力法-力法的典型方程（建筑力學(xué)）

力法以上我們以一次超靜定梁為例，說明了力法原理，下面我們討論多次超靜定的情況。如下圖(a)所示的剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)。下面以B點支座的水平和豎直方向反力X1、X2為多余未知力，確定基本結(jié)構(gòu)，如圖(b)所示。

力法的典型方程力法按上述力法原理，基本結(jié)構(gòu)在給定荷載和多余未知力X1、X2共同作用下，其內(nèi)力和變形應(yīng)等同于原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。原結(jié)構(gòu)在鉸支座B點處沿多余力X1和X2方向的位移(或稱為基本結(jié)構(gòu)上與X1和X2相應(yīng)的位移)都應(yīng)為零，即

(12-2)式12-2就是求解多余未知力X1和X2的位移變形協(xié)調(diào)條件。如下圖所示，表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力X1的作用點沿其作用方向，由于荷載單獨作用時所產(chǎn)生的位移；表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力X2的作用點沿其作用方向，由于荷載單獨作用時所產(chǎn)生的位移；表示基本結(jié)構(gòu)上Xi的作用點沿其作用方向，由于=1單獨作用時所產(chǎn)生的位移。式(12-3)就是為求解多余未知力X1和X2所需要建立的力法方程。其物理意義是：在基本結(jié)構(gòu)上，由于全部的多余未知力和已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。在本例中等于零。在計算時，我們首先要求得式(12-3)中的系數(shù)和自由項，然后代入式(12-3)，即可求出X1和X2，剩下的問題就是靜定結(jié)構(gòu)的計算問題了。根據(jù)疊加原理，式(12-2)可寫成以下形式(12-3)用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對于n次超靜定的結(jié)構(gòu)，用力法計算時，可去掉n個多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在去掉的多余聯(lián)系處代以n個多余未知力。相應(yīng)地也就有n個已知的位移件。據(jù)此可以建立n個關(guān)于多余未知力的方程：上式就是力法方程的一般形式。通常稱為力法典型方程。

（12-4）在以上的方程組中，位于從左上方至右下方的一條主對角線上的系數(shù)稱為主系數(shù)，主對角線兩側(cè)的其他系數(shù)稱為副系數(shù)，最后一項稱為自由項。所有系數(shù)和自由項都是基本結(jié)構(gòu)上與某一多余未知力相應(yīng)的位移，并規(guī)定以與所設(shè)多余未知力方向一致為正。（12-4）由于主系數(shù)代表由于單位力的作用，在其本身方向所引起的位移，它總是與該單位力的方向一致，故總是正的。而副系數(shù)則可能為正、為負(fù)或為零。根據(jù)位移互等定理，有，它表明，力法方程中位于對角線兩側(cè)對稱位置的兩個副系數(shù)是相等的。（12-4）力法方程在組成上具有一定的規(guī)律，其副系數(shù)具有互等的關(guān)系。無論是哪種n次超靜定結(jié)構(gòu)，也無論其靜定的基本結(jié)構(gòu)如何選取，只要超靜定次數(shù)是一樣的，則方程的形式和組成就完全相同。因為基本結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，所以力法方程和式(12-4)中的系數(shù)和自由項都可按靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法求得。對于梁和剛架，可按下列公式或圖乘法計算。式中，、和MP分別代表在Xi=1、Xj=1和荷載單獨作用下基本結(jié)構(gòu)中的彎矩。（12-5）從力法方程中解出多余力Xi(i=1,2,…,n)后，即可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求原結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力。或按下述疊加公式求出彎矩（12-6）再根據(jù)平衡條件即可求其剪力和軸力。例題12-1

右圖是一水電站金屬蝸殼外圍鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)示意圖。試計算其內(nèi)力，并繪制出內(nèi)力圖。其外圍鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在進(jìn)行力學(xué)計算時，計算簡圖可取如下圖所示的超靜定剛架。原結(jié)構(gòu)EI=常數(shù)解：(1)取基本結(jié)構(gòu)，確定基本未知量X1、X2，如下圖所示。

(2)建立力法典型方程。（3）計算系數(shù)和自由項。作出圖、圖和圖。取各