材料力學(xué)-精-彎曲變形

第六章 彎曲變形1．明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念，深刻理解梁撓曲線近似微分方程的建立。2．掌握計(jì)算梁變形的積分法和疊加法。3．了解梁的剛度條件。基本要求4/11/20241.§6-1引言一．工程實(shí)際中的彎曲變形4/11/20242.

1．撓曲線：梁在彎矩作用下發(fā)生彎曲變形。如果在彈性范圍內(nèi)加載，梁的軸線在梁彎曲后變成一連續(xù)光滑曲線。這一連續(xù)光滑曲線稱為彈性曲線（elasticcurve），或撓度曲線（deflectioncurve），簡稱彈性線或撓曲線。

二．基本概念FyxOyxO4/11/20243.

2．撓度與轉(zhuǎn)角梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移。梁的位移包括三部分：橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度(deflection)，用w

表示；變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope）

，用

表示；橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移。通常不予考慮。

w

yxO4/11/20244.撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：

y規(guī)定：向上的撓度為正，向下的撓度為負(fù)。逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)角為負(fù)。撓曲線方程：w=w（x）轉(zhuǎn)角方程：q=q（x）4/11/20245.在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：

在小變形條件下，撓曲線較為平坦，即

很小，因而上式中tan

。于是有y4/11/20246.力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式§6-2撓曲線的微分方程4/11/20247.小撓度情形下彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與w

坐標(biāo)的取向有關(guān)。4/11/20248.由于規(guī)定撓度向上為正，有——撓曲線微分方程僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小變形的平面彎曲問題。xwOMM4/11/20249.§6-3用積分法求彎曲變形對(duì)于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對(duì)x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

——轉(zhuǎn)角方程——撓度方程4/11/202410.－彈簧變形積分常數(shù)C、D由邊界條件和梁段間光滑連續(xù)條件或中間絞鏈連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件4/11/202411.

確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段

分段建立撓度微分方程

微分方程的積分

利用約束條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù)

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角

分段寫出彎矩方程分段點(diǎn)：集中力、集中力偶、分布載荷起止點(diǎn)、EI不同積分法求解步驟4/11/202412.

例6-1已知：懸臂梁受力如圖示，F(xiàn)、l、EI均為已知。求：梁的撓曲線、轉(zhuǎn)角方程及最大撓度和轉(zhuǎn)角xyxFlAB4/11/202413.解：由邊界條件：得：xyxFlAB4/11/202414.梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：xyxFlAB4/11/202415.

例6-2已知：簡支梁受力如圖示。F、EI、l、a、b均為已知。試：討論這一梁的彎曲變形。FabABlCxyx1x24/11/202416.解：FabABlCxyx1x24/11/202417.由連續(xù)和光滑條件：得：得：由邊界條件：FabABlCxyx1x24/11/202418.梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：AC段CB段FabABlCxyx1x2最大轉(zhuǎn)角：當(dāng)a>b時(shí)，qB為最大轉(zhuǎn)角。4/11/202419.FabABlCxyx1x2AC段CB段最大撓度：當(dāng)q=0時(shí)，w為極值。當(dāng)a>b時(shí)，q

=0的截面在AC段。4/11/202420.§6-4用疊加法求彎曲變形在材料服從胡克定律和小變形的條件下，由小撓度曲線微分方程得到的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。因此，當(dāng)梁承受復(fù)雜載荷時(shí)，可將其分解成幾種簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下的位移計(jì)算結(jié)果，疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。疊加方法（superpositionmethod）疊加原理載荷疊加、變形疊加4/11/202421.

例6-3已知：簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC；B截面的轉(zhuǎn)角

B4/11/202422.4/11/202423.

例6-4已知：外伸梁受力如圖示，F(xiàn)、l、a、EI均為已知。求：C、D截面的撓度和轉(zhuǎn)角。（D為AB中點(diǎn)）FlaABCD4/11/202424.FlaABCDFBCFFaABCFaABCwC1wC2DwDqC1qC2qD4/11/202425.FaABCDwDqC2qDAB段撓曲線和轉(zhuǎn)角方程：得：4/11/202426.

例6-5已知：F、l、EI均為已知。求：B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。FllABC2EI

EI4/11/202427.FllABC2EI

EIFBCFABCFlFABCABCFl4/11/202428.FllABC2EI

EIFBCFABCABCFlwB1qB3wB2wB3qB2qB1wC1wC24/11/202429.

例6-6已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。

求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角

C4/11/202430.方法一：4/11/202431.方法二：xxqdxACdxBdwCdqC4/11/202432.

例6-7已知：圖示組合梁，F(xiàn)=qa，EI為已知。求：截面B的撓度和截面A的轉(zhuǎn)角。FABCaa/2a/2qFBCqa/2BAqqA1wBFABCqqA4/11/202433.

例6-8已知：懸臂梁受力如圖，Me=Fa/2。試畫出撓曲線的大致形狀。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。MeaFaaM－+Fa/2Fa/24/11/202434.

例6-9圖示剛架結(jié)構(gòu)。試求C點(diǎn)的水平和垂直位移。ACBFa2aFBCACBFFadCV1dCV1dCV2dCH4/11/202435.

例6-10圖示等截面剛架，自由端承受集中載荷F的作用，試求自由端的鉛垂位移。設(shè)彎曲剛度EI與扭轉(zhuǎn)剛度GIt均為已知常數(shù)。FABClaFBCAFBFadC1dC2dC3dC14/11/202436.§6-5簡單超靜定梁F4/11/202437.3．相當(dāng)系統(tǒng)在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，得到受力和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。2．靜定基將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的“靜定基本系統(tǒng)”。1．靜不定梁約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁。AFB一．靜不定梁的概念4/11/202438.3．在靜定基上計(jì)算多余約束處的變形后，代入變形協(xié)調(diào)條件，建立補(bǔ)充方程，解出多余約束反力。2．建立變形協(xié)調(diào)條件；將相當(dāng)系統(tǒng)與靜不定梁相比較，在多余約束處，找到變形協(xié)調(diào)條件。1．判斷梁的靜不定次數(shù)，解除多余約束，建立靜定基；二．靜不定梁的解法4/11/202439.

例6-11一懸臂梁AB，承受集中載荷F作用，因其剛度不夠，用一短梁加固，如圖所示。試計(jì)算梁AB的最大撓度的減少量。設(shè)二梁各截面的彎曲剛度均為EI。Fl/2ABCl/24/11/202440.Fl/2ABCl/2解：加固前，AB梁的最大撓度加固后FABCFCACFCwC1wC2由wC1=wC2，得此時(shí)AB梁的最大撓度：僅為前者的60.9%。4/11/202441.[w]——許用撓度[q]——許用轉(zhuǎn)角梁的剛度條件4/11/202442.

例6-12已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P=20kN，a=lm，l=2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角

q

=0.5°。試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。B4/11/202443.中心架1、如卸荷裝置、中心架（或跟刀架）卸荷帶輪一．改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩的數(shù)值?！?-6提高彎曲剛度的一些措施4/11/202444.3、縮小跨距2、合理安排梁的約束與加載方式選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的剛度。但是，對(duì)于各種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差甚微，因而與一般鋼材相比，選用高強(qiáng)度鋼材并不能提高梁的剛度。二．選擇合理的截面形狀。

三．合理選擇材料4/11/202445.本章小結(jié)1．撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)方向確定2．掌握用積分法求梁的撓曲線和轉(zhuǎn)角方