高考數(shù)學(xué)數(shù)列題型之等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題

等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題例已知等差數(shù)列滿意：，，的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求與；（Ⅱ）令(*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以有，解得，所以；。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，所以，即?shù)列的前n項(xiàng)和=?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，嫻熟數(shù)列的基礎(chǔ)學(xué)問是解答好本類題目的關(guān)鍵。例設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其中是常數(shù)．（I）求與；（）若對(duì)于隨意的，，，成等比數(shù)列，求的值．解（Ⅰ）當(dāng)，閱歷，（）式成立，（Ⅱ）成等比數(shù)列，，即，整理得：，對(duì)隨意的成立，例等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知,,成等差數(shù)列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依題意有由于，故又，從而5分（Ⅱ）由已知可得故從而10分例已知數(shù)列滿意，.令，證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式。（1）證當(dāng)時(shí)，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）解由（1）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以。例設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式解由題意知，且兩式相減得即①（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由①知于是又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，即當(dāng)時(shí)，由由①得因此得例在數(shù)列中，,（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（）求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式:()（）由（I）知,而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得=例已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（為正整數(shù)）（Ⅰ）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)隨意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（Ⅰ），①當(dāng)時(shí)，.②由①-②，得..又，，解得.數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（為正整數(shù)）（Ⅱ）由（Ⅰ）知由題意可知，對(duì)于隨意的正整數(shù)，恒有，.數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，必有，即實(shí)數(shù)的最大值為1例各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)隨意，有；⑴求常數(shù)的值；⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑶記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（1）由與，得：（2）由①得②由②—①，得即：由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是（3）由，得：例在數(shù)列（1）（2）設(shè)（3）求數(shù)列解（1）（2）對(duì)于隨意數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.（3）由（2）得，即設(shè)則兩式相減得，整理得，從而例已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和.（Ⅰ）求證：;（Ⅱ）記，為的前n項(xiàng)和，求的值.解：（1）由①，得②，②-①得：. （2）由求得. 例等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知,,成等差數(shù)列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依題意有由于，故又，從而（Ⅱ）由已知可得故從而例已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.（1）求q的值；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試推斷是否成等差數(shù)列？說明理由.解：（1）依題意，得22=1+∴2a11=a1+a1–1在等比數(shù)列{}中，a1≠0，q≠0，∴2q2=q+1，解得q=1或.（2）若q=1，+1=1+(1)a1=(2m+1)a1，+2=(2)a1∵a1≠0，∴22≠Sm+1若q=，+1=+1==∴22=Sm+1故當(dāng)q=1時(shí)，,2,1不成等差數(shù)列；當(dāng)q=時(shí)，,2,1成等差數(shù)列.例6已知數(shù)列中，，且對(duì)時(shí)有．（Ⅰ）設(shè)數(shù)列滿意，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和（Ⅰ）證明：由條件，得，則．即，所以，．所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．，所以．兩邊同除以，可得．于是為以首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列．所以．（Ⅱ），令，則．而．令＝， ①則2＝． ②①－②，得＝，＝．例7已知數(shù)列滿意，且當(dāng)，時(shí)，有(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)試問是否為數(shù)列中的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)；假如不是，請(qǐng)說明理由.證明：（1）由得即上式兩邊同時(shí)除以得又，是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列（2）又（1）知，即令，解得所以是數(shù)列的第11項(xiàng)例8設(shè)數(shù)列滿意且（Ⅰ）求的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）令數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，求極限的值．（Ⅰ）令，其中為常數(shù)，若為等比數(shù)列，則存在使得又．所以．由此得由與已知遞推式可求得，把它們代入上式后得方程組消去解得．下面驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列．，從而是公比為的等比數(shù)列．同理可知是公比為的等比數(shù)列，于是為所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)果得，，解得（Ⅲ）令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前項(xiàng)和為；令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前項(xiàng)和為．由第（Ⅱ）問得，．由于數(shù)列的公比，則．，由于，則，于是，所以例9數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于隨意，總有成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證:對(duì)隨意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，＝2.71828）和隨意正整數(shù)，總有2；(Ⅲ)正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項(xiàng).（Ⅰ）解：由已知：對(duì)于，總有①成立∴（n≥2）②①②得∵均為正數(shù)，∴（n≥2）∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列又1時(shí)，，解得=1（Ⅱ）證明：∵對(duì)隨意實(shí)數(shù)和隨意正整數(shù)n，總有≤.(Ⅲ)解：由已知，易得猜想n≥2時(shí)，是遞減數(shù)列.令∵當(dāng)∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.∴n≥2時(shí),是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.又,∴數(shù)列中的最大項(xiàng)為.例10設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿意。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）試求全部的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。解：（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)椋?，即，又由得，解得?(2)（方法一）=,設(shè)，則=,所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。例12數(shù)列1<0\*中，1<0\*，1<0\*（1<0\*是常數(shù)，1<0\*），且1<0\*成公比不為1<0\*的等比數(shù)列。（I）求1<0\*的值；（）求1<0\*的通項(xiàng)公式。解：（=1\*I）1<0\*，1<0\*，1<0\*，因?yàn)?<0\*，1<0\*，1<0\*成等比數(shù)列，所以1<0\*，解得1<0\*或1<0\*．當(dāng)1<0\*時(shí)，1<0\*，不符合題意舍去，故1<0\*．（=2\*）當(dāng)1<0\*時(shí)，由于1<0\*，1<0\*，1<0\*，所以1<0\*。又1<0\*，1<0\*，故1<0\*．當(dāng)1時(shí)，上式也成立，所以1<0\*例13已知數(shù)列1<0\*的前1<0\*項(xiàng)和為1<0\*，對(duì)一切正整數(shù)1<0\*，點(diǎn)1<0\*都在函數(shù)1<0\*的圖像上，且過點(diǎn)1<0\*的切線的斜率為1<0\*．（1）求數(shù)列1<0\*的通項(xiàng)公式．（2）若1<0\*，求數(shù)列1<0\*的前1<0\*項(xiàng)和1<0\*．（3）設(shè)1<0\*，等差數(shù)列1<0\*的任一項(xiàng)1<0\*，其中1<0\*是1<0\*中的最小數(shù)，1<0\*，求1<0\*的通項(xiàng)公式.解：（1）1<0\*點(diǎn)1<0\*都在函數(shù)1<0\*的圖像上，1<0\*1<0\*,當(dāng)1<0\*時(shí)，1<0\*當(dāng)ｎ＝1時(shí)，1<0\*滿意上式，所以數(shù)列1<0\*的通項(xiàng)公式為1<0\*（2）由1<0\*求導(dǎo)可得1<0\*1<0\*過點(diǎn)1<0\*的切線的斜率為1<0\*，1<0\*.1<0\*.1<0\*①由①×4，得1<0\*②①-②得：1<0\*1<0\*1<0\*（3）1<0\*,1<0\*.又1<0\*，其中1<0\*是1<0\*中的最小數(shù)，1<0\*.1<0\*是公差是4的倍數(shù)，1<0\*.又1<0\*，1<0\*,解得ｍ＝27.所以1<0\*，設(shè)等差數(shù)列的公差為1<0\*，則1<0\*1<0\*，所以1<0\*的通項(xiàng)公式為1<0\*例14已知1<0\*是數(shù)列1<0\*的前1<0\*項(xiàng)和，1<0\*，且1<0\*，其中1<0\*.(1)求數(shù)列1<0\*的通項(xiàng)公式1<0\*；(2)求1<0\*.解：①1<0\*1<0\*1<0\*1<0\*1<0\*1<0\*又1<0\*也滿意上式，1<0\*1<0\*1<0\*1<0\*（1