9.3 平行四邊形 蘇科版八年級數(shù)學下冊教學課件

9.3平行四邊形第9章中心對稱圖形——平行四邊形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2平行四邊形的定義及表示方法平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定反證法知識點平行四邊形的定義及表示方法知1－講11.定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2.表示方法平行四邊形用符號“”表示，如圖9.3-1，平行四邊形ABCD

記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.知1－講注意：(1)平行四邊形的表示一定要按順時針或逆時針依次注明各頂點，不能打亂順序；(2)“”作為表示平行四邊形的符號，不可單獨使用它來代替“平行四邊形”.知1－講特別提醒：1.平行四邊形的定義有兩個要素：(1)是四邊形；(2)兩組對邊分別平行.作為四邊形，平行四邊形具有一般四邊形的一切性質(zhì)，如有四條邊，四個內(nèi)角，兩條對角線，內(nèi)角和為360°，外角和為360°等.作為平行四邊形，它區(qū)別于其他一般四邊形的特殊性質(zhì)為：平行四邊形的兩組對邊分別平行.2.平行四邊形的定義既是它的一個性質(zhì)，又是它的一種判定方法.知1－講3.平行四邊形的基本元素基本元素主要內(nèi)容圖形邊鄰邊AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四對對邊AB和DC，AD和BC，共有兩對角鄰角∠BAD

和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠

DAB和∠ABC，共有四對對角∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有兩對對角線AC和BD，共有兩條知1－講例1如圖9.3-2，在ABCD

中，∠1=∠2.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.知1－講證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴CD∥AB(平行四邊形的兩組對邊分別平行)，即DE∥BF.∴∠1=∠DFA.∵∠1=∠2，∴∠2=∠DFA，∴DF∥BE.∴四邊形BEDF是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形).知1－講解題秘方：緊扣平行四邊形的定義中的雙重功能：“性質(zhì)功能和判定功能”進行證明.知1－講解法提醒：當題目的條件中有平行四邊形時，應立即想到兩組對邊分別平行；當題目的結論要證平行四邊形時，首先應聯(lián)想到它的兩組對邊是否分別平行.逆向利用及正向利用平行四邊形的定義是后面學習平行四邊形的性質(zhì)及判定的主要依據(jù).知2－講知識點平行四邊形的性質(zhì)21.性質(zhì)定理平行四邊形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分.2.對稱性平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.知2－講平行四邊形的性質(zhì)可用表格歸納如下：圖形類型文字語言符號語言邊對邊平行且相等∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC角對角相等∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴∠

DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA對角線對角線互相平分對稱性中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心知2－講特別提醒：由于平行四邊形的基本元素有邊、角和對角線，因此討論其性質(zhì)也應從邊、角和對角線這三個方面去看.1.從邊看：平行四邊形的對邊平行且相等.2.從角看：平行四邊形的對角相等，而且鄰角互補.3.從對角線看：對角線互相平分.注意：已知平行四邊形，要根據(jù)推理證明的需要選擇恰當?shù)男再|(zhì).知2－講3.拓展性質(zhì)(1)平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，兩條對角線將平行四邊形分成面積相等的四部分；(2)若一條直線過平行四邊形兩條對角線的交點，則該直線平分平行四邊形的周長和面積.知2－講例2如圖9.3-3，在ABCD

中，BF平分∠

ABC，交AD

于點F，CE平分∠BCD交AD

于點E，AB＝6，BC＝10，則EF

長為(

)A．1B．2C．3D．4B知2－講解題秘方：緊扣數(shù)學模型“角平分線+平行線＝等腰三角形”轉化線段即可求解．知2－講解析：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，AB=6，BC=10，∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6(平行四邊形的對邊平行且相等)．∴∠AFB

＝∠FBC．∵BF

平分∠ABC，∴∠ABF＝∠

FBC．∴∠AFB＝∠ABF．∴AF＝AB

＝6．同理DE＝DC＝6．∴EF＝AF+DE﹣AD

＝6+6﹣10＝2．知2－講思路點撥：此題由平行四邊形的性質(zhì)可知AD∥BC，易得∠AFB

＝∠FBC，由角平分線可得∠ABF＝∠FBC，所以∠AFB＝∠ABF，所以AF

＝AB

＝6，同理可得DE

＝CD

＝6，由圖形可知EF＝AF+DE﹣AD，代入即可求解．知2－講例3如圖9.3-4，在ABCD中，已知∠

A+∠C=120°，求ABCD中各角的度數(shù).知2－講解：在ABCD

中，∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠D=180°.∵∠A+∠C=120°，∴∠A=∠C=60°.∴∠D=180°-∠A=180°-60°=120°.∴∠B=∠D=120°.知2－講解題秘方：由平行四邊形的對角相等，得∠A=∠C，結合已知條件∠A+∠C=120°，即可求出∠A和∠C

的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，進而求出∠B、∠D

的度數(shù).知2－講方法點撥：求平行四邊形中有關角度的方法：利用平行四邊形的對角相等、鄰角互補的性質(zhì)，在已知一個角的度數(shù)或已知兩角的度數(shù)關系時可求出待求角的度數(shù).知2－講例4如圖9.3-5，已知ABCD的周長是60，對角線AC、BD

相交于點O.若△AOB的周長比△BOC

的周長長8，求這個平行四邊形各邊的長.知2－講解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC.∵AB+BC+CD+DA=60，OA+AB+OB-(OB+BC+OC)=8，∴AB+BC=30，AB-BC=8.∴AB=CD=19，BC=AD=11.即這個平行四邊形各邊的長分別為19、11、19、11.知2－講解題秘方：緊扣平行四邊形對角線、邊的性質(zhì)進行解答.知2－講規(guī)律點撥：由“平行四邊形的對角線互相平分”可以得出“平行四邊形被它的兩條對角線分成四個小三角形，相鄰兩個小三角形的周長之差等于平行四邊形中對應的兩鄰邊之差”.知2－講例5如圖9.3-6，在ABCD

中，對角線AC、BD相交于點O，過點O

作直線EF，分別交AD、BC

于點E、F.判斷四邊形ABFE的面積與四邊形FCDE

的面積有何關系？試說明理由.知2－講解：S四邊形ABFE=S四邊形FCDE.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC.∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4，∴△

AOE≌△COF.∴S△AOE=S△COF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=DA，∠ABC=∠CDA.∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC=S△CDA.∵S四邊形ABFE=S△ABC-S△COF+S△AOE=S△ABC，S四邊形FCDE=S△CDA-S△AOE+S△COF=S△CDA，∴S四邊形ABFE=S四邊形FCDE.知2－講解題秘方：緊扣平行四邊形的對角線性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)進行解答.知2－講特別提醒：這是平行四邊形對角線的兩個拓展性質(zhì)，即1.平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成兩個面積相等的三角形.2.過平行四邊形的兩條對角線交點的一條直線將平行四邊形分成兩個面積相等的梯形.本例的實質(zhì)是對知識點中的兩條拓展性質(zhì)的部分結論的證明.知3－講知識點平行四邊形的判定31.判定方法判定平行四邊形可以從對邊和對角線兩個方面進行，如圖9.3-7，在ABCD中，AC、BD

相交于點O.具體判定方法如下表所示.知3－講特別提醒：平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是互逆定理，解題時要注意區(qū)別，不能混淆.1.由平行四邊形這一條件得到邊、角、對角線的關系是性質(zhì).2.由邊、對角線的關系得到平行四邊形是判定.知3－講條件類型文字語言(判定方法)符號語言對邊關系兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義法)∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD

是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AD=BC，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵ADBC(或AB

CD)，∴四邊形ABCD是平行四邊形對角線關系對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形知3－講2.靈活選擇平行四邊形判定定理的方法(1)已知一組對邊平行，可證明該組對邊相等或證明另一組對邊平行；(2)已知一組對邊相等，可證明該組對邊平行或證明另一組對邊相等；(3)已知條件與對角線有關，可證明對角線互相平分；(4)已知條件與角有關，可證明兩組對邊分別平行.知3－講3.易錯警示一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形；兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形.知3－講例6如圖9.3-8，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形.知3－講證明：∵BE∥DF，∴∠

AFD=∠CEB.∵∠ADF=∠CBE，AF=CE，∴△ADF≌△CBE.∴DF=BE.∵BE∥DF，BE=DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).知3－講解題秘方：緊扣條件“BE∥DF”需說明“BE=DF”或“DE∥BF”即可得到四邊形DEBF是平行四邊形.知3－講另解：∵BE∥DF，∴∠AFD=∠CEB.∵∠ADF=∠CBE，AF=CE，∴△ADF≌△CBE.∴∠A=∠C，AD=CB.又∵AF=CE.∴AE=CF，∴△ADE≌△CBF.∴∠AED=∠CFB.∴∠DEF=∠BFE.∴DE∥BF.又∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形.知3－講例7如圖9.3-9，分別以△

ABC的三邊為一邊，在BC

的同側作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角形ACF，連接DE、EF.求證：四邊形ADEF是平行四邊形.知3－講證明：∵△ABD、△BCE、△ACF

都為等邊三角形，∴DB=AB=AD，BE=BC，AC=AF，∠DBA=60°，∠EBC=60°.∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA.∴∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE=AC.又∵AC=AF，∴AF=DE.同理可證△ABC≌△FEC.∴AB=FE.又∵AB=AD，F(xiàn)E=AD.∴四邊形ADEF是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形).知3－講解題秘方：由等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相等，進而可以通過全等三角形證明四邊形ADEF的兩組對邊分別相等，最后根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定.知3－講解題秘方：由邊的關系判定平行四邊形的方法：1.若已知一組對邊平行，則可采用證這組對邊相等或另一組對邊平行這兩種方法判定平行四邊形.2.若已知一組對邊相等，則可采用證這組對邊平行或另一組對邊相等這兩種方法判定平行四邊形.知3－講例8[中考·徐州]已知：如圖9.3-10，在平行四邊形ABCD

中，點E、F

在AC

上，且AE=CF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.知3－講證明：如圖9.3-10，連接BD，設對角線AC、BD

交于點O.∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.∴四邊形BEDF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形).知3－講解題秘方：由于條件都與四邊形的對角線相關，因此需緊扣對角線關系判定平行四邊形.知3－講解法提醒：當條件都與四邊形的對角線相關時，應從對角線的角度考慮，利用對角線的關系判定平行四邊形，一般結合平行四邊形的性質(zhì)，利用已知平行四邊形得到要證明的四邊形對角線的關系，從而判定該四邊形是平行四邊形.知4－講知識點反證法41.定義在證明時，不是從已知條件出發(fā)直接證明命題的結論成立，而是先提出與結論相反的假設，然后由這個“假設”出發(fā)推導出矛盾的結果