第01講 認(rèn)識三角形（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第1講認(rèn)識三角形了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；了解三角形的穩(wěn)定性；理解三角形的分類；理解三角形及與三角形有關(guān)的線段的概念；掌握并證明三角形兩邊的和大于第三邊；理解三角形內(nèi)角、外角的概念；探索并證明三角形的內(nèi)角和定理；知識點1三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；記作：△ABC，如圖：其中：線段AB，AC，CA是三角形的邊，A，B，C是三角形的頂點，∠A，∠B，∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．知識點2三角形的分類：等腰三角形：在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。知識點3三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊?！就卣梗喝呹P(guān)系的運用】①判斷三條線段能否組成三角形；②當(dāng)已知三角形的兩邊長時，可求第三邊的取值范圍。知識點4三角形的穩(wěn)定性①三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)定性。②三角形的穩(wěn)定性有廣泛的運用：橋梁、起重機(jī)、人字形屋頂、桌椅等知識點5三角形的重要線段知識點6三角形的內(nèi)角①三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180度。②證明方法：剪拼成平角、通過做平行線構(gòu)造平角、構(gòu)造兩平行線下的同旁內(nèi)角。測量法：剪角拼角法：知識點7三角形的外角①定義：三角形的一邊與另一條邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。如圖，∠ACD是△ABC的一個外角②結(jié)論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個角?！绢}型1三角形的概念】【典例1】（2022秋?游仙區(qū)期中）三角形是指（）A．由三條線段所組成的封閉圖形 B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形 C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形 D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形【變式1-1】（2022?杭州模擬）一位同學(xué)用三根木棒兩兩相交拼成如下圖形，其中符合三角形概念的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2022春?通川區(qū)期末）根據(jù)下列已知條件，能確定△ABC?的形狀和大小的是（）A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°? B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm? C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°? D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°?【題型2三角形的分類】【典例2】（2022秋?民權(quán)縣月考）關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯誤 C．甲的分法錯誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯誤【變式2-1】（2022?寬城縣一模）下列圖形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2022春?館陶縣期末）有下列兩種圖示均表示三角形分類，則正確的是（）A．①對，②不對B．②對，①不對 C．①、②都不對 D．①、②都對【題型3三角形的判斷】【典例3】（2022春?承德縣期末）如圖，一只手握住了一個三角形的一部分，則這個三角形是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．以上都有可能【變式3-1】（2022秋?東平縣期末）圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能【變式3-2】（2022秋?潁泉區(qū)期中）如圖，一個三角形紙片被木板遮掩了一部分，則這個三角形為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【題型4三角形的三邊關(guān)系】【典例4】（2023春?建湖縣期中）下列各組線段能組成一個三角形的是（）A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm C．4cm，8cm，12cm D．5cm，8cm，12cm【變式4-1】（2023春?錦江區(qū)校級期中）如圖，為估計池塘兩岸A，B間的距離，小明在池塘一側(cè)選取了一點P，測得PA＝14m，PB＝10m，那么AB間的距離不可能是（）?A．4m B．15m C．20m D．22m【變式4-2】（2023春?市南區(qū)校級期中）一個三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長為偶數(shù)，則第三邊長可能為（）A．4或6 B．2或4 C．4 D．6【變式4-3】（2023春?溧陽市期中）用木螺絲將五根不能彎曲的木棒圍成一個五邊形木框，不計螺絲之間距離，其中木棒長如圖所示，若在不破壞木框的前提下，任意改變木框的內(nèi)角大小，那么其中兩頂點之間能達(dá)到的最大距離是（）A．12 B．11 C．9 D．8【題型5三角形的穩(wěn)定性】【典例5】（2023春?豐澤區(qū)校級期中）如圖，人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【變式5-1】（2022秋?中山市期末）安裝空調(diào)一般會采用如圖的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【變式5-2】（2023?南海區(qū)校級模擬）要使下面的木架不變形，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【題型6三角形的高】【典例6】（2023春?道里區(qū)校級期中）如所示的四個圖形中，線段BD是△ABC的高的圖形是（）A． B． C． D．【變式6-1】（2023春?香坊區(qū)校級期中）如圖，四個圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（）A． B． C． D．【變式6-2】（2023春?奉賢區(qū)校級期中）下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）?A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④【變式6-2】（2023?東城區(qū)一模）如圖，已知△ABC，用直尺測量△ABC中BC邊上的高約為cm（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【題型7利用三角形的中線巧算周長】【典例7】（2022秋?黔東南州期中）如圖，AD為△ABC的中線，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周長差是4cm，求△ABC的邊AC的長（AC＜AB）．【變式7-1】（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）如圖，CM是△ABC的中線，BC＝8cm，若△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，則AC的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【變式7-2】（2023春?天橋區(qū)期中）如圖，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長為30，則△BCD的周長是（）A．20 B．24 C．26 D．28【變式7-3】（2021秋?河口縣期末）在△ABC中，AB＝AC，DB為△ABC的中線，且BD將△ABC周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長．【題型8利用三角形的中線巧算面積】【典例8】（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC中，點D、E分別是邊BC、AB的中點．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式8-1】（2021秋?鳳凰縣期末）如圖，D、E分別是AC、BD的中點，△ABC的面積為12cm2，則△BCE的面積是（）A．6cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2【變式8-2】（2022秋?張店區(qū)校級期末）已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為cm2．【題型9三角形的內(nèi)角和定理】【典例9】（2023春?沈北新區(qū)期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，則∠C＝（）A．72° B．92° C．108° D．180°【變式9-1】（2023春?歷下區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．60°【變式9-2】（2023春?渝中區(qū)校級期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，則∠C度數(shù)為（）A．32° B．34° C．36° D．38°【變式9-3】（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，CE是△ADC的邊AD上的高．若∠BAD＝40°，∠ECD＝25°，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【題型10三角形中有關(guān)高、中線與角平分線綜合運算】【典例10】（2021春?蕪湖期末）已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B＝30°，∠C＝50°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）試寫出∠DAE與∠C﹣∠B有何關(guān)系？（不必證明）【變式10-1】（2023?合肥模擬）如圖，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，則∠ABC＝（）?A．50° B．60° C．70° D．80°【變式10-2】（2022秋?新興縣期末）如圖，AE，AD分別是△ABC的高和角平分線，∠B＝30°，∠C＝70°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．40° B．20° C．10° D．30°【變式10-3】（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點E，則∠ECD度數(shù)為（）A．5° B．8° C．10° D．12°【題型11三角形外角性質(zhì)】【典例11】（2023?長安區(qū)模擬）將一副直角三角板如圖放置，則∠1的度數(shù)為（）A．75° B．65° C．45° D．30°【變式11-1】（2023?漳州模擬）如圖，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，∠CBD＝68°，則∠C的度數(shù)是（）A．68° B．40° C．38° D．30°【變式11-2】（2023??？谀M）如圖，將一副三角板疊在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．75° D．85°【變式11-3】（2022秋?明水縣校級期末）如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，則∠B＝（）A．30° B．40° C．50° D．80°1．（2022?淮安）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，92．（2022?益陽）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022?廣東）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（）A．三角形 B．平行四邊形 C．長方形 D．正方形4．（2022?玉林）請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm5．（2022?永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C．D．6．（2022?河北）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（）A．1 B．2 C．7 D．87．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線8．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為．9．（2021?大慶）三個數(shù)3，1﹣a，1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍為．1．（2023春?錫山區(qū)校級期中）各圖的△ABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是（）A．B． C．D．2．（2023春?南山區(qū)期中）已知三角形的三邊長分別為3，5，x，則x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．83．（2023?未央?yún)^(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，BD是△ABC的高線，BE是△ABC的角平分線，則∠DBE的度數(shù)是（）A．10° B．12° C．15° D．18°4．（2022秋?禪城區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝70°，則∠F＝（）A．125° B．130° C．135° D．140°5．（2022秋?晉安區(qū)期末）修理一把搖晃的椅子，我們可以斜著釘上一塊木條（如圖），其中所涉及的數(shù)學(xué)原理是（）A．兩邊之和大于第三邊 B．三角形穩(wěn)定性 C．兩點之間線段最短 D．兩點確定一條直線10．（2022秋?瀘縣校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于點E，則∠ADC的度數(shù)為（）A．100° B．90° C．80° D．50°6．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點C在直線a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，則∠B的度數(shù)為（）A．56° B．34° C．36° D．24°7．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，將一副直角三角板按如圖所示疊放，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，則∠BFD的大小是（）A．10° B．15° C．25° D．30°8．（2023?青島模擬）如圖，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進(jìn)行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，則∠C'FE的度數(shù)是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°9．（2022秋?許昌期末）要使五邊形木架（用五根木條釘成）不變形，至少要再釘上（）根木條．A．1 B．2 C．3 D．4