桿件的內(nèi)力、強度、剛度及穩(wěn)定性-應(yīng)力狀態(tài)與強度理論（建筑力學(xué)）

平面應(yīng)力狀態(tài)分析12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、斜截面上的應(yīng)力二向應(yīng)力狀態(tài)的一般情況是一對橫截面和一對縱向截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力，如左圖所示，從桿件中取出的單元體，可以用如右圖b所示的簡圖來表示。假定在一對豎向平面上的正應(yīng)力σx

、剪應(yīng)力τx

和在一對水平平面上的正應(yīng)力σy

、剪應(yīng)力τy的大小和方向都已經(jīng)求出，現(xiàn)在要求在這個單元體的任一斜截面ef上的應(yīng)力的大小和方向。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析在習(xí)慣上常用

表示斜截面ef的外法線n與x軸間的夾角,所以這個斜截面簡稱為“

截面”,并且用

和

表示作用在這個截面上的應(yīng)力。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析對應(yīng)力正應(yīng)力σ、剪應(yīng)力τ和斜截面角度

的正負(fù)號，作如下規(guī)定：1）正應(yīng)力σ以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。2）剪應(yīng)力τ以相對于單元體內(nèi)的任一點順時針轉(zhuǎn)向時為正，逆時針轉(zhuǎn)向時為負(fù)（這種規(guī)定與中對剪力所作的規(guī)定是一致的）。3）角度

以從x軸出發(fā)，按捷徑轉(zhuǎn)到截面的外法線n時，以逆時針轉(zhuǎn)時為正，順時針轉(zhuǎn)時為負(fù)，

的大小為－90°＜

≤90°。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析當(dāng)桿件處于靜力平衡狀態(tài)時，從其中截取出來的任一單元體也必然處于靜力平衡狀態(tài)，因此，仍然可以用截面法來計算單元體任一斜截面ef上的應(yīng)力。取bef為隔離體如圖所示。對于斜截面ef上的所求未知應(yīng)力

和

，可以先假定它們都是正值。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析隔離體bef的平面圖及其上的應(yīng)力作用情況如圖。設(shè)斜截面

ef

的面積為dA

，則截面eb的面積是dAcos

，截面bf的面積是dAsin

，隔離體bef的受力情況如圖所示12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析取n軸和t軸如圖所示，則可以列出隔離體的靜力平衡方程如下：由∑Fn=0，得：由∑Ft=0，得：根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，τx=τy12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析再代入以下的三角函數(shù)關(guān)系：于是可得到式（12－1）和（12－2）就是對處于二向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體，在已知σx

、σy、和τx時計算斜截面上的正應(yīng)力

和剪應(yīng)力

的解析法公式。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12-2一平面應(yīng)力狀態(tài)如例圖所示，試求其外法線與x軸成30°

角斜截面上的應(yīng)力。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析解：根據(jù)正應(yīng)力、剪應(yīng)力和

角的正負(fù)規(guī)定，有σx

=10MPa，τx

=－20MPa，σy=－20MPa，

=30°

，將各數(shù)據(jù)代入公式(12－1)和（12－2）得：結(jié)果為正，表示實際應(yīng)力的方向與圖中假設(shè)方向一致，如圖所示。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12-3

試計算如圖所示的矩形截面簡支梁在截面m－m上點K處

=－30°斜截面上的應(yīng)力的大小和方向。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析解：（1）計算截面m-m上的內(nèi)力。作內(nèi)力圖如圖，截面m－m上的內(nèi)力為：FS=10kN

M=3kN·m12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析（2）計算截面m－m上點K處的正應(yīng)力

x

,

y和剪應(yīng)力

x

,

y

根據(jù)梁受純彎曲時縱向各層纖維之間互不擠壓的假定，可以判定

y

=0，剪應(yīng)力x

,

y

的計算如下：

y

=－

x

=－1.1MPa12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析在點K處取出單元體，并且將

x

,

y

,

x

,

y

、的值表示在單元體上，如圖所示。（3）計算點K處

=－30°的斜截面上的應(yīng)力。將上面已求出的

x

,

y

,

x

,

y的代數(shù)值和

=－30°代入公式（12－1）和（12－2）得12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析將求得的

,

和

表示在單元體上，如圖所示。將圖所表示的單元體上的應(yīng)力情況反映到梁AB上，則得如圖所示。仔細(xì)觀察圖和圖的對應(yīng)關(guān)系，可以加深我們對應(yīng)力狀態(tài)概念的理解。附注：關(guān)于應(yīng)力圓通過對二向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析，可以求得

斜截面的應(yīng)力

,

和

分別為：如果將第一式右面第一項移至左邊，再將兩式各自平方后相加，可得附注：關(guān)于應(yīng)力圓該式表示一個圓，如圖所示。附注：關(guān)于應(yīng)力圓應(yīng)力圓上的D1點和D2點表示單元體上的相互垂直的x截面何y截面的應(yīng)力。它是單元體相應(yīng)兩個面之間夾角的兩倍，與計算公式中的2α對應(yīng)。若要求α斜截面的應(yīng)力，只需要從代表x截面上的應(yīng)力點D1所對應(yīng)的半徑CD1，按照方位角α的兩倍轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動角2α，得到半徑CE

，則圓周上E點的坐標(biāo)即代表了單元體α斜截面的應(yīng)力（

和

）。附注：關(guān)于應(yīng)力圓可以證明，圓周上E點的坐標(biāo)為：即代表了單元體α斜截面的應(yīng)力（

和

）。所以，可以用應(yīng)力圓，近視地求α斜截面的應(yīng)力附注：關(guān)于應(yīng)力圓而應(yīng)力圓上的點A1點和A2點，表示單元體上的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力，其值分別為：（圓心坐標(biāo)加減半徑）后面將繼續(xù)推導(dǎo)。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析二、主應(yīng)力的計算和主平面確定根據(jù)上面導(dǎo)出的斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力的計算公式，還可確定這些應(yīng)力的最大值和最小值，即計算單元體的主應(yīng)力，確定主平面。將公式（12—1）對

取導(dǎo)數(shù)，可得：令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得

達(dá)到極值時的

值，以

0表示，即有化簡，得12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析或有由此可求出

0的相差90o的兩個解，也就是說有相互垂直的兩個面，其中一個面上作用的正應(yīng)力是極大值，用

max表示，稱為最大正應(yīng)力；另一個面上作用的正應(yīng)力是極小值，用

min表示，稱為最小正應(yīng)力。它們的值分別為

12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析若將

0代入式（11－2），則

0為零。也就是說，在正應(yīng)力為最大或最小所在的平面，即為主平面。因此，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。從式（12－5）還不難得到：

max

+

min=

x

+

y上式表明，單元體兩個相互垂直的截面上的正應(yīng)力之和為一定值。式（12－6）常用來校驗主應(yīng)力計算的是否正確。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析在單元體一對豎向平面上的正應(yīng)力σx

、剪應(yīng)力τx

和一對水平平面上的正應(yīng)力σy

、剪應(yīng)力τy確定后,其主平面

0可分為以下四種情況：（1）σx

＞σy

，τx＞0,－45°＜

0＜0°（2）σx

＞σy

，τx＜0,0°＜

0＜45°（3）σx

＜σy

，τx＞0,－90°＜

0＜－45°（4）σx

＜σy

，τx＜0,45°＜

0＜90°12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析可以證明，由單元體上τx（或τy）所在平面，順τx（或τy）方向轉(zhuǎn)動一個銳角而得到的那個主平面上的主應(yīng)力為

max；逆τx（或τy）方向轉(zhuǎn)動一個銳角而得到的那個主平面上的主應(yīng)力為

min。簡述為：順τ轉(zhuǎn)

最大，逆τ轉(zhuǎn)

最小。這個法則稱為τ判別法。在確定了兩個主平面和主應(yīng)力后，利用這個法則可以解決主應(yīng)力與主平面之間的對應(yīng)關(guān)系。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析三、最大剪應(yīng)力與最大剪應(yīng)力平面將公式（12－2）對

取導(dǎo)數(shù)，可得：令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得

達(dá)到極值時的

值，以

0/表示，即有化簡，得

12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析由此也可求出

0/的相差90o的兩個根，也就是說有相互垂直的兩個面，其中一個面上作用的剪應(yīng)力是極大值，用τmax表示，稱為最大剪應(yīng)力，另一個面上的是極小值，用τmin表示，稱為最小剪應(yīng)力。它們的值分別為：比較(12—3)和(12—7)，可得因此，2

0和2

0/相差90o，

0和

0/相差45o，即最大正應(yīng)力的作用面和最大剪應(yīng)力作用面的夾角為45o。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析從公式(12—5)還可得到

即最大剪應(yīng)力等于兩個主應(yīng)力之差的一半。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例12-4如圖a所示矩形簡支梁，已知其橫截面m-m上點B(圖b)的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

σ=﹣60MPa,τ=40MPa。求點B的主應(yīng)力和和主平面，并討論同一截面上其他點處的主應(yīng)力和主平面。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析解：畫出B點處單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，單元體各個面上的應(yīng)力為：

σx=－60MPa，σy

=0，τx=40MPa

由式（12-5），得故B點處的主應(yīng)力為

σ1=20MPa，

σ2=0，

σ3=－80MPa12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析由式（12－4），得由于σx

＜σy,

τx＞0,所以－90°＜

0＜－45°故主平面位置為：2α0=53.2°－180°，α0=26.6°－90°=－63.4°

α0′=α0+90°=－63.4°+90°=26.6°第三對主平面與紙面平行。主平面、主應(yīng)力以及兩者之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，其中最大正應(yīng)力（主應(yīng)力）σ1的方向為從x軸正向按照順時針轉(zhuǎn)63.4°得到。12.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析根據(jù)橫截面m-m上其他點處的應(yīng)力狀態(tài)，可以用同樣的方法求出這些點處的主應(yīng)力和主平面，如圖所示。12.3強度理論與強度條件12.3強度理論與強度條件12.3強度理論與強度條件一、強度理論的概念在前面各章,通過分析和計算構(gòu)件在受到軸向拉伸或壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲等四種基本變形,得到構(gòu)件橫截面上的最大正應(yīng)力σmax和最大剪應(yīng)力τmax，并在此基礎(chǔ)上分別建立這方面的強度條件：σmax≤[σ]

τmax≤[τ]式中的許用應(yīng)力[σ]和[τ]分別等于由單向拉伸（壓縮）和純剪切實驗確定的極限應(yīng)力σ0、τ0除以安全系數(shù)k得到。12.3強度理論與強度條件實驗證明，上述直接根據(jù)實驗結(jié)果建立的正應(yīng)力強度條件，對于單向應(yīng)力狀態(tài)（如左圖）是合適的；建立的剪應(yīng)力強度條件對于純剪切應(yīng)力狀態(tài)（如右圖）也是適用的。

12.3強度理論與強度條件然而,在實際構(gòu)件中,會經(jīng)常遇到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的情況。如圖左所示梁內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài),有的構(gòu)件內(nèi)還會出現(xiàn)如右圖所示的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。這些應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力的計算已經(jīng)介紹。問題是對于這樣的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)該怎樣建立強度條件。顯然,不能完全以上述分別建立的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件為依據(jù),因為單元體的強度與各個面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力有關(guān)的,必須根據(jù)不同情況區(qū)別對待。12.3強度理論與強度條件要想直接通過試驗確定材料在各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的極限應(yīng)力，是很困難的。因為各主應(yīng)力的相互比值有多種，不可能對每一種比值一一通過試驗測定其極限應(yīng)力。盡管應(yīng)力狀態(tài)有各種各樣，但構(gòu)件破壞的形式卻是有規(guī)律的。研究表明，構(gòu)件破壞的形式可以分為兩類：一類是有明顯塑性變形的屈服或剪斷；另一類是沒有明顯塑性變形的“脆性斷裂”。于是，人們進(jìn)一步認(rèn)識到，同一類破壞形式可能存在著導(dǎo)致破壞的共同因素。如果找出引起破壞的主要的共同因素，就可以由引起破壞的同一因素用單向應(yīng)力狀態(tài)的實驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強度條件。12.3強度理論與強度條件對于兩類破壞形式，起決定性破壞因素是什么呢？長期以來人們對兩類破壞的主要因素提出了各種假說，并根據(jù)這些假說建立了強度條件。這些關(guān)于引起材料破壞的決定性因素的假說，稱為強度理論。二、常用的四種強度理論材料的破壞現(xiàn)象有兩類，一類為斷裂破壞，一類為剪斷破壞。引起斷裂破壞的主要因素有最大拉應(yīng)力和伸長線應(yīng)變，因此建立了兩個解釋斷裂破壞的強度理論。引起剪斷破壞的主要因素有最大剪應(yīng)力和形狀改變比能,這又建立了兩個解釋剪斷破壞的強度理論。下面分別介紹這四種強度理論。12.3強度理論與強度條件1．第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）這個理論是假設(shè)最大拉應(yīng)力是使材料到達(dá)極限狀態(tài)的決定性因素，也就是說，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下三個主應(yīng)力中最大拉應(yīng)力σ1達(dá)到單向拉伸試驗時的極限應(yīng)力σjx時，則材料產(chǎn)生脆性斷裂破壞。根據(jù)這個理論寫出危險條件是

σ1=σjx將上式右邊的極限應(yīng)力除以安全系數(shù)，則得到按第一強度理論所建立的強度條件為

σ1≤[σ](12—11)式中，σ1為構(gòu)件在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大拉應(yīng)力；[σ]為材料在單向拉伸時的許用應(yīng)力。12.3強度理論與強度條件實踐證明，第一強度理論與脆性材料在受拉斷裂破壞的試驗結(jié)果基本一致，而對于塑性材料的試驗結(jié)果并不相符。所以這一理論主要適用于脆性材料。第一強度理論的不足：但這一理論沒有考慮其它兩個主應(yīng)力對材料斷裂破壞的影響，而且對于有壓應(yīng)力沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)也無法應(yīng)用。12.3強度理論與強度條件2．第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）這個理論假設(shè)最大伸長線應(yīng)變是使材料到達(dá)危險狀態(tài)的決定因素，也就是說：當(dāng)單元體三個方向的線應(yīng)變中最大的伸長線應(yīng)變ε1

達(dá)到了在單向拉伸試驗中的極限值εjx

時，則材料就會發(fā)生脆性斷裂破壞。根據(jù)這個理論寫出的危險條件是

ε1=εjx

如果材料直到發(fā)生脆性斷裂破壞時都在線彈性范圍內(nèi)工作，則可運用單向拉伸或壓縮下的虎克定律以及復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律，將上式所表示的危險條件可改寫為12.3強度理論與強度條件

即：將上式右邊的σjx除以安全系數(shù)后，則得到按第二強度理論建立的強度條件

式中σr2稱為折算應(yīng)力。

12.3強度理論與強度條件【討論】從上述的危險條件可以看出，第二強度理論比第一強度理論優(yōu)越的地方，首先在于它考慮到材料到達(dá)危險狀態(tài)是三個主應(yīng)力σ1

、σ2

、σ3

綜合影響的結(jié)果，許多脆性材料的試驗結(jié)果也符合這個理論，因此，它曾在較長的時間內(nèi)得到廣泛的采用，但是，這個理論也有一定的局限性和缺點。例如，對第一理論所不能解釋的三向均勻受壓材料不易破壞的現(xiàn)象，第二理論同樣不能說明。又如，材料在二向拉伸時的危險條件是而材料在單向拉伸時的危險條件是將二者進(jìn)行比較，似乎二向拉伸反而比單向拉伸還要安全，這和實驗結(jié)果并不完全符合。12.3強度理論與強度條件3．第三強度理論（最大剪應(yīng)力理論）第三強度理論假設(shè)最大剪應(yīng)力是使材料達(dá)到危險狀態(tài)的決定性因素，也就是說，對于處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的材料，當(dāng)它的最大剪應(yīng)力τmax達(dá)到了材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下開始破壞時的剪應(yīng)力τjx

時，材料就會發(fā)生屈服破壞。根據(jù)這個理論建立的危險條件是：

τmax=τjx由材料的力學(xué)性質(zhì)可知：12.3強度理論與強度條件前面已經(jīng)推導(dǎo)，所以上式（τmax=τjx）又可寫成：或：式中，σr3為按照第三強度理論計算得到的折算應(yīng)力。因此，按照第三強度理論所建立的強度條件應(yīng)該是

σr3=σ1–σ3≤[σ]

(12—13)12.3強度理論與強度條件第三強度理論所建立的強度條件

σr3=σ1–σ3≤[σ]

(12—13)這個強度理論曾被許多塑性材料的試驗所證實，并且稍稍偏于安全，加上這個理論提供的計算式比較簡單，因此它在工程設(shè)計中曾得到廣泛的采用。但是，不少事實表明，這個理論仍舊有許多缺點。例如，按照這個理論，材料受三向均勻拉伸時也應(yīng)該不易破壞，但這點并沒有由試驗所證明，同時也是很難想象的。12.3強度理論與強度條件4．形狀改變比能理論（第四強度理論）構(gòu)件在外力作用下發(fā)生變形的同時,其內(nèi)部也積儲能量,稱為變形能。例如用手?jǐn)Q緊鐘表的發(fā)條,發(fā)條在變形的同時積儲了能量,帶動指針轉(zhuǎn)動。比能可分為兩部分,與體積的改變對應(yīng)的比能即體積改變比能,與形狀的改變對應(yīng)的比能即形狀改變比能。所謂形狀改變比能是材料在受力變形過程中單位體積內(nèi)所儲存的一種由變形而產(chǎn)生的能量。形狀改變比能理論認(rèn)為，形狀改變比能是引起材料流動破壞的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要構(gòu)件內(nèi)危險點處的形狀改變比能達(dá)到材料在單向拉伸時發(fā)生塑性屈服即材料流動破壞的極限形狀改變比能，材料就會發(fā)生塑性屈服破壞。12.3強度理論與強度條件可以證明（略），根據(jù)第四強度理論（形狀改變比能理論）建立的強度條件為形狀改變比能理論與許多塑性材料的試驗結(jié)果相吻合。由于這一強度理論比最大剪應(yīng)力理論更符合實際，而且按此強度理論所設(shè)計的構(gòu)件尺寸要比按最大剪應(yīng)力理論所設(shè)計的小，因此在工程中被廣泛的采用。12.3強度理論與強度條件三、強度理論的選擇及應(yīng)用通過以上的討論知道，材料的破壞具有兩類不同的形式，一類是脆性的斷裂破壞；一類是塑性的剪切破壞。在一般情況下，脆性材料的破壞多表現(xiàn)為斷裂破壞，因此，可采用最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)；塑性材料的破壞多表現(xiàn)為塑性的剪斷或屈服，因此，可采用最大剪應(yīng)力理論(第三強度理論)或形狀改變比能理論(第四強度理論)。12.3強度理論與強度條件必須指出，材料破壞的形式雖然主要取決于材料的性質(zhì)(塑性材料還是脆性材料)，但這并不是絕對的。材料的破壞形式還與材料所處的條件和應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。例如，脆性材料處于單向壓縮或三向壓縮狀態(tài)時，材料會出現(xiàn)剪切破壞，塑性材料處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)時會出現(xiàn)斷裂破壞。將以上四個強度理論的強度條件統(tǒng)一寫成下面的表達(dá)形式

σr≤[σ]

(12－15)式中：σr——折算應(yīng)力，它是主應(yīng)力的某種組合；[σ]——材料的許用應(yīng)力。12.3強度理論與強度條件四個強度理論的折算應(yīng)力分別為以上各強度理論在運用于實際時，一定要注意它們的適用范圍。一般來講，像鑄鐵、石料、混凝土、玻璃和陶瓷等脆性材料通常產(chǎn)生脆性斷裂破壞，宜采用第一和第二強度理論；像碳鋼、鉛、銅等塑性材料通常產(chǎn)生塑性屈服破壞，宜采用第三和第四強度理論。12.3強度理論與強度條件工程上最重要的梁，梁內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)通常為如下圖所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，梁的主應(yīng)力可按下式計算：將這三個主應(yīng)力分別代入第三強度理論和第四強度理論的強度條件中，得到12.3強度理論與強度條件由第三強度理論和第四強度理論得到的計算梁的強度條件式中σr3與σr4分別為梁按照第三強度理論與第四強度理論計算得到的折算應(yīng)力。以后對梁進(jìn)行強度校核時，可以直接利用以上兩個強度條件表達(dá)式。12.3強度理論與強度條件例12-5某構(gòu)件用鑄鐵制成，其危險點處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

x=20MPa，

x=20MPa，材料的許用拉應(yīng)力為[

]=35MPa。試校核此構(gòu)件的強度。解：（1）計算主應(yīng)力(2)用第一強度理論校核

σr1=σ1=32.4MPa<[σ]=35MPa該鑄鐵構(gòu)件是安全的。12.3強度理論與強度條件例12-6某焊接工字形截面鋼梁如圖所示,已知梁的許用應(yīng)力[σ]=150MPa，[τ]=100MPa,試對梁進(jìn)行全面的強度校核。12.3強度理論與強度條件解：（1）確定危險截面。繪出梁的剪力圖和彎曲圖，如圖所示。由圖可見，最大剪力和最大彎矩發(fā)生在C左側(cè)或D右側(cè)截面上，其值為MC=MD=Mmax=80kN.m該兩截面為危險截面。12.3強度理論與強度條件（2）確定危險點。繪出危險截面上正應(yīng)力和剪應(yīng)力的分布圖，如圖所示。最大正應(yīng)力發(fā)生在上、下邊緣處，例如a點或e點，該點處于單向應(yīng)力狀態(tài)。最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，例如c點，該點處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在腹板與翼緣的交界點，例如d點或b點處的正應(yīng)力和剪應(yīng)力都比較大，該點處于平面應(yīng)力狀態(tài)。上述各點都是危險點，應(yīng)分別對它們進(jìn)行強度計算。12.3強度理論與強度條件危險截面上正應(yīng)力和剪應(yīng)力的分布圖12.3強度理論與強度條件（3）校核正應(yīng)力強度和剪應(yīng)力強度。相關(guān)的截面幾何參數(shù)為梁內(nèi)最大正應(yīng)力為可見梁的正應(yīng)力強度足夠。12.3強度理論與強度條件梁內(nèi)最大剪應(yīng)力為可見梁的剪應(yīng)力強度也足夠。（4）校核腹板與翼板交界點d處的主應(yīng)力強度。d處的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為12.3強度理論與強度條件在d點處取出的單元體如圖所示。利用式(12－16)和式(12－17)得因此，按照第三強度理論與第四強度理論計算，交界點d處都不滿足強度要求。由此可見，梁的破壞將發(fā)生在腹板與翼緣交界處d點，該處正應(yīng)力和剪應(yīng)力都較大。12.3強度理論與強度條件應(yīng)該指出，對于符合國家標(biāo)準(zhǔn)的型鋼(工字鋼、槽鋼)，由于其腹板與翼緣交界處不僅有圓弧，而且翼緣的內(nèi)側(cè)還有l(wèi):6的斜度，因而增加了交界處的截面寬度，這就保證了在截面上、下邊緣處的正應(yīng)力和中性軸處的剪應(yīng)力都不超過許用應(yīng)力的情況下，腹板與翼緣交界處附近各點一般不會發(fā)生強度不夠的問題。但是對于自行設(shè)計焊接而成的薄腹截面梁，則必須按本例題中的方法對其腹板與翼緣交界處的點進(jìn)行主應(yīng)力強度校核。12.3強度理論與強度條件由本例可知，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下桿件的強度計算一般可按以下幾個步驟進(jìn)行：1)繪制內(nèi)力圖，確定危險截面。2)考慮危險截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，確定危險點及其應(yīng)力狀態(tài)。3)計算危險點處應(yīng)力狀態(tài)中各應(yīng)力分量。4)若危險點處于單向或純剪切應(yīng)力狀態(tài)，則分別按正應(yīng)力或剪應(yīng)力強度條件進(jìn)行強度計算；若危險點處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，則應(yīng)選擇合適的強度理論，計算相當(dāng)（折算）應(yīng)力，進(jìn)行強度計算。12.3強度理論與強度條件綜上所述，本章以前介紹的按梁的最大正應(yīng)力進(jìn)行正應(yīng)力強度計算，按最大剪應(yīng)力進(jìn)行剪應(yīng)力強度校核，都是十分重要的，而且必須首先進(jìn)行。當(dāng)梁上存在彎矩和剪力都較大的截面，而且在該截面上存在正應(yīng)力和剪應(yīng)力都較大的點時，則需用強度理論進(jìn)一步進(jìn)行強度校核。在建筑工程中，當(dāng)梁的截面為工字形、槽形等有翼緣的薄壁截面時，在腹板和翼緣的交界處的點，通常正應(yīng)力和剪應(yīng)力都較大。應(yīng)力狀態(tài)與強度理論小結(jié)1．單元體其上各個斜截面上的應(yīng)力情況，稱為該點處的應(yīng)力狀態(tài)。單元體的應(yīng)力狀態(tài)可以分為單向應(yīng)力狀態(tài)、二向應(yīng)力狀態(tài)與三向應(yīng)力狀態(tài)。2．在平面應(yīng)力狀態(tài)分析中，剪應(yīng)力為0的面稱為主平面，主平面上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力。3．關(guān)于引起材料破壞的決定性因素的假說,稱為強度理論。強度理論共有四個。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念建筑力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)與強度理論【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念；2.掌握平面應(yīng)力狀態(tài)分析；3.掌握主平面的確定與主應(yīng)力的計算；4.掌握最大剪應(yīng)力的計算；5.理解四個強度理論的破壞條件及其強度條件。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念一、一點處的應(yīng)力狀態(tài)的概念在前面各章節(jié)中,已分別介紹了四種基本變形時橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律和計算,并根據(jù)橫截面上的最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力分別建立起正強度條件與剪應(yīng)力強度條件,即：

σmax≤[σ]；

τmax≤[τ]12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念在對材料的力學(xué)性能試驗中，我們觀察到，塑性材料低碳鋼在受軸向拉伸時，其破壞是因為在45°斜截面有最大剪應(yīng)力，而造成斜截面剪切破壞；脆性材料鑄鐵在受軸向壓縮時，其破壞也是因為在45°斜截面有最大剪應(yīng)力，而造成斜截面剪切破壞；又如塑性材料低碳鋼在受扭轉(zhuǎn)時，其破壞沿橫截面平整地切斷，而脆性材料鑄鐵在受扭轉(zhuǎn)時，其破壞卻是沿45°呈螺旋狀，因為是在45°斜截面有最大拉應(yīng)力。就是說材料受在拉伸時的破壞，不一定是拉伸破壞，受壓縮時的破壞不一定是壓縮破壞，受扭轉(zhuǎn)時的破壞也不一定是扭轉(zhuǎn)破壞。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念而在工程實際問題中，許多構(gòu)件的危險點上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力，構(gòu)件的破壞不是單一因為正應(yīng)力強度不足或剪應(yīng)力強度不足而造成。這就需要進(jìn)一步研究構(gòu)件內(nèi)各點在各個方向的應(yīng)力情況，并對強度計算的理論做進(jìn)一步的討論。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念一般地講，在受力構(gòu)件內(nèi)，在通過同一點的不同方位的截面上，應(yīng)力的大小和方向是隨截面的方位不同而按一定的規(guī)律變化的。為了研究受力構(gòu)件內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)，通常是圍繞該點取出一個極其微小的正六面體，稱為單元體，其上各個斜截面上的應(yīng)力情況，稱為該點處的應(yīng)力狀態(tài)。單元體的邊長取成無窮小的量，因此可以認(rèn)為，作用在單元體的各個面上的應(yīng)力都是均勻分布的；在任意一對平行平面上的應(yīng)力是相等的，且代表著通過所研究的點并與上述平面平行的面上的應(yīng)力。因此單元體三對平行平面上的應(yīng)力就代表通過所研究的點的三個互相垂直截面上的應(yīng)力，只要知道了這三個面上的應(yīng)力，則其它任意斜截面上的應(yīng)力都可以通過計算求得，這樣，該點處的應(yīng)力狀態(tài)就完全確定了，因此，可用單元體的三個互相垂直平面上的應(yīng)力來表示一點處的應(yīng)力狀態(tài)。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念如圖a所示,在軸向拉伸的桿件內(nèi),假想圍繞K點用一對垂直于桿軸的橫截面、一對平行于桿軸的水平面和一對平行于縱向?qū)ΨQ面的平面截出單元體,在該單元體的上、下、前、后四個面上沒有應(yīng)力存在,橫截面上有正應(yīng)力σ=

F/A。受拉桿件內(nèi)的單元體b圖所示,如果畫成平面圖,則如c圖所示.12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念單元體上的平面，是構(gòu)件對應(yīng)截面上的一微小部分。在下圖的單元體中，平面①和②分別是構(gòu)件橫截面的一微小部分；單元體的其它各平面則是構(gòu)件中相應(yīng)縱向截面的一部分。單元體各平面上的應(yīng)力，就是構(gòu)件對應(yīng)截面在該點的應(yīng)力。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念又如在如圖所示的梁內(nèi)，圍繞某點A也可以取出單元體。如果取梁的左半部為隔離體，如圖，可先算出1-1截面上的彎矩M和剪力FS，再計算出A點的正應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ。若取梁的右半部為隔離體，同理也可以算出1/-1/截面上A點正應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ。由于平面1-1與1/-1/無限接近，在這一對平面上的應(yīng)力是相等的。在梁的上、下兩個水平的縱向平面上，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，也存在剪應(yīng)力τ/，其方向如圖所示。在A點的前、后兩個縱向平面上沒有應(yīng)力存在。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念如圖12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念過A點的任意斜截面2-2上的應(yīng)力，表示在如圖所示的單元體上。σα

τα其計算方法將在下一節(jié)討論。12.1一點處應(yīng)力狀態(tài)的概念例12-1

繪出如圖所示梁m-m截面上a、b、c、d、e