3.3 垂徑定理（7大題型）（分層練習）（解析版）

第3章圓的基本性質(zhì)3.3垂徑定理（7大題型）分層練習考查題型一垂徑定理的概念1．（2023春·黑龍江大慶·九年級大慶外國語學校?？茧A段練習）下列命題是假命題的是（）A．平行四邊形的對角線互相平分 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于弦的直徑平分這條弦 D．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理及其推論、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、平行四邊形的對角線互相平分，是真命題，不符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項說法是假命題，符合題意；C、垂直于弦的直徑平分這條弦，是真命題，不符合題意；D、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，是真命題，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列幾個命題：①圓是軸對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③平分弦的直徑垂直于這條弦；④三點確定一個圓．其中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理及確定圓的條件，結(jié)合題意進行判斷即可．【詳解】圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故①正確；垂直于弦的直徑平分這條弦，故②正確；平分弦的直徑垂直于弦，這個弦需要排除直徑，故③錯誤;不在同一直線上的三點確定一個圓，故④錯誤；綜上可得正確的是①②故選A【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理及垂徑定理，另外要注意各定理成立的條件．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）請完善本課時的知識結(jié)構(gòu)．垂徑定理（1）定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑，并且．∵是直徑，，垂足為點，∴，∴．

【答案】平分這條弦平分這條弦所對的弧【分析】根據(jù)垂徑定理內(nèi)容進行作答即可．【詳解】解：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的?。呤侵睆剑?，垂足為點，∴，∴．故答案為：平分這條弦，平分這條弦所對的弧，，【點睛】本題主要考查的是垂徑定理內(nèi)容，正確掌握垂徑定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）用準確的文字語言描述“垂徑定理”：垂直于弦的直徑平分．【答案】這條弦及其所對的兩條弧【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容解答即可．【詳解】解：“垂徑定理”的內(nèi)容為：垂直于弦的直徑平分這條弦及其所對的兩條?。蚀鸢笧椋哼@條弦及其所對的兩條弧．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，熟練掌握相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，的兩條弦（AB不是直徑），點E為AB中點，連接EC，ED．（1）直線EO與AB垂直嗎？請說明理由；（2）求證：．【答案】（1）直線EO與AB垂直．理由見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）依據(jù)垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦可得結(jié)論；（2）易證，由垂徑定理可得結(jié)論.【詳解】解：（1）直線EO與AB垂直．理由如下：如圖，連接EO，并延長交CD于F．∵EO過點O，E為AB的中點，．（2），，．∵EF過點O，，垂直平分CD，．【點睛】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵.考查題型二垂徑定理的推論1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列說法中正確的個數(shù)有（）①平分弦的直徑一定垂直于弦；②圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是對稱軸；③直徑是弦；④長度相等的弧是等弧A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理，等弧的定義，圓的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：①平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于弦，原說法錯誤；②圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸，原說法錯誤；③直徑是弦，正確；④長度相等弧是不一定是等弧，原說法錯誤；綜上，只有③的說法正確，故選：A．【點睛】本題考查垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列語句中不正確的有（）

①長度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條?。虎莅雸A是圓中最長的??；⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及圓的有關(guān)概念和對稱性對每個語句分別進行判斷即可.【詳解】因為能夠完全重合的弧是等弧,故①不正確；垂直于弦的直徑平分弦說法正確；圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故③說法不正確；平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對的兩條弧，故④說法不正確；半圓的弧長是圓的弧長的一半，不是圓中最長的弧，故⑤說法不正確；不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，故⑥說法正確，∴不正確的語句有4個，故選：B【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·九年級課時練習）垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑，并且平分弦所對的．【答案】垂直于弦兩條弧【分析】根據(jù)垂徑定理的推論的內(nèi)容直接得出答案．【詳解】平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。蚀鸢笧椋捍怪庇谙遥怪庇谙遥军c睛】本題考查了垂徑定理的推論，解答時熟悉垂徑定理的推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則圓心的坐標是．【答案】（2，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【詳解】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為：（2，1）．【點睛】本題考查垂徑定理的應用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知在半圓中，，，，求的長．【答案】【分析】連接交于，根據(jù)垂徑定理的推論得出，根據(jù)題意得出，繼而得出為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：連接交于，如圖，∵，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴為等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理的推論，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出是解題的關(guān)鍵．考查題型三利用垂徑定理求值1．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為5，弦，，垂足為點P，則CP的長等于（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】A【分析】如圖，連接，由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）已知的半徑為5，是的弦，點P在弦上，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，過點O作于點C，根據(jù)垂徑定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．【詳解】如圖，過點O作于點C，連接，則，

，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，在中，根據(jù)勾股定理得：,故選：C．【點睛】本題考查了圓的垂徑定理和勾股定理，正確作輔助線，熟練利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）已知的直徑為，圓心O到弦AB的距離為，則．【答案】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后連接，根據(jù)垂徑定理得到平分，即，而在中，根據(jù)勾股數(shù)得到，即可得到的長．【詳解】解：如圖，連接，∵，，，∴，∴在中，，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了垂徑定理與勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．4．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長為．

【答案】【分析】由題意易得，根據(jù)勾股定理可求的長，然后問題可求解．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案為．【點睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的一條弦，點是的中點，連接并延長交劣弧于點，連接，．若，，求的面積．【答案】【分析】設的半徑是r，由勾股定理，垂徑定理求出圓的半徑，由三角形的面積公式即可計算．【詳解】解：設的半徑是，點是的中點，過圓心，，，，，，，，，，的面積．【點評】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是應用勾股定理求出圓的半徑長．考查題型四利用垂徑定理求平行弦問題1、（2021春·九年級課時練習）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AD∥BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關(guān)系是（)A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．無法確定【答案】A【詳解】因為在同圓中,平行弦所夾弧是等弧.故選A.點睛:本題主要考查圓中平行弦所夾弧,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行弦定理.2．（2022春·九年級課時練習）如圖，點，，，在圓上，弦和交于點，則下列說法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進行判斷．【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯誤，不符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，原說法錯誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，原說法正確，符合題意；D、若也是直徑，則原說法不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應分兩種情況進行討論：①弦與在圓心同側(cè)；②弦與在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當弦與在圓心同側(cè)時，如圖①，

過點O作，垂足為F，交于點E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當弦與在圓心異側(cè)時，如圖，

過點O作于點E，反向延長交于點F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．4．（2022·九年級單元測試）設AB、CD是⊙O的兩條弦，ABCD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為．【答案】17或7/7或17【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于AB、CD在圓心的同側(cè)或異側(cè)不能確定，故應分兩種情況進行討論．【詳解】解：①當AB、CD如圖（一）所示時，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，∵ABCD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂徑定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，在Rt△CEO中，OE==12；同理，OF==5，故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②當AB、CD如圖（二）所示時，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案為：17或7．【點睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．5．（2021春·九年級課時練習）如圖，已知⊙O的半徑長為R=5，弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5，AB=6，求弦CD的長．【答案】【分析】如圖所示作出輔助線，由垂徑定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，進而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可．【詳解】解：如圖所示，因為AB∥CD，所以過點O作MN⊥AB交AB于點M，交CD于點N，連接OA，OC，由垂徑定理可得AM=，∴在Rt△AOM中，，∴ON=MN-OM=1，∴在Rt△CON中，，∴，故答案為：【點睛】本題考查勾股定理及垂徑定理，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．考查題型五利用垂徑定理求同心圓問題1．（2023春·九年級課時練習）已知△ABC的邊BC=，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【答案】C【分析】連接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)可求得∠BOD=60°，從而求得答案.注意弦所對的圓周角有銳角和鈍角兩種情況.【詳解】①當△ABC時銳角三角形時，連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于點D，∴

，∵OB=2∴∴∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，∵=，∴；②當△ABC時鈍角三角形時，如圖，由①可知∠E=60°，∵四邊形ABEC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠A=180°，∴∠A=180°-60°=120°.故∠A的度數(shù)為60°或120°.故答案為：C【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.2．（2022春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.3．（2021·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦的長為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為．【答案】【分析】先根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．4．（2022浙江杭州·九年級）如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形的邊和分別是兩圓的弦，則矩形面積的最大值是．【答案】16【分析】過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大，過點D作AO邊上的高h，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△AOD的最大值，從而求出結(jié)論．【詳解】解：過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據(jù)垂徑定理可得：點P和點N分別為AB和CD的中點，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大過點D作AO邊上的高h，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD（當且僅當OD⊥OA時，取等號）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷=16故答案為：16．【點睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關(guān)系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關(guān)系推導面積關(guān)系和垂線段最短是解決此題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過O作于點E，由垂徑定理可知E為和的中點，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長，則可求得和的長，在中，利用勾股定理可求得的長，在中可求得的長；【詳解】（1）證明：過O作于點E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意輔助線的作法．考查題型六利用垂徑定理求解其他問題1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，一圓弧過方格的格點，試在方格中建立平面直角坐標系，使點的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作線段、的垂直平分線，其交點即為圓心，根據(jù)點的坐標即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，作線段、的垂直平分線，其交點即為圓心．

∵點的坐標為，∴該圓弧所在圓的圓心坐標是．故選：C．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系、垂徑定理的推論，牢記垂徑定理的推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧）是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點D、E、F分別是的中點，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長求解即可．【詳解】解：∵是銳角三角形的外接圓，，∴點D、E、F分別是的中點，∴，∵的周長為21，∴即，∴，故選：B．【點睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖所示一個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為60cm，水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為cm．【答案】12【分析】連接OB，過點O作OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，先由垂徑定理求出BD的長，再根據(jù)勾股定理求出OD的長，進而得出CD的長即可．【詳解】解：連接OB，過點O作OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，如圖所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直徑為60cm，∴OB＝OC＝30cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），即水的最大深度為12cm，故答案為：12．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022春·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，4），（5，4），（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標是．【答案】（3，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點D即為圓心，且坐標是（3，1）．故答案為：（3，1）．【點睛】此題考查了垂徑定理的推論，能夠準確確定一個圓的圓心．5．（2022秋·江西南昌·九年級深圳市南山外國語學校校聯(lián)考階段練習）如圖，中，，，，以為半徑的交于D，求的長．【答案】．【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，過C作，交于點M，由垂徑定理可知M為的中點，由三角形的面積可求出的長，在中，根據(jù)勾股定理可求出的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在中，，，，∴．過C作，交于點M，如圖所示，∴M為的中點，∵，且，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴．【點睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．考查題型七垂徑定理的實際應用1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】由三角形有一個外接圓可得答案．【詳解】解：∵要恢復圓形鏡子，則碎片中必須有一段完整的弧，才能確定這條弧所在的圓的圓心和半徑，∴只有③符合題意，故選C【點睛】本題考查的是根據(jù)殘弧確定殘弧所在圓的圓心與半徑，理解題意是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（

）

A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分【答案】D【分析】首先過的圓心作于，交于，連接，由垂徑定理，即可求得的長，繼而求得的長，又由從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為16分鐘，即可求得“圖上”太陽升起的速度．【詳解】解：過的圓心作于，交于，連接，

∴（厘米），在中，（厘米），∴（厘米），∵從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時間為16分鐘，∴（厘米/分）．∴“圖上”太陽升起的速度為厘米/分．故選：D．【點睛】此題考查了垂徑定理的應用．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長為寸．

【答案】26【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由得到點為的中點，由可求出的長，再設出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．【詳解】解：連接，

，且寸，寸，設圓的半徑的長為，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，化簡得：，即，（寸）．故答案為：26．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測量球的半徑．嘉嘉經(jīng)過思考找到了測量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高，底面內(nèi)徑，球的最高點到瓶底的距離為，則球的半徑為．

【答案】【分析】連接，構(gòu)造相應的直角三角形，利用勾股定理即可求得長．【詳解】解：如圖所示，連接，設圓的半徑為，

，，，，，在中，，即，解得：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了垂徑定理的應用，在圓內(nèi)利用垂直于弦的直徑構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法．5．（2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學?？计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，求點C到弦所在直線的距離．【答案】點C到弦所在直線的距離為米．【分析】連接交于，連接，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：如圖2，連接交于，連接，點為運行軌道的最低點，，米，（米，在中，（米，點到弦所在直線的距離米，點C到弦所在直線的距離為米．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．1．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，是弦，于點，則下列結(jié)論中不成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理及線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，進而即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，，∴，∴AB是CD的垂直平分線，∴，故項不符合題意；∵是的直徑，，∴，故項不符合題意；∵是的直徑，，∴，∴AB是CD的垂直平分線，∴，故項不符合題意；無法證明和的大小關(guān)系，故項符合題意；故選．【點睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，是的弦，且，垂足為，連接．若，，則的長為（）

A．10 B．5 C． D．【答案】C【分析】連接，由是的直徑，是的弦，且，可得的長，再根據(jù)勾股定理可得的長，從而得出的長，最后再由勾股定理進行計算即可得到答案．【詳解】解：連接，

，是的直徑，是的弦，且，，，，，在中，，，在中，，故選：C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，的弦垂直于，點為垂足，連接．若，，則的值是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過點作于點，于點，連接，根據(jù)垂徑定理可求出的值，再證，可得，根據(jù)正方形的判定可得四邊形為正方形，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，于點，連接，

∴根據(jù)垂徑定理得，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為正方形，是正方形的對角線，∴，故選：．【點睛】本題考查圓與三角形的綜合，掌握圓的基礎值，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．4．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【分析】首先利用垂徑定理的推論得出，，再設的半徑為，則．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出即可．【詳解】解：是的一部分，是的中點，，，．設的半徑為，則．在中，，，，，即的半徑為．故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應用，設的半徑為，列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，弦交于點E，，，過點O作于點F，延長交于點G，若，，則的長為(

)

A． B．7 C．8 D．【答案】B【分析】作于點M，由題意可得出，從而可得出為等邊三角形，從而得到，再由已知得出，的長，進而得出，的長，再求出的長，再由勾股定理求出的長．【詳解】解：作于點M，

在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、勾股定理等知識點，綜合性較強，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練運用勾股定理是解題關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦于點，，，則．

【答案】2【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：設，則，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，故答案為：2．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的前提．7．（2023秋·河北張家口·九年級張家口東方中學校考期末）如圖，的半徑為6cm，是弦，于點C，將劣弧沿弦折疊，交于點D，若D是的中點，則的長為．

【答案】/厘米【分析】連接，延長交弧于，可證，從而可求，由，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，延長交弧于，

由折疊得：，是的中點，，，，，，在中，．故答案：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握相關(guān)的性質(zhì)，構(gòu)建出由弦、弦心距、半徑組成的直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，的半徑是，是的內(nèi)接三角形，過圓心分別作，，的垂線，垂足為，，，連接．若，則．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出，再結(jié)合垂徑定理及三角形的中位線求解．【詳解】解：連接，如圖．在中，．，，，且是的圓心，，，，是的中位線，．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的半徑為2，將劣?。ㄌ摼€）沿弦折疊后交弦于點D，連接．若，則線段的長為．

【答案】【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為，則⊙O與⊙設等圓，是公共的圓周角，所以可以證得，設⊙O的半徑為R，過O作于G，可得，，即，根據(jù)勾股定理可得，即可求得．【詳解】設折疊后的所在圓的圓心為，連接，∴連接，

同理，∴∵⊙O與⊙是等圓∴設⊙O的半徑為R過O作于G∵，∴，∴∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了圓中的折疊變換，垂徑定理等，注意等圓中的公共角，公共弦，公共弧，這些都是相等的，利用這些等量關(guān)系，是解決此類題的突破口．10．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖，是直徑，點C在上，垂足為D，點E是上動點（不與C重合），點F為的中點，若，，則的最大值為．【答案】7.5【分析】延長交于點G，連接、，根據(jù)垂徑定理得到，推出，得到當取最大值時，也取得最大值，然后在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：延長交于點G，連接、，∵，即，且是的直徑，∴，∵點F為的中點，∴，∴當取最大值時，也取得最大值，設的半徑為r，則，在中，，∴，解得：，∴的最大值為15，∴的最大值為7.5，故答案為：7.5．【點睛】本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．11．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點，若，．

(1)求的長；(2)若大圓半徑為，求小圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）作，垂足為E，根據(jù)垂徑定理得到，，即可得到的長；（2）連接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可．【詳解】（1）解：作，垂足為E，

由垂徑定理知，點E是的中點，也是的中點，∴，，∴；（2）連接，∵在中，，∴．在中，∵，∴．即小圓的半徑為．【點睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）已知：如圖，是的直徑，點C在上，請用無刻度直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點，且與C點在同側(cè)，畫出的平分線．并說明理由；(2)如圖②，若，畫出的平分線．【答案】(1)畫圖，理由見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）作直徑，作射線即可，理由見解析；（2）連接，交于點，作直線交于點，作射線即可，由可得，從而得出，從而得出，再由等腰三角形性質(zhì)得出，推出，最后得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖①，即為所求的平分線；