（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型練6 大題專項(xiàng)（四）立體幾何綜合問題-人教版高三數(shù)學(xué)試題

題型練6大題專項(xiàng)(四)立體幾何綜合問題題型練第60頁

1.如圖,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∠ABE=60°,G為BE的中點(diǎn).(1)求證:AG⊥平面ADF;(2)若AB=3BC,求二面角D-CA-G的余弦值.(1)證明∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∴AD⊥AB.∵矩形ABCD∩菱形ABEF=AB,∴AD⊥平面ABEF.∵AG?平面ABEF,∴AD⊥AG.∵菱形ABEF中,∠ABE=60°,G為BE的中點(diǎn),∴AG⊥BE,即AG⊥AF.∵AD∩AF=A,∴AG⊥平面ADF.(2)解由(1)可知AD,AF,AG兩兩垂直,以A為原點(diǎn),AG所在直線為x軸,AF所在直線為y軸,AD所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=3BC=3,則BC=1,AG=32,故A(0,0,0),C32,-32,1,D(0,0,1),G3則AC=32,-設(shè)平面ACD的法向量n1=(x1,y1,z1),則n1·AC=32得n1=(1,3,0),設(shè)平面ACG的法向量n2=(x2,y2,z2),則n2·AC=3得n2=(0,2,3).設(shè)二面角D-CA-G的平面角為θ,則cosθ=n1易知θ為鈍角,∴二面角D-CA-G的余弦值為-2172.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.解:如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點(diǎn)分別為O,O1,則OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{OB,OC,因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn),所以P32從而BP=-故|cos<BP,AC因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為310(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),所以Q32因此AQ=32,32設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的一個(gè)法向量,則AQ不妨取n=(3,-1,1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ,則sinθ=|cos<CC1,n>|=所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為553.在四棱錐P-ABCD中,BC=BD=DC=23,AD=AB=PD=PB=2.(1)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求證:BE∥平面PAD.(2)當(dāng)平面PBD⊥平面ABCD時(shí),求二面角C-PD-B的余弦值.(1)證明取CD的中點(diǎn)為M,連接EM,BM.由已知得,△BCD為等邊三角形,BM⊥CD.∵AD=AB=2,BD=23,∴∠ADB=∠ABD=30°,∴∠ADC=90°,∴BM∥AD.又BM?平面PAD,AD?平面PAD,∴BM∥平面PAD.∵E為PC的中點(diǎn),M為CD的中點(diǎn),∴EM∥PD.又EM?平面PAD,PD?平面PAD,∴EM∥平面PAD.∵EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD.∵BE?平面BEM,∴BE∥平面PAD.(2)解連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接PO,由對稱性知,O為BD的中點(diǎn),且AC⊥BD,PO⊥BD.∵平面PBD⊥平面ABCD,PO⊥BD,∴PO⊥平面ABCD,PO=AO=1,CO=3.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則D(0,-3,0),C(3,0,0),P(0,0,1).易知平面PBD的一個(gè)法向量為n1=(1,0,0).設(shè)平面PCD的法向量為n2=(x,y,z),則n2⊥DC,n2⊥DP,∴n∵DC=(3,3,0),DP=(0,3,1),∴3令y=3,得x=-1,z=-3,∴n2=(-1,3,-3),∴cos<n1,n2>=n1·n設(shè)二面角C-PD-B的大小為θ,則cosθ=13134.在如圖所示的組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個(gè)長方體,P-ABCD是一個(gè)四棱錐.AB=2,BC=3,點(diǎn)P∈平面CC1D1D,且PD=PC=2.(1)證明:PD⊥平面PBC;(2)求PA與平面ABCD所成角的正切值;(3)當(dāng)AA1的長為何值時(shí),PC∥平面AB1D?(1)證明如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長AA1=a,則D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是PD=(0,-1,-1),PB=(3,1,-1),PC=(0,1,-1),所以PD·PB=0,PD·所以PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和PB,由線面垂直的判定定理,得PD⊥平面PBC.(2)解A(3,0,a),PA=(3,-1,-1),而平面ABCD的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1),所以cos<PA,n1>=-111×所以PA與平面ABCD所成角的正弦值為1111所以PA與平面ABCD所成角的正切值為1010(3)解因?yàn)镈(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以DA=(3,0,0),AB1=(0,2,-a設(shè)平面AB1D的法向量為n2=(x,y,z),則有DA令z=2,可得平面AB1D的一個(gè)法向量為n2=(0,a,2).若要使得PC∥平面AB1D,則要PC⊥n2,即PC·n2=a-2=0,解得a=2.所以當(dāng)AA1=2時(shí),PC∥平面AB1D.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)證明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.解:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B-12,1(1)證明:易得PC=(0,1,-2),AD=(2,0,0).于是PC·AD=0,所以PC⊥(2)PC=(0,1,-2),CD=(2,-1,0).設(shè)平面PCD的法向量n=(x,y,z).則n·PC=0可得n=(1,2,1).可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).于是cos<m