人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題專(zhuān)題與平行四邊形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題(原卷版+解析)

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專(zhuān)題與平行四邊形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題題型一平行四邊形中的多結(jié)論問(wèn)題題型一平行四邊形中的多結(jié)論問(wèn)題【例題1】(2023春?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線上兩點(diǎn)，在條件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一個(gè)條件，使四邊形DEBF是平行四邊形，可添加的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式1-1】(2023?西城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使得∠CAB＝∠BAE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，G為CE的中點(diǎn)，給出結(jié)論：①CD=12AB；②BG＝FG；③四邊形AEBG是平行四邊形；④∠CAEA．①② B．③ C．②④ D．②③④【變式1-2】(2023春?光明區(qū)期末）如圖所示，在Rt△ABC外作等邊△ADE，點(diǎn)E在AB邊上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．將△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，連接BD′．給出下列結(jié)論：①AB＝10；②四邊形ADD′A′為平行四邊形；③AB平分∠D′BC；④當(dāng)平移的距離為4時(shí)，BD′＝33．其中正確的是（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【變式1-3】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，分別以AB、AD為邊作等邊△ABE和等邊△ADF，分別連接CE，CF和EF，則下列結(jié)論，一定成立的個(gè)數(shù)是（）①△CDF≌△EBC；②△CEF是等邊三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DFA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-4】(2023?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正確的有個(gè)．【變式1-5】(2023春?本溪期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝BC，連接AE交CD于點(diǎn)G，連接OG．下列結(jié)論：①OG=12AD；②AE平分∠CAD；③以點(diǎn)A，C，E，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形；④S?ABCD＝6S△OCG.其中正確的是【變式1-6】(2023春?城固縣期末）如圖，交AC于點(diǎn)F，連接BF，則下列結(jié)論中：①△S四邊形BDEF=32；④S△AEFA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-7】(2023春?秦都區(qū)期末）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊△ACD和等邊△ABE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．則以下結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式1-8】(2023秋?寧陽(yáng)縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，下列結(jié)論中：①AB⊥AC；②四邊形AEFD是平行四邊形；③∠DFE＝135°；④S四邊形AEFD＝20．正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-9】(2023春?清苑區(qū)期末）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，分別交線段AB，AC于點(diǎn)F，G，連接BE和CF．則下列結(jié)論中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四邊形BCGE是平行四邊形；④當(dāng)CD＝2時(shí)，S△AEF＝23，其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-10】(2023春?洋縣期末）如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF、EF，DE與AB相交于點(diǎn)G，若∠BAC＝30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型二矩形中的多結(jié)論問(wèn)題題型二矩形中的多結(jié)論問(wèn)題【例題2】如圖所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-1】(2023春?唐河縣期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，對(duì)于下列條件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四邊形ABCD是矩形的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-2】(2023春?招遠(yuǎn)市期中）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AD＝23，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO交AB于點(diǎn)E，連接DE．則下列結(jié)論：①OE＝FC；②四邊形EBFD是菱形；③△DOF≌△CBF；④MB＝3．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．②③④【變式2-3】如圖，在銳角△ABC中，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，MN分別交∠ACB、∠ACD的平分線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接AE、AF，在下列結(jié)論中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，則OC的長(zhǎng)為6；④當(dāng)AO＝CO時(shí)，四邊形AECF是矩形．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式2-4】(2023?菏澤二模）如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過(guò)O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG＝30°，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）（1）DC＝3OG；（2）OG=12BC；（3）△OGE是等邊三角形；（4）S△AOE=16A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-5】（2023?章丘區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝CM；④當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-6】(2023春?華陰市期末）如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，則下列結(jié)論：①DN＝BM；②AE＝FC；③當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式2-7】(2023秋?東河區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF交AC于點(diǎn)M，連接DE，BO．若∠COB＝60°，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③CM：AM＝1：3；④S△ADE：S△BCM＝2：3．其中正確的結(jié)論是．【變式2-8】(2023?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠DAC＝60°，點(diǎn)F在線段AO上，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①DO＝DA；②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④∠BDE＝∠EFC中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【變式2-9】(2023秋?金水區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①△ABE≌△AHD；②HE＝CE；③H是BF的中點(diǎn)；④AB＝HF；⑤BC﹣CF＝2A．2 B．3 C．4 D．5題型三菱形中的多結(jié)論問(wèn)題題型三菱形中的多結(jié)論問(wèn)題【例題3】(2023春?綏濱縣期末）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AB，垂足為E，DE：AB＝4：5，則下列結(jié)論：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝45cm；④AC＝85cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正確的有（）A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【變式3-1】(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，則下列說(shuō)法：①四邊形ABCD是平行四邊形；②AB＝BC；③AC⊥BD④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，則四邊形ABCD的面積為24．其中正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式3-2】（2023?沙縣一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)DE、EF、DF、AE，點(diǎn)O是AE與DF的交點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①△DEF的周長(zhǎng)是△ABC周長(zhǎng)的一半；②AE與DF互相平分；③如果∠BAC＝90°，那么點(diǎn)O到四邊形ADEF四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；④如果AB＝AC，那么點(diǎn)O到四邊形ADEF四條邊的距離相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-3】如圖，F(xiàn)是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，AC與BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，則下列結(jié)論：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式3-4】(2023春?茌平區(qū)期末）如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-5】(2023春?龍湖區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE＝BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-6】(2023春?仁化縣期中）如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD=12AC，M、N、P分別是OA、OB、①CN⊥BD；②MN＝NP；③四邊形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-7】如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC、DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE＝AF；②∠CEF＝∠CFE；③當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF是等邊三角形；④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積最大．上述結(jié)論中正確的序號(hào)有．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）【變式3-8】(2023秋?膠州市校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，DE、BF相交于點(diǎn)G，連接BD，CG．有下列結(jié)論：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式3-9】如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在菱形ABCD的對(duì)角線AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED與BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．則對(duì)于以下結(jié)論：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC；④AE+BM=3EMA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-10】(2023春?西華縣期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，連接OG，則下列結(jié)論中一定成立的是（）①OG=12AB；②與△DEG全等的三角形共有5個(gè)；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等；④由點(diǎn)A、B、D、A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④題型四正方形中的多結(jié)論問(wèn)題題型四正方形中的多結(jié)論問(wèn)題【例題4】(2023春?隨縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為邊CD，BC上的點(diǎn)，且DM＝CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結(jié)論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式4-1】(2023春?遵義期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的射線OM，ON分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EOF＝90°，BO，EF交于點(diǎn)P，則下面結(jié)論：①圖形中全等的三角形只有三對(duì)；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；④BE+BF=2OAA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式4-2】(2023秋?松山區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE＝AF，AC與EF相交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③當(dāng)∠DAF＝15°時(shí)，△AEF為等邊三角形；④當(dāng)∠EAF＝60°時(shí)，∠AEB＝∠AFD．其中正確的結(jié)論是（）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【變式4-3】(2023春?港北區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，交AD于點(diǎn)F，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，取DG的中點(diǎn)H，連接AH，EH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式4-4】(2023秋?茂南區(qū)月考）如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足BE＝BC．連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，連接AE，過(guò)B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BG交AD于點(diǎn)H．在下列結(jié)論中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③AH＝DE；④S四邊形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-5】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N為邊BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），∠MAN＝45°下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)MN=2MC時(shí)，則∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式4-6】(2023春?慈溪市期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P為BD延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，連結(jié)PA，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PA，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BP于點(diǎn)F．下列結(jié)論：（1）PA＝PE；（2）BD＝2PF；（3）CE=2PD；（4）若BP＝BE，則其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-7】(2023春?仙桃校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，AG平分∠FAE，AG分別交BC，EF于點(diǎn)G，H，連接EG，DH．則下列結(jié)論中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④若DE＝CE，則CE：CG：EG＝3：4：5，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式4-8】（2023?蕉嶺縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E在邊CD上，且BG＝CG，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=72A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式4-9】(2023秋?興寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開(kāi)后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，連接GF，給出下列結(jié)論：①∠ADG＝22.5°；②AEAD=2?1；③四邊形AEFG是菱形；④若S△OGF＝1，則正方形A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-10】已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB=5．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為62；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專(zhuān)題與平行四邊形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題題型一平行四邊形中的多結(jié)論問(wèn)題題型一平行四邊形中的多結(jié)論問(wèn)題【例題1】(2023春?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線上兩點(diǎn)，在條件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一個(gè)條件，使四邊形DEBF是平行四邊形，可添加的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】通過(guò)證明三角形全等，得出四邊形DEBF的一組對(duì)邊平行且相等，即可得出是平行四邊形．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，①DE＝BF時(shí)，不能證明△ADE≌△CBF，不能證明四邊形DEBF是平行四邊形；②∠ADE＝∠CBF時(shí)，在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；③AF＝CE時(shí)，AE＝CF，在△ADE和△CBF中，AD=BC∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；④當(dāng)∠AFB＝∠CED時(shí)，則∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】(2023?西城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使得∠CAB＝∠BAE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，G為CE的中點(diǎn)，給出結(jié)論：①CD=12AB；②BG＝FG；③四邊形AEBG是平行四邊形；④∠CAEA．①② B．③ C．②④ D．②③④【分析】構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用三角形中位線定理，即可求解．【解答】解：延長(zhǎng)EF交AC于M，作GN⊥AB于N，∵BD=12AB，DB＜∴CD＞12故①不符合題意；∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，∴FN＝NB，∵GN⊥AB，∴FG＝GB，故②符合題意；∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，∴△AEF≌△AMF（ASA），∴FE＝FM，∵EG＝GC，∴FG∥AC，∴∠GFB＝∠CAB，∴∠GBF＝∠EAB，∴EA∥BG，∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，∴△AED≌△BGD（ASA），∴AE＝BG，∴四邊形AEBG是平行四邊形，故③符合題意；∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°，∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，∴∠EAC+∠FGB＝180°，故④符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等，三角形中位線定理，平行四邊形的判定，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)．【變式1-2】(2023春?光明區(qū)期末）如圖所示，在Rt△ABC外作等邊△ADE，點(diǎn)E在AB邊上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．將△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，連接BD′．給出下列結(jié)論：①AB＝10；②四邊形ADD′A′為平行四邊形；③AB平分∠D′BC；④當(dāng)平移的距離為4時(shí)，BD′＝33．其中正確的是（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【分析】由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AB＝2AC＝10，故①正確；再由平移的性質(zhì)得A'D'＝AD，A'D'∥AD，則四邊形ADD′A′為平行四邊形，故②正確；當(dāng)平移的距離為4時(shí)，EE'＝4，證出BE'＝D'E'，則∠E'BD'＝∠E'D'B=12∠A'E'D'＝30°，得∠A'D'B＝60°+30°＝90°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BD'=3A'D'＝33，故④正確；由④得：當(dāng)平移的距離為4時(shí)，∠E'BD'＝∠ABC【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝10，故①正確；由平移的性質(zhì)得：A'D'＝AD，A'D'∥AD，∴四邊形ADD′A′為平行四邊形，故②正確；當(dāng)平移的距離為4時(shí)，EE'＝4，∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3，由平移的性質(zhì)得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3，∴BE'＝D'E'，∴∠E'BD'＝∠E'D'B=12∠A'E'∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°，∴BD'=3A'D'＝33，故④由④得：當(dāng)平移的距離為4時(shí)，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，證明四邊形ADD′A′為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，分別以AB、AD為邊作等邊△ABE和等邊△ADF，分別連接CE，CF和EF，則下列結(jié)論，一定成立的個(gè)數(shù)是（）①△CDF≌△EBC；②△CEF是等邊三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DFA．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用“邊角邊”證明△CDF和△EBC全等，判定①正確；同理求出△CDF和△EAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE＝CF＝EF，判定△ECF是等邊三角形，判定②正確；利用“8字型”判定③正確；若CE∥DF，則C、F、A三點(diǎn)共線，故④錯(cuò)誤；即可得出答案．【解答】解：在?ABCD中，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，CD＝AB，∵△ABE、△ADF都是等邊三角形，∴AD＝DF，AB＝EB，∠DFA＝∠ADF＝∠ABE＝60°，∴DF＝BC，CD＝BE，∴∠CDF＝∠ADC﹣60°，∠EBC＝∠ABC﹣60°，∴∠CDF＝∠EBC，在△CDF和△EBC中，DF=BC∠CDF=∠EBC∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正確；在?ABCD中，設(shè)AE交CD于O，AE交DF于K，如圖：∵AB∥CD，∴∠DOA＝∠OAB＝60°，∴∠DOA＝∠DFO，∵∠OKD＝∠AKF，∴∠ODF＝∠OAF，故③正確；在△CDF和△EAF中，CD=EA∠CDF=∠EAF∴△CDF≌△EAF（SAS），∴EF＝CF，∵△CDF≌△EBC，∴CE＝CF，∴EC＝CF＝EF，∴△ECF是等邊三角形，故②正確；則∠CFE＝60°，若CE∥DF時(shí)，則∠DFE＝∠CEF＝60°，∵∠DFA＝60°＝∠CFE，∴∠CFE+∠DFE+∠DFA＝180°，則C、F、A三點(diǎn)共線已知中沒(méi)有給出C、F、A三點(diǎn)共線，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】(2023?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正確的有個(gè)．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①，由中位線定理和直角三角形的性質(zhì)可判斷②④，由平行四邊形的性質(zhì)可判斷【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥∵BD＝2AD，∴BO＝DO＝AD＝BC，且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∴①正確；∵E、F、分別是OC、OD中點(diǎn)，∴EF∥DC，CD＝2EF，∵G是AB中點(diǎn)，BE⊥AC，∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB，∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴②④正確；∵四邊形BGFE是平行四邊形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS），∴③正確；故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【變式1-5】(2023春?本溪期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝BC，連接AE交CD于點(diǎn)G，連接OG．下列結(jié)論：①OG=12AD；②AE平分∠CAD；③以點(diǎn)A，C，E，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形；④S?ABCD＝6S△OCG.其中正確的是【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先證得△ADG≌△ECG，得出DG＝CG，AG＝EG即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，AO＝OC，∴∠DAG＝∠E，∠ADG＝∠ECG，∵CE＝BC，∴CE＝AD，∴△ADG≌△ECG（ASA），∴AG＝GE，DG＝GC，∴OG是△CAD的中位線，四邊形ACED是平行四邊形，故③正確；∴OG=12AD，故∴OG∥AD，∴S△ACD＝4S△OCG，∴S?ABCD＝8S△OCG，故④錯(cuò)誤；∵AC≠CE，∴∠E≠CAE，∴∠CAE≠∠DAG，故②錯(cuò)誤．∴正確的是①③．故答案為①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．【變式1-6】(2023春?城固縣期末）如圖，交AC于點(diǎn)F，連接BF，則下列結(jié)論中：①△S四邊形BDEF=32；④S△AEFA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】連接EC，作CH⊥EF于H．首先證明△BAD≌△CAE，再證明△EFC是等邊三角形即可解決問(wèn)題；【解答】解：連接EC，作CH⊥EF于H．∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB＝60°，∴△EFC是等邊三角形，CH=3∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，∴四邊形BDEF是平行四邊形，故②正確，∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，∴△ABD≌△BCF，故①正確，∵S平行四邊形BDEF＝BD?CH=3故③正確，∵CD＝2BD，AF＝2CF．∴S△AEF=23S△AEC=23?S故④錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．【變式1-7】(2023春?秦都區(qū)期末）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊△ACD和等邊△ABE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．則以下結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】由平行四邊形的判定定理判斷②正確，再由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判斷①正確，然后由三角形三邊關(guān)系判斷③錯(cuò)誤，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC=12∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵F為AB的中點(diǎn)，∴BF=12∴CD＝BF，∵CD∥AB，∴四邊形BCDF為平行四邊形，故②正確；∵四邊形BCDF為平行四邊形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DF，故①正確；∵△ACD和△ABE都是等邊三角形，∴DA＝AC，DF＝BC，AB＝BE，∵BC+AC＞AB，∴DA+DF＞BE，故③錯(cuò)誤；其中正確的有2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明四邊形BCDF為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式1-8】(2023秋?寧陽(yáng)縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，下列結(jié)論中：①AB⊥AC；②四邊形AEFD是平行四邊形；③∠DFE＝135°；④S四邊形AEFD＝20．正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正確；再由SAS證得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝8，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝6，則四邊形AEFD是平行四邊形，故②正確；然后由平行四邊形的性質(zhì)得∠DFE＝∠DAE＝150°，則③錯(cuò)誤；最后求出S?AEFD＝24，故④錯(cuò)誤；即可得出答案．【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，62+82＝102，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正確；∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC與△DBF中，AB=DB∠ABC=∠DBF∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝8，同理可證：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝6，∴四邊形AEFD是平行四邊形，故②正確；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③錯(cuò)誤；過(guò)A作AG⊥DF于G，如圖所示：則∠AGD＝90°，∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG=12∴S?AEFD＝DF?AG＝8×3＝24，故④錯(cuò)誤；∴正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ABC≌△DBF是解題的關(guān)鍵．【變式1-9】(2023春?清苑區(qū)期末）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，分別交線段AB，AC于點(diǎn)F，G，連接BE和CF．則下列結(jié)論中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四邊形BCGE是平行四邊形；④當(dāng)CD＝2時(shí)，S△AEF＝23，其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】①證△AEB≌△ADC（SAS），得BE＝CD，故①正確；再由平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得∠BDE＝∠CAD，故②正確；由∠EBC+∠ACB＝180°，得EB∥GC．則四邊形BCGE是平行四邊形．故③正確；證出BD＝2CD，得S△ACD=13S△ABC＝33，再證AF＝2BF，得S△AEF=23S△AEB=23S△【解答】解：①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠EAB＝∠DAC，在△AEB和△ADC中，AE=AD∠EAB=∠DAC∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，故①正確；∵∠BDE+∠ADE+∠ADC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ADE＝∠ACD＝60°，∴∠BDE＝∠CAD，故②正確；由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE＝∠ACB＝60°．又∵∠ABC＝∠C＝60°，∠EBC＝120°，∴∠EBC+∠ACB＝180°，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形，故③正確；∵AC＝BC＝6，CD＝2，∴BD＝4＝2CD，∴S△ACD=13S△ABC=13×∵EG∥BC，∴∠BFE＝∠ABC＝60°＝∠ABE，∴△BEF是等邊三角形，∴BF＝BE，∴BF＝CD＝2，∴AF＝4＝2BF，∴S△AEF=23S△AEB=23S△ACD＝2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△AEB≌△ADC是解題的關(guān)鍵．【變式1-10】(2023春?洋縣期末）如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF、EF，DE與AB相交于點(diǎn)G，若∠BAC＝30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①連接CF，可推出AF＝CF，結(jié)合AE＝CE，可得出①正確；②可證得AD∥BC∥EF，DF∥AE，從而得出②正確；③AD＝AB，AB＝2AF，AF＝2AG，從而得出③正確；④可得出∠DFB＝∠EAF＝90°，∠DBF＝∠AFE＝60°，DF＝AE，從而得出④正確．【解答】解：如圖，連接CF，∵∠ACB＝90°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴CF＝AF，∵△ACE是等邊三角形，∴AE＝CE，∴EF⊥AC，故①正確；∵△ABD是等邊三角形，△ACE是等邊三角形，∴∠AD＝BD，DAB＝60°，∠CAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴DF⊥AB，∴∠DFA＝∠BAE＝90°，∴DF∥AE，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∴AD∥BC，由①知：AC⊥EF，BC⊥AC，∴EF∥BC，∴AD∥EF，∴四邊形ADFE是平行四邊形，故②正確；∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴AF＝2AG，∵AD＝AB，AB＝2AF，∴AD＝B＝4AG，故③正確；∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠ABC＝60°，∵△ABD是等邊三角形，∴∠DBF＝60°，∴∠DBF＝∠AFE，∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴DF＝AE，∵∠DFB＝∠EAF＝90°，∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正確，綜上所述：①②③④均正確，故答案為：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．題型二矩形中的多結(jié)論問(wèn)題題型二矩形中的多結(jié)論問(wèn)題【例題2】如圖所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)求出OD＝OC，根據(jù)角求出∠DOC＝60°即可得出三角形DOC是等邊三角形，求出AC＝2AB，即可判斷②，求出∠BOE＝75°，∠AOB＝60°，相加即可求出∠AOE，根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出S△AOE＝S△COE．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝30°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAC＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等邊三角形，∴①正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②錯(cuò)誤；∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DOC＝60°，DC＝AB，∵△DOC是等邊三角形，∴DC＝OD，∴BE＝BO，∴∠BOE＝∠BEO=12（180°﹣∠∵∠AOB＝∠DOC＝60°，∴∠AOE＝60°+75°＝135°，∴③正確；∵OA＝OC，∴根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出S△AOE＝S△COE，∴④正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線定義，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．【變式2-1】(2023春?唐河縣期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，對(duì)于下列條件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四邊形ABCD是矩形的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由矩形的判定、菱形的判定分別對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴?ABCD是矩形，故①正確；②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵BC2+CD2＝AC2，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴?ABCD是矩形，故②正確；③∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故③正確；④∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故④錯(cuò)誤；能判定四邊形ABCD是矩形的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】(2023春?招遠(yuǎn)市期中）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AD＝23，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO交AB于點(diǎn)E，連接DE．則下列結(jié)論：①OE＝FC；②四邊形EBFD是菱形；③△DOF≌△CBF；④MB＝3．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．②③④【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出△OBC是等邊三角形，進(jìn)而判斷①正確；根據(jù)ASA證明△AOE與△COF全等，進(jìn)而判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③④正確即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OC＝OD＝OB，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，∵BF⊥AC，∴OM＝MC，∴FM是OC的垂直平分線，∴FO＝FC，∵OB＝CB，F(xiàn)O＝FC，F(xiàn)B＝FB，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴∠FOB＝∠FCB＝90°，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∴∠ABO＝∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴OE＝FC，故①正確；∵OB⊥EF，∴四邊形EBFD是菱形，故②正確；∵△DOF≌△OBE≌△OBF≌△CBF，∴③正確；∵BC＝AD＝23，F(xiàn)M⊥OC，∠CBM＝30°，∴BM＝3，故④正確；∴正確的序號(hào)是：①②③④．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．【變式2-3】如圖，在銳角△ABC中，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，MN分別交∠ACB、∠ACD的平分線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接AE、AF，在下列結(jié)論中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，則OC的長(zhǎng)為6；④當(dāng)AO＝CO時(shí)，四邊形AECF是矩形．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】①只要證明OC＝OE，OC＝OF即可．②首先證明∠ECF＝90°，若EC＝CF，則∠OFC＝45°，顯然不可能，故②錯(cuò)誤，③利用勾股定理可得EF＝13，推出OC＝6.5，故③錯(cuò)誤．④根據(jù)矩形的判定方法即可證明．【解答】解：∵M(jìn)N∥CB，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正確，∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，若EC＝CF，則∠OFC＝45°，顯然不可能，故②錯(cuò)誤，∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF=1∴OC=12EF＝6.5，故∴OE＝OF，OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式2-4】(2023?菏澤二模）如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過(guò)O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG＝30°，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）（1）DC＝3OG；（2）OG=12BC；（3）△OGE是等邊三角形；（4）S△AOE=16A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG＝AG＝GE=12AE，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAG＝30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠GOE＝60°，從而判斷出△OGE是等邊三角形，判斷出（3）正確；設(shè)AE＝2a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，從而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3【解答】解：∵EF⊥AC，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，∴OG＝AG＝GE=12∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等邊三角形，故（3）正確；設(shè)AE＝2a，則OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO=AE2∵O為AC中點(diǎn)，∴AC＝2AO＝23a，∴BC=12AC=12×2在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=(23a)∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（1）正確；∵OG＝a，12BC=3∴OG≠12∵S△AOE=12a?3a=3SABCD＝3a?3a＝33a2，∴S△AOE=16S綜上所述，結(jié)論正確的是（1）（3）（4）共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，設(shè)出AE、OG，然后用a表示出相關(guān)的邊更容易理解．【變式2-5】（2023?章丘區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝CM；④當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】證△DNA≌△BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；證△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，由CF＞CM，故③錯(cuò)誤；證四邊形NEMF是平行四邊形，得出EM∥FN，故②正確；證四邊形DEBF是平行四邊形，證出∠ODN＝∠ABD，則DE＝BE，得出四邊形DEBF是菱形；故④正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，在△DNA和△BMC中，∠DAN=∠BCM∠DNA=∠BMC∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝FC，DE＝BF，∵CF＞CM，∴AE＞CM，故③錯(cuò)誤；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，∵DE∥BF，∴四邊形NEMF是平行四邊形，∴EM∥FN，故②正確；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝∠ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確；正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】(2023春?華陰市期末）如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，則下列結(jié)論：①DN＝BM；②AE＝FC；③當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】由“ASA”可證△DNO≌△BMO，可得DN＝BM；故①正確；通過(guò)證明四邊形DEBF是平行四邊形，可得DF＝BE，即可證AE＝CF，故②正確；先證△OAD是等邊三角形，可得∠ADB＝60°，由等邊三角形的性質(zhì)可得∠BDE＝30°＝∠DBE，可得DE＝BE，可證平行四邊形DEBF是菱形，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DO＝BO，AB∥CD，AB＝CD，∵DE∥BF，∴∠BDN＝∠DBM，在△DNO和△BMO中，∠DON=∠BOMOD=OB∴△DNO≌△BMO（ASA），∴DN＝BM；故①正確；∵AB∥CD，DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DF＝BE，∴AE＝CF，故②正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝DO，又∵AO＝AD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ABD＝30°，∵BF∥DE，BF⊥AC，∴DE⊥AC，∴∠ADE＝∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠ABD，∴DE＝BE，∴平行四邊形DEBF是菱形，故③正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題解題的關(guān)鍵．【變式2-7】(2023秋?東河區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF交AC于點(diǎn)M，連接DE，BO．若∠COB＝60°，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③CM：AM＝1：3；④S△ADE：S△BCM＝2：3．其中正確的結(jié)論是．【分析】由線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵矩形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，∴OB＝OC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①正確；∵OB＝CO，∠COB＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°，∴∠OBE＝90°﹣∠OBC＝30°，∵△FOB和△FCB關(guān)于FB對(duì)稱(chēng)，∴∠FBC＝∠OBM＝30°，∠FOB＝∠FCB＝90°，∴∠OBE＝∠CBF，∠EOB＝∠FCB＝90°，∴△BEO≌△BFC（ASA），故②錯(cuò)誤；∵BF垂直平分CO，∴CM=12∵AO＝OC=1∴CM=14∴CM：MA＝1：3，故③正確；∵DC∥AB，∴∠FCO＝∠EAO，∵∠FOC＝∠AOE，OC＝OA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴CF＝AE，∵∠DAE＝∠BCF，AD＝BC，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴△ADE的面積＞△BCM的面積，故④錯(cuò)誤．故正確的有①③．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2-8】(2023?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠DAC＝60°，點(diǎn)F在線段AO上，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①DO＝DA；②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④∠BDE＝∠EFC中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①根據(jù)∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD為等邊三角形，即可得出結(jié)論①正確；②如圖，連接OE，利用SAS證明△DAF≌△DOE，再證明△ODE≌△OCE，即可得出結(jié)論②正確；③通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論③正確；④根據(jù)△DAO，△DEF是等邊三角形可以證明∠EFC＝∠ADF，然后根據(jù)②∠ADF＝∠BDE，等量代換即可得到∠BDE＝∠EFC．【解答】解：①在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD為等邊三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，故①正確，②AD=OD∠ADF=∠ODEDF=DE連接∵△DFE為等邊三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，在△DAF和△DOE中，AD=OD∠ADF=∠ODE∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，OD=OC∠DOE=∠COE∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC＝DF，故②正確；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故結(jié)論③正確；④∵△DAO，△DEF是等邊三角形，∴∠DAO＝∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠AFD＝∠ADF+∠AFD＝120°，∴∠EFC＝∠ADF，根據(jù)②知∠ADF＝∠BDE，∴∠BDE＝∠EFC．故④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、等邊三角形判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式2-9】(2023秋?金水區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①△ABE≌△AHD；②HE＝CE；③H是BF的中點(diǎn)；④AB＝HF；⑤BC﹣CF＝2A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、角平分線的定義和垂線的定義，得出△ABE與△AHD是等腰直角三角形，進(jìn)而得出AD=2AH，AE=2AB，再根據(jù)等量代換，得出AH＝AB，AD＝AE，再根據(jù)SAS，得出△ABE≌△AHD，即可判斷結(jié)論①；根據(jù)矩形，等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)，得出DH＝AH＝AB＝BE，AD＝AE＝BC，再根據(jù)線段之間的等量關(guān)系，得出HE＝CE，即可判斷結(jié)論②；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得出∠EBH＝∠OHD，再根據(jù)ASA，得出△BEH≌△HDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出BH＝HF，即H是BF的中點(diǎn)，即可判斷結(jié)論③；再根據(jù)AB＝AH，∠BAE＝45°，得出△ABH不是等邊三角形，進(jìn)而即可判斷結(jié)論④；根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合等量代換，得出BC﹣CF＝2【解答】解：∵在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，∴∠BAE＝∠HAD＝45°，∠ABE＝∠AHD＝90°，∴△ABE與△AHD是等腰直角三角形，∴AD=2AH，∵AD=2∴AH＝AB，AD＝AE，在△ABE與△AHD中，AH=AB∠BAE=∠HAD=45°∴△ABE≌△AHD（SAS），故①正確；∵在矩形ABCD中，△ABE與△AHD是等腰直角三角形，△ABE≌△AHD，∴DH＝AH＝AB＝BE，AD＝AE＝BC，∴AE﹣AH＝BC﹣BE，∴HE＝CE，故②正確；∵AB＝AH，∴∠AHB=1∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，在△BEH和△HDF中，∠DHO=∠EBH=22.5°BE=DH∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，即H是BF的中點(diǎn)，故③正確；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等邊三角形，∴AB≠BH，∵BH＝HF，∴AB≠HF，故④錯(cuò)誤；∵CF＝CD﹣DF，∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF），∵DF＝HE，∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣HE）＝BC﹣CD+HE，∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，∴BC﹣CF＝HE+HE＝2HE，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述：正確的為：①②③，共有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．題型三菱形中的多結(jié)論問(wèn)題題型三菱形中的多結(jié)論問(wèn)題【例題3】(2023春?綏濱縣期末）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AB，垂足為E，DE：AB＝4：5，則下列結(jié)論：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝45cm；④AC＝85cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正確的有（）A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【分析】由菱形的性質(zhì)可求得菱形的邊長(zhǎng)，結(jié)合DE：AB＝4：5可判斷①；在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE，則可求得BE，可判斷②；在Rt△BDE中由勾股定理可求得BD，可判斷③；由菱形的對(duì)角線互相平分，可求得BO，在Rt△AOB中可求得AO，可求得AC，可判斷④；根據(jù)求得的AC和BD可求得菱形的面積，可判斷⑤，可得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，∴AB=14×4cm∵DE：AB＝4：5，∴DE＝8cm，故①正確；∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm，∴AE=AD2∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm，故②正確；∵DE＝8cm，BE＝4cm，∴BD=BD2+BE故③正確；∵四邊形ABCD是菱形，∴BO=12BD＝25cm，且AC⊥∴AO=AB2?BO∴AC＝2AO＝85cm，故④正確；∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×85×故⑤正確；∴正確的為①②③④⑤，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的四邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．注意菱形面積公式的應(yīng)用．【變式3-1】(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，則下列說(shuō)法：①四邊形ABCD是平行四邊形；②AB＝BC；③AC⊥BD④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，則四邊形ABCD的面積為24．其中正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證平行四邊形ABCD是菱形，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確；∵AD＝DC，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正確，∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面積=12AC×BD=1正確的個(gè)數(shù)有5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023?沙縣一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)DE、EF、DF、AE，點(diǎn)O是AE與DF的交點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①△DEF的周長(zhǎng)是△ABC周長(zhǎng)的一半；②AE與DF互相平分；③如果∠BAC＝90°，那么點(diǎn)O到四邊形ADEF四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；④如果AB＝AC，那么點(diǎn)O到四邊形ADEF四條邊的距離相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①根據(jù)三角形中位線定理即可解決問(wèn)題；②根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形ADEF是平行四邊形，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；③證明四邊形ADEF是矩形，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；④證明四邊形ADEF是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：①∵點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴EF=12AB，DF=12BC∴EF+DF+DE=12（AB+BC+∴△DEF的周長(zhǎng)是△ABC周長(zhǎng)的一半，故①正確；②∵點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DF∥∥BC，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AE與DF互相平分，故②正確；③∵∠BAC＝90°，四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是矩形，∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，∴點(diǎn)O到四邊形ADEF四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故③正確；④∵AB＝AC，∴AD＝AF，∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是菱形，∴AE，DF是菱形兩組對(duì)角的平分線，∴點(diǎn)O到四邊形ADEF四條邊的距離相等，故④正確．綜上所述：正確的是①②③④，共4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．【變式3-3】如圖，F(xiàn)是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，AC與BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，則下列結(jié)論：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】連接DB交AC于O，由菱形性質(zhì)可得∠DAC＝∠CAB＝∠1，可得∠1＝∠2，可得AE＝BE，且EG⊥AB可得AG=12AB，可證△AEF≌△AEG，可判斷①②．由△ABO≌△ABF可判斷③．由∠DAC＝∠CAB＝∠2，可得∠DAC＝∠CAB＝∠2＝30°，可得BO＝BG，可證△BEO≌△BEG，可得EG＝EO，則CE＝CO+EO＝BF+EG可判斷【解答】解：連接DB交AC于O∵ABCD為菱形∴AD∥CB，AD＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，∠DAC＝∠CAB∴∠1＝∠DAC，且∠1＝∠2∴∠CAB＝∠2∴AE＝BE故①正確∵AE＝BE，EG⊥AB∴AG＝GB=1∵F是AD中點(diǎn)∴AF=1∴AF＝AG，且∠DAC＝∠CAB，AE＝AE∴△AEF≌△AEG，∴∠AFE＝∠AEG＝90°∴BF⊥AD故②正確∵AB＝AB，∠AFB＝∠AOB，∠2＝∠CAB∴△AFB≌△ABO∴BF＝AO=1∴AC＝2BF故③正確∵∠2+∠CAB+∠CAD＝90°且∠2＝∠CAB＝∠CAD∴∠2＝∠CAB＝∠CAD＝30°∴BO=12AB＝BG且EB∴Rt△EGB≌Rt△EOB∴EG＝EO∴CE＝CO+EO＝BF+EG故④錯(cuò)誤故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)解決問(wèn)題．【變式3-4】(2023春?茌平區(qū)期末）如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由△ABC、△DCE是等邊三角形，可求出∠ACD＝60°，繼而可判斷△ACD是等邊三角形，從而可判斷①是正確的；根據(jù)①的結(jié)論，可判斷四邊形ABCD是平行四邊形，從而可判斷②是正確的；根據(jù)①的結(jié)論，可判斷四邊形ACED是菱形，即③正確，繼而判定④正確．【解答】解：∵△ABC、△DCE是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正確；由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD、AC互相平分，故②正確；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四邊形ACED是菱形，即③正確；∵四邊形ACED是菱形，∴∠ACD＝∠DCE；故④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及菱形的判定．解答本題的關(guān)鍵是先判斷出△ACD是等邊三角形．【變式3-5】(2023春?龍湖區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE＝BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】證得△ABC是等邊三角形，則可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可證得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性質(zhì)可得∠FHC＝∠B，①②正確；由∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，③△ADO≌△ACH不正確；求出△ABC的面積=34AB2=34，得菱形ABCD的面積【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等邊三角形，∴AB＝CA，∠EAC＝∠B＝60°，同理：△ADC是等邊三角形∴∠OAD＝60°，在△ABF和△CAE中，BF=AE∠B=∠EAC∴△ABF≌△CAE（SAS）；∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，∴∠FHC＝∠B，故①正確，②正確；∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，故③△ADO≌△ACH不正確；∵△ABC是等邊三角形，AB＝AC＝1，∴△ABC的面積=34AB2∴菱形ABCD的面積＝2△ABC的面積=3故④不正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握菱形和等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】(2023春?仁化縣期中）如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD=12AC，M、N、P分別是OA、OB、①CN⊥BD；②MN＝NP；③四邊形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】證出OC＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)得CN⊥BD，①正確；證出MN是△AOB的中位線，得MN∥AB，MN=12AB，由直角三角形的性質(zhì)得NP=12CD，則MN＝NP，②正確；周長(zhǎng)四邊形MNCP是平行四邊形，無(wú)法證明四邊形MNCP是菱形；③錯(cuò)誤；由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證出∠MND＝∠PND，則ND平分∠【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC=12∵AD=12∴OC＝BC，∵N是OB的中點(diǎn)，∴CN⊥BD，①正確；∵M(jìn)、N分別是OA、OB的中點(diǎn)，∴MN是△AOB的中位線，∴MN∥AB，MN=12∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中點(diǎn)，∴NP=12CD＝PD＝∴MN＝NP，②正確；∵M(jìn)N∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四邊形MNCP是平行四邊形，無(wú)法證明四邊形MNCP是菱形；③錯(cuò)誤；∵M(jìn)N∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正確；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；熟練掌握三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-7】如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC、DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE＝AF；②∠CEF＝∠CFE；③