計(jì)算題專項(xiàng)練(三)

計(jì)算題專項(xiàng)練（三）（限時(shí)：35分鐘）1．神舟十三號航天員從天和核心艙氣閘艙出艙時(shí)身著我國新一代“飛天”艙外航天服。航天服內(nèi)密封了一定質(zhì)量的理想氣體，體積約為V1＝2L，壓強(qiáng)p1＝1.0×105Pa，溫度t1＝27℃。(1)打開艙門前，航天員需將航天服內(nèi)氣壓降低到p2＝4.4×104Pa，此時(shí)密閉氣體溫度變?yōu)閠2＝－9℃，則航天服內(nèi)氣體體積V2變?yōu)槎嗌伲?2)為便于艙外活動，航天員出艙前還需要把航天服內(nèi)的一部分氣體緩慢放出，使氣壓降到p3＝3.0×104Pa。假設(shè)釋放氣體過程中溫度保持為t3＝－9℃不變，體積變?yōu)閂3＝2.2L，那么航天服放出的氣體與原來氣體的質(zhì)量百分比為多少？答案(1)4L(2)67%解析(1)初態(tài)體積約為V1＝2L，壓強(qiáng)p1＝1.0×105Pa，溫度T1＝300K。末態(tài)p2＝4.4×104Pa，溫度T2＝264K，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程eq\f(p1V1,T1)＝eq\f(p2V2,T2)解得V2＝4L。(2)氣體緩慢放出的過程中氣體的溫度不變，設(shè)需要放出的氣體體積為ΔVp1V1＝p3(V3＋ΔV)航天服放出的氣體與原來氣體的質(zhì)量比η＝eq\f(ΔV,V3＋ΔV)＝67%。2．如圖1為某室內(nèi)模擬滑雪機(jī)，機(jī)器的前后兩個(gè)傳動軸由電動機(jī)提供動力并帶動雪毯持續(xù)向上運(yùn)動，使滑雪者獲得真實(shí)的滑雪體驗(yàn)。已知坡道長L＝8m，傾角為θ＝37°，雪毯以速度v0＝8m/s向上做勻速直線運(yùn)動，一質(zhì)量m＝60kg(含裝備)的滑雪者從坡道頂端由靜止滑下，滑雪者未做任何助力動作，滑雪板與雪毯間的動摩擦因數(shù)μ＝0.25，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。不計(jì)空氣阻力，在滑雪者滑到坡道底端的過程中，求：圖1(1)滑雪者所受合力的沖量I；(2)與空載相比電動機(jī)多消耗的電能E。答案(1)480N·s(2)1920J解析(1)在滑雪者滑到坡道底端的過程中mgsinθ－μmgcosθ＝ma解得a＝4m/s2到達(dá)底端速度v2＝2aL滑雪者所受合力的沖量I＝mv－0聯(lián)立解得I＝480N·s。(2)滑雪者滑行時(shí)間t＝eq\f(v,a)＝2s與空載相比電動機(jī)多消耗的電能等于克服摩擦力做功E＝μmgv0tcosθ＝1920J。3．現(xiàn)將等寬雙線在水平面內(nèi)繞制成如圖2甲所示軌道，兩段半圓形軌道半徑均為R＝eq\r(3)m，兩段直軌道AB、A′B′長度均為l＝1.35m。在軌道上放置一個(gè)質(zhì)量m＝0.1kg的小圓柱體，如圖乙所示，圓柱體與軌道兩側(cè)相切處和圓柱截面圓心O連線的夾角θ為120°，如圖丙所示。兩軌道與小圓柱體的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，小圓柱尺寸和軌道間距相對軌道長度可忽略不計(jì)。初始時(shí)小圓柱位于A點(diǎn)處，現(xiàn)使之獲得沿直軌道AB方向的初速度v0。求：圖2(1)小圓柱沿AB運(yùn)動時(shí)，內(nèi)外軌道對小圓柱的摩擦力Ff1、Ff2的大小；(2)當(dāng)v0＝6m/s，小圓柱剛經(jīng)B點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道時(shí)，外軌和內(nèi)軌對小圓柱的壓力FN1、FN2、的大小；(3)為了讓小圓柱不脫離內(nèi)側(cè)軌道，v0的最大值，以及在v0取最大值情形下小圓柱最終滑過的路程s。答案(1)0.5N0.5N(2)1.3N0.7N(3)eq\r(57)m/s2.85m解析(1)圓柱體與軌道兩側(cè)相切處和圓柱截面圓心O連線的夾角θ為120°，根據(jù)對稱性可知，兩側(cè)彈力大小均與重力相等為1N，內(nèi)外軌道對小圓柱的摩擦力Ff1＝Ff2＝μFN＝0.5N。(2)當(dāng)v0＝6m/s，小圓柱剛經(jīng)B點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道時(shí)－(Ff1＋Ff2)l＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)在B點(diǎn)FN1sin60°－FN2sin60°＝meq\f(v2,R)FN1cos60°＋FN2cos60°＝mg解得FN1＝1.3N，F(xiàn)N2＝0.7N。(3)為了讓小圓柱不脫離內(nèi)側(cè)軌道，v0最大時(shí)，在B點(diǎn)FN1′sin60°＝meq\f(veq\o\al(2,m),R)FN1′cos60°＝mg且－(Ff1＋Ff2)l＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0m)解得v0的最大值為eq\r(57)m/s，在圓弧上受摩擦力仍為Ff＝Ff1＋Ff2＝μ(FN1＋FN2)＝μeq\f(mg,cos60°)＝1N所以Ffs＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0m)解得s＝2.85m。4．如圖3所示，圓心為O的同心圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面的磁場，其中R1＝3R0，R2＝2R0。圓形邊界間環(huán)形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1。一個(gè)電荷量為－q，質(zhì)量為m的粒子由靜止經(jīng)電場加速后以速度v指向O點(diǎn)入射。圖3(1)求加速電場的電壓U與速度v的關(guān)系式；(2)若粒子要能進(jìn)入半徑為R2的圓形區(qū)域，求速度v的最小值vmin。(3)若粒子速度大于第(2)問中的vmin，為使其擊中O點(diǎn)，求半徑為R2的圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2。答案(1)U＝eq\f(m,2q)v2(2)eq\f(5qB1R0,4m)(3)eq\f(5,4)B1解析(1)根據(jù)動能定理可得qU＝eq\f(1,2)mv2解得U＝eq\f(m,2q)v2。(2)設(shè)臨界情況下粒子圓周運(yùn)動的半徑為rmin，如圖由幾何關(guān)系得(rmin＋R2)2＝req\o\al(2,min)＋Req\o\al(2,1)整理得rmin＝eq\f(Req\o\al(2,2)－Req\o\al(2,1),2R2)因?yàn)閝vminB＝meq\f(veq\o\al(2,min),rmin)解得vmin＝eq\f(5qB1R0,4m)。(3)由題意，v>vmin時(shí)，設(shè)粒子在磁場B1中軌跡圓圓心為O1，半徑為r1；在磁場B2中軌跡圓圓心為O2，半徑為r2，軌跡圓與半徑為R2的磁場邊界圓相交于M點(diǎn)，設(shè)∠O2MO＝∠MOO2＝θ則在△O2MO中，MO＝2r2cosθ在△O1MO中(OO1)2＝req\o\al(2,1)＋(MO)2＋2r1MOcosθ在直角△O1AO中(OO1)2＝req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,1)其中MO＝R2聯(lián)立解得req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,1)＝req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,2)＋2r1R2e