先證明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后證明得到，即可得到AE·DC=AD·BE；（1）∵OD2=OE·OB，∴．∵AD//BC，∴．∴．∴AF//CD．∴四邊形AFCD是平行四邊形．（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC，．∵BC=BD，∴BE=BF，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD．∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，∴∠AEB=∠ADC．∵AE·AF=AD·BF，∴．∵四邊形AFCD是平行四邊形，∴AF=CD．∴．∴AE·DC=AD·BE（證明得證）．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，正確找到證明三角形相似的條件.21．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AC．(1)求證：AD＝CF；(2)若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5，求sin∠ACE的值．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，證得∠D=∠DCF，∠DAF=∠F，再由DE=CE，證得△ADE≌△FCE，即可得到結(jié)論；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，得到，CD=AB=8，AD=BC=5，證得CD⊥AF，勾股定理求出AE，AC，即可根據(jù)公式求出sin∠ACE．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠D=∠DCF，∠DAF=∠F，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD=CF；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，CD=AB=8，AD=BC=5，∵AB⊥AF，∴CD⊥AF，在Rt△ADE中，DE=4，AD=5，∴AE=3，在Rt△ACE中，CE=4，AE=3，∴AC=5，∴sin∠ACE=．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．22．（2022·上海楊浦·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作交ED的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE，CF．求證：(1)四邊形AFCE是平行四邊形：(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)已知首先證明△ADF≌△EDC，再利用AF=CE，AF∥BC得出即可；（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，進(jìn)而得出比例式，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADF和△EDC中，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG?BE=AF?AE，∴FG?BE=CE?AE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出證明等積式需證明△AFG∽△BEA是解決問題的關(guān)鍵23．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知：如圖，矩形的兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，，求出

，，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出，，，求出，，根據(jù)等腰梯形的判定得出即可；（2）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出．求出，求出處，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形和四邊形是平行四邊形．求出，根據(jù)菱形的判定得出平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出即可．(1)證明：四邊形是矩形，，，，，，，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，，，，，，，即，四邊形是等腰梯形；(2)證明：連接，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，，，，，四邊形是矩形，，，由（1）知：，四邊形是平行四邊形，同理：四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，平行四邊形是菱形，，又四邊形是等腰梯形，，又，，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．24．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)．點(diǎn)、分別在線段、上，且，聯(lián)結(jié)，以、為鄰邊作平行四邊形．(1)求的長；(2)當(dāng)平行四邊形是矩形時(shí)，求的長；(3)過點(diǎn)作平行于的直線，分別交、、于點(diǎn)、、．當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）由，平分，可知，利用等角對(duì)等邊，可知AD=BD，證，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）過點(diǎn)D作DN⊥AB于N，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)，可得，利用矩形的性質(zhì)，可得，從而可得，利用平行線分線段成比例，即可求解；（3）可知四邊形AEPQ是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，可得，，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∴AD=BD，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵AD=BD，∴AD=5，∵，∴，∴，過點(diǎn)D作DN⊥AB于N，如圖，∵AD=BD，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴；（3）解：如圖，設(shè)，∵，∴四邊形AEPQ是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，整理得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，但，此時(shí)，點(diǎn)E不在線段AB上，故舍去，∴，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是正確找到或構(gòu)造相似三角形．25．（2022·上海黃浦·格致中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知等邊中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，以為邊向左作等邊，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)首先可證得△ACD≌△CBF(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠CFB，AD=CF，由等邊三角形的性質(zhì)得出CF=DE，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證得，，據(jù)此即可證得；(2)過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，解直角三角形求出BD，CD，則可得出答案．（1）證明：是等邊三角形，又，AD=CF是等邊三角形四邊形CDEF是平行四邊形（2）解：如圖：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G四邊形CDEF是平行四邊形，設(shè)BG=x，則【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家龐斯萊發(fā)明過一種玩具（如圖1），這種玩具用七根小棍做成，各結(jié)點(diǎn)均可活動(dòng)，，，且．使用時(shí)，將A，O釘牢在平板上，使A，O間的距離等于木棍的長，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)C，則點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在直線上運(yùn)動(dòng)，．圖2是該玩具轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的一幅示意圖．(1)判斷點(diǎn)A，C，E在同一條直線上嗎？請(qǐng)說明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)O，C，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)．①求證：CD//AB．②若，，，求的長．【答案】(1)點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，理由見解析；(2)①見解析；②4．【分析】（1）連接FD，與CE的交點(diǎn)為O′，根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)及補(bǔ)角的概念可得答案；（2）①由菱形的性質(zhì)、圓周角定理及平行線的判定與性質(zhì)可得∠DCM=∠OCM，然后由等腰三角形的性質(zhì)及平行線的判定可得結(jié)論；②延長ED與AB交于點(diǎn)N，根據(jù)菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)可得AN=EN，然后由解直角三角形及勾股定理可得答案．（1）解：點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，理由如下：∵，∴四邊形CDEF是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)A，C，E在同一條直線上；（2）設(shè)⊙O與AB交于點(diǎn)M，連接CM，①證明：∵四邊形CDEF是菱形，∴CF=CD，AE⊥FD，∴∠CFD=∠CDF，∵AM是直徑，∴AE⊥CM，∴FD∥CM，∴∠OCM=∠CFD，∠FDC=∠DCM，∴∠DCM=∠OCM，∵OC=OM，∴∠OCM=∠OMC，∴∠DCM=∠OMC，∴CD∥AB；②解：延長ED與AB交于點(diǎn)N，設(shè)BN=x，BE=y，∵四邊形CDEF是菱形，∴FO∥EN，ED=CD，∴∠ECD=∠CED，∵CD∥AB，∴四邊形COND是平行四邊形，∴∠ECD=∠CAB，∴CD=ON=3，∠CAB=∠CED，∴AN=EN，∵OC=OA=2，∴EN=AN=AO+ON=2+3=5，∴AB=5+x，在中，，∴，∴，在中，，∴，解得，（舍去），，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．27．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)P是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作與BC平行的直線PQ，交AB于點(diǎn)Q，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD交線段PQ于點(diǎn)E，且，點(diǎn)G在BC延長線上，∠ACG的平分線交直線PQ于點(diǎn)F．（1）求證：PC＝PE；（2）當(dāng)P是邊AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形AECF是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，等量代換得到，推出，于是得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PFC＝∠FCG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠PCF＝∠FCG，等量代換得到∠PFC＝∠FCG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PF=PC，得到PF=PE，由已知條件得到AP=CP，推出四邊形AECF是平行四邊形，再證得∠ECF＝90°，于是得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴，∴，∵，∴，∴PC＝PE；（2）∵PF∥DG，∴∠PFC＝∠FCG，∵CF平分∠PCG，∴∠PCF＝∠FCG，∴∠PFC＝∠FCG，∴PF＝PC，∴PF＝PE，∵P是邊AC的中點(diǎn)，∴AP＝CP，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵PQ∥CD，∴∠PEC＝∠DCE，∴∠PCE＝∠DCE，∴，∴∠ECF＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)以及矩形的判定，還涉及了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，屬于綜合題，難度適中，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2021?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）小明每走5米，順時(shí)針轉(zhuǎn)20°，則（）A．小明不會(huì)回到原點(diǎn) B．小明會(huì)回到原點(diǎn)，路程小于80m C．小明會(huì)回到原點(diǎn)，路程恰為90m D．小明會(huì)回到原點(diǎn)，路程大于120m【分析】先根據(jù)已知和多邊形的外角和求出組成的多邊形的邊數(shù)，再逐個(gè)求出即可．【解答】解：根據(jù)題意可知：組成的多邊形的邊數(shù)360°÷20°＝18，小明走的路程總和是18×