專題3-6 圓的綜合（27類題型）（原卷版）

專題3-6圓的綜合（27類題型）TOC\o"1-4"\n\h\z\u圓的綜合問(wèn)題常用的規(guī)律方法模塊一圓中常見(jiàn)輔助線【題型1】遇到弦時(shí)【題型2】遇到有直徑時(shí)【題型3】遇到有切線時(shí)【題型4】遇到兩相交切線時(shí)【題型5】遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)【題型6】遇到三角形的外接圓時(shí)模塊二切線證明類型1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直【題型7】特殊角計(jì)算證垂直【題型8】勾股定理逆定理證垂直【題型9】通過(guò)平行線代換證垂直【題型10】利用等角代換法證明垂直【題型11】利用三角形全等證明垂直類型2無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑【題型12】角平分線的性質(zhì)證半徑【題型13】特殊角計(jì)算證垂直模塊三圓中求線段長(zhǎng)度【題型14】結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)【題型15】結(jié)合三角函數(shù)求線段長(zhǎng)【題型16】結(jié)合相似求線段長(zhǎng)【題型17】利用旋轉(zhuǎn)變換求線段長(zhǎng)模塊四以圓為背景的陰影部分面積問(wèn)題【題型18】和差法（割補(bǔ)）【題型19】拼接法（等積變形）模塊五其它類型【題型20】與圓錐的相關(guān)計(jì)算【題型21】圓內(nèi)接四邊形【題型22】圓與相似綜合1：等積式相關(guān)證明【題型23】圓與相似綜合2：線段積問(wèn)題【題型24】圓中線段間的數(shù)量關(guān)系（和差倍分）【題型25】選填壓軸以圓為背景的多結(jié)論判斷問(wèn)題【題型26】求圓周角的三角函數(shù)值【題型27】圓中的翻折圓的綜合問(wèn)題常用的規(guī)律方法：技法01：第一問(wèn)?？伎键c(diǎn)——切線，對(duì)應(yīng)規(guī)律①切線的判定：常用方法有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證⊥，先找⊥”②切線的性質(zhì)：常用方法→見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！因切線所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題技法02：考題常見(jiàn)結(jié)合考點(diǎn)①知2得1：②三角形相似：③三角函數(shù)：相似三角形與三角函數(shù)不分家，所以應(yīng)用方法類似；特殊之處是：給三角函數(shù)，必“找”Rt△④特殊角及其轉(zhuǎn)化：技法03：常見(jiàn)輔助線①連半徑——有關(guān)切線時(shí)，連接的是過(guò)切點(diǎn)的半徑②作弦心距——構(gòu)造Rt△，進(jìn)而用知2得3——或做兩條弦心距，構(gòu)造矩形或正方形③連接弦——使直徑所對(duì)的圓周角=90°，進(jìn)而在Rt△中展開(kāi)問(wèn)題技法04：圓中等積式證明（三角形相似）圓中的等積式證明主要有下面幾種形式：（1）（2）（3）（4）（證a為定值）其中第（1）（2）的形式屬最簡(jiǎn)單的形式，只需要將線段乘積寫(xiě)成比例的形式（）然后找到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形相似即可，稍復(fù)雜的題目還會(huì)有將等積式中的線段替換為其他相等的線段情況；第（3）種形式和第（2）種類似，建議先寫(xiě)成線段比例的形式，然后再考慮數(shù)字的歸屬問(wèn)題，將系數(shù)分配給某一線段；第(4)種情況難度最大，題目中只給兩條線段，另外兩條需要自己找，建議寫(xiě)成的形式，括號(hào)內(nèi)的一般填入的是題中可求值的線段，再根據(jù)題中條件具體分析即可?！緢A中的相似模型】(1)圓周角定理推論(直徑所對(duì)圓周角為90°;同弧所對(duì)圓周角相等)(2)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)(通常是圓內(nèi)外兩個(gè)三角形相似)(3)已知線段比例關(guān)系,利用公共角及兩邊對(duì)應(yīng)成比例證相似技法05：求陰影部分面積求陰影部分面積主要有2種形式：①割補(bǔ)法，②等級(jí)變形（拼接）

模塊一圓中常見(jiàn)輔助線【題型1】遇到弦時(shí)處理方式：常添加弦心距筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖1．唐代陳廷章在《水輪賦》中寫(xiě)道“水能利物，輪乃曲成”．如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長(zhǎng)為8米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是2，則⊙O的半徑長(zhǎng)為米．如圖，⊙O的半徑為102，弦AB的長(zhǎng)為162，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，則線段OP長(zhǎng)的最小值為（

A．10 B．82 C．5 D．（2022·安徽中考）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．5如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，∠APC=30°，點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，且AP=2，則CD=．已知⊙O的半徑是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD的距離是（

）A．7cm B．7cm或1cm C．5cm或2cm D．1cm如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB=24，動(dòng)點(diǎn)P、Q在⊙O上，弦PQ=10，若點(diǎn)M、N分別是弦AB、

A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7<MN<17 D．6≤MN≤16【題型2】遇到直徑時(shí)處理方式：常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，則的度數(shù)為°．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在⊙O上，AB為直徑，BC=CD．若∠A=50°，求∠B的度數(shù)．如圖，在△ABD中，AB=AD，以AB為直徑作⊙O，交線段BD于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)E．(1)求證：CF是⊙O的切線．(2)當(dāng)∠D=30°，CE=3時(shí)，求AC【題型3】遇到有切線時(shí)處理方式：添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）如圖，CD切⊙O于B，若∠C=30°，則∠ABD的度數(shù)是．如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠B=48°．則∠OCD為（

）A．21° B．24° C．25° D．30°如圖，半圓⊙O的圓心在BC上，AC、AB分別與⊙O相切于點(diǎn)C、D，半圓⊙O交BC于另一點(diǎn)E．連接【題型4】遇到兩相交切線時(shí)處理方式：常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)（切線長(zhǎng)定理）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接AB．若AB=PB，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)（異于A

如圖，從點(diǎn)P向⊙O引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，作直徑BC，連接AC，若∠P=60°，PB=2，則AC=．

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、

(1)求∠APB的度數(shù)；(2)當(dāng)AP=3時(shí)，求⊙O的半徑．【題型5】遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)處理方式：連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得①內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；②內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。（2023·湖北天門(mén)中考）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則．

如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE，則△ADE的周長(zhǎng)為（

）

A．19 B．17 C．22 D．20已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°．若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半徑r．

【題型6】遇到三角形的外接圓時(shí)處理方式：連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等（角平分線交點(diǎn)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，連接AO．

(1)求證：AO⊥BC；(2)若OA=5，BC=8，求AB如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長(zhǎng)為80cm，腰長(zhǎng)為50cm．(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：(2)用一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少cm？(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離．模塊二切線證明解題模板：類型1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直【題型7】特殊角計(jì)算證垂直如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，AC=CD=DB，求證：DE是⊙O的切線．如圖，AC是⊙O的直徑，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE是⊙O的切線．如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OC＝4，∠OAC＝60°．?（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）在圖（1）中，P為直徑BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且S△PAC=43，求證：PC為已知：在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠D=60°，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CP=AC．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若PB=5，求⊙O【題型8】勾股定理逆定理證垂直如圖，C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑AB的延長(zhǎng)線上，⊙O的半徑為6，PB=4，PC=8．求證：PC是⊙O的切線；如圖，C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D在直徑AB的延長(zhǎng)線上，⊙O的半徑為6，DB=4，DC=8．求證：DC是⊙O的切線．如圖，AD,BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8,點(diǎn)C是BD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD=2，求證：AC是⊙O的切線.如圖，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，點(diǎn)C是BD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD＝2，求證：AC是⊙O的切線．【題型9】通過(guò)平行線代換證垂直已知：AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使AB＝AC，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．求證：DE為⊙O的切線．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EC，AB交于點(diǎn)F，∠ECD＝∠BCF．求證：CE為⊙O的切線；已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若∠CAB＝120°，⊙O的半徑等于5，求線段【題型10】利用等角代換法證明垂直如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在直徑AB上（D與A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，連接CB，與⊙O交于點(diǎn)F，在CD上取一點(diǎn)E，使得EF＝EC．求證：EF是⊙O的切線；如圖，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD=ED，求證：AD是⊙O的切線．

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，連接CE，且CB=CE．求證：CE是⊙O的切線．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是圓外一點(diǎn)，CA平分∠ECD．求證：CE是⊙O的切線．如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過(guò)A作直線MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于G，過(guò)D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求證：MN是半圓的切線．（2）求證：FD＝FG．【題型11】利用三角形全等證明垂直如圖，AC是⊙O的直徑，PA相切于⊙O，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，且PA=PB，連接AB，∠BAC=30°，求證：PB是⊙O的切線．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC，過(guò)B作BD∥OC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于E，求證：CE是如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接BC，DC，BC＝CD，CE⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：CE是⊙O的切線；求證：CD是⊙O的切線；如圖，AB為⊙O的直徑，四邊形OBCD是矩形，連接AD，延長(zhǎng)AD交⊙O于E，連接CE．求證：CE為⊙O的切線．類型2無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑【題型12】角平分線的性質(zhì)證半徑如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上O與BC相切于點(diǎn)M．求證：CD與⊙O相切．如圖，BD是∠ABC的角平分線，點(diǎn)O是BD上一點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與BD交于點(diǎn)E、F．求證：BC是⊙O的切線．

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，求證：AB是⊙O的切線．

如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D．求證：AC是⊙O的切線．如圖，在ΔABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若BD=25，BF=2，求⊙O【題型13】特殊角計(jì)算證垂直如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD+BC=CD，以AB為直徑作⊙O，求證：CD與⊙O相切．

模塊三圓中求線段長(zhǎng)度解題模板：【題型14】結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)A、D的圓的圓心O在邊AB上，⊙O與邊AB交于另一點(diǎn)E．

(1)證明：BC與⊙O相切；(2)若AC=6，∠B=30°．則AD=．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AB的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CF=EF．(1)求證：CF為⊙O的切線；(2)連接BD．若CF=4，BF=2，求如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在BA上，以點(diǎn)O為圓心，BO長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若OB=10,CD=8，求EB的長(zhǎng)．如圖，四邊形ABCD是菱形，以AB為直徑作⊙O，交CB于點(diǎn)F，點(diǎn)E在CD上，且CE＝CF，連接AE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）連接AC交⊙O于點(diǎn)P，若AP=3，BF＝1，求⊙O如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E.(1)求證：BC是⊙D的切線；(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的長(zhǎng)．如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD交AM，BN于點(diǎn)D，C，DO平分∠ADC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半徑R．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）求⊙O的半徑．（3）連接BE，求BE的長(zhǎng)．（2023·遼寧大連中考）如圖1，在中，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．【題型15】結(jié)合三角函數(shù)求線段長(zhǎng)（2023·四川成都中考）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：；(2)若，求和的長(zhǎng)．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長(zhǎng)．（2023·四川樂(lè)山中考）如圖，已知是的外接圓，，D是圓上一點(diǎn)，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)，且．

(1)求證：直線是是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．（2023·內(nèi)蒙古赤峰中考）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．（2023·甘肅武威中考）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)?shù)陌霃綖椋瑫r(shí)，求的長(zhǎng)．（2023·湖南衡陽(yáng)中考）如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G．

(1)求證：．(2)若，求的半徑．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O切線，C是⊙O上的點(diǎn)且AC∥(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若∠A=60°，AB=4，求PC長(zhǎng)．（2023·寧夏中考）如圖，已知是的直徑，直線是的切線，切點(diǎn)為，，垂足為．連接．

(1)求證：平分；(2)若，，求的半徑．（2023·遼寧沈陽(yáng)中考）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接、，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2023·浙江湖州中考）如圖，在中，，點(diǎn)O在邊上，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的半圓與斜邊相切于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連結(jié)．

(1)求證：．(2)已知，，求的長(zhǎng)．（2023·湖南湘西中考）如圖，點(diǎn)D，E在以為直徑的上，的平分線交于點(diǎn)B，連接，，，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=10，BC=6．(1)PC與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(2)求CE的長(zhǎng)．（2023·山東濟(jì)南中考）如圖，，為的直徑，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，弦，相交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若，求直徑的長(zhǎng)．（2023·遼寧錦州中考）如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，與相切于點(diǎn)A，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

(1)求證：；(2)點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)G．若，，，求的半徑及的長(zhǎng)．（2023·遼寧丹東中考）如圖，已知是的直徑，是的弦，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)C，與相交于點(diǎn)E，連接，且，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，，，求的長(zhǎng)．（2023·遼寧丹東中考）如圖，已知是的直徑，是的弦，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)C，與相交于點(diǎn)E，連接，且，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，，，求的長(zhǎng)．（2023·遼寧鞍山中考）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．（2023·四川內(nèi)江中考）如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，，連接交于點(diǎn)P，求的長(zhǎng)．（2023·新疆中考）如圖，是的直徑，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．（2023·山東中考）如圖，為的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，弦，垂足為點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)P是上一點(diǎn)，，求；(3)在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時(shí)，求的長(zhǎng)．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特中考）已知在中，，，，以邊為直徑作，與邊交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：是的切線；(2)點(diǎn)為直線上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②求的最大值．（2023·四川雅安中考）如圖，在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)D，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．【題型16】結(jié)合相似求線段長(zhǎng)如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．（2023·四川瀘州中考）如圖，是的直徑，，的弦于點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

(1)求證：平分；(2)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．（2023·四川眉山中考）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)E．平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．（2023·青海西寧中考）如圖，是⊙O的弦，半徑，垂足為D，弦與交于點(diǎn)F，連接，，．

(1)求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．（2023·江蘇蘇州中考）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．（2023·河南中考）如圖，與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且．若，，則的長(zhǎng)為．（2023·湖南常德中考）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．（2023·山東聊城中考）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，的平分線交于點(diǎn)E．以上的點(diǎn)O為圓心，為半徑作，恰好過(guò)點(diǎn)E．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．（2023·四川中考）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．（2022·新疆中考）如圖，⊙是的外接圓，AB是⊙的直徑，點(diǎn)D在⊙上，，連接AD，延長(zhǎng)DB交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求DB的長(zhǎng)．（2022·湖北恩施中考）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線PO交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C．(1)求證：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的長(zhǎng)．（2022·四川遂寧中考）如圖，是的外接圓，點(diǎn)O在BC上，的角平分線交于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．(1)求證：PD是的切線；(2)求證：∽；(3)若，，求點(diǎn)O到AD的距離．（2023·四川宜賓中考）如圖，以為直徑的上有兩點(diǎn)、，，過(guò)點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)如果是的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．（2022·廣西柳州中考）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是⊙O上異于A，B的點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接AE，AF，BF，過(guò)點(diǎn)F作FC⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠ADC的平分線DG交AF于點(diǎn)G，交FB于點(diǎn)H．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直徑．（2022·貴州安順中考）如圖，是的直徑，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，，且，平分，與交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，求的半徑．（2023·湖北中考）如圖，等腰內(nèi)接于，，是邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．（2023·內(nèi)蒙古通遼中考）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的半徑．（2023·內(nèi)蒙古中考）如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：為⊙的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．（2023·陜西中考）如圖，內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，作，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若的半徑，，求線段的長(zhǎng)．（2023·遼寧盤(pán)錦中考）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：與相切．(2)若，，求的長(zhǎng)．【題型17】利用旋轉(zhuǎn)變換求線段長(zhǎng)（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特中考）如圖，內(nèi)接于且，弦平分，連接，．若，，則，．

模塊四以圓為背景的陰影部分面積問(wèn)題【題型18】和差法（割補(bǔ)）如圖，以邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（）A．3-π4 B．23-π C．(6-π)如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，過(guò)AB的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣4 D．π（2022·山西·中考真題）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△ABC，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作BC，AC，AB，三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．如果一個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)為2π，則此曲邊三角形的面積為（）A．2π﹣23 B．2π-3 C．2π D．π（2023·湖北鄂州中考）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作半圓，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．∴．如圖，在?ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AB＝32，則圖中陰影部分的面積是如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′，則圖中陰影部分的面積是．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為．（2023·浙江衢州中考）如圖，在中，，O為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為半徑的半圓與邊相切于點(diǎn)D，交邊于點(diǎn)E．

(1)求證：；(2)若，，①求半圓的半徑；②求圖中陰影部分的面積．（2023·山東濰坊中考）如圖，正方形內(nèi)接于，在上取一點(diǎn)E，連接，．過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接，．

(1)求證：；(2)若，，求陰影部分的面積．（2022·內(nèi)蒙古通遼中考）如圖，在中，，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是圓的切線；(2)已知，，求長(zhǎng)度及陰影部分面積．（2023·湖南懷化中考）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)．連接、、，且．

(1)求證：為的切線；(2)延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，求證：；(3)若，求陰影部分的面積．（2022·湖南益陽(yáng)中考）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．

(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．【題型19】拼接法（等積變形）如圖，菱形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，對(duì)角線AC，OB交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑是23，則圖中陰影部分的面積是（）A．2π B．6π C．33π D．3如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫(huà)半圓，則陰影部分的面積是（）A．9 B．6 C．3 D．12如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝23，則圖中陰影部分的面積是．如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，連接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，BD，已知⊙O半徑為2，則圖中陰影面積為．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，以C為圓心，4為半徑作圓弧BD，再分別以E，F(xiàn)為圓心，2為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）（2023·山東棗莊中考）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．（2022·四川綿陽(yáng)中考）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，D為劣弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AD與BC交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為，DE＝1，求AE的長(zhǎng)度；(3)在（2）的條件下，求的面積．模塊五其它類型【題型20】與圓錐的相關(guān)計(jì)算（2023·內(nèi)蒙古赤峰中考）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（

）v

A． B． C． D．一個(gè)圓錐的側(cè)面積為36π，其底面圓的半徑為4，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．9 D．12如圖，在矩形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于點(diǎn)E，將扇形ADE剪下來(lái)做成圓錐，若AB=BE=22，則該圓錐底面半徑為（

A．12 B．14 C．1 D如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為30πcm，側(cè)面積為360πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是（A．150° B．165° C．135° D．225°【題型21】圓內(nèi)接四邊形（2023·山東泰安中考）如圖，是的直徑，D，C是上的點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．（2023·江蘇中考）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．（2023·山東青島中考）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．（2023·北京中考）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大小；(2)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【題型22】圓與相似綜合1：等積式相關(guān)證明（2022·山東濱州中考）如圖，已知AC為的直徑，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)B且，連接OP交AB于點(diǎn)M．求證：(1)PD是的切線；(2)（2023·四川廣安中考）如圖，以的直角邊為直徑作，交斜邊于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．(3)求證：．（2023·湖北黃石中考）如圖，為的直徑，和相交于點(diǎn)F，平分，點(diǎn)C在上，且，交于點(diǎn)P．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，求的值．（2023·湖南永州中考）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長(zhǎng)到點(diǎn)D．使得，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，交于N，交于G．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)若，求證：．（2023·四川遂寧中考）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，過(guò)點(diǎn)的直線l交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．（2023·黑龍江大慶中考）如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，求的值．（2023·山東濱州中考）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn)，與的外接圓相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫(xiě)出，不需證明．）【題型23】圓與相似綜合2：線段積問(wèn)題（2023·江蘇無(wú)錫中考）如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．（2022·湖南株洲中考）如圖所示，的頂點(diǎn)、在⊙上，頂點(diǎn)在⊙外，邊與⊙相交于點(diǎn)，，連接、，已知．(1)求證：直線是⊙的切線；(2)若線段與線段相交于點(diǎn)，連接．①求證：；②若，求⊙的半徑的長(zhǎng)度．（2022·湖北黃石中考）如圖是直徑，A是上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、、，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，作的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．【題型24】圓中線段間的數(shù)量關(guān)系（和差倍分）（2022·貴州黔西中考）如圖，在中，，以AB為直徑作⊙，分別交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，，垂足為H，連接DE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：DH是⊙的切線；(2)若E為AH的中點(diǎn)，求的值．（2022·廣西桂林中考）如圖，AB是⊙O的