2023-2024學(xué)年江西省南昌市高一年級(jí)下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江西省南昌市高一下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

124

1.已知awR則“cosa=一一"是"a=22%+一MwZ”的()

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】由題意可知a=2A力士后,AwZ,再根據(jù)充分必要條件的概念，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏osc=—g,解得a=2br土與,ZeZ,

12萬(wàn)

.?.“80￡=-]”是“々=2而+號(hào),&€2”的必要不充分條件.

故選：B.

2.為了解某校老年、中年和青年教師的身體狀況，已知老、中、青人數(shù)之比為3:7:5,現(xiàn)

用分層抽樣的方法抽取容量為〃的樣本，其中老年教師有18人，則樣本容量”=

A.54B.90C.45D.126

【正確答案】B

根據(jù)分層抽樣的概念即可求解.

3

【詳解】依題意得:7=二義”=18,解得”=90,即樣本容量為9。故選B

3+5+7

本題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

3.一個(gè)扇形的圓心角為150。，面積為牛，則該扇形半徑為()

A.4B.1C.>/2D.2

【正確答案】D

【分析】利用扇形的面積公式：5=1?/?2,即可求解.

【詳解】圓心角為0=150=當(dāng),設(shè)扇形的半徑為R,

6

Sc=-1-aR?-?-,>n5—4=1-x5—乃—R2-,

2326

解得R=2.

故選：D

本題考查了扇形的面積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

11Q

4.己知事件A,8,C兩兩互斥，若P（A）=二，P（C）=-,P（Au8）=不，則P（8uC）=（）.

82八71

A.—B.-C.—D.一

153153

【正確答案】B

【分析】根據(jù)事件A,B,C兩兩互斥，求出P（B）=；,進(jìn)而利用P（BuC）=P（B）+P（C）

求出答案.

Q11

【詳解】因?yàn)槭录?,B,C兩兩互斥，所以尸（8）=P（Au8）-P（A）唯?=

1I?

所以尸（BuC）=P（B）+P（C）=§+§=§.

故選：B.

5.某學(xué)校高一年級(jí)有300名男生，200名女生，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查數(shù)學(xué)考試成

績(jī)，抽取總樣本量為50,男生平均成績(jī)?yōu)?20分，女生平均成績(jī)?yōu)?10分，那么可以推測(cè)

高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

【正確答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣求岀應(yīng)抽取男生和女生的人數(shù)，求岀平均數(shù)即可.

【詳解】由題意，應(yīng)抽取男生5°x記篙6=30（人），

應(yīng)抽取女生5°*上通=2。（A）,

所以推測(cè)高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為“飛=116（分）.

故選：C

6.某店主為裝飾店面打算做一個(gè)兩色燈牌，從黃、白、藍(lán)、紅4種顏色中任意挑選2種顏

色，則所選顏色中含有白色的概率是（）

2111

A-3B.]C-4D"?

【正確答案】B

【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出所選顏色中含有白色的基本事件個(gè)數(shù)，由此利用等可

能事件概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】從黃、白、藍(lán)、紅4種顏色中任意選2種顏色的所有基本事件有｛黃白｝，｛黃藍(lán)｝,

｛黃紅｝，｛白藍(lán)｝，｛白紅｝，｛藍(lán)紅｝,共6種.其中包含白色的有3種，選中白色的概率為

故選B.

本題考查古典概型求概率的問(wèn)題，考查了列舉法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知yb=d°=咯5，則a，b,C的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【正確答案】A

【分析】由幕函數(shù)性質(zhì)比較，并與1比較，c與1比較.

【詳解】由在①收)上是減函數(shù)得2《<(/，且q尸<(6°=1,

.5.31

而C=log37>log37=l,：.a<b<c,

2222

故選：A.

8.已知/(x)=log.(>/771+x)+l,其中a>0且awl,貝ijf(2)+f(-2)=()

A.0B.4C.2D.log”4

【正確答案】C

【分析】令〃x)=g(x)+l,g(x)=log“(G1+x),由g(x)+g(-x)=O可得g(x)是奇函

數(shù)，從而利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

2

【詳解】解：令〃x)=g(x)+l,g(x)=log,(&+l+x),g(-x)=log(,(Vx+l-xj,

則g(x)+g(-x)=0,即g(-x)=-g(x),

所以g(x)是奇函數(shù),g⑵+g(-2)=0

所以〃2)+〃—2)=g(2)+l+g(—2)+l=2.

故選：C.

二、多選題

9.(多選)已知xCA,則下列等式恒成立的是()

A.sin(—x)=siru

C.+貢）=-siavD.cos（x—^）=~cosx

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可判斷.

【詳解】解析sin（一冗）=一siiu,故A不成立;

sin羊-X=—cosx,故3不成立;

cos/=—sinx,故C成立;

cos（x—加）=-cosx,故。成立.

故選：CD

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.下列敘述正確的是（）

A.某人射擊1次，“射中7環(huán)"與"射中8環(huán)”是互斥事件

B.甲、乙兩人各射擊1次，"至少有1人射中目標(biāo)"與"沒(méi)有人射中目標(biāo)"是對(duì)立事件

C.拋擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)4次正面向上，則第5次出現(xiàn)反面向上的概率大于g

D.若甲、乙兩位同學(xué)5次測(cè)試成績(jī)的方差分別為0.3和0.5,則乙同學(xué)成績(jī)比較穩(wěn)定

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件的發(fā)生互不影響，方差的含

義，即可判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：根據(jù)互斥事件的定義，由于“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”不可能同時(shí)發(fā)生，即它們

為互斥事件，故正確；

B：根據(jù)對(duì)立事件的定義，甲、乙兩人各射擊1次，要么”至少有1人射中目標(biāo)“，要么"沒(méi)有

人射中目標(biāo)”，這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生而且它們必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，故正確；

C：由于拋硬幣是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，任意一次試驗(yàn)岀現(xiàn)正面或反面的概率都為故錯(cuò)誤；

D：方差越小代表成績(jī)?cè)椒€(wěn)定，即甲同學(xué)的乘積穩(wěn)定，故錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.為了更好地支持中小型企業(yè)的發(fā)展，某市決定對(duì)部分中小型企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，

現(xiàn)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐?00家中小型企業(yè)的年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了如圖所示的頻率分

布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）

A.樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為18

B.如果規(guī)定年收入在300萬(wàn)元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅收政策，估計(jì)當(dāng)?shù)赜?0%的中小

型企業(yè)能享受到減免稅收政策

C.樣本的中位數(shù)小于350萬(wàn)元

D.可估計(jì)當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)不超過(guò)400萬(wàn)元(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值為代表)

【正確答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)頻率之和即矩形面積之和為1求出a=0.0014,從而求出樣本在區(qū)間

［500,700］內(nèi)的頻數(shù)；

計(jì)算出年收入在300萬(wàn)元以內(nèi)的企業(yè)的頻率，判斷B選項(xiàng)；

先判斷出中位數(shù)所在的區(qū)間，進(jìn)而設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出中位數(shù)；

求岀樣本年收入的平均數(shù)，從而估計(jì)當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù).

【詳解】由題圖可得100x(0.001+0.002+0.0026x2+a+0.0004)=l,解得。=0.0014,

故樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為100x(0.0014+0.0004)x100=18,故A正確；

年收入在300萬(wàn)元以內(nèi)的企業(yè)的頻率為100x(0.001+0.002)=0.3,故B正確；

100x(0.001+0.002)=0.3<0,5,

100x(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0.5,

則中位數(shù)在［300,400)之間，設(shè)為爲(wèi)

則（X-300）x0.0026=0.5-0.3,得x*377>350,故C錯(cuò)誤;

樣本年收入的平均數(shù)為

1(X)X(150X().(X)1+250X0.002+350x0.0026+450xO.(X)26

+550x0.0014+650x0.0004)=376(萬(wàn)元)，

則估計(jì)當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)為376萬(wàn)元，故D正確.

故選：ABD

/.、-&+2x

12.關(guān)于函數(shù)(，下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)的定義域?yàn)锽.f(x)的值域?yàn)榭?+°°)

C.是偶函數(shù)D.f(x)在(v,T］單調(diào)遞減

【正確答案】AB

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)』+2x20求岀定義域；B選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出值域；C選

項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”得到單

調(diào)性.

【詳解】對(duì)于A,由9+2》20,解得x20或xV-2,故A正確；

對(duì)于B,由-所以函數(shù)的值域?yàn)椋踠，xo)，故B正確；

對(duì)于C,=Ew〃x)，且定義域也不對(duì)稱，

.??/(X)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,在函數(shù)定義域內(nèi)，函數(shù)y=/+2x在(-8,-2］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增，

/?\-＞［x^+2x

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”，得到/(月=仕在(F,-2］上單調(diào)遞減，在

［0,+8)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤，

故選：AB.

三、填空題

13.已知角a的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角a終邊上的一點(diǎn)戶到原點(diǎn)的

距離為應(yīng)，若a=：，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【正確答案】（1,1）

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列出方程組，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

丁正

【詳解】設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x,y）,則由三角函數(shù)的定義得，，

兀X

7=正

X=1

y=l

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（U）.

故（1,1）

14.數(shù)據(jù)4，*2，W的方差為*；+*+后）-9,則數(shù)據(jù)2占+1,2x,+1,2鼻+1的平均數(shù)為

【正確答案】7或-5

【分析】結(jié)合方差的概念得到;［伍可+伍可+伍可=；儲(chǔ)+君+用一9,然后化

簡(jiǎn)整理得到］=±3,又因?yàn)閿?shù)據(jù)厶+1,2%+1,2%+1的平均數(shù)為公+1，帶入數(shù)據(jù)即可求

出結(jié)果.

【詳解】數(shù)據(jù)為，演，馬的方差為s2,平均數(shù)為1，

因?yàn)閿?shù)據(jù)*1，演，匕的方差為g（k+E+宕）-9,

所以g（芭_(tái)xj+12_xj+［3_x）［=g（X；+X；+X；）-9,

-x；+x；+x；+3x—2x（X|+々+X3）］=3（片+石+4）-9,

而X=；（X|+W+X3）,

所以3T+E+石+3工—6x=—（%：+%；+x；）—9,

即g（片+考+考）-〈=#+考+考）-9,故二=9,即進(jìn)±3,

數(shù)據(jù)2x,+l,2X2+\,2x,+l的平均數(shù)為萬(wàn)+1,即2x3+l=7或=2X（-3）+1=-5

故7或-5

15.奇函數(shù)f（x）滿足/［x+］）=/*）,當(dāng)時(shí)/（x）=Gcosx,貝!!/（一等）的值

為?

3

【正確答案】

【分析】求出的周期，得到-等利用該函數(shù)為奇函數(shù)，求出xe(o￡

時(shí)，函數(shù)的解析式，代入求值即可.

【詳解】由/1+:卜/口)可知奇函數(shù)“X)的周期為不

所以+6x升原

因?yàn)樵摵瘮?shù)為奇函數(shù)，所以“r)=-/(x),

令冋畤，。，

，則一xeJ

所以〃-X)=>/3cos(-x)=Gcosj;=-/(X),

即-/(x)=6cosx,

所以/(￡)=一辰。秣,xe儲(chǔ))

177t

所以/>/3cos—=-—

62,

3

故一二

2

-2+lnJx>00,方程/(%)=%有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則%的范圍是.

16.已知函數(shù)〃x)=<

【正確答案】{T}|J(—3,一)

由題意可知，直線y=z與函數(shù)/(X)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】由題意可知，直線y=z與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

作出直線y=k與函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示:

由圖象可知，當(dāng)A=T或&＞一3時(shí)，直線丫=左與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

因此，實(shí)數(shù)左的取值范圍是{T}（-3,田）.

故答案為.{T}L（—3,e＞）

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

四、解答題

17.已知a=—1920’

（1）將a寫成尸+2而依€404〃＜2兀）的形式，并指出它是第幾象限角

（2）求與a終邊相同的角凡滿足-4兀4，＜0.

4兀

【正確答案】（1）-1920。=-12兀+三，它是第三象限的角：

【分析】（1）利用180。=兀，將角度制化為弧度制，并得到所在象限;

(2)由夕=2E+—求出當(dāng)化=一1,%=-2滿足要求.

3

47r

【詳解】(1)因?yàn)?80。=兀，故。=一1920。=—12兀+7，

???cccc<-4兀4兀3兀

*.*-1920°=-12TC4--,7i<—<—,

332

47r

二將a寫成￡+2EkeZ0M￡<2兀的形式為一1920°=—12兀+」，

3

它是第三象限的角.

(2)?/。與a的終邊相同，

47r

令，=2祈+7，keZ,

當(dāng)k=-l,%=—2滿足題意，故。=-9，

18.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)A和8,系統(tǒng)A和系統(tǒng)8在任意

時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為厶和g.

(1)求在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率；

(2)求系統(tǒng)B在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率.

49

【正確答案】(1)二

【分析】(1)利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；

(2)依題意即求3次檢測(cè)中有1次發(fā)生故障或0次發(fā)生故障，利用相互獨(dú)立事件和互斥事件

的概率公式計(jì)算可得；

一1149

【詳解】(1)解：設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么1一尸9)=1-而

(2)解：設(shè)“系統(tǒng)B在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件

D,則3次檢測(cè)中有1次發(fā)生故障或0次發(fā)生故障，

所求概率尸(￡))=3x丄+(1-丄］.

5I5)I5)125

19.如圖，以CU為始邊作角a與￡(0<尸<。<乃)，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)只Q,

已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為

3sina-2cosa

⑴求的值;

2sina+3cosa

⑵若OP丄OQ,求sinQcos#的值.

【正確答案】（1）8

⑵|

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)得定義求出角。得三角函數(shù)值，然后化弦為切即可得解;

（2）根據(jù)。尸丄OQ,可得尸=a-g,再利用誘導(dǎo)公式即可得解.

【詳解】（1）解：因?yàn)榻莂終邊與單位圓相交于點(diǎn)尸（一￡，竺

所以sina=^^,cosa=-^^,tana=-2,

?…3sina-2cosa3tana-2-6-2

所以------------=---------=-----=8o；

2sina+3cosa2tana+3-4+3

（2）解：因?yàn)?。尸丄OQ,

TT

所以〃=

所以sin/cos/=sin(a-^■卜os(c-]j=-cosasina=].

20.已知函數(shù)f(x)=Ti-x(xe[0,+co)).

(1)證明：函數(shù)〃x)是減函數(shù)；

⑵若不等式（a+x）（x+l）>l對(duì)xe[0,+<x）恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）（1,-H?）

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，在定義域范圍內(nèi)取玉>馬，得出f（xj</（x2）,即

可證明函數(shù)/(X)是減函數(shù);

(2)將不等式(“+x)(x+l)>l對(duì)xe[0,+oo)恒成立，轉(zhuǎn)化為j-x在[O,”)上恒成立,

利用單調(diào)性求出的最大值，即可求得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】(1)證明：在[0,e)上任取中天，且毛>々，

則

/(x,)-/(x2)=-5-----X]-----!—+X2=-~——-+X2-X,=------------------+1(X2-X{],

1V17

x,+lx2+l-(為+1乂々+1)■|_(x1+l)(x2+l)-

.0<x2<X,,

+1>0,x2+1>0,x2-x,<0,

則[a+i)；x2+i)++F<。，即/(%)</&)，

.?./a)在0+8)上是減函數(shù).

(2)解：(a+x)(x+l)>l對(duì)X￡[0,+oo)恒成立，

：.a>—--x在[0,”)上恒成立，需a〉/。).”,

X+1

由⑴可知f(X)=￡-x[0,+8)上單調(diào)遞減，

"(X)max=/(。)=/^-0=1，

，。>1,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是。，+8).

21.從某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高(單位：cm),按照區(qū)間[160,165),

[165,170),[170,175),[175,180)"180,185]分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖，如圖

所示

(1)求頻率分布直方圖中X的值；

(2)估計(jì)該校學(xué)生身高的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表)；

(3)估計(jì)該校學(xué)生身高的75%分位數(shù).

【正確答案】(1)0.06

(2)172.25

(3)176.25

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中長(zhǎng)方形面積之和為1,易求出X；

(2)直接利用平均數(shù)公式求岀平均數(shù)；

(3)可設(shè)該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為x,再利用頻率分布直方圖計(jì)算即得

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知5x(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=l,解得x=0.06,

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，由平均數(shù)公式可得：

x=162.5x0.05+167,5x0.35+172.5x0.30+177.5x0.20+182.5x().10=l72.25

(3)[180,185]的人數(shù)占比為5x0.02=10%.

[175,180]的人數(shù)占比為5x00.4=20%.

所以該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)落在口75,180].

設(shè)該校1