2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

一、單選題

1.命題“心€[0,+8),/-3/+220”的否定是()

A.Hxe|^0,+oo),x3-3x2+2<0B.Vxe(-oo,0),x3-3x2+2>0

C.3x6(-oo,0),x3-3x2+2<0D.Vxe|^0,+(?),x3-3x2+2<0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定理解判斷.

【詳解】命題“TX€+8),Y-31+2*0”的否定是“太€[0,+8),V-3/+2<0

故選：A.

2.己知集合4={鄧082141},8=}?=3'+1},則()

A.[1,2]B.(1,2]C.g,2D.(；,2

【正確答案】B

【分析】解對(duì)數(shù)不等式求出集合A,再求出指數(shù)函數(shù)的值域即可求出集合B,進(jìn)而根據(jù)交集的概念即

可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗?X?1,即0<x42,所以4={x|0<x42},

而由于3*>0,則>>1,即8={y|y>l}

所以/08=(1,2].

故選：B.

3.下列說(shuō)法正確的是()

A.若a>b,則〃°2>兒2B.若一2<。<3,1<6<2則一3<〃一6<1

m

C.若a>b,c>d,則D.若a>b>0,〃7>0,則一<一

ab

【正確答案】D

【分析】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合特例法逐一判斷即可.

【詳解】A：當(dāng)c=0時(shí)，顯然這2>兒2不成立，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；

B：1<6<2=—2〈一力<一1,而一2<。<3,所以有一4<。一6<2,因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確;

C：當(dāng)〃=-2,6=-3工=-4,"=-5時(shí)，顯然滿足Q>b,c〉d,但是ac>Z>"不成立，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不

正確；

ah11nimnitn

D：由。>力>0=>0=--->-7="7>—?而加>0,所以丁>一，即一</，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確,

ababbabaab

故選：D

sin—+a-cos(zr-a)

4.已知角a終邊上一點(diǎn)尸(1,2),則一y-----------------=()

sinI--al-sin(2〃+a)

A.2B.-2C.0D.|

【正確答案】B

【分析】通過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)得出角a的正切值，化簡(jiǎn)式子，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：由題意，

角a終邊上一點(diǎn)P(l,2),

tana=2

仁+a卜網(wǎng)…)

sin

2cosa_2

=2,

cosa-sina1-tana

-sin(21+a)

故選：B.

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)為偶函數(shù)，可排除CD,然后根據(jù)x?0,兀)時(shí)的函數(shù)值可排除B.

【詳解】因?yàn)椤▁)=(l-高｝inx=(?E卜inx,定義域?yàn)镽,

又，（r）=FT?sin（r）=777疝”=/6

所以/(X)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)，故排除CD,

又當(dāng)xe(O,勸時(shí)，3>0,sinx>0,/(x)>0,故排除B.

ex+1

故選：A.

6.若正數(shù)工、少滿足x+2y=2盯，若不等式x+2歹2加的恒成立，則〃2的最大值等于()

A.4B.1C.40D.8

【正確答案】A

【分析】由已知得出L1=1,將代數(shù)式X+2'與1+二相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得x+2y的

x2yx2y

最小值，即可得出實(shí)數(shù)小的最大值.

【詳解】已知正數(shù)X、了滿足x+2y=2中，可得1=生浮=,+；,

2xyx2y

所以x+2y=(x+2y)[+=2+/+殳22+2小/?互=4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，即x=2j=l時(shí)，等號(hào)成立,

所以x+2y的最小值為4,

:.m<4.

因此，實(shí)數(shù)，〃的最大值為4.

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=sin7t@x-限05兀0乂。>0)在[0,1]內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

<1023]「1023、「1713、<172

A.(737，〉6」B.L—36)C.L~63JD.I6(

【正確答案】B

【分析】數(shù)形結(jié)合，由第4個(gè)正零點(diǎn)小于等于1,第4個(gè)正最值點(diǎn)大于1可解.

【'詳解】/(x)=sin7t(yx-A/3COS7t(wx=2sin^7t4wx-y^,

因?yàn)閤e[0,l],所以兀-j,<y7t-y,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sinna)x-6cos兀。x(O>0)在[0,1]內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn),

由圖像得：3n<,解得：孚

3236

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是'；10，一23、.

L36)

8.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)對(duì)于任意的x都滿足〃x+2)=〃x),當(dāng)-Lx<l時(shí)，/(幻=丁,

若函數(shù)g(x)=/(x)-10gti|x|至少有6個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍是()

A.畤55,”)B.(0,1)u[5,+x)

C.(1,1)U(5,7)D.(吳)35,7)

【正確答案】A

【分析】函數(shù)的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)圖像的焦點(diǎn)問(wèn)題，再對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的。進(jìn)行分類(lèi)討論即可.

【詳解】由〃x+2)=/(x)知/(力是周期為2的周期函數(shù)，

函數(shù)g(x)=/(x)-log(1|x|至少有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)N=/(X)與g(x)=logJM的圖象至少有6個(gè)交點(diǎn),

①當(dāng)a>1時(shí)，畫(huà)出函數(shù)y=/(x)與g(x)=logjx|的圖象如下圖所示,

根據(jù)圖象可得8(5)=唯.5<1,即0>5.

②當(dāng)0<”1時(shí)，畫(huà)出函數(shù)y=/(x)與g(x)=log.W的圖象如下圖所示,

1'

y=iog?|x|

根據(jù)圖象可得g（—5）=log“5Z-l,即0<a<1.

綜上所述，。的取值范圍是（o,/U（5,+8）.

故選：A

二、多選題

9.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.集合/=｛1,2｝和8=｛（1,2）｝表示同一個(gè)集合

B.函數(shù)/（力=，3+2X-必的單調(diào)增區(qū)間為（7,1）

C.若1暇3=%log27=6,則用a,6表示bg56=上工

a+b+1

D.已知/（x）是定義在（-8,0川（0,田）上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/"）=犬+：-1,則當(dāng)x<0時(shí)，

“X）=_，_:+]

【正確答案】BC

【分析】對(duì)于A,根據(jù)集合的定義即可判斷；對(duì)于B,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C,利

用對(duì)數(shù)的換底公式及運(yùn)算性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D,利用函數(shù)的奇偶性求對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的解析式即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,集合/=｛1,2｝中元素為數(shù)，集合8=｛（1,2）｝為點(diǎn)，可知表示的不是同一個(gè)集合，所以

A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B,?3+2X-X2>0解得函數(shù)/（x）=J3+2I的定義域?yàn)閇-1,3],

令，=3+2x1則片〃，

f=3+2x-/為二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=l,所以函數(shù)/=3+2x-/在區(qū)間上單調(diào)遞增,

在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞減,

函數(shù)y=〃為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/(x)=>/3與”的單調(diào)增區(qū)間為(-L1),所

以B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C,因?yàn)閘og23=a,log?7=6,根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式可得

log?56=log2(7>8)=噫7+噫8=log27+log?2：6+3

?og4256=E,所以c選項(xiàng)正確,

log242log,(7x6)log27+log,6log27+log23+log22

對(duì)于D,因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，〃x)=x2+工一1,可令x<0,貝U-x>0,所以/(-x)=(-xj+-1=--1,

X(FX

又因?yàn)椤╔)是定義在(f,0)U(0,”)上的奇函數(shù)，所以/(x)=-/(-x)=-/+B+l,與題干結(jié)果不符，

所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.下列說(shuō)法不正確的是()

A.函數(shù)y=--x-2的零點(diǎn)是(-1,0)和(2,0)

1]Q

B.正實(shí)數(shù)°,&滿足a+b=l,則不等式上+卷的最小值為:

a4b4

x2+3

C.函數(shù)夕=下=的最小值為2

VX2+2

D.x?<1的一個(gè)必要不充分條件是0<x<1

【正確答案】ACD

【分析】A：求出函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷；B：利用:+*=(：+1)(。+與和基本不等式即可判斷求解;

C：令F3=t，利用換元法和基本不等式即可判斷：D：判斷從O<X<1是否可得/<1,結(jié)合充分

條件和必要條件的概念即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：y=0=>x2-x-2=0=>(x-2)(x+l)=0=>x=2gj(-l,

則函數(shù)的零點(diǎn)是2或-1,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：;。>0,6〉0,。+6=1,

當(dāng)且僅當(dāng):喘，即”2詼時(shí)，等號(hào)成立，吟+：的最小值為方故B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：令J%2+2=力..2，則％2=/一2,

則函數(shù)化為9=止2+3=《1!=/+12=2,當(dāng)且僅當(dāng)f=L即f=l時(shí)等號(hào)成立,

工2+3

-：t>2,故等號(hào)不成立，即y=k=>2,故C錯(cuò)誤;

&+2

對(duì)于選項(xiàng)D：若0<x<l,則x?<l,即0<x<l是/<1的充分條件，故D錯(cuò)誤.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)〃x)=/sin?x+。)(其中Z>O,0>O,-]<s<|o的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論

只需將/(x)的圖象向左平移三個(gè)單位

函數(shù)了=/(x)在區(qū)間(%兀-?向+看)任eZ)上單調(diào)遞增

C.

函數(shù)V=/(x)在區(qū)間言，兀]上的取值范圍是卜百，1]

D.

【正確答案】AC

【分析】由圖得A、。，點(diǎn)仁,2在圖象上求得。及/(x)的解析式可判斷A：根據(jù)圖象平移規(guī)律可判

斷B；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C：根據(jù)x的范圍求得sin(2x+^J可判斷D.

【詳解】由圖得“=2，*詈-3卜所以「喏小…

71

所以/（x）=2sin（2x+p）,因?yàn)辄c(diǎn)￡,2)在圖象上，所以2=2而(2、弓+可，

6

sin（g+夕）=1,因?yàn)橐弧鲐■<夕<■|n■,所以尹=看，可得/(x)=2sin(2x+￡,故A正確;

226

對(duì)于B,將/(x)的圖象向左平移三個(gè)單位，得到

y=2sin2（x+g卜2=2sin（2x+^^）=2sin（2x卷的圖象，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由一]+2E<2x+：<]+2%兀（左wZ）得一g+EKxV^+人武AwZ）,

所以函數(shù)夕=/(x)在區(qū)間+上單調(diào)遞增，故C正確;

4十77兀兀c兀714兀13兀LLI、I.(、兀兀)11

對(duì)于D,xe——,71時(shí)，2x+—G—~~7~，所以sin2x+^w—1,~，

12636V672

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間卷，兀上的取值范圍是[-2』，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.已知函數(shù)/⑴式改吁''”若方程/(x)-加=0有三個(gè)不同的解。也。，且"6<c,則下列說(shuō)

[2x-25,x>10

法正確的是()

A.—<a<\B.1</><10C.12.5<^c<13D.0<w<l

10

【正確答案】BC

【分析】畫(huà)出/(x)的圖象，結(jié)合圖象以及對(duì)數(shù)運(yùn)算確定正確答案.

-lgx,0<x<1

lgx,l<x<10,作出/(x)的圖象，如圖所示:

)2x-25,x>10

因?yàn)榉匠?(x)-m=0有三個(gè)不同的解a,"c(a</)<c),由圖可知0<加41,故D錯(cuò)誤;

且加=-Iga=Igb=2c-25,Iga+Igb=lgaZ>=0,aZ>=1,

所以a=l(T”e=e(l,10],故A錯(cuò)誤，B正確;

所以abc=c=—L?12.5,13],故C正確；

故選：BC

關(guān)于形如y=|iog°x|、y=log.|x|等函數(shù)圖象的畫(huà)法，可結(jié)合絕對(duì)值的意義、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單

調(diào)性進(jìn)行作圖，作圖過(guò)程中要注意曲線“彎曲”的方向，也要注意函數(shù)定義域的影響.

三、填空題

7T

13.函數(shù)/(x)=3sin(0x+§)的最小正周期T=?t,則切=.

【正確答案】±2

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式求解.

【詳解】因?yàn)?(x)=3sin(5+§TT,

27r

所以r=一■-71,解得G=±2,

⑷

故答案為.±2

14.函數(shù)/(x)=Jx-1-x的值域?yàn)?

【正確答案】(一8,-(

【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.

【詳解】令/=Jx-l20,則X="+1,

可得：y="(/+i)=_/+/_]?20),

???函數(shù)、=-/+，-1的對(duì)稱(chēng)軸為f=；〉0,

,當(dāng),二彳時(shí)，函數(shù)J，=T?+/—]取至11最大值Jmax=—(；)+g_l=—

即函數(shù)“X)的最大值為故函數(shù)“X)的值域?yàn)?8,-力.

故答案為

15.己知cosa=2，，sinQ=17,且ae(0,5),Pe,則a+夕的值是

【正確答案】￡

【分析】由平方關(guān)系求得sina,cos夕，再求出cos(a+夕)即可得解.

【詳解】解：因?yàn)閏osa=羋，sin^=*，且ae(()，5),

所以sina=乎,cos.=3，^.,且a+Pw(0,兀)，

um/42亞3V10VsTioV2

則cos(a+〃)=----x----------x----=——,

',5105102

所以a+〃=?IT.

4

故答案為

4

16.若函數(shù)/(X)與g(x)對(duì)于任意須,馬￡小，可，都有了(占)長(zhǎng)(x2)之加，則稱(chēng)函數(shù)/(x)與g(x)是區(qū)間

［c,d］上的“加階依附函數(shù)已知函數(shù)/(x)=3x-l與g(x)=f-ax_a+4是區(qū)間口,2］上的“2階依附函數(shù)，，,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】(f,2］

【分析】由題意得“X)1nmy"號(hào)“22在［1,2］上恒成立，又/(x)m,n=2,所以g(x)21在［1,2］上恒成立，

即aM正生在［1,2］上恒成立,令x+l=f,?。?,3］,設(shè)硝)=”-2,研究咐)的最小值即可.

x+\t

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=3x-l與g(x)=x2-"-a+4是區(qū)間［1,2］上的“2階依附函數(shù)”，

所以/(x)m：g(x)mMN2在［1,2］上恒成立,

又〃x)=3x-l在［1,2］上單調(diào)遞增,則〃x)1nM=/⑴=2,

所以g(x)=f-辦-。+421在［1,2］上恒成立，即°＜寸土2在［1,2］上恒成立,

X+1

x2+3(x+1-1)+3

=x+1+——2

X+1X+1x+l

令x+l=Z,Zw［2,3］,設(shè)M，)=Z+；-2,

〃'(1)=1一\=號(hào)*0,則如)在［2,3］上單調(diào)遞增,

所以，Smin=/?(2)=2，

所以a42.

故(-°o,2］.

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=lg(x-l)+正工的定義域?yàn)?g(x)=3、+l(xe［0,2］)的值域?yàn)?

⑴求力和8；

(2)若［a,a+l］q/c8,求。的最大值.

【正確答案】⑴/為Q4］,8為［0,10］

(2)3

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到滿足即可求解函數(shù)的定義域出根據(jù)

[4-x>0

g(x)=3'+l(xe[0,2])在定義域內(nèi)為增函數(shù)，即可求出值域8

(2)由(1)可知4c8=(1,4],根據(jù)集合間的包含關(guān)系可求出參數(shù)a的范圍，則可得出”的最大值.

【詳解】(1)解：由題意，函數(shù)/(x)=lg(x-l)+"T,滿足4_》>0，

解得I<x44,所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?1,4],

而函數(shù)8(》)=3*+1卜句0,2])在區(qū)上是增函數(shù)，

g(0)=30+l=2,g⑵=32+1=10,

所以函數(shù)g(x)=3'+1(xe[0,2])的值域?yàn)閇0,10],

故定義域4為(1,4],值域8為[0[0].

(2)解：由(1)可知/c8=(l,4],若[a,a+l]q/c8,

[a>1

則解得1<。￡3,

[a+l<4

所以a的最大值為3此時(shí)滿足[3,4旭(1,4],

故最大值為3.

18.已知函數(shù)止)=2$療5：-8525'+機(jī)(0<0<1)的圖象關(guān)于點(diǎn)6,2)對(duì)稱(chēng).

(1)求g,的值；

(2)將/(x)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，得

到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在[0,3句上的值域.

【正確答案】(1)，"=1,

(2)[2-^2,4]

【分析】(1)由二倍角公式降幕后，由余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求得0，機(jī)值;

(2)由圖象變換得出g(x)的表達(dá)式，再由余弦函數(shù)值域得結(jié)論.

【詳解】(1)/(x)=1-cos2(ox-cos2a)x+m-m+l-2cos2cox,

依題意可得加+1=2,等=/+〃乃，〃￡Z(O<G<1),

貝|J〃？=1,CD=—.

2

(2)由(1)知/(%)=2-2cosx,則g(x)=2—2cos[1+i).

故g3在［0,3句上的值域?yàn)椋?-72,4］.

19.已知函數(shù)/(x)=￡3是定義在［-1,1］上的奇函數(shù).

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性并用定義加以證明；

⑵求使/(加-1)-/(1-2加)<0成立的實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【正確答案】(l)/(x)在卜1,1］上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；

⑵同

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)利用"0)=0求出。，再驗(yàn)證即可，由函數(shù)單調(diào)性定義證明即可:

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組求解即可.

【詳解】(1)定義在［7,1］上的奇函數(shù)，所以/(。)=幫?=一0=0,所以a=0，

當(dāng)a=0時(shí)，/")=三,滿足/(r)=//「一/(幻，故。=0滿足題意.

X+1(一X)+1

0

/(x)=言Y在［-1,1］上是增函數(shù)，證明如下：

設(shè)七,》2且引，

mf(x}f(xx_2x,2X2_2x,(x^+1)-2X2(X；+1)_2(x2-x,)(x,x2-1)

則〃xJ一/(x2)一不?一寸(才+1)(4+1)-(x：+l)(.+l)；

因?yàn)椋ィ瑉且再＜々，所以々-X|＞0,再々-1＜0,卜；+1）卜；+1）＞0,

所以/（占）-/（乙）＜0,所以/（X）＜/（々），所以/（x）在卜1』上是增函數(shù);

（2）由得

7Y

由（1）知/（x）=￡？/?）在卜1』上是增函數(shù)，

-1<AW-1<10<m<2

2

所以《一141-2加Ml,BPp<w<1,解得04加苦.

m-l<\-2tn2

m<—

3

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是0,1

20.如圖，風(fēng)景區(qū)的形狀是如圖所示的扇形0/8區(qū)域，其半徑為4千米，圓心角為60。，點(diǎn)C在弧

上.現(xiàn)在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道。心CD.CE,要求街道。C與0/平行，交08于點(diǎn)。，街道

DE與。/垂直（垂足E在。4上）.

（1）如果弧BC的長(zhǎng)為弧CA長(zhǎng)的三分之一，求三條商業(yè)街道圍成的△CQE的面積;

（2）試求街道CE長(zhǎng)度的最小值.

【正確答案】（1）12-4近平方千米

3

（2）那一百千米

【分析】（1）結(jié)合已知角及線段長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求；

（2）由已知結(jié)合解三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)恒等變換可表示CE,然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求.

【詳解】（1）如下圖，連接OC,過(guò)C作CR_LCM,垂足為R.當(dāng)弧8c的長(zhǎng)為弧。長(zhǎng)的三分之一時(shí),

NCOR=45°,在ACOR中，OC=4,CRLO4,故CR=272，OR=2&.在“ODE中，DE=CR=20，

ZDOR=60°,所以匹=tan60°=6,則=城，所以CD=RE=2近-地=還匚逅，^CDE

0E333

的面積S=；。3T.(安昌2也上啜(平方千米),

(2)設(shè)NCO/=9(0<0<。)，則CR=4sin6,OR=4cos<9,DE=CR=4sin0,

又空=tan6(T=6,則OE=逋sin。，所以CO=歐=4cose-逑sin。.在直角三角形COE中，

0E33

CE1=CD2+DE2=(4cosi9-苧sin。/+(4sin9)?=y(2/3sin20+cos26?)gsin(20+<p,其中

tan夕邛(0<9<》因?yàn)椤！?%,所以夕<2。+夕哼+0,又0“</,所以當(dāng)2分。后時(shí)，C爐有

最小值為止警，即CE*=杵普=2竺年.綜上，街道CE長(zhǎng)度的最小值為2回;2、△千

米.

21.用打點(diǎn)滴的方式治療“新冠”病患時(shí)，血藥濃度(血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度，

單位：mg/ml)隨時(shí)間(單位：小時(shí))變化的函數(shù)符合c?)=言(1-2y),其函數(shù)圖象如圖所示，其

中外為藥物進(jìn)入人體時(shí)的速率，發(fā)是藥物的分解或排泄速率與當(dāng)前濃度的比值.此種藥物在人體內(nèi)有效

治療效果的濃度在4mg/ml到15mg/ml之間,當(dāng)達(dá)到上限濃度時(shí)(即濃度達(dá)到15mg/ml時(shí))，必須馬

上停止注射，之后血藥濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)符合。2“)=。-2一"，其中C為停藥時(shí)的人體血藥濃度.

(1)求出函數(shù)。⑺的解析式;

(2)一病患開(kāi)始注射后，最多隔多長(zhǎng)時(shí)間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)始進(jìn)行第二

次注射？(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：lg2aO.3』gI5，」8)

【正確答案】(l)q(f)=161-24(r>0)

\/

(2)從開(kāi)始注射后，最多隔16小時(shí)停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時(shí)后開(kāi)始進(jìn)行第二次注

射

【分析】(1)根據(jù)圖象可知，兩個(gè)點(diǎn)(4,8),(8,12)在函數(shù)圖象上，代入后求解參數(shù)，求q(f)；

(2)由(1)求6("15中f的范圍;求得q⑺后，再求q(f)…4中，的范圍.

【詳解】(1)解：由圖象可知點(diǎn)(4,8),(8,12)在函數(shù)圖象上，

1-2-4*)=8

17

兩式相除得匚3?4,解得：八￥%=24。。，

圖5)=

函數(shù)c[f)=16(d0).

(J.\L1

(2)解：由161-24<15,得2-42-L=2Y,解得，04Tl6,

I)16

.?.從開(kāi)始注射后，最多隔16小時(shí)停止注射；

1t

由題后、可知c=15,又〃，°2(/)=15.2一,，

/_14

由152八4，得24>

即-L^log,巴n-Lz2-log,15n-42-,

,4621546241g20.3

所以解得：04/47.7,

為保證治療效果，最多再隔7.7小時(shí)后開(kāi)始進(jìn)行第二次注射.

22.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镈,若存在使得/(%)=%成立，則稱(chēng)與為〃x)的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”,

也稱(chēng)/(X)在定義域。上存在不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)〃X)=log?(4。-a-2，”+2).

(1)若函數(shù)/(x)在區(qū)間[0』上存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=2\若％凡4-1,0],都有|〃西)-8(々)歸2成立，求實(shí)數(shù)°的取值范圍.

【正確答案】(1)6-;,1

⑵-gvaWl.

【分析】(1)由題可得4'-”?2川+2=2'在［0,1］上有解，令2、=J可得/-2a/+2=f在口,2］上有解,

分離參數(shù)即可求解；

⑵將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x2)11m-2M/(xJMg(X2)min+2,利用單調(diào)性求出g(x)的最值，令2*=f,

可得1±2_2w+2制恒成立，分離參數(shù)求解即可.

【詳解】(1)由題意知，/(燈=丫即4<0?2川+2=2，在［0,1］上有解,

令2'=f,xe［0,l］,則fe［l,2］,則『-2〃+2=，在［1,2］上有解，

當(dāng)fe[l,2]時(shí)，y=f+在口,0]遞減，在(0,2]遞增，則y=/+：e[2&,3]

則2ae[2正-1,2],即ae/-g,l,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為V2-1,l.

(2)1/(x,)-g(x2)|<2?-2</(x,)-g(x2)<2,即g(X2)-2M/6)4gG)+2,

則g(Xz)mL2M/(xMg(X2)mM+2

又g(x)在上是減函數(shù)，

X

則g(2)?ax=g(T)=2,g(A-2)mi?=g(0)=1,

0</(x,)<3,

令2*=Z,xe[-l,0],則1</2-2a/+2<8,

「J_66

2a>------=t——

則

c-r+11

2a<------=t+-

又…一在V；刀上遞增，則為=-5,又y=t+，2

/.-5<2a<2,

—4a41,

2

；?實(shí)數(shù)〃的取值范圍為一*"

方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/（x）,xe[a,6],j=g（x）,xe[c,d]

⑴若氣€上,典，總有/（再）＜8（々）成立，故/（》）皿＜8（々）皿"；

⑵若％e[a,6],HX2G[C,J],有/（xJvgG）成立，故/（力皿；

（3）若*w[a,6],Hx2&[c,d],有/（再）＜8仁）成立，故"x"”＜g?）1rax;

（4）若依e[a,6],3x2e[c,d],有小）=8（功，則/（》）的值域是g（x）值域的子集.

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合則/的子集的個(gè)數(shù)是（）

X

A.15B.8C.7D.16

2.已知a,beR,則“巴>1”是“a>b”的（）

b

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱(chēng)美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形

圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對(duì)稱(chēng)統(tǒng)一的形式美、和諧美.給出定義：能夠?qū)⒁宰鴺?biāo)原點(diǎn)。為圓心的圓

的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)，稱(chēng)為此圓的“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)中一定是“優(yōu)美函數(shù)的為（）

A.y=x——B.y=sinxC.y=cosxD.y=x-2x

x

4.己知函數(shù)/（x）=J二彳，則函數(shù)/（2-x）+/（x）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

C.[0,2]D,[0,4]

5.下列函數(shù)中，以兀為最小正周期且在區(qū)間（0,上單調(diào)遞減的是（）

A.y=sin2xB.y=tanxC..y=|cosx|D.y=cos]

6.函數(shù)=：專(zhuān)的部分圖象大致為（）

7.若。=e°7,6=10gli3,c=log2sin—,則a、b、c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

&函數(shù)/(/')、九[2sin(7t'x()0<x<1)

若a、b、c互不相等，且/(〃卜/㈤二/,)，則a+b+c的

取值范圍是()

A.(l,100)B.(l,n)C.[2,ll]D.(2,101)

二、多項(xiàng)選擇題：(本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)

9.已知log3a>logs6,則下列不等式一定成立的是()

A.0<—<—B.log3(a-/>)>0

C.3fD.?<?

10.下列各式中，值為的是()

7兀?兀兀兀.3兀、

A.tan——B.2sin——cos—+cos——sin——

3I124124J

cl+tanl5°D.cosl5°-^sinl5°

l-tanl50

11.設(shè)函數(shù)〃x)=2sin(2x+G|同45/(°)=一行，則下列敘述正確的是()

A./(x)的最小正周期為T(mén)TB./(x)的圖象關(guān)于直線X=三對(duì)稱(chēng)

C./(x)在上的最小值為-1D./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)件,0)對(duì)稱(chēng)

12.已知函數(shù)/(x)對(duì)DxeR都有/"+2)=-/(力，且函數(shù)y=/.(x—l)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),

當(dāng)xe(O,l]時(shí)，/(x)=2v-l,則下列結(jié)論正確的是()

A./(2022)=0B./(x)在區(qū)間(7,9)上單調(diào)遞減

C./'(x)是R上的奇函數(shù)D.函數(shù)y=/'(力一”0切有6個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置)

13.函數(shù)y=log“(2x—3)+8的圖像恒過(guò)定點(diǎn)且點(diǎn)Z在幕函數(shù)/(x)的圖像上，則/(4)=.

52

14.若正實(shí)數(shù)。、b,滿足lg〃+lgb=l,則士+*的最小值為_(kāi)__.

ah

15.已知cos('!■-a[=-,則sin(t+a)+cos(*+a]=.

16.已知函數(shù)/(力=5吊(5+夕)/>0尹€1^在區(qū)間(意,手]上單調(diào)，且滿足

(1)若—=則函數(shù)〃x)的最小正周期為.

⑵若函數(shù)〃x)在區(qū)間與，學(xué))上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則w的取值范圍為.

四、解答題：(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

解答寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi))

17.(本小題滿分10分)

2

(27^3

計(jì)算：(1)—+—log3xlog8;

I8J23

(2)sin(-120°)-cos210°+cos(-300°)-sinl50°

18.(本小題滿分12分)

已知全集。=1^,集合/=?x；<2"i<8,,8={x|3a—2<x<2a+l}.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求4口(a8)；

(2)若AcB=B,求a的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)

6cosa--+sina+—\/、

已知——7----~~^f=-8,dzefo,-1.

2cos（兀一a）-3sin（兀+a）<4）

（1）求tana的值；

（2）若/且cos］：+夕|=5，求a+/的值.

20.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=cos2x-cos|2x+—|+1.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心；

(2)求函數(shù)〃x)在同)上的值域.

21.(本小題滿分12分)

2

已知函數(shù)/(x)=a+汨]為奇函數(shù)，aeR.

(1)求a的值：

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；

⑶若存在xe[-2,-1],不等式/。一1)+/卜2+/)<0有解，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

22.(本小題滿分12分)

函數(shù)/(x)=log4(4"+l),g(x)=(Ar-l)x,記打冷二八力-8^),且F(x)為偶函數(shù).

(1)求常數(shù)％的值；

(2)若對(duì)一切xeR,不等式尸(x)>—g〃?恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

(3)設(shè)/(xblogjaZ'_ga],若函數(shù)/(x)與"(x)的圖象看只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

答案解析

123456789101112

DDBCCADDCDABCABDACD

8.【正確答案】D

【詳解】函數(shù)/(x)的圖像如圖所示:

設(shè)a<b<c,由函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合可知：a+b=2x-=\,

2

0<Ige<2,/.l<c<100,2<a+6+c<101.

9.【正確答案】CD

10.【正確答案】ABC

【詳解】對(duì)于A,tan—=tan(2TI+—|=tan—=,故A正確

3I3j3

_t7T7T71.I-I7CTC7T.兀)-7C匚——

對(duì)于B,2sin-cos—+cos-sin——=2sin-cos—4-cos-sin—=2sin—=>/3,故B止確：

I124124JI124124)3

1+tanl5°_tan45°+tanl5°

對(duì)于C,=tan(45°+15°)=tan60°=百，故C正確;

l-tanl5°-l-tan45otanl50

對(duì)于D,cosl5o--73sinl50=2—cosl50----sin15°

122J

=2(sin30°cosl50-cos30°sinl5°)=2sin(30°-15°)=2sinl56,故D錯(cuò)誤；

11.【正確答案】ABD

【詳解】/(0)=2sine=-逝,/.s\n(p----，又例V］,工9=一三,/(x)=2sin^2x-yj；

27r

對(duì)于A,的最小正周期7=萬(wàn)=兀，A正確；對(duì)于B,B代入可知正確；

對(duì)于C,當(dāng)x"工,兀］時(shí)，2x--ef—L則當(dāng)2x-四=2，即》=業(yè)時(shí)，f(x)=-2,

_2J3L33J3212'v7m,n

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)x.時(shí)，2》-；=兀，此時(shí)/(x)=0,"(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)傳,0)對(duì)稱(chēng)，D正確.

12.【正確答案】ACD

【詳解】對(duì)VxeR都有f(x+2)=-f(x),則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函數(shù)/(x)是周期函數(shù).周期為4.

當(dāng)xe(O,l］時(shí)，f(x)=2x-l,即函數(shù)/(x)在(0,1］上遞增，在［一1,0)上單調(diào)遞增，

而2°—1=0=/(0),因此〃x)在［—1,1］上遞增，

由〃x+2)=—“X)得：/(x+2)=/(-%),

則y=f(x)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱(chēng)，函數(shù)/(X)在［1,2］上遞減，

對(duì)于A,f(2022)=/(505x4+2)=/(2)=-/(0)=0>A正確；

對(duì)于B,因函數(shù)/(x)在［—1,1］上遞增，函數(shù)/(x)的周期為4,則/(x)在(7,9)上遞增，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,函數(shù)y=/(x—1)的圖像向左平移1個(gè)單位得函數(shù)/(x)的圖象，又函數(shù)y=/(x-l)的圖像

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，因此函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，C正確：

對(duì)于D,函數(shù)y=/(x)—|lgx|的零點(diǎn)，即函數(shù)y=/(x)與y=|lgx|圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)丁=/(x)與y=|lgx|的部分圖象，如圖，

因函數(shù)y=/(x)的最大值為1,而當(dāng)x〉10時(shí)，lgx>l,因此函數(shù)y=/(x)與y=|lgx|圖象的交點(diǎn)

在(0,10)內(nèi)，觀察圖象知，函數(shù)y=/(x)與y=|lgr|圖象在(0,10)內(nèi)只有6個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)

y=有6個(gè)零點(diǎn)，D正確.

13.【正確答案】6414.【正確答案】215.【正確答案】0

Q

16.【正確答案】兀-<?<3(本小題第一空2分，第二空3分)

3

【詳解】解：由題知???/(X)對(duì)稱(chēng)中心為(專(zhuān),0)，

代入可得-^-啰+夕=后］兀，吊eZ,①

；/(x)在區(qū)間皚引上單調(diào)，且，(x)對(duì)稱(chēng)中心為序o}

r..5兀2兀712兀71717兀.

乂：-----=—,-------=—<—..上單調(diào).

63636212

?.上T25三71一兀7即1TN2'7r，即27i2兀.?.0</<3.

26233(o3

⑴—=???/(X)關(guān)于X=意對(duì)稱(chēng),代入可得胃。+。=、+左2兀，左2WZ,②

①一②可得鱉=一四+E，4eZ,即。=一2+4左，左eZ,；O〈/W3,.?.0=2....7=/=兀；

420)

(2)：/(x)對(duì)稱(chēng)中心為=0,

T5

???/(X)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為五個(gè)零點(diǎn)之間即27,六個(gè)零點(diǎn)之間即

只需空+2T〈四〈生+之7即可，即號(hào)<①43，V0<?<3,.,.-<(y<3.

3632333

17.【正確答案】(1)-(2)1；

4

9

【詳解】(1)+2e°-log23xlog38=—+2

2)

sin(-l20°)-cos210°+cos(-300°)-sinl50°=-sin60°-(-cos300)+cos60°-sin300=sin90°=1.

18.【正確答案】(1)/口(48)=,k<2或xN3}(2)0,；u[3,+oo)

【詳解】(1)2-1<2V+I<23,-l<x+l<3,-2<x<2,所以N={x|—2<x<2卜

當(dāng)a=l時(shí)，6={x[l<x<3},全集U=R,={x|xK1或xN3},

所以AU(6RB)={X|X<2或x>3}.

(2)因?yàn)?所以

當(dāng)8=0時(shí)，滿足所以3。-222。+1,解得。23,

3a—2<2Q+1

當(dāng)8#00寸，則需，3a-22—2,解