剛體的靜力學(xué)概念及靜力分析-力矩與平面力偶系（建筑力學(xué)）

力對點之矩、合力矩定理力矩與平面力偶系【學(xué)習(xí)目標】1.掌握力矩的概念與計算；2.理解力偶的概念及其性質(zhì)；3.掌握平面力偶系的平衡條件及其應(yīng)用；4.熟練掌握合力矩定理及其應(yīng)用。4.1力對點之矩、合力矩定理一、力對點之矩物體在力的作用下將產(chǎn)生運動效應(yīng)。運動可分解為移動和轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗可知，力使物體移動的效應(yīng)取決于力的大小和方向。那么，力使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)與哪些因素有關(guān)呢？4.1力對點之矩、合力矩定理如圖4-1所示，用扳手擰緊螺母時，在扳手上作用一力F，使扳手和螺母一起繞螺絲中心O轉(zhuǎn)動，就是力F使扳手產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)。由經(jīng)驗知，加在扳手上的力F離螺母中心O愈遠，擰緊螺母就愈省力；力F離螺母中心愈近，就愈費力。若施力方向與圖示力F的方向相反，扳手將按相反的方向轉(zhuǎn)動，就會使螺母松動。此外，如圖4-2所示，用釘錘拔釘子，以及用撬杠撬動笨重物體，等等，都有類似的情形。4.1力對點之矩、合力矩定理這些例子說明，力F使物體繞任一點O轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，如圖4-3所示，決定于：（1）力F的大小以及力F相對于點O的轉(zhuǎn)向；（2）點O到力F的作用線的垂直距離d

。4.1力對點之矩、合力矩定理在平面問題中，我們把乘積Fd加上適當?shù)恼撎?，作為力F使物體繞點O轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，并稱為力F對點O的矩，簡稱力矩，用Mo(F)或MO表示，即

MO(F)=Fd

（4-1）點O稱為矩心，力作用線到矩心的垂直距離d稱為力臂。正負號通常用來區(qū)別力使物體矩心轉(zhuǎn)動的方向，并規(guī)定：若力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動，力矩取正號，如圖4-3a所示;反之，取負號，如圖4-3b所示。4.1力對點之矩、合力矩定理由此在平面問題中可得結(jié)論如下：力對點之矩是一代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負可按下法確定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動時為正，反之為負。力矩的概念可以推廣到普遍的情形。在具體應(yīng)用時，對于矩心的選擇無任何限制，作用于物體上的力可以對平面內(nèi)任一點取矩。4.1力對點之矩、合力矩定理綜上所述，得出如下力矩性質(zhì)：（1）力F對點O的矩，不僅決定于力的大小，同時與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之而異。（2）力F對任一點的矩，不因為F的作用點沿其作用線移動而改變，因為力和力臂的大小均未改變。（3）力的大小等于零或力的作用線通過矩心，即公式（3-1）中的F=0或者d=0,則力矩等于零。（4）相互平衡的兩個力對同一點的矩的代數(shù)和等于零。在國際單位制中，力矩的單位是?！っ祝∟·m）或千?！っ祝╧N·m）。4.1力對點之矩、合力矩定理二、合力矩定理我們知道，平面匯交力系對物體的作用效果可以用它的合力FR來代替。那么，力系中各分力對平面內(nèi)某點的矩與它們的合力FR對該點的矩有什么關(guān)系呢？現(xiàn)在來研究這一問題。

4.1力對點之矩、合力矩定理設(shè)在物體上A點作用有同一平面內(nèi)的兩個匯交力F1和F2，它們的合力為FR（圖4-4）。在力的平面內(nèi)任選一點O為矩心，并垂直于OA作y軸。令Fy1、Fy2和FRy分別表示力F1、F2、FR在y軸上的投影，由圖4-4可以看出：Fy1=Ob1

；

Fy2=－Ob2

；FRy=Ob4.1力對點之矩、合力矩定理各力對O點的矩分別是Mo(F1)=Ob1·OA=

Fy1·OAMo(F2)=－Ob2·OA=Fy2·OAMo(FR)=Ob·OA=FRy·OA

將上面三式設(shè)為（a）式4.1力對點之矩、合力矩定理根據(jù)合力投影定理有

FRy

=Fy1+Fy2上式的兩邊同乘以O(shè)A得

FRy·OA=Fy1·OA+Fy2·OA

（b）將上面式（a）代入式（b）得

Mo（FR）=Mo（F1）+Mo（F2）

上式表明：匯交于一點的兩個力對平面內(nèi)某點力矩的代數(shù)和等于其合力對該點的矩。4.1力對點之矩、合力矩定理如果作用在平面內(nèi)A點有幾個匯交力，可以多次應(yīng)用上述結(jié)論而得到平面匯交力系的合力矩定理，即：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點之矩，等于力系中各分力對同一點之矩的代數(shù)和。即：Mo(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)

(4-2)合力矩定理還適用于有合力的其它力系。4.1力對點之矩、合力矩定理例4-1

力F作用在平板上的A點，已知F=100kN，板的尺寸如圖3-5所示。試計算力F對O點之矩。4.1力對點之矩、合力矩定理

解：由于力臂

OD不易計算，因此直接求力F對O點之矩比較麻煩。為計算方便，將力F分解為相互垂直的兩分力Fx、Fy，分別計算它們對O點之矩，再應(yīng)用合力矩定理，就可得到F對O點之矩。4.1力對點之矩、合力矩定理先將力F進行分解如圖，求其分力

Fx=F·cos60=100×0.5=50kN

Fy=F·sin60=100×0.866=86.6kN分力Fx

至O點的力臂是2m；分力Fy至O點的力臂是2.5m。

4.1力對點之矩、合力矩定理因此力F對O點之矩

Mo（F）=Mo（Fx）+Mo（Fy）=50×2+86.6×2.5=316kN·m4.1力對點之矩、合力矩定理例4-2匯交力系如圖4-6所示，已知F1=40N，F(xiàn)2=30N，F(xiàn)3=50N，桿長OA=0.5m。試計算力系的合力對O點的矩。4.1力對點之矩、合力矩定理解：本例求合力對O點的矩，可不必求此匯交力系的合力，可先求出各力對O點的矩，再根據(jù)合力矩定理即可求得到合力對O點的矩。4.1力對點之矩、合力矩定理Mo（F1）=F1d1=40×0.5×cos30=17.3N·mMo（F2）=－F2

d2=－30×0.5×sin30=－7.5N·mMo(F3)=F3

d3=50×0.5×sin75=24.2N·mMo(F4)=F4d4=0根據(jù)合力矩定理，有M(FR)=∑Mo(F)=（17.3－7.5+24.2）N·m=34N·m4.2力偶4.2力偶一、力偶與力偶矩在生產(chǎn)和生活實踐中，經(jīng)常見到某些物體同時受到大小相等、方向相反但不共線的兩個平行力所組成力系的作用。例如，用兩個手指擰動水龍頭，汽車司機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)向盤（圖4-7a），鉗工用絲錐攻螺紋（圖4-7b）等。在力學(xué)中，把這樣兩個大小相等、方向相反的平行力F和F/

組成的力系叫力偶。以符號（F、F/）表示，兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，兩力作用線間的垂直距離稱為力偶臂。4.2力偶實踐經(jīng)驗得知，力偶對物體的作用效果，不僅取決于組成力偶的力的大小，而且取決于兩平行力間的垂直距離d，d稱為力偶臂（圖4-8），因此，力偶的作用效應(yīng)可用力和力偶臂兩者的乘積Fd來度量。這個乘積叫力偶矩。計作M（F、F/），簡寫為M。4.2力偶由于力偶在平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向不同，作用效果也不同。因此，力偶對物體的作用效果，由以下兩個因素決定：（1）力偶矩的大小F·d；（2）力偶在作用平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。4.2力偶一般規(guī)定：使物體作逆時針轉(zhuǎn)動的力偶矩為正；使物體作順時針轉(zhuǎn)動的力偶矩為負。所以，力偶矩是代數(shù)量?？蓪憺?/p>

M=±Fd

（4-3）力偶矩的單位與力矩相同，在國際單位制中是?！っ祝∟·m）或千牛·米（kN·m）。4.2力偶二、力偶的基本性質(zhì)力偶不同于力，它有一些特殊的性質(zhì)，下面分別加以說明。1.如圖4-9所示，在力偶作用平面內(nèi)任取一直角坐標系Oxy,將力偶向某一坐標軸（如x軸）投影。由于力偶中的力F與F/的大小相等、方向相反、作用線平行，如力F的投影ab為正，則力F/的投影a/b/必定為負，且ab=a/b/，因而這兩個力在同一軸上的投影的代數(shù)和為零。由此可知：力偶在任一軸上的投影恒等于零。4.2力偶由此，得到力偶的性質(zhì)1：力偶對剛體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，沒有移動效應(yīng)，力偶既不能用一個力來代替，也不能與一個力平衡，即力偶不能與一個力等效。4.2力偶在圖4-9中，力偶（F、F/）的力偶矩M=F

d,如在力偶作用面內(nèi)任取一點A為矩心，顯然，力偶使剛體繞點A轉(zhuǎn)動的效應(yīng)就等于組成力偶的兩個力對點A的轉(zhuǎn)動效應(yīng)之和，也就是說，力偶對點A之矩應(yīng)等于兩個力F與F/分別對點A之矩的代數(shù)和。設(shè)點A到力F/的垂直距離為l，則力F與F/分別對點A之矩的代數(shù)和為

F（d+l）－Fl=Fd=M所得結(jié)果仍然是原力偶矩M。

4.2力偶可見，不論點矩心A選在何處，所得結(jié)果都不會改變，由此得到力偶的性質(zhì)2：力偶對其所在平面內(nèi)任一點之矩恒等于力偶矩，與矩心的位置無關(guān)。這表明力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)只決定于力偶矩（包括大小和轉(zhuǎn)向），而與矩心的位置無關(guān)。4.2力偶上述兩性質(zhì)告訴我們：力偶對剛體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，而轉(zhuǎn)動效應(yīng)又只決定于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。由此可得如下結(jié)論：在同一平面內(nèi)的兩個力偶，只要兩力偶的力偶矩（包括大小和轉(zhuǎn)向）相等，則此兩力偶的效應(yīng)相等。這就是平面力偶的等效條件。4.2力偶根據(jù)力偶的等效條件，又可得出如下推論：力偶可在其作用面內(nèi)任意移動，而不會改變它對剛體的效應(yīng)。如圖4-7a所示，轉(zhuǎn)方向盤上，力偶（F、F/）不論作用在什么位置，轉(zhuǎn)向盤的轉(zhuǎn)動效應(yīng)完全一樣。力偶移動后，雖然它在作用面內(nèi)的位置改變了，但力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向卻沒有改變，所以對剛體的效應(yīng)也沒有改變。所以，只要保持力偶矩的大小與轉(zhuǎn)向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不會改變它對剛體的效應(yīng)。4.2力偶如圖4-7b所示，工人利用絲錐攻螺紋時，施加在手柄上的力不論是作用在A、B處組成力偶（F1、F1/）還是作用在A/、B/處組成力偶（F2、F2/），只要兩力偶的力偶矩相等（即F1d1=F2d2），且轉(zhuǎn)向相同，對手柄的轉(zhuǎn)動效應(yīng)就完全一樣。盡管工人施加在手柄上的力的位置不同（即力偶臂由d1改變?yōu)閐2），但只要同時改變力的大小（即力由F1、F1/改變?yōu)镕2、F2/），使力偶矩保持不變，那么，力偶對手柄的轉(zhuǎn)動效應(yīng)就不會改變。4.2力偶從以上兩個推論可知，在研究與力偶有關(guān)的問題時，不必考慮力偶在平面內(nèi)的作用位置，也不必考慮力偶中力的大小和力偶臂的長度，只需考慮力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向。所以常用帶箭頭的弧線表示力偶，箭頭方向表示力偶的轉(zhuǎn)向，弧線旁的字母M或者數(shù)字表示力偶矩的大小，如圖4-10所示。4.3平面力偶系4.3平面力偶系一、平面力偶系的合成由作用在同一平面內(nèi)的若干力偶所組成的力系，稱為平面力偶系。由于力偶沒有合力，其作用效應(yīng)完全決定于力偶矩，所以平面力偶系合成的結(jié)果必然是一個力偶，并且其合力偶矩應(yīng)等于各分力偶矩的代數(shù)和。4.3平面力偶系設(shè)有在同一平面內(nèi)的三個力偶（F1、F1/）、（F2、F2/）、和（F3、F3/），力偶臂分別為d1、d2和d3（圖4-11a），則各力偶矩分別為

M1=F1

d1

M2=F2d2

M3=－F3d34.3平面力偶系在力偶作用面內(nèi)取任意線段AB=d，在保持力偶矩不改變的條件下將各力偶的臂都化為d，于是各力偶的力的大小應(yīng)改變?yōu)?.3平面力偶系然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用在點A及B的兩個共線力系（圖4-11b）。再將這兩個共線力系分別合成，則可得如圖4-11c所示的兩個力FR及FR/，其大小為FR=FP1+FP2

－FP3FR

/=FP1

/+FP2/

－FP3/4.3平面力偶系可見，力FR與FR/大小相等、方向相反、且不在同一直線上，它們構(gòu)成一力偶（FR，F(xiàn)R/

），這就是三個已知力偶的合力偶，其力偶矩為

M=FR

d=（FP1+FP2

－FP3）d=F1d1+F2d2–F3d3所以

M=M1+M2+M34.3平面力偶系若作用在同一平面內(nèi)有n個力偶，則上式可推廣為

M=M1+M2+…+Mn=∑M

（4-4）由此可知，平面力偶系的合成結(jié)果還是一個力偶，該合力偶的合力偶矩等于力偶系中各分力偶的分力偶矩的代數(shù)和。4.3平面力偶系二、平面力偶系的平衡條件

既然平面力偶系可合成為一個合力偶，當合力偶矩等于零時，力偶系中各力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)的總和為零，這時，物體處于平衡狀態(tài)；反之，若物體在平面力偶系的作用下轉(zhuǎn)動效應(yīng)為零，即物體平衡，則該力偶系的力偶矩必定為零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各分力偶的分力偶矩的代數(shù)和等于零。用計算式表示為∑M=0（4-5）上式稱為平面力偶系的平衡方程。利用平面力偶系的平衡方程，可以求解其中一個（力偶的）未知量。4.3平面力偶系例4-3

圖4-12a所示的梁AB受一力偶的作用，力偶矩M=10kN·m，梁長l=4m，α=30梁自重不計。求支座的反力。

4.3平面力偶系解：取梁AB為研究對象，梁在力偶和A、B兩處的支座反力作用下平衡。因為力偶只能用力偶來平衡，所以，A、B支座處的兩個反力必定要組成一個力偶。B支座是可動鉸支座，其支座反力FRB必垂直于支承面，所以，A支座的反力FRA一定與FRB等值、反向、平行，F(xiàn)RA與FRB構(gòu)成一個力偶。圖4-12b為梁AB的受力圖。4.3平面力偶系由力偶系的平衡方程（3-5）式得∑M=0－M+FRB·l·cosα=0FRB=M／（l·cosα）=10／（4×0.866）=2.9kN且有FRA=FRB=2.9kN反力的實際指向與假設(shè)指向相同，如圖4-12b所示。4.3平面力偶系例4-4

不計重量的水平桿AB，受到固定鉸支座A和連桿DC的約束，如圖4-13a所示。在桿AB的B端有一力偶作用，力偶矩的大小為M=100N·m。求固定鉸支座A的反力FRA和連桿DC的反力FRDC。4.3平面力偶系解：以桿AB為研究對象。由于力偶必須由力偶來平衡，支座A與連桿DC的兩個反力必定組成一個力偶來與力偶（F、F/）平衡。連桿DC的反力FRDC沿桿DC的軸線，固定鉸支座A的反力FRA的作用線必定與FRDC平行、反向，即FRA=-FRDC，假設(shè)它們的指向如圖4-13b所示；它們的作用線之間的垂直距離為

AE=ACsin30=0.5×0.5=0.25m4.3平面力