2023-2024學年青海省、寧夏金太陽高三（上）聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（9月份）（含解析）

2023-2024學年青海省、寧夏金太陽高三(上)聯(lián)考數(shù)學試卷(文

科)(9月份)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={%|—x-3S0},B=卜|X—2<0},則力C1B=()

A.{%|-3<%<2]B.{%|-3<%<2]

C.{x\x>3}D.(x\x<2}

2.已知復數(shù)z=2—2則|l-i?z|=()

A.24~2B.ypSC.2D.1

3.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+冷，則下列說法正確的是()

A.”久)的圖象關于直線x=部寸稱

B.的圖象關于點(也0)對稱

C.f(x)的最小正周期為]

D.若將/Xx)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可得函數(shù)丫=5也0+總

的圖象

4.已知△4BC的每條邊長均為2,D,E分別是BC,AC的中點，則用.詬=()

C3C33

A.24-2-

5.已知函數(shù)/'(無)=4x(%-1)+ax+|%|是偶函數(shù)，則a=()

A.1B.2C.3D.4

6.曲線y=蠢在點(2,-2)處的切線方程為()

A.y=-3x+4B.y=x—4C.y=3x-8D.y=3x-4

7.設雙曲線J久2-y2=i,聚—方=l(b>0)的離心率分別為e「e2,若e2=*ei，

則b=()

A.1B.2C.<7D.C

8.已知兩個共中心。的正方形的邊長分別為2和4,在如圖所示的陰影中隨機取一點M,則直

線OM的傾斜角不大于[的概率為()

1

A.4-

9.△48。的內(nèi)角4,8"的對邊分別為<1,從<:,已知兒。5。一“058=￡1,且4=2。，則。=()

10.已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形4BCD,在該圓柱的底面內(nèi)任取一點E,則當四

棱錐E-4BCD的體積最大時，該四棱錐的側(cè)面積為()

A.l+q+仁B.1+1>n+V-5C.1+「+2nD.<2+2門

H.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某網(wǎng)絡直播平臺調(diào)研“大學

生是否喜歡觀看體育比賽直播與性別有關”，從某高校男、女生中各隨機抽取100人進行問

卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)(5WmW15,7neN).

喜歡觀看不喜歡觀看

男生80—m20+m

女生50+m50-m

通過計算，有95%以上的把握認為大學生喜歡觀看直播體育比賽與性別有關，則在被調(diào)查的

100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為()

2

附.K2=n?d"c)其中n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)、

P(K2>ko)0.150.100.050.0100.001

ko2.0722.7063.8416.63510.828

A.55B.57C.58D.60

12.已知橢圓E：l(b>0)的兩條弦4B,C。相交于點P(點P在第一象限)，且4Blx

ob

軸，。。1曠軸.若伊川：\PB\t\PC\t\PD\=1：3：2：4,則b=()

A.2B.V-2C.V-5D.口

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

p-y>-1

13.若x,y滿足約束條件"一"1,則z=2x—y的最小值為____

U+y<-l

14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的n=5,則輸入的正整數(shù)P的最

小值為，最大值為.

n=l5=0

/輸入P/

|s=(-1)"S+Z>

n=n+l

(結(jié)束)

15.黃金比又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學比例關系，即將整體一分為二，較小

部分與較大部分之比等于較大部分與整體之比，其比值為話匚。0.618,上述比例又被稱為

黃金分割.將底和腰之比等于守的等腰三角形稱為黃金三角形,若某黃金三角形的一個底角

為C,則cos2c=.

16.已知正三棱柱ABC-內(nèi)接于半徑為2的球，若直線4G與平面BCC隹i所成的角為

30°,則4B=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

設等差數(shù)列｛%｝的前n項和為品,已知2a5-&4=11,S3=9.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)設%=7^1數(shù)列｛b｝的前n項和為加若需<心〈罟，求M的值.

D

KJ1'-1-7nJU□!

18.(本小題12.0分)

某校組織了600名高中學生參加中國共青團相關的知識競賽，將競賽成績分成［50,60),［60,70),

［70,80),［80,90),［90,100］五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a,b,

c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間［60,70)內(nèi)的人數(shù)為300.

(1)求出頻率分布直方圖中a,b,c的值；

(2)估計該校學生分數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替);

(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分數(shù)落在［80,90),［90,100］內(nèi)的兩組學生中抽取6人，再從這6人

中隨機抽取2人進行現(xiàn)場知識答辯，求抽取的這2人中恰有1人的得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)的概率.

19.(本小題12。分)

將△ABC沿它的中位線。E折起，使頂點C到達點P的位置，使得P4=PE,得到如圖所示的四

棱錐P-4BDE,且AC=「48=2,ACLAB,F為PB的中點.

(1)證明：DF〃平面PAE.

(2)求四棱錐P-力BOE的體積.

20.(本小題12.0分)

設拋物線C：/=2py(p>0)的焦點為F,過F且斜率為1的直線l與C交于4,B兩點，|AB|=16.

(1)求p的值；

(2)求過點4B且與C的準線相切的圓的方程.

21.(本小題12.0分)

設函數(shù)f(x)=ax+(1-a)x-l(a>0且a*1).

(1)當a=e時,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設a>l,證明：當x6(0,1)時，/(x)<0.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，曲線q的參數(shù)方程為蔡:戊Q為參數(shù))，直線的方程

為y=Cx.以。為極點，以x軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線Ci和直線的極坐標方程；

(2)若直線。2與曲線G交于M,N兩點，求|0M|?|0N|的值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-1|.

(1)求不等式/(x)>|x-l|-3的解集；

(2)若存在久eR,使得/?(>)>|1-刑成立，求m的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為4={x|x之-3},B=[x\x<2}>

所以4。8={用一3式久<2}.

故選：B.

解一元一次不等式求出集合2、B再，求交集可得答案.

本題考查了一元一次不等式的解法，交集的定義及運算，考查了計算能力，是基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：因為1一i?z=1-i(2-i)=-21,

所以|1—i,z|=2.

故選：C.

根據(jù)復數(shù)乘法運算法則和復數(shù)的模相關知識直接計算即可.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：因為/(x)=sin(2x+總，

所以f皓=sin(2x瑞+書學±1,&)=sin(2x*+^"0,故AB錯誤;

顯然f(x)的最小正周期為7=竽=兀，故C錯誤.

將f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可得函數(shù)丫=$也。+言)的圖象,

3正確.

故選：D.

利用代入檢驗法判斷AB；直接求最小正周期判斷C；利用三角函數(shù)的變換性質(zhì)判斷D.

本題考查的知識要點：正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：因為DE是A/IBC的中位線，所以DE〃/1B,

且。E=gAB=l,/-ADE=/.BAD=DA1BC,/\

又40=J22-(2xi)2=y/~3,/

B~~D~~C

所以用D￡=<3xlxcos7=^

6L

故選：c.

利用三角形中位線定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義進行求解即可.

本題考查平面向量數(shù)量積運算及三角形的兒何性質(zhì)，屬基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)/(無)=4x(%—1)+ax+|x|=4%2+(a—4)x+\x\,

因為函數(shù)/'(x)為偶函數(shù)，可得/'(—x)=/(x),

即4(—x)2+(a—4)(—x)+|-x|=4%2+(a—4)x+|x|,

所以a—4=0,解得a=4.

故選：D.

化簡函數(shù)為/(x)=4/+(a-4)x+|x|,根據(jù)/(-%)=f(x),列出方程，即可求解.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：由尸士，得上十若尹=一號，

O

???所求切線的斜率為yb=2=-7-^2=-3，

(2-3)

故該切線的方程為y+2=-3(x-2),即y=-3x+4.

故選：A.

根據(jù)導數(shù)求解出直線的斜率，然后求出直線方程即可.

本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：由雙曲線G：/-y2=i,可得其離心率為ei=C，

又由雙曲線C2：j-^=l(b>0)f可得其離心率為&二(皆=J1|心，

因為可得1=,XV"五，解得b=1.

故選：A.

分別求得雙曲線G，的離心率，結(jié)合e2=*e「列出方程，即可求解.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：滿足“直線?！钡膬A斜角不大于卜這個條件的

點M構(gòu)成的區(qū)域為圖中的陰影部分，

根據(jù)幾何概型的定義，可知所求概率為會=；.

84

故選：B.

利用根據(jù)幾何概型的定義可得答案.

本題考查幾何概型相關知識，屬于基礎題.

9.【答案】A

【解析】解:因為bcosC-ccosB=a,所以sEBcosC—cosBsinC=sin4,

又sinA=sin(7r—B—C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinBcosC-cosB-sinC=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=0,

因為Ce(O,TT),所以sinC>0,

所以cosB=0,

又B€(O,TT),所以B=*從而4+C=*

又4=2C,所以C=I

故選：A.

利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換化簡可得4+C=*由此可求角C.

本題考查了正弦定理和三角函數(shù)恒等變換，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，如圖，

設圓柱的底面圓心為0,E為該底面上一點，底面半徑為1,

四棱錐體積/MBCO=lsABCD-d,其中d為E到4。的距離，

因為正方形ABCC的面積為定值2x2=4,

所以當E為4D的中點時，連接0E,此時0E為四棱錐E-HBCD的高，高最大，此時四棱錐E-ABCD

體積最大，

則AE1DE,OE1AD,0E=1,AE=DE=<7,BE=CE=J22+(「)2=口,

設圓柱的另一底面圓心為?！高B接。1E,則OiElBC,且0遂=J(門)2—12=口,

此時四棱錐E-ABCD側(cè)面積為S=}AD-OE+^AB-AE+^CD-DE+^BC-OE=X2X1+

乙乙乙乙r乙

1x2x<7+ix2x<^+^x2xV-5=l+2<7+屋.

故選：B.

根據(jù)棱錐體積公式以及正方形ZBCC的面積為定值確定E點在底面上的位置，求出相關線段長，根

據(jù)棱錐側(cè)面積公式即可求得答案.

本題考查圓柱的側(cè)面積計算，涉及棱錐的體積，屬于中檔題.

11.【答案】C

[密析】解?因為*2=_____n(ad-bc)2_____=200[(80-nt)(50-m)-(20+nt)(50+m)產(chǎn)_8(15-m)2>

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-100x100x130x70-91一

3.841,

所以(15-瓶)2>43.7,

又5<m<15,mGN,

所以15-m27,解得m<8,

故在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為58.

故選：C.

根據(jù)公式求出K2的值，根據(jù)題意知H23.841,結(jié)合m的范圍，可求出m的范圍，即可得解.

本題考查獨立性檢驗相關知識，屬于基礎題.

12.【答案】D

【解析】解：設P(m,n),\PA\=t,則A(m,n+t),B(m,n—3t),C(m+2t,n),D(m—4t,n),

由題知4,B關于％軸對稱，C,。關于y軸對稱,

所以n+t+n—3t=0,m+2t+m—4t=

m=t

所以C(3t,t),力(t,2t),

"+#=1

b

所以修t2,即看+a/+今,解得6=口

匠+記=1

故選：D.

設P(m,n),\PA\=t,進而得4,B,C,D的坐標,進而根據(jù)對稱性得力(t,2t),C(3t,t),再代入

橢圓方程整理即可求得結(jié)論.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題.

平移直線z=2x-y,當z=2x-y過點8時，z取得最小值.

聯(lián)立求得仁;二2即%-3,_2).

???z=2x-y的最小值為-4.

故選：—4.

畫出可行域，當直線z=2x-y過點8(-3,-2)時，z取得最小值.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎題.

14.【答案】617

【解析】解：執(zhí)行程序框圖，

n=1,S=0,S——S+21=2,n=2,滿足2<P-,

S=(-l)2S+22=6,n=3,滿足6WP；

S=(-l)3S+23=2,n=4,滿足2WP；

S=(-l)4S+24=18,n=5,滿足18>P.

所以6WPS17,PEN*,所以正整數(shù)P的最小值和最大值分別為6和17.

故答案為：6；17.

運行程序，根據(jù)輸出結(jié)果列不等式，從而求得P的最小值和最大值.

本題考查程序框圖列不等式，屬于基礎題.

15.【答案】一事

4

【解析】解：設這個黃金三角形的另一個底角為B,頂角為4

所以cosC=髭=平，

則cos2c_2COS2C-1=一、'

f4l

故答案為：一工L.

4

根據(jù)三角形三角函數(shù)的定義結(jié)合二倍角公式求解即可.

本題主要考查三角形中的幾何計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.

16.【答案】?

【解析】解：取BC的中點D,連接ZD,GD,如圖所示：根據(jù)正三棱柱性

質(zhì)可知：AD1BC,

又BBJ平面ABC,ADu平面ABC,所以BBi—D,

又=BC,做u平面BCC?所以4。1平面8。。出，

易知乙4CW為直線AC】與平面BCCiBi所成的角，

設A/IBC的外接圓半徑為r,邊長為a,正三棱柱的高為八，

烏

則4。=早如AC=Va2+h2,所以或兀30°=,2可得爐=2,

222a

Ja^+h2

又因為三棱柱4BC-ABiG內(nèi)接于半徑為2的球,

所以（|皿2+?2=（空）2+?2=22,

即日+9=4,解得a=早，即48=浮.

故答案為：冷.

根據(jù)正三棱柱性質(zhì)以及線面角的大小，利用外接球半徑為2可求得AHBC的邊長a=次言，即得出

結(jié)果.

本題考查線面角，幾何體的內(nèi)切球等知識，屬中檔題.

17.【答案】解：⑴設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,依題意得總的［黑匕，i+3d)=11,

解得｛，:2、所以斯=2幾一1;

(2)由(1)得及=(l+2；T)n=n2,

所以島=2(；-+),

所以5=2(1-抖；一抖…+：-總=言.

由土焦〈與解得99cHi<101,

因為m€N*,所以m=100.

【解析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式進行求解即可；

(2)運用裂項相減法進行求解即可.

本題考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、

運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解:⑴由己知可得a=I^x2=0.05,

oUU1U

則(0.005+0.05+b+c+0.005)X10=1,即b+c=0.04,

又因為a,b,c成等差數(shù)列，

所以2b=0.05+c,

解得b=0.03,c=0.01；

(2)可知0.005X10=0.05<0.5,(0.005+0.05)X10=0.55>0.5,

設中位數(shù)為x,則x6［60,70),由0.005x10+(x-60)x0.05=0.5,

解得x=69,即中位數(shù)為69,

平均數(shù)為(55x0.005+65x0.05+75x0.03+85x0.01+95x0.005)x10=71；

(3)成績位于區(qū)間［80,90)內(nèi)的學生有0.01X10x600=60人，成績位于區(qū)間［90,100］內(nèi)的學生有

0.005x10X600=30A,

通過分層抽樣抽取的6人中成績位于［80,90)的人數(shù)為6x^=4,這4人分別記為a,b,c,d,

成績位于［90,100］的人數(shù)為6=2,這2人分別記為E,F,

從上述6人中抽取2人的基本事件有ab,ac,ad,aE,aF,be,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,

dF,EF,共15種，

其中恰有1人的得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)的基本事件有aE,aF,bE,bF,cE,cF,dE,dF,共8種,

故所求概率P=

【解析】（1）由成績落在區(qū)間［60,70）內(nèi)的人數(shù)為300,可求出a,再由各組的頻率和為1,結(jié)合a,b,

c成等差數(shù)列，可求出b,c；

（2）先判斷中位數(shù)的位置，再列方程求解，利用平均數(shù)的定義求平均數(shù)即可；

（3）由分層抽樣的定義求得抽取的6人中成績位于［80,90）的人數(shù)為4,這4人分別記為a,b,c,d,

成績位于［90,100］的人數(shù)為2,這2人分別記為E,F,然后利用列舉法求解概率.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

19.【答案】（1）證明：取PA的中點G,連接FG,GE,

因為DE為△ABC的中位線，所以DE//4B,且

同理可證：FG//AB,且FG=；4B.

所以。E〃尸G,DE=FG,四邊形DEGF為平行四邊形，所以。F〃EG,

因為EGu平面PAE,DF,平面P4E,所以DF〃平面PAE.

（2）解：取AE的中點。，連接P。，因為P4=PE=4E,所以PO1AE,

因為DE〃AB,B.AC1AB,所以OEJ.EC,

又因為OEJ.PE,PEC\EC=E,且PE,ECu平面P4E,所以OE_L平面P4E,

因為P。u平面PAE,所以DEIP。，

因為AEnCE=E,AE、DE在平面ABDE中，所以P。1平面力BDE,且p。=早,

因為AC==2，所以AB=，7,

又因為DE為△ABC的中位線，所以DE=殍，AE=1,

因為AC1AB,所以四邊形4BDE的面積S=《x（匚+，五）x1=—,

2、2/4

所以四棱錐P-4BDE的體積V=gx亨=

【解析】(1)根據(jù)題意，證得DE〃/G,DE=FG,得到四邊形CEGF為平行四邊形，得到CF〃EG,

結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得DF〃平面P4E；

(2)取4E的中點0,連接P0,證得。E1平面P4E,得到DE1P。，求得p。=半，結(jié)合錐體的體

積公式，即可求解.

本題主要考查線面平行的證明，棱錐體積的求法，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔

題.

20.【答案】解：(1)由題意知尸(04)，直線I的方程為y=x+§,設力(叼,%)，B(x2,y2),

聯(lián)立方程組『2r2+,消去%得V一3py+0=°，

則4=9p2-4x。＞0，%+%=3p.

因為|4B|=%+刈+P=4p,所以4P=16,解得p=4；

(2)由⑴知2：y=x+2,y1+y2=12,設線段AB的中點為D,則。(4,6),線段的中垂線方程

為y=-%+10,

設圓心為P(%o，yo),易知點P(%o，y())在直線y=-％+10±,

即儼)=-x0+10,

222

lOo+2)=(x0-4)2+(y0-6)+8,

2,

消去加得培+8xo-48=O,解得假；，或｛%：22,

當2°：)時，圓心坐標為(4,6),半徑為|6+2|=8,

所以圓的方程為(％—4)2+(y-6)2=64；

當E°Z時，圓心坐標為(-12,22),半徑為|22+2|=24,

所以圓的方程為(x+12)2+(y-22)2=576,

所以所求圓的方程為(x-4)2+(y-6)2=64或(x+12)2+(y-22)2=576.

【解析】(1)設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關系、拋物線的定義進

行求解即可；

(2)根據(jù)圓的性質(zhì)，通過解方程組進行求解即可.

本題考查了直線和拋物線的位置關系，關鍵是利用拋物線的定義和圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)當a=e時，/(x)=ex+(l-e)x-l,

1?,f'(x)=ex+1—e,

令((x)=0,得x=ln(e-l),

當x>ln(e—1)時，fr(x)>0,當久<ln(e—1)時，f'(x)<0,

二/(x)在(-8,ln(e-1))上單調(diào)遞減，在。n(e-1),+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明:/(%)=ax+(l-a)x-l(a>1).

f(x)—+(1—a),

.??/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增.

又/'(0)=Ina+1—a,設g(a)