2023-2024學年上海市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題六（含答案）

2023-2024學年上海市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、填空題

1.若正三棱柱的所有棱長均為“，且其體積為16指，則α=.

【正確答案】4

【詳解】試題分析：V=∕xa=T66,a=4.

4

棱柱的體積.

【名師點睛】1.解答與幾何體的體積有關(guān)的問題時，根據(jù)相應(yīng)的體積公式，從落實公式中

的有關(guān)變量入手去解決問題，例如對于正棱錐，主要研究高、斜高和邊心距組成的直角三角

形以及高、側(cè)棱和外接圓的半徑組成的直角三角形；對于正棱臺，主要研究高、斜高和邊心

距組成的直角梯形.

2.求幾何體的體積時，若給定的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺體，可直接利用公式求解;

若給定的幾何體不能直接利用公式得出，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等求解.

2.己知某圓錐體的底面半徑r=2,沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到一個圓心角為點的

扇形，則該圓錐體的表面積是一

【正確答案】16萬

利用弧長公式，即可求得圓錐的母線，利用圓錐表面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】因為底面圓周長，也即扇形的弧長為4萬，

設(shè)圓錐母線長為/,則可得4τr=?χ∕,解得/=6.

故可得圓錐的側(cè)面積S=Q/=12萬.

則表面積為12%+萬產(chǎn)=?2π+Aπ=?f>π

故答案為.16萬

本題考查扇形的弧長公式，以及圓錐側(cè)面積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.

3.（X-，）6的展開式中的常數(shù)項是：.（請用數(shù)字作答）

X

【正確答案】-20

【詳解】*=c^x"-r（--γ=G（-Drχ6^2r,

X

令6-2r=0,則r=3,

所以常數(shù)項為-C；=-20.

4.甲、乙兩名同學參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標得2分，未

擊中目標得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為I和。，且甲、乙兩人各射擊一次得分

之和為2的概率為簽.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則〃值為.

3

【正確答案】7

4

Q

【分析】根據(jù)甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為立列方程，解方程求得。的值.

【詳解】甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2,可能是甲擊中乙未擊中，或者乙擊中甲未擊

中，故]?(i-p)+p(i-?∣]=看，解得P=].

故！

本小題主要考查相互獨立事件概率計算，屬于基礎(chǔ)題.

5.10個相同的小球放到6個不同的盒子里，每個盒子里至少放一個小球，則不同的放法有

種.

【正確答案】126

【分析】由隔板法，將10個小球排成一排，中間插入5個隔板，即可求得不同的放法.

【詳解】由隔板法，將10個小球排成一排，除去兩端中間插入5個不相鄰的隔板，此時9

個空中選5個空放隔板，將10個球分成六份，再將六份裝入六個盒子中即可，不同的放法

有C；126種.

故126.

2m

6.若(1-3x)'"=%+qx++a2g2lx'(x∈/?),則?+*++§器;的值為.

【正確答案】-1

【分析】利用展開式，先令x=0求得%=1,再令X=:得1+＞號?++舞=0,即求得

卜爭■+…+瑞■的值.

20212021

【詳解】??:V(l-3x)=α0÷α1x+÷a2021x(x∈7?),

，令X=0,可得%=1,

再令馬，則l+g+叁++黑=0，故等號++簧=7，

故-1.

7.今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有

種不同的方法（用數(shù)字作答）

【正確答案】1260

【詳解】同色球不加以區(qū)分，共有ClGG=1160（種）排法.

排列與組合.

8.已知圓周上等距離的排列著八個點A，4，，4,現(xiàn)從中任取三個不同的點作為一個三角

形的三個頂點，則恰好能構(gòu)成一個直角三角形的概率為.

3

【正確答案】-

【分析】由圓中直徑所對的圓心角為直角可得構(gòu)成直角三角形數(shù)，結(jié)合古典概型概率計算可

得結(jié)果.

【詳解】如圖每一條直徑均可構(gòu)成6個直角三角形，可知構(gòu)成直角三角形有4x6=24種，

243

故恰好能構(gòu)成一個直角三角形的概率為尸=不='，

故答案為

?

9.已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有（的概率解答正確，

且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的

概率_______

【正確答案】?

【分析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件A,“甲解答不正確”為事件8,利用二項分

布求得p（A）,P（AB）,然后利用條件概率公式求解.

【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件4,“甲解答不正確”為事件B,

=型,p(AB)=-

27,733327

/BIA).〃(AB)_27_1

27

W

本題主要考查條件概率的求法，還考查了分析求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.在各棱長都等于1的正四面體。-ABC中，若點P滿足

OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=l),則|。4的最小值為.

【正確答案】近

3

【詳解】根據(jù)題意，可得點P滿足OP=Xa4+yO3+zOC(x+y+z=l),

AP=0P-0A=-y(0A-0B)-z(0A-0C)

可得AP=-)BA-zCA

二點P是平面ABC內(nèi)的一點.

又..?正四面體O-ABC是各棱長都等于1,

當點P與0在ABC上的射影重合時，|。Pl等于正四面體的高,

此時IoPl=當且IoPl達到最小值.

故答案為好.

3

二、單選題

11.已知平面α4,直線/,〃?，且有/_L。，muβ,給出下列命題：①若α〃/，貝i"_L加；

②若/〃機，則α,尸；③若α,4,則/〃“；④若/L",則α〃".其中正確命題有()

A.①④B.①②C.②③D.③④

【正確答案】B

【分析】利用面面平行和線面垂直的性質(zhì)定理可判斷①正確；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理和面面

垂宜的判定定理可得②正確；由線面垂直以及兩直線的位置關(guān)系可知直線/，，〃可以平行或異

面或相交，故③錯誤；由線線垂直和線面垂直的性質(zhì)定理可得④錯誤.

【詳解】對于①，若α〃萬，又/_La,可得/，/，又muβ,所以/，加，故①正確；

對于②，若I〃tn,又/La,所以?n_La,又機U/?,則&_!_￡,故②正確；

對于③，若由/La,得/〃加或/、機異面或/、〃?相交，故③錯誤；

對于④，若/_1_a，又/La,則〃Z〃&或“zua,又mu(},得a〃4，或a、夕相交，故

④錯誤.

故選：B

12.系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣,從機個個體中抽取”個個體作為樣本(，">〃),先確定抽樣間隔,

n↑

即抽樣距k=-的整數(shù)部分,從第一段1,2,..?,k個號碼中隨機地抽取一個入樣號碼i,則

n0

…/+(”-1袂號碼入樣構(gòu)成樣本,所以每個個體入樣的可能性()

A.與％有關(guān)B.與編號有關(guān)

C.不一定相等D.相等

【正確答案】D

【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點即可求解.

【詳解】由系統(tǒng)抽樣的特點知,每個個體入樣的可能性都相等,均為2.

m

故選:D.

(1)系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大，每個個體被抽到都是等可能的；

(2)使用系統(tǒng)抽樣時，若總體容量不能被樣本容量整除，可以先從總體中隨機地剔除幾個個

體，從而確定分段間隔；

(3)起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定.

13.7名旅客分別從3個不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是()

A.73B.37C.A；D.C；

【正確答案】B

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，由題中條件，可直接得出結(jié)果.

【詳解】由題意，每名旅客可選擇方案有3種，

因此7名旅客分別從3個不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是3'.

故選：B.

本題主要考查計數(shù)原理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.

14.楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角

形，帕斯卡(1623-1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所

著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學史上的一個偉大成就.如

圖所示，在''楊輝三角"中，去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則

此數(shù)列前135項的和為

A.2l8-53B.2l8-52C.2l7-53D.2l7-52

【正確答案】A

【分析】利用n次二項式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x=l得到對應(yīng)項的系數(shù)

和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】n次二項式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，

例如(x+l)2=χ2+2χ+l,系數(shù)分別為1,2,1,對應(yīng)楊輝三角形的第3行，令x=l,就可

以求出該行的系數(shù)之和，

第1行為2°,第2行為2∣,第3行為22,以此類推

即每一行數(shù)字和為首項為L公比為2的等比數(shù)列，

則楊輝三角形的前n項和為Sn=T=2n-1,

1-2

若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1,2,3,4,....可以看成一個首項

為1,公差為1的等差數(shù)列，

?,n(n+l)

貝IJTn=J——L,

2

可得當n=15,在加上第16行的前15項時，所有項的個數(shù)和為135,

由于最右側(cè)為2,3,4,5......為首項是2公差為1的等差數(shù)列，

則第16行的第16項為17,

則楊輝三角形的前18項的和為S∣8=2∣8-1,

則此數(shù)列前135項的和為S18-3577=218-53,

故選A.

本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項式系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列等

差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大.

三、解答題

15.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面48CD為正方形.且PAJ?平面ABC。，M,N分別

為PB,P。的中點.

(1)求證：MV〃平面A8C0；

(2)若R4=Aβ=2,求CN與平面PfiD所成角的正弦值.

【正確答案】(1)詳見解析；(2)交.

3

【分析】(1)要證明線面平行，需證明線線平行，即轉(zhuǎn)化為證明MN//BO；(2)首先建立

空間直角坐標系，求平面尸8。的法向量，利用線面角的向量公式求解.

【詳解】(1)連結(jié)30,

M,N分別是PB,PD的中點，.?.MN"BD,

MV(Z平面ABCZ),BDu平面ABCZ),

.?."%//平面480

(2)如圖，以點A為原點，A8,AD,AP為XJ，z軸的正方向建立空間直角坐標系,

P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0)C(2,2,0),/V(0,1,1),

PB=(2,0,-2),PD=(-2,2,0),CTV=(-2,-1,1),

設(shè)平面PBD的法向量J=(X,y,z),

PBn=2x-2z=0

令X=1,則y=Lz=I,

PD?∕ι=0-2x+2y=O

平面PBD的法向量?=(1,1,1),

"s'n^Icos＜CM"＞卜篇=HXxJr"=T'

所以CN與平面PBD所成角的正弦值是XZ.

3

16.4個男同學，3個女同學站成一排.

(1)男生甲必須排在正中間，有多少種不同的排法？

(2)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？

(3)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

(4)其中甲、乙兩名同學之間必須有3人，有多少種不同的排法?

(用數(shù)字作答)

【正確答案】(1)720,(2)720,(3)1440,(4)720

【詳解】試題分析：(1)4=720；

(2)(捆綁法)66=720

(3)(插空法)AX=1440；

(4)A；=720.

本題考查了排列的實際運用

點評：關(guān)于排列組合應(yīng)用題，從排列的角度來講，它主要有三種題型：“在”與“不在”，“鄰”

與“不鄰”，定序排列.“在”與“不在”中，要先考慮條件元素，即先考慮固定元素或特殊元素，

若從位置角度分析，先考慮固定位置或特殊位置.“鄰”是集組排列，即采用捆綁法，“不鄰”

是插空排列，而定序排列有固定公式：一般地，若n個元素排隊，其中有m個元素順序一

定，這m個元素不一定相鄰，則不同排法噌(〃＜機).

4；組合中常見題型有“至少”、“至多”

問題，“含與不含”問題.在“至少”、“至多”問題中，可直接法來解，須分類，應(yīng)做到不重不

漏；也可間接法來解，即整體排除法，利用這種方法時，應(yīng)把握好“至多”或“至少”的對立

面.“含與不含，，是選的范疇問題，同時也可利用它來理解組合數(shù)的性質(zhì).含或不含某元素,

在選時不必再考慮，如在n個不同元素中選m個元素（n<m）,若甲必選的選法有。,二】，若

甲不選，則選法有（:二

17.某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進

機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再

購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了

IOO臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X

表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),〃表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤"）≥0?5,確定"的最小值；

（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在“=19與〃=20之中選其一，應(yīng)選

用哪個？

【正確答案】（1）見解析.

（2）見解析.

（3）見解析.

【分析】（1）由已知得X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,分別求出相應(yīng)的概

1117

率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（XSI8）=不，P（X<19）=—.由

此能確定滿足P（X<n）≥0?5中n的最小值；（3）購買零件所用費用含兩部分，一部分為

購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，分別求出n=19時，費用的期望

和當n=20時，費用的期望，從而得到買19個更合適.

【詳解】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,

9,?θ,H的概率分別為O.2,0.4,0.2,0.2,從而

汽*=16)=0202=0.04；

Rx=I-)=20104=0.16；

Λ?=18)=2×02×0.2+0.4X0.4=0.24;

P(AΓ=19)=2×0J×02+2χ0.4×02=024.

∕XX=2O)=2×O2X04?0,2χ0,2=0.2；

汽*=21)=2x02x0.2=0.08；

=22)=0.2X0.2=004

所以X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.24020.080.04

(2)由⑴知外X41g)=0*,P(X419)=0.68,故〃的最小值為19.

(3)購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外

購買的費用.

當n=19時，費用的期望為：19x200+500x0.2+1000x0.08+1500x0.04=4040；

當n=20時，費用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.

可知當"=19時所需費用的期望值小于，：=20時所需費用的期望值，故應(yīng)選”=19.

離散型隨機變量及其分布列

18.已知集合A=｛αl,Ω2,…,αj("wN*),規(guī)定：若集合A栗&U…u4=A(∕n≥2,m∈N"),

則稱｛A,4,…,Aj為集合A的一個分拆，當且僅當：A=B1,A2=B2,4=月“時，

…,4｝與｛綜火…,紇｝為同一分拆，所有不同的分拆種數(shù)記為￡(加).例如：當〃=1,

〃?=2時，集合A=｛G｝的所有分拆為：｛4｝501｝,｛αj=0,034J,即工⑵=3?

(1)求人(2)；

(2)試用〃?、"表示力(m);

⑶設(shè)廠W)=<⑴+力⑵+…+￡(，〃)，規(guī)定力⑴=1，證明：當心≥2時,產(chǎn)(加)與加同為

奇數(shù)或者同為偶數(shù).

【正確答案】(1)9

⑵/?=(2Jy

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)新定義,結(jié)合集合元素個數(shù)和和不同分拆種數(shù)計算即可；

⑵先考慮《至少進入其中一個AO=I,2,…,⑹的情況類比得到所有元素的情況再應(yīng)用乘法

原理可得；

⑶運用二項式定理將(2一)”展開，把"〃?)=力⑴+<(2)+…+力(加)轉(zhuǎn)化為2S+(T)"m,

即可證明尸(")與m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù).

【詳解】(1)集合A□4=A,

對于每一個A,(./=1,2),%都有進入或不進入兩種可能，

而且4至少進入其中一個A,U=1,2),

所以4有C；+C；=3種進入4、A2的不同方法；

同理/有C；+C；=3種進入A、&的不同方法；

由分步計數(shù)原理，％、的進入4、A2共有3x3=9種不同方法，

即力(2)=9.

(2)因為集合AU&U…DAn=A(Zn≥2,m∈N*),

下面按q(i=1,2,…,，。是否進入4(；=1,2,m)分為〃步求，

第一步：對于每一個4(j=l,2,…,加)，％都有進入或不進入兩種可能，

而且4至少進入其中一個40=1,2,…,加)，

所以4有CL+。+…+C[=2J種進入小A2........4的不同方法;

第二步：同理出有2"'-1種進入A、A.........4“的不同方法;

第"步：同理*有2小-1種進入A、&、...、4的不同方法.

由分步計數(shù)原理，4、/、…、進入A、A?、…、?,,

raπmπ

共有(2-l)種不同方法，即fltW=(2-l).

(3)運用二項式定理將展開，

QJiy=C(N)Z(T)CQ曠+(一1)20僅)""+…+(τ)",

其中i=1,2,…,“，

S(2'T"=f歸：3)"+(-1)《(2；)"'+(一1)七：僅廣+...+(一1)<；(2]’

i=li=lL

=C5⑶"+(T)CE⑶"+㈠)2CS⑶”+…+T(τ)?

ι=lz=li=l/=I

=25+(—1)”“2,其中SWN*,

所以當加為奇數(shù)時，25+(-1)"〃Z為奇數(shù)；

當機為偶數(shù)時2S+(-1)”“，也為偶數(shù)，

即/(，〃)=Zf(/)與m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù).

Z=I

19.把1,2,…，10按任意次序排成一個圓圈.

(1)證明：一定可以找到三個相鄰的數(shù)，它們的和不小于18；

(2)證明：一定可以找到三個相鄰的數(shù)，它們的和不大于15.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由2+3+…+10=54,結(jié)合反證法即可得證；

(2)由1+2+…+9=45,結(jié)合反證法即可得證.

【詳解】(1)設(shè)這10個數(shù)在圓周上排列為1,4，/，…，

l

由于(q+<?+α3)+(q+?+%)+(%+4+q)=2+3H-----1^10=54,

假設(shè)4+