28.2 《解直角三角形》教案（人教新課標(biāo)九年級(jí)下）初中數(shù)學(xué)

.:PAGE:;課題28.2解直角三角形〔一〕

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．

2.通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐漸培養(yǎng)學(xué)生分析問題、處置問題的才能．

3.浸透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．重點(diǎn)：直角三角形的解法．

2．難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈敏運(yùn)用．

三、教學(xué)步驟

(一)復(fù)習(xí)引入

1．在三角形中共有幾個(gè)元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？(1)邊角之間關(guān)系假如用表示直角三角形的一個(gè)銳角，那上述式子就可以寫成.(2)三邊之間關(guān)系

a2+b2=c2(勾股定理)

(3)銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°．

以上三點(diǎn)正是解直角三角形的根據(jù)，通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生便于應(yīng)用．〔二〕教學(xué)過程

1．我們已掌握Rt△ABC的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系，利用這些關(guān)系，在曉得其中的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)后，就可求出其余的元素．這樣的導(dǎo)語(yǔ)既可以使學(xué)生大約理解解直角三角形的概念，同時(shí)又陷入考慮，為什么兩個(gè)元素中必有一條邊呢？激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．

2．老師在學(xué)生考慮后，繼續(xù)引導(dǎo)“為什么兩個(gè)元素中至少有一條邊？〞讓全體學(xué)生的思維目的一致，在作出準(zhǔn)確答復(fù)后，老師請(qǐng)學(xué)生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的兩個(gè)元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形)．

3．例題

例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個(gè)三角形．

解直角三角形的方法很多，靈敏多樣，學(xué)生完全可以本人處置，但例題具有示范作用．因而，此題在處置時(shí)，首先，應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成，培養(yǎng)其分析問題、處置問題才能，同時(shí)浸透數(shù)形結(jié)合的思想．其次，老師組織學(xué)生比擬各種方法中哪些較好，選一種板演．

解∵tanA===∴

∴

∴C=2b=例2在Rt△ABC中，∠B=35，b=20，解這個(gè)三角形．

引導(dǎo)學(xué)生考慮分析完成后，讓學(xué)生獨(dú)立完成

在學(xué)生獨(dú)立完成之后，選出最好方法，老師板書．

完成之后引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)“一邊一角，如何解直角三角形？〞

答：先求另外一角，然后選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式求另兩邊．計(jì)算時(shí)，利用所求的量如不比原始數(shù)據(jù)簡(jiǎn)便的話，最好用題中原始數(shù)據(jù)計(jì)算，這樣誤差小些，也比擬可靠，防止第一步錯(cuò)導(dǎo)致一錯(cuò)到底注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函數(shù)來計(jì)算，但計(jì)算出的值可能有些少差別，這都是正常的。

4．穩(wěn)固練習(xí)

P91說明：解直角三角形計(jì)算上比擬繁鎖，條件好的學(xué)校允許用計(jì)算器．但無論是否使用計(jì)算器，都必需寫出解直角三角形的整個(gè)過程．要求學(xué)生認(rèn)真對(duì)待這些題目，不要馬馬虎虎，努力防止出錯(cuò)，培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

(四)總結(jié)與擴(kuò)展1．請(qǐng)學(xué)生小結(jié)：在直角三角形中，除直角外還有五個(gè)元素，曉得兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，就可以求出另三個(gè)元素．2．出示圖表，請(qǐng)學(xué)生完成

abcAB1√√2√√3√b=a?cotA√4√b=a?tanB√5√√6a=b?tanA√√7a=b?cotB√√8a=c?sinAb=c?cosA√√9a=c?cosBb=c?sinB√√10不可求不可求不可求√√注：上表中“√〞表示。

四、布置作業(yè)課題28.2解直角三角形〔二〕一、教學(xué)目的1、使學(xué)生會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來處置．2、逐漸培養(yǎng)學(xué)生分析問題、處置問題的才能．3、浸透數(shù)學(xué)來源于理論又反過來作用于理論的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：要求學(xué)生擅長(zhǎng)將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識(shí)把實(shí)際問題處置．難點(diǎn)：實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型三、教學(xué)過程〔一〕復(fù)習(xí)引入1．直角三角形中除直角外五個(gè)元素之間具有什么關(guān)系？請(qǐng)學(xué)生口答．2、在中Rt△ABC中a=12,c=13求角B應(yīng)該用哪個(gè)關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算出來?！捕忱碚撎骄恳胧谷似桨驳嘏噬闲笨吭趬γ嫔系奶葑拥捻敹?梯子與地面所成的角一般要滿足，(如圖).現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)6m的梯子，問:(1)使用這個(gè)梯子最高可以平安攀上多高的墻(準(zhǔn)確到0.1m)

(2)當(dāng)梯子底端間隔墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角等于多少(準(zhǔn)確到1o)

這時(shí)人是否可以平安使用這個(gè)梯子

引導(dǎo)學(xué)生先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型然后分析提出的問題是數(shù)學(xué)模型中的什么量在這個(gè)數(shù)學(xué)模型中可用學(xué)到的什么知識(shí)來求未知量？幾分鐘后，讓一個(gè)完成較好的同學(xué)示范?！踩辰虒W(xué)互動(dòng)例32003年10月15日“神舟〞5號(hào)載人航天飛船發(fā)射勝利.當(dāng)飛船完成變軌后，就在離地球外表350km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖,當(dāng)飛船運(yùn)行到地球外表上P點(diǎn)的正上方時(shí)，從飛船上最遠(yuǎn)能直接看到的地球上的點(diǎn)在什么位置?這樣的最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的間隔是多少?(地球半徑約為6400km，結(jié)果準(zhǔn)確到0.分析:從飛船上能最遠(yuǎn)直接看到的地球上的點(diǎn)，應(yīng)是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn).如圖,⊙O表示地球，點(diǎn)F是飛船的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點(diǎn)Q是從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn).弧PQ的長(zhǎng)就是地面上P,Q兩點(diǎn)間的間隔.為計(jì)算弧PQ的長(zhǎng)需先求出(即)解:在上圖中，F(xiàn)Q是⊙O的切線，是直角三角形，弧PQ的長(zhǎng)為由此可知，當(dāng)飛船在p點(diǎn)正上方時(shí)，從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)間隔P點(diǎn)約2009.6km.〔四〕穩(wěn)固再現(xiàn)P931,P961四、布置作業(yè)P962,3課題28.2解直角三角形〔三〕一、教學(xué)目的1、使學(xué)生理解什么是仰角和俯角2、逐漸培養(yǎng)學(xué)生分析問題、處置問題的才能；浸透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法．3、穩(wěn)固用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)處置問題，學(xué)會(huì)處置觀測(cè)問題．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)處置觀測(cè)問題難點(diǎn)：學(xué)會(huì)準(zhǔn)確分析問題并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型三、教學(xué)過程〔一〕復(fù)習(xí)引入平時(shí)我們觀察物體時(shí)，我們的視線相對(duì)于程度線來說可有幾種情況？〔三種，重疊、向上和向下〕結(jié)合示意圖給出仰角和俯角的概念〔二〕教學(xué)互動(dòng)例4熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30o，看這棟離樓底部的俯角為60o，熱氣球與高樓的程度間隔為120m.這棟高樓有多高(結(jié)果準(zhǔn)確到0.1m)?分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD;類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC.解:如圖,，,答:這棟樓高約為277.1m.〔三〕穩(wěn)固再現(xiàn)1、為丈量松樹AB的高度，一個(gè)人站在距松樹15米的E處，測(cè)得仰角∠ACD=52°，人的高度是1.72米，求樹高(準(zhǔn)確到0.012、在寬為30米的街道東西兩旁各有一樓房，從東樓底望西樓頂仰角為45°，從西樓頂望東樓頂，俯角為10°，求西樓高(準(zhǔn)確到0.1米)3、上午10時(shí)，我軍駐某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上有一艘敵軍艦艇正從C處向海島駛來，當(dāng)時(shí)的俯角，經(jīng)過5分鐘后，艦艇到達(dá)D處，測(cè)得俯角。觀察所A距水面高度為80米，我軍武器射程為100米，如今必需迅速計(jì)算出艦艇何時(shí)駛?cè)胛臆娀鹆ι涑讨畠?nèi)，以便及時(shí)還擊。解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我們可以分別求出：〔米〕〔米〕〔米〕艦艇的速度為〔米/分〕。設(shè)我軍火力射程為米，如今需算出艦艇從D到E的時(shí)間〔分鐘〕我軍在12.5分鐘之后開場(chǎng)還擊，也就是10時(shí)17分30秒。4、小結(jié)：談?wù)劚竟?jié)課你的收獲是什么？四、布置作業(yè)P1017、8課題28.2解直角三角形〔四〕一、教學(xué)目的1、使學(xué)生理解方位角的命名特點(diǎn)，能準(zhǔn)確把握所指的方位角是指哪一個(gè)角2、逐漸培養(yǎng)學(xué)生分析問題、處置問題的才能；浸透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法．3、穩(wěn)固用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)處置問題，學(xué)會(huì)處置方位角問題．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)處置方位角問題難點(diǎn)：學(xué)會(huì)準(zhǔn)確分析問題并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型三、教學(xué)過程〔一〕復(fù)習(xí)引入1、叫同學(xué)們?cè)诰毩?xí)薄上畫出方向圖〔表示東南西北四個(gè)方向的〕。2、依次畫出表示東南方向、西北方向、北偏東65度、南偏東34度方向的射線〔二〕教學(xué)互動(dòng)例5如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，間隔燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處.這時(shí)，解:如圖,在中,在中,.,因而.當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東340方向時(shí)，它間隔燈塔P大約130.23海里.海輪所在的B處間隔燈塔P有多遠(yuǎn)(準(zhǔn)確到0.01海里)?〔三〕穩(wěn)固再現(xiàn)1、P9512、上午10點(diǎn)整，一漁輪在小島O的北偏東30°方向，間隔等于10海里的A處，正以每小時(shí)10海里的速度向南偏東60°方向航行．那么漁輪到達(dá)小島O的正東方向是什么時(shí)間？(準(zhǔn)確到1分)．3、如圖6-32，海島A的四周8海里內(nèi)有暗礁，魚船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得海島A位于北偏東60°，航行12海里到達(dá)點(diǎn)C處，又測(cè)得海島A位于北偏東30°，假如魚船不改變航向繼續(xù)向東航行．有沒有觸礁的危險(xiǎn)？四、布置作業(yè)P977、9課題28.2解直角三角形〔五〕一、教學(xué)目的1、穩(wěn)固用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)處置問題，學(xué)會(huì)處置坡度問題．2、逐漸培養(yǎng)學(xué)生分析問題、處置問題的才能；浸透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法．3、培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，浸透理論聯(lián)絡(luò)實(shí)際的觀點(diǎn)．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：處置有關(guān)坡度的實(shí)際問題．難點(diǎn)：理解坡度的有關(guān)術(shù)語(yǔ)．三、教學(xué)過程〔一〕復(fù)習(xí)引入1．講評(píng)作業(yè)：將作業(yè)中學(xué)生普遍呈現(xiàn)問題之處作一講評(píng)．2．創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課．例同學(xué)們，假如你是修建三峽大壩的工程師，如今有這樣一個(gè)問題請(qǐng)你處置：如圖6-33

水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)(準(zhǔn)確到0.1m)．

同學(xué)們因?yàn)槟惴Q他們?yōu)楣こ處煻湴?，滿腔熱情，但一見問題又手足失措，因?yàn)檫B題中的術(shù)語(yǔ)坡度、坡角等他們都不清楚．這時(shí)，老師應(yīng)根據(jù)學(xué)生想學(xué)的心情，及時(shí)點(diǎn)撥．〔二〕教學(xué)互動(dòng)通過前面例題的教學(xué)，學(xué)生已根本理解解實(shí)際應(yīng)用題的方法，會(huì)將實(shí)際問題籠統(tǒng)為幾何問題加以處置．但此題中提到的坡度與坡角的概念對(duì)學(xué)生來說比擬陌生，同時(shí)這兩個(gè)概念在實(shí)際消費(fèi)、生活中又有非常重要的應(yīng)用，因而本節(jié)課關(guān)鍵是使學(xué)生理解坡度與坡角的意義．坡度與坡角

結(jié)合圖6-34，老師講述坡度概念，并板書：坡面的鉛直高度h和程度寬度的比叫做坡度〔或叫做坡比〕，一般用i表示。即ｉ＝，常寫成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面與程度面的夾角α叫做坡角．

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形考慮，坡度i與坡角α之間具有什么關(guān)系？答：i＝＝tan

這一關(guān)系在實(shí)際問題中經(jīng)常用到，老師無妨設(shè)置練習(xí)，加以穩(wěn)固．

練習(xí)(1)一段坡面的坡角為60°，那么坡度i=______；

______，坡角______度．

為了加深對(duì)坡度與坡角的理解，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，老師還可以提問：

(1)坡面鉛直高度一定，其坡角、坡度和坡面程度寬度有什么關(guān)系？舉例說明．

(2)坡面程度寬度一定，鉛直高度與坡度有何關(guān)系，舉例說明．

答：(1)

如圖，鉛直高度AB一定，程度寬度BC增加，α將變小，坡度減小，因?yàn)閠an＝，AB不變，tan隨BC增大而減小〔2〕與(1)相反，程度寬度BC不變，α將隨鉛直高度增大而增大，tanα

也隨之增大，因?yàn)閠an=不變時(shí)，tan隨AB的增大而增大2．講授新課

引導(dǎo)學(xué)生回頭分析引題，圖中ABCD是梯形，假設(shè)BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通過坡度求出，EF=BC=6m，從而求出AD．

以上分析最好在學(xué)生充沛考慮后由學(xué)生完成，以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維才能及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

坡度問題計(jì)算過程很繁瑣，因而老師一定要做好示范，并嚴(yán)格要求學(xué)生，選擇最簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確的方法計(jì)算，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算才能．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

∴AE=3BE=3×23=69(m)．

FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因?yàn)樾逼翧B的坡