直擊2024年高考-高三數(shù)學(xué)高考模擬卷（天津地區(qū)）-答案解析

高三數(shù)學(xué)高（天津地區(qū)）

一、選擇題（共9題，共45分）

1.（5分）已知4={%eN*|x43},B={X\X2-4X<0},則4cB=（）.

A.{1,2,3}B.[1,2}C.（0,3]D.（3,4]

2.（5分）設(shè)x,yeR,則“生》2且y>2”是“/+y2》4”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（5分）為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)

（單位:kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],將其按從左到右的順序

分別編號(hào)為第一組，第二組……第五組.如圖是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組

與第二組共20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組有療效的人數(shù)為（）.

D.18

4.（5分）函數(shù)y=財(cái)三汴（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的部分圖象大致為（）.

5.（5分）函數(shù)f（x）=2sin（3%+@）（s>0,|@|<］）的最小正周期為兀，若其圖象向右平移;個(gè)單位

長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)/（%）的圖象（）.

A.關(guān)于點(diǎn)傳,0）對(duì)稱B.在上單調(diào)遞增

C,關(guān)于直線x=:對(duì)稱D.在無=￡處取最大值

6.（5分）設(shè)〃乃是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8）上單調(diào)遞增，若。=/（1。8四2），b=

/（logb專），c=/（―3一§）,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>b0.a>b>c

7.（5分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，其中有如下記載：將底面為矩形，一側(cè)棱垂

直于底面的四棱錐稱為陽馬.現(xiàn)有直徑長(zhǎng)為2的膠泥球胚，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)需在此膠泥球胚

中切割出底面為正方形，且垂直于底面的側(cè)棱與底面正方形邊長(zhǎng)相等的陽馬模型的幾何體，若要

使該陽馬體積最大，則應(yīng)削去的膠泥體積為（）.

A47r8^3B4兀8A/3C竺一三D47r2^2

327393333

22

8.（5分）設(shè)雙曲線a=1（￡1>0,8>0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為4過/;1作4F的垂線與雙曲線

交于B,C兩點(diǎn)，過B,C分別作4C,4B的垂線交于點(diǎn)D.若。到直線BC的距離小于a+7a2+非,

則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）.

A.（-1,0）U（0,1）B.（—8,_1）u（1,+8）

C.（-V2.0）U（0.V2）D.（-℃>,-V2）U（V2,+°°）

傳,

9.(5分)/(x)=VI,.11，若g(x)=-1有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范

|ex+i__|x<o

圍是().

A.m>2或m<—eB.—2<m<eC.—e<m<2D.m<-2或m>e

二、填空題（共6題，共30分）

10.（5分）已知復(fù)數(shù)z=?@（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為______

D-1

11.（5分）表廣展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

12.（5分）已知圓/+y2+2%-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)為4,則實(shí)數(shù)a的值

為.

13.（5分）已知a>0,b>0,a+b=1,則：，的最小值為.

a+3b2a+b---------

14.（5分）已知箱中裝有10個(gè)不同的小球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黑球和5個(gè)白球，現(xiàn)從該箱中有放

回地依次取出3個(gè)小球.貝U3個(gè)小球顏色互不相同的概率是；若變量f為取出3個(gè)球中紅球

的個(gè)數(shù)，貝心的方差。（9=.

15.（5分）在梯形4BCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AM=^AB,CM與BO相交于點(diǎn)

Q.若加號(hào)嬴，則而.笳=;若在?祐裳，N為線段4C延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，則而.

蕊的最小值為.

三、解答題（共5題，12小題；共75分）

16.在中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosc（acosB+bcos4）=c.

（1）（9分）若cos/=在，求cos（24+C）的值.

4

（2）（6分）若c=V7,△ABC的面積為這，求邊a,b的值.

2

17.如圖，在多面體力BCDEF中，四邊形4BCD為正方形，DEL^^ABCD,DE//BF,AD=DE=2,

BF=2

E

（1）（5分）求證：AC1EF.

（2）（5分）求直線EC與平面力CF所成角的正弦值.

（3）（5分）在線段DE上是否存在點(diǎn)G,使得直線BG與4。所成角的余弦值為段若存在，求出點(diǎn)G

到平面ACF的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.已知數(shù)列｛an｝滿足冊(cè)+2=〔冊(cè)+之,對(duì)數(shù)，且?guī)譭N*,%=1,a2=2.

120n,71為偶數(shù)

（1）（5分）求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

（2）（5分）設(shè)g=anan+19nGN*,求數(shù)列｛bn｝的前2TI項(xiàng)和S2n.

（3）（5分）設(shè)“=。2九-遂271+（-1）九，證明：2+2+…

C1c2c3cn&

19.已知橢圓C：5+《=l(a>b>0)的離心率為q，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，

點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，且AFAB的面積是1+坦.

2

(1)(6分)求橢圓。的方程.

(2)(9分)設(shè)直線％=my+1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)為Pi(點(diǎn)B與點(diǎn)Q不

重合)，直線PiQ與%軸交于點(diǎn)”，求面積的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(%)=In%—aa>0.

(1)(5分)討論/(%)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)(10分)若fO)恰有三個(gè)零點(diǎn)G，%七3?1<[2<[3)和兩個(gè)極值點(diǎn)%1，X2(%1<%2).

(i)證明：/(%1)+/(%2)=0.

(ii)若m<n,且znlnzn=zilnn,證明：°爪一>n(lnn+1).

參考答案

一、選擇題(共9題，共45分)

1【答案】A

【解析】由題設(shè)可知：

集合4={%GN*|x<3]={1,2,3},

集合B=(x\x2-4x<0}={x|0<x<4},

則4nB={1,2,3}.

故選A.

2【答案】A

【解析】若x》2且y》2,則/》4,y2>4,所以/+y2》8,即/+y?》4;

^x2+y2>4,則(-2,-2)滿足條件，但不滿足X》2且y》2.

所以“x》2且y》2”是“/+丫2》4”的充分而不必要條件.

故選A.

3【答案】C

【解析】由頻率分布直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人，分布在區(qū)間第一組與第二

組的頻率分別為0.24,0.16,所以第一組有12人，第二組有8人，第三組的頻率為0.36,所以第三組

的人數(shù)為18人，

第三組中沒有療效的有6人，

第三組中有療效的有12人.

故選：C.

4【答案】A

【解析】因?yàn)閥=/(X)=穹等注，

令1-％270,解得X豐±1,

故函數(shù)的定義域?yàn)閳F(tuán)工豐±i},/(-%)=鴛5)=一ma=-設(shè)),

故函數(shù)=(M：二ysx為奇函數(shù),

函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除BD；

所以e5-e~2>0,

即嗚>0,

故排除C.

故選：A.

5【答案】A

【解析】A選項(xiàng)：函數(shù)/(X)的最小正周期為萬，可得3=2,

/(X)向右平移濘單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為y=2sin［2(x-/)+0］=2sin(2x-g+0)，

此函數(shù)為奇函數(shù)，又取<5，

所以0=p

故函數(shù)f(%)=2sin(2x+1),/(§=2sin得+g)=0,

；.A正確；B選項(xiàng)：f(%)的遞增區(qū)間為［—工+時(shí)*+時(shí)，fceZ,

故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：2x+—=—+kn,fc6Z,x=^+/c6Z,

所以直線尤不是對(duì)稱軸，

故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：［Q=2sinH非最大值,

故D錯(cuò).故選A.

6【答案】D

【解析】依題意/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

所以a=f(log方表)"(log?要一目=〃-1唯3)=/0og23),

b=f(logVJ專)=f(1%歹5)=/(-log32)=/(log32),

C=/(-34)=/(34),

3

log23>log22=1,2=8,(3,=3,23>(3,>2>

11

1=logs3>log32>log333=

0<33<3-】書,

由于/(%)在［。,+8)上單調(diào)遞增，所以a>b>c.

故選：D.

7【答案】A

【解析】如圖正方體4BCD-①當(dāng)心必中,四棱錐劣-ABC。即為陽馬,

4B

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,體積為匕,

顯然％1-4BCD=g^ABCD'=”1，

所以，當(dāng)該正方體體積最大時(shí)，該陽馬體積最大，在球的內(nèi)部，任意構(gòu)造一個(gè)正方體,

顯然球的內(nèi)接正方體體積最大，應(yīng)有正方體的對(duì)角線BD］等于球的直徑，

即叫=2.

又BD［=V3a,

所以75a=2,即。=學(xué)，則匕=03=(竽)3=卓，

所以%l-ABCD=［匕=

又球的體積為U=>R3=刎

所以應(yīng)削去的膠泥的體積為u-vD1_ABCD=(兀-甯.

故選A.

8【答案】A

【解析】方法一：B,C的坐標(biāo)分別為(c,±J),由圖像的對(duì)稱性知，。點(diǎn)在x軸上，則根據(jù)幾何關(guān)系

有

匕4

DF=^=^=^y=^^<a+^T^=a+c,故^￡1^2<1,c2<2a2,即a2+

AFc-aa2(c-a)a2u

b2<2a2,￡<1,故漸近線斜率k=±￡e(—1,O)U(O,1).

故選A.方法二：如圖所示，

由題意知BC為雙曲線的通徑，所以|BC|=龍，則|3?|=史.

aa

X|XF|=c-a,因?yàn)锽D1AC,DCLAB,所以點(diǎn)。在x軸上.

22

由RtABF4?RtADFB,^\BF\2=\AF\■\FD\,即㈠=(c—a).|FD|，

所以|FD|=wJ,則由題意知/J<a+Va2+62,即<。+以

az(c-a)az(c-a)az(c-a)

所以力4<Mg—a).(a+C),即力4vq2(c2—層),即^4<Q2b2,

所以0<與<1,解得0<2<1,而雙曲線的漸近線斜率為±2,

a2aa

所以雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是(-1,0)u(0,1),

故選A.

9【答案】D

【解析】當(dāng)x》0時(shí)，/(%)=￡，-(%)=宗，

當(dāng)xe付,1)時(shí)，尸(無)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)％e[i,+8),尸(久)4o，函數(shù)單調(diào)遞減，/(1)=i；

當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=—|e%+1-||,

其圖像可以由y=/的圖像向左平移一個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位,

再把x軸上方的圖像翻折到x下方得到.畫出函數(shù)圖像，如下圖所示:

-m/(x)-1,當(dāng)m=0時(shí)，g(x)=-1,無零點(diǎn);

當(dāng)m豐0時(shí)，g(x)=mf(x)—1=0,即/'(x)=，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

根據(jù)圖像知：0<\<:或

解得m>e或m<-2.

故選D.

二、填空題(共6題，共30分)

10【答案】2

【解析】解―等=霽翳=+2i，

，復(fù)數(shù)z的虛部為2.

11【答案】-220

【解析】二項(xiàng)式1-京廣的展開式的通項(xiàng)為

r12

圖+1=%-X"?(W)=C[2.(-iy-X-T,

令12=0,求得r=9,

3

即Tio=Cf2x(-金)，

.,.常數(shù)項(xiàng)為(一1)9/2=-220,

故答案為：-220.

12【答案】-4

【解析】圓/+y2+2%—2y+a=0即(％+1)2+(y-1)2=2-a,圓心坐標(biāo)為(—1,1)，

故弦心距為4=中=四?

再由弦長(zhǎng)公式可得2-a=2+4,；.a=—4.

故答案為：-4.

13【答案】史言

【解析】由a+力=1可得(a+3b)+(4a4-2b)=5,

所以士112

a+3b+,=訴+;^

1/12\.

5+石7元)[(a+3切+由+2冽

272+3

1[4a+2b+2(a+3b)+3》

5La+3b4a+2b5

8-5V2

CL——

、匕日/-ry坐4a+2b_2(a+3b)

1H?

1即?時(shí)等號(hào)成立,

三乂三a+3b-4a+2b15V2—6

0=---------

2

所以磊+就的最小值為噌

故答案為：答.

14【答案】

【解析】由題意知，任取一球?yàn)榧t球的概率為'任取一球?yàn)楹谇虻母怕蕿榫?，任取一球?yàn)榘浊虻?/p>

概率為土

則依次取的3個(gè)小球顏色不相同的可能取法以及概率:

紅黑白：亮?紅白黑：言，黑紅白：磊，黑白紅：亮，白紅黑：言，白黑紅：磊

所以有放回地依次取3個(gè)小球顏色互不相同的概率為磊x6=總.

由題意知，？的取值為0,1,2,3.

則

7

八則TPV延?=07)=「1：吁plp+l=—-inr,P(vS?=1)x=3xpl啊pl”pl=1—OU

C10^10C10,乙5JoJoJo

優(yōu)_)_儲(chǔ)oGoGo_125,?_)一儲(chǔ)0儲(chǔ)0G0_125,

所以f的分布列為

0123

6448121

p

125125125125

0X64+1X48+2X12+3X1753

所以E（f）=

1251255

26424821221

則D（f）=（0-§XX々+(2-三Xx—

A125+fi-!5.1255.1255.125

12

=京，

所以。⑷=||.

故答案為:親H-

15【答案WU

【解析】因?yàn)?B〃C。，AD=1,48=3,CD=1,AM=\AB,

所以4M=CD.

所以四邊形4MCD為平行四邊形.

所以且4D=MC,則可設(shè)而=4標(biāo)=4麗.

故怒=AM+MQ=|AB+MC-QC

=|AB+（1+A）MC

=|AB+（I+A）AD.

因?yàn)?,D,Q共線，

所以打（1+4）=1,解得"-右

所以而=iAB+|AD.

因?yàn)槎?|MC,

所以方=DA+AM+MP

——>1——>1——>

=-AD+-AD

33

=^AB-^AD.

33

所以而?蘇=QXB+-QAB-河）

，屈2,拔2..

999

因?yàn)樽?AD+AM=AD+^AB,

所以技?版=（AD+^AB）-AB=AD-AB+^AB2

=3cosABAD+3=-.

2

所以cosZBAD=—

又/BADe（0,兀），

所以拳

因?yàn)橘|(zhì)=-|MC,

所以|珂=?沆卜

如圖以點(diǎn)4為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則C&3Q(lD3(3,0),

設(shè)N(x,6%),x>|,

故NQ=Q—x,y-V3xj,'NB=(3-x,—\/3x)>

則而,港=(|--V3x)-(3-x,-V3x)=4x2-yx+2,

當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值，而.溫取得最小值學(xué)

故答案為：|;||.

三、解答題(共5題，12小題；共75分)

16(1)【答案】—上逋.

8

【解析】因?yàn)?cosc(acosB+bcosA)=c,

由正弦定理得2cosC(sin4cosB+sinBcosA)=sinC,

艮132cosCsin(i4+B)=2cosCsinC=sinC,

因?yàn)镃G(0,7i),sinC>0,

所以cosC=|.

由C為三角形內(nèi)角得C=g；

由cosZ=底，貝卜山4=回，

44

所以sin2/=2sinAcosA=2x—x—=—,

444

r61

cos24=2cos24—1=2x-----1=——,

164

cos(2i4+C)=cos24cosC—sin24sinC

11V15V3

=------X-----------------X——

4242

_1+3V5

—8,

16(2)【答案】a=2,b=3或a=3,b=2.

【解析】因?yàn)椤?BC的面積S=2absinC=迪，

22

所以ab=6①.

由余弦定理=a2+b2-2abcosC得7=a2+b2—ab,

則+按=13(2),

由①②解得a=2,8=3或。=3,b=2.

17(1)【答案】證明見解析.

【解析】由題意，以。為原點(diǎn)，分別以51DC，加的方向?yàn)閄軸，y軸，Z軸的正方向建立空間直

角坐標(biāo)系，

可得。(0,0,0),71(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2),F(2,2,0.

AC=(-2,2,0)，EF=(2,2,

從而技-￡T=-2x2+2x2+0=0>

所以就1品，即力C1EF.

17(2)【答案】f.

6

【解析】就=(一2,2,0)，AF=

設(shè)￡=(%,y,z)為平面4CF的法向量，則(2y+Lz=0，

不妨設(shè)工—1>可得n=(1,1,—4)>

因?yàn)榫?(0,2,-2)>

設(shè)直線EC與平面4CF所成角為。，則

sE”卜。s%磯=|易襄|=|，

所以直線EC與平面4CF所成角的正弦值為I

O

17(3)【答案】V2.

【解析】假設(shè)在線段DE上存在一點(diǎn)G(0,0,h),

使得直線BG與4。所成角的余弦值為|,則/=(-2,-2㈤,

由題意方=(-2,0,0)-

則H庶硯=|曰卜解得h=1,

所以存在點(diǎn)G(0,0,1)滿足條件,

可得4G=(-2,0,1)，

由(2)可知平面4CF的一個(gè)法向量為蔡=

所以點(diǎn)G到平面ACF的距離為第]==伉

|n||3V2]

n,ri為奇數(shù)

18(1)【答案】

啰，九為偶數(shù)

【解析】?啜列“滿足”圖嬲鬻數(shù)且…"……

.?.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2-an=2,此時(shí)數(shù)列{。231}(卜eN*)是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，an

a2/c-i=1+2(/c—1)=2/c-1=n；

當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，an+2=2an,此時(shí)數(shù)列｛ci2k｝(keN*)是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，an=a2k=

n

2k=25，

.(n,n為奇數(shù)

(25,n為偶數(shù)

18(2)【答案】S2n=(n-1)-2n+3+8(neN*).

【解析】t.'bn=anan+1,n￡N*,

?,^2n-l+62n=a2n-la2n+a2na2n+l=(2n+1+271—l)2n=471,2”,

23

???數(shù)列｛d｝的前2n項(xiàng)和S2n=(瓦+b2)+(歷+b4)+—I-(b2n-i+^2n)=4(2+2x2+3x2+—F

n-2n),

23n

令4n=2+2x2+3x2+???+n?2,

23nn+1

則24t=2+2x2+???+(n-1)-2+n-2,

2nn+1

：.-An=2+2+???+2-n-2

2(2"-1)nn+1

2-1

=(1-n)?2n+1-2,

n+1

：.An=(n-l)-2+2,

：.S2n=(n-1)-2n+3+8(n￡N*).

18（3）【答案】證明見解析.

nnn

【解析】Vcn=a2n_ia2n+(-l)=(2n-1)-2+(-l),

111＜圭一七Q》5）,

**cnC2k-1(2n-l)-2n-l

11111

n<=——("4),

Cnc2k(2n-l)-2+l

+—+-

c3cn

1111

<1++++（n）+…

1339.7-9.

<1+2+—+^<-.

3974

2

19(1)【答案】^+y2=1.

_V3

【解析】由e=￡=但得:c=—Cl，

a22

1i(1+y-)ab=l+/nab=2,

則SMAB=-(a+c)-b=-x

則。2=廬+,2=9+2

解得：a=2,則6=1,c=V3

2

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為:v

19（2）【答案】S?QHe（0,學(xué)）.

【解析】由點(diǎn)A與點(diǎn)Q不重合可知：0,

x=my+1

聯(lián)立-第2,整理可得：(zu?+4)y2+26丫-3=o,H0,

丁+y=1

設(shè)P（XL，%），Q（%2，y2），

則P1（X1，-％），

則%+y?=一意；,%丫2=一島,

直線BQ的方程為：y+yi=7zr（x-%i）,

x2—X1

令y=o,

解得：x=

又％i=my1+1,x2=my2+1,

0ny2+i)yi+Qyi+i)y2

則%=

yi+y2

2犯心+(yi+72)

yi+y2

2myi72

%+、2

-6m

=+1=常+1=3+1=4,

?n2+4?，

即直線PiQ與%軸交點(diǎn)為：”(4,0),

:?S"QH=jX(4-1)xly-L-y2|

3,------------------------

=2,V(7i+72)2-4yly2

=6四+3,6力(J,

m2+4

令t=Vm2+3>V3,

則蘇=t2—3,

?,.“PQH=^=中，

當(dāng)t>百時(shí)，t+5單調(diào)遞增，貝k+三〉更，

tt3

6,6

?______—_3_A/_3

??l4y3―2'

f+t~3~

又白>。,

，S&PQH6(°，言)

20(1)【答案】當(dāng)a》泄，f(x)無極值點(diǎn);

當(dāng)0<a<|時(shí),f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).

【解析】通過題意分析可以得：-(%)=工-a-彳=-竺乎(x>0),