第25講 圓的綜合證明問題專項(xiàng)訓(xùn)練 (解析版)

第25講圓的綜合證明問題專題復(fù)習(xí)【知識(shí)點(diǎn)睛】第一問?？伎键c(diǎn)——切線切線的判定：常用方法→有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！無切點(diǎn)，作垂直，證半徑！☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的，故有“想證⊥，先找⊥”切線的性質(zhì)：常用方法→見切點(diǎn)，連半徑，得垂直！因切線所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來展開后續(xù)問題考題常見結(jié)合考點(diǎn)知2得1：三角形相似：Rt△勾股定理：圓中求長(zhǎng)度，垂徑＋勾股！三角函數(shù)：相似三角形與三角函數(shù)不分家，所以應(yīng)用方法類似；特殊之處是：給三角函數(shù)，必“找”Rt△特殊角：常見特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、正切值=?/?/?等的角度?！钐貏e地：題目中沒給角度（90°、180°除外），又要求角度時(shí)，答案一般為特殊角！另：弧長(zhǎng)與扇形面積：不規(guī)則圖形面積想割補(bǔ)法常用公式：常用輔助線①連半徑——有關(guān)切線時(shí)，連接的是過切點(diǎn)的半徑②作弦心距——構(gòu)造Rt△，進(jìn)而用知2得3——或做兩條弦心距，構(gòu)造矩形或正方形③連接弦——使直徑所對(duì)的圓周角=90°，進(jìn)而在Rt△中展開問題【類題講練】1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ACD+∠BCD＝180°，連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是①③④．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF與⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，則BC＝3．【分析】根據(jù)已知條件得出∠ACD＝∠FCD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出∠FCD＝∠DAB，進(jìn)而得出∠ACD＝∠DAB，根據(jù)圓周角定理即可判斷①，不能確定，即可判斷②，證明△AOB≌△BOD得出∠ADO＝∠BDO，根據(jù)三線合一得出DO⊥AB，進(jìn)而根據(jù)AC是直徑，得出AB⊥BC，結(jié)合已知條件即可判斷③，證明△DEC≌△DFC，Rt△ADE≌Rt△BDF，得出DE＝DF，BF＝AE，進(jìn)而即可求解．【解答】解：如圖，連接DB，∵∠ACD+∠BCD＝180°，∠ACD+∠ACB+∠DCF＝180°，∴∠BCD＝∠ACB+∠DCF，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∴∠ACD＝∠FCD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FCD＝∠DAB，∴∠ACD＝∠DAB，∴，∴∠ABD＝∠BAD，∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BAD，故①正確，∵不能確定，∴∠DAC＝∠BAC不一定成立，故②錯(cuò)誤，如圖，連接BO，∵，∴AD＝DB，在△AOD和△BOD中，，∴△AOD≌△BOD（SSS），∴∠ADO＝∠BDO，∴DO⊥AB，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AB，∴DF⊥OD，∴DF與⊙O相切，故③正確，∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，∴△DEC≌△DFC（AAS），∴DE＝DF，CF＝CE，在Rt△ADE和Rt△BDF中，AD＝DB，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），∴BF＝AE，∵AE＝4，EC＝1，∴BC＝BF﹣CF＝4﹣1＝3，故④正確．故答案為：①③④．2．如圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了如圖的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑OQ＝3dm，用長(zhǎng)為13dm的連桿將點(diǎn)Q與動(dòng)力裝置P相連（∠OQP大小可變），點(diǎn)P在軌道AB上滑動(dòng)，并帶動(dòng)磨盤繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，OA⊥AB，OA＝8dm．（1）如圖2，當(dāng)PQ與⊙O相切時(shí)，則AP＝dm．（2）若磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)10周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（160﹣120）dm．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OQP＝90°，在Rt△OQP中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OP的長(zhǎng)度，在Rt△OAP中，根據(jù)AP＝，代入計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)題意畫圖，如圖4，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q1時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在AB上距離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，根據(jù)勾股定理可得AP1＝，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q2時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在AB上距離點(diǎn)A最近，在Rt△OAP2中，AP2＝，即可算出P1P2＝AP1﹣AP的長(zhǎng)度，根據(jù)題意磨盤旋轉(zhuǎn)一周在P1P2來回運(yùn)動(dòng)2次，計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（1）連接OP，如圖3，∵QP與⊙O相切，∴∠OQP＝90°，在Rt△OQP中，∴OP2＝OQ2+QP2＝32+132＝178，在Rt△OAP中，AP＝＝＝（dm）．故答案為：；（2）如圖4，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q1時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在AB上距離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，在Rt△OAP1中，OA＝8，OP1＝OQ1+Q1P1＝3+13＝16，AP1＝＝＝8，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q2時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在AB上距離點(diǎn)A最近，在Rt△OAP2中，OA＝8，OP2＝13﹣2＝10，AP2＝＝＝6，P1P2＝AP1﹣AP2＝8﹣6，磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)10周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動(dòng)的路徑長(zhǎng)是20×（8﹣6）＝（160﹣120）（dm）．故答案為：160﹣120．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B是直線y＝﹣x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，以線段AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，當(dāng)⊙A與直線y＝﹣x相切時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1）．【分析】過點(diǎn)B作BM⊥OA，垂足為M，當(dāng)⊙A與直線y＝﹣x相切時(shí)，則AB⊥OB，根據(jù)已知可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，﹣m），從而可得OM＝BM＝m，進(jìn)而可得∠MOB＝45°，然后再證△AOB是等腰直角三角形，從而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得OM＝AM，最后根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)可得BM＝OA＝1，即可解答．【解答】解：如圖：過點(diǎn)B作BM⊥OA，垂足為M，當(dāng)⊙A與直線y＝﹣x相切時(shí)，則AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵點(diǎn)A（2，0），∴OA＝2，∵點(diǎn)B是直線y＝﹣x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，﹣m），∴OM＝BM＝m，∴∠MOB＝45°，∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝OB，∵BM⊥OA，∴OM＝AM＝OA，∴BM＝OA＝1，∴OM＝BM＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1），故答案為：（1，﹣1）．4．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．動(dòng)點(diǎn)E在AB邊上，以點(diǎn)E為圓心，以BE為半徑作弧，點(diǎn)G是弧上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)F在BC上，當(dāng)DF與弧相切于點(diǎn)G時(shí)，則BF的值是2；（2）如圖2，若AE＝1連結(jié)CG，DG，分別取DG、CG的中點(diǎn)P、Q，連接PQ，M為PQ的中點(diǎn)，則CM的最小值為﹣2.5．【分析】（1）連接AG，則AG⊥DF，勾股定理得DG＝8，由切線長(zhǎng)定理得FB＝FG，設(shè)FB＝FG＝x，由勾股定理得（8+x）2＝（10﹣x）2+62，求解即可；（2）連接DE、GE，取DE的中點(diǎn)H，連接PH，由中位線性質(zhì)得PH∥BE，PH＝2.5，連接CE，取CE的中點(diǎn)I，連接IQ，證四邊形PHIQ是平行四邊形，得HI＝PQ，取HI的中點(diǎn)J，可證四邊形HJPM是平行四邊形，得JM＝PH＝2.5，確定點(diǎn)M在以J為圓心，2.5為半徑的圓弧上，由兩點(diǎn)之間線段最短得，C，M，J三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，延長(zhǎng)JH，JI，交AD，BC于點(diǎn)K，L，求得JL＝KL﹣KJ＝4，由勾股定理計(jì)算CJ即可．【解答】（1）連接AG，則AG⊥DF，AG＝6，∴DG＝，∵∠ABC＝90°，∴FB與弧相切于點(diǎn)B，∴FB＝FG，設(shè)FB＝FG＝x，則CF＝BC﹣FB＝10﹣x，Rt△CDF中，DF2＝CF2+CD2，即（8+x）2＝（10﹣x）2+62，解得x＝2，即BF＝2，故答案為：2；（2）如圖，連接DE、GE，取DE的中點(diǎn)H，連接PH，則PH∥BE，∴PH＝BE＝×（AB﹣AE）＝2.5，連接CE，取CE的中點(diǎn)I，連接IQ，同理IQ∥BE，∴IQ＝BE＝2.5，∴PH∥IQ，PH＝IQ，∴四邊形PHIQ是平行四邊形，∴HI＝PQ，HI∥PQ∥CD，∵P、Q是DG、CG的中點(diǎn)，∴PQ＝CD＝3，∴HI＝PQ＝3，取HI的中點(diǎn)J，由HJ＝HI＝PQ＝PM＝1.5，∴四邊形HJMP是平行四邊形，∴JM＝PH＝2.5，即點(diǎn)M在以J為圓心，2.5為半徑的圓弧上，∴當(dāng)C，M，J三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，即最小值CM＝CJ﹣JM＝CJ﹣2.5，延長(zhǎng)JH，JI，交AD，BC于點(diǎn)K，L，則KL∥AB，∴點(diǎn)K，點(diǎn)L分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴CL＝BC﹣5，HK＝AE＝05，KL＝CD＝6，∴KJ＝HK+HJ＝0.5+1.5＝2，JL＝KL﹣KJ＝6﹣2＝4，Rt△CJL中，CJ＝，∴最小值CM＝CJ﹣JM＝﹣2.5，故答案為：﹣2.5．5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，過C作⊙O的切線交OD的延長(zhǎng)線于E，交AB的延長(zhǎng)線于F，連EA．（1）求證：EA與⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OC，則∠OCE＝90°，由D為中點(diǎn)可知EO⊥AC，則有CE＝AE，可得∠ECA＝∠EAC，且∠OCA＝∠OAC，利用角的和差可求得∠EAO＝90°，可知EA為切線；（2）連接BC，可證明△FBC∽△FCA，再由切線長(zhǎng)定理可知CE＝AE，在Rt△AEF中可求得AF＝8，再利用線段的比可求得AB的長(zhǎng)，可得半徑．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵EF為切線，∴∠OCE＝90°，∵D為AC中點(diǎn)，∴OE⊥AC，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°，即∠EAO＝90°，∴EA為⊙O的切線；（2）解：連接BC，∵AB為直徑，∴∠BCA＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵EF為切線，∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA，∴∠BCF＝∠CAF，∴△BCF∽△CAF，∴，由（1）知EA為⊙O切線，則EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5，在Rt△AEF中，可求得AF＝4，∴，解得BF＝1，∴AB＝AF﹣BF＝3，∴⊙O的半徑為．6．如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO交⊙O于點(diǎn)C，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D，E是上不與B，D重合的點(diǎn)，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，且AF＝2AB，求證：DF與⊙O相切．【分析】（1）連接OB，由切線求出∠ABO的度數(shù)，再由三角函數(shù)求出∠A，由三角形的外角性質(zhì)求得∠BOD，最后由圓周角與圓心角的關(guān)系求得結(jié)果；（2）連接OF，OB，證明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得結(jié)論．【解答】（1）解：連接OB，如圖1，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；；（2）證明：連接OF，OB，如圖2，∵AB是切線，∴∠OBF＝90°，∵AF＝2AB，∴OA＝OF，∴∠BFO＝30°，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF與⊙O相切．7．如圖AB＝AC，點(diǎn)O在AB上，⊙O過點(diǎn)B，分別與BC、AB交于D、E，過D作DF⊥AC于F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AC與⊙O相切于點(diǎn)G，AC＝8，CF＝1，求陰影部分面積．【分析】（1）連接OD，由∠ODB＝∠B，∠C＝∠B，得∠ODB＝∠C，則OD∥AC，所以∠ODF＝180°﹣∠AFD＝90°，即可證明DF是⊙O的切線；（2）連接OG，可證明四邊形ODFG是正方形，則FG＝OG＝OD＝OB，∠DOG＝90°，設(shè)FG＝OG＝OB＝r，則AG＝7﹣r，OA＝8﹣r，由勾股定理得（7﹣r）2+r2＝（8﹣r）2，求得r＝3，則S陰影＝S正方形ODFG﹣S扇形DOG＝．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ODF＝180°﹣∠AFD＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DF⊥OD，∴DF是⊙O的切線．（2）解：連接OG，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)G，∴AC⊥OG，∴∠OGF＝∠ODF＝∠GFD＝90°，∴四邊形ODFG是矩形，∵OG＝OD，∴四邊形ODFG是正方形，∴FG＝OG＝OD＝OB，∠DOG＝90°，設(shè)FG＝OG＝OB＝r，∵∠OGA＝90°，AB＝AC＝8，CF＝1，∴AG2+OG2＝OA2，且AG＝8﹣1﹣r＝7﹣r，OA＝8﹣r，∴（7﹣r）2+r2＝（8﹣r）2，解得r1＝3，r2＝﹣5（不符合題意，舍去），∴S陰影＝S正方形ODFG﹣S扇形DOG＝32﹣＝，∴陰影部分面積為．8．如圖，點(diǎn)C在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，過C作CE⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DB，且CD＝CE．（1）求證：直線DC與⊙O相切；（2）若AB＝15，tan∠BDC＝，求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)得出∠ODC＝90°，則OD⊥DC，可得出結(jié)論；（2）證明△BCD∽△DCA，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)CB＝x，則CD＝2x，得出方程（2x）2＝x?（x+15），解方程求出x即可得出答案．【解答】（1）證明：連接OD，∵CE⊥AC，∴∠ACE＝90°，∴∠A+∠E＝90°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∴∠A+∠CDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠ADO+∠CDE＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC與⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，又∵∠BDC+∠ODB＝90°，∴∠BDC＝∠A，∵∠BCD＝∠ACD，∴△BCD∽△DCA，∴，∵tan∠BDC＝tan∠A＝，設(shè)CB＝x，則CD＝2x，∴CD2＝CB?CA，∴（2x）2＝x?（x+15），∴x＝5，∴CD＝CE＝10．9．如圖，在⊙O中，E是弧AB的中點(diǎn)，C為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F，（r是⊙O的半徑）．（1）D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若DC＝DF，證明：直線DC與⊙O相切；（2）求EF?EC的值（用r表示）．【分析】（1）連接OC，OE，根據(jù)垂徑定理可得OE⊥AB，可得∠OEC+∠AFE＝90°，由OC＝OE，DC＝DF，可得∠OCE＝∠OEC，∠DCF＝∠DFC＝∠AFE，即可得出∠OCD＝90°；（2）連接BC，證明△EBF∽△ECB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．【解答】（1）證明：連接OC，OE，如圖：∵E是弧AB的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，∴∠OEC+∠AFE＝90°，∵OC＝OE，DC＝DF，∴∠OCE＝∠OEC，∠DCF＝∠DFC＝∠AFE，∴∠OCF+∠DCF＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圓的半徑，∴直線DC與⊙O相切；（2）解：連接BC，如圖：∵E是弧AB的中點(diǎn)，∴，∴∠ABE＝∠ECB，∵∠FEB＝∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴，∴EF?EC＝EB2＝（r）2＝r2，∴EF?EC的值為r210．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AB交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若∠A＝30°，，求DF的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，證明DF⊥OD，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．利用勾股定理求出AB，得出DO＝2，∠BOC＝2∠A＝60°，利用AB∥FD得出∠F＝60°，再利用三角函數(shù)求出DF即可．【解答】（1）證明連接OD．∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∵AB∥DF；∴OD⊥DF，∵OD為半徑，∴DF是⊙O的切線．（2）解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，AC＝2，∴AB＝＝4，∴OD＝2，∵∠BOC＝2∠A＝60°，∵DF∥AB，∴∠COB＝∠F＝60°，∴tanF＝＝，∴DF＝．11．如圖1，在⊙O中，P是直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作弦CD（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），過點(diǎn)C作弦CE⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)BC，已知．（1）求證：FP＝FB．（2）當(dāng)點(diǎn)P在半徑OB上時(shí)，且OP＝FB，求的值．（3）連結(jié)BD，若OA＝5OP＝5．①求BD的長(zhǎng)．②如圖2，延長(zhǎng)PC至點(diǎn)G，使得CG＝CP，連結(jié)BG，求△BCG的面積．【分析】（1）利用圓周角定理，垂直的定義和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）連接OE，設(shè)⊙O的半徑為3a，則OP＝PF＝FB＝a，利用勾股定理和垂徑定理解答即可；（3）①連接OE，利用垂徑定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，等弧對(duì)等弦的性質(zhì)和勾股定理解答即可；②利用三角形的中位線的定義與性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可．【解答】（1）證明：∵，∴∠DCE＝∠BCE．∵CE⊥AB，∴∠CFP＝∠CFB＝90°．在△CPF和△CBF中，，∴△CPF≌△CBF（ASA），∴FP＝FB；（2）解：連接OE，如圖，∵OP＝FB，F(xiàn)P＝FB，∴OP＝PF＝FB，設(shè)⊙O的半徑為3a，則OP＝PF＝FB＝a，∴OF＝2a，OE＝3a．∵AB為⊙O的直徑，CE⊥AB，∴CF＝EF，∵EF＝＝＝a，∴FC＝a，∴＝；（3）解：①連接OE，如圖，∵AB為⊙O的直徑，CE⊥AB，∴，∵，∴，∴，∴，∴BD＝CE．∵OA＝5OP＝5，∴OE＝5，OP＝1．∴PF＝FB＝PB＝（5﹣1）＝2，∴OF＝OP+PF＝3，∴EF＝＝＝4，∴CE＝2EF＝8，∴BD＝CE＝8；②∵CG＝CP，F(xiàn)P＝FB，∴CF為△PGB的中位線，∴CF∥BG，CF＝BG，∴BG＝2CF＝8．∵CF⊥AB，∴BG⊥AB，∴△BCG中BG邊上的高等于BF的長(zhǎng)，∴△BCG的面積＝BG?BF＝8×2＝8．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E為射線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，D作圓交射線AC于點(diǎn)F，連結(jié)DE，EF，且DE交AC于點(diǎn)G．（1）求證：∠DEF＝∠ACB．（2）若AG＝GF，求DG的長(zhǎng)．（3）當(dāng)△EFG是以EF為腰的等腰三角形時(shí)，求△ADG的面積．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理解答即可；（2）利用矩形的性質(zhì)和圓周角定理的推論得到DE為圓的直徑，再利用垂徑定理的推論得到DE⊥AF，最后利用勾股定理和三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論；（3）利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)EF＝EG時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥AG于點(diǎn)H，利用等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，圓周角定理得到AD＝AG＝6，利用（2）的結(jié)論求得AG邊上的高，再利用三角形的面積公式解答即可；②當(dāng)EF＝FG時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥AG于點(diǎn)H，利用①的方法解答即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵∠DAC＝∠DEF，∴∠DEF＝∠ACB；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴DE為圓的直徑，∵AG＝GF，∴DE⊥AF．∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10．∵AD?DC＝AC?DG，∴AD?DC＝AC?DG，∴6×8＝10DG，∴DG＝4.8；（3）解：①當(dāng)EF＝EG時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥AG于點(diǎn)H，如圖，∵EF＝EG，∴∠EGF＝∠EFG，∵∠DGA＝∠EGF，∠ADG＝∠EFG，∴∠ADG＝∠DGA，∴AD＝AG＝6，由（2）知：DH＝4.8，∴△ADG的面積＝AG?DH＝6×4.8＝14.4；②當(dāng)EF＝FG時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥AG于點(diǎn)H，如圖，∵EF＝FG，∴∠FGE＝∠FEG．∵∠FEG＝∠DAG，∠FGE＝∠DGA，∴∠DAG＝∠DGA，∴DA＝DG＝6．由（2）知：DH＝4.8，∵DA＝DG，DH⊥AG，∴AH＝HG．∵AH＝＝3.6，∴AG＝2AH＝7.2．∴△ADG的面積＝AG?DH＝7.2×4.8＝17.28．綜上，△ADG的面積為14.4或17.28．13．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，弧ED與弧DC相等，點(diǎn)F在線段BE上，∠BAC＝2∠BDF．（1）求證：AB＝AC；（2）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（3）若⊙O的半徑為5，EB+DF＝AO，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AD，由AC為⊙O的直徑，知∠ADC＝∠ADB＝90°，故∠ACD+∠DAC＝90°＝∠ABD+∠DAB，又＝，有∠DAC＝∠DAB，可得∠ACD＝∠ABD，AB＝AC；（2）連接AD，OD，由∠BAC＝2∠DAC，∠BAC＝2∠BDF，得∠DAC＝∠BDF，即可得∠ODA＝∠BDF，而∠BDF+∠ADF＝90°，即得∠ODF＝90°，從而DF是⊙O的切線；（3）連接AD，DE，由DF是⊙O的切線，可得∠DAF＝∠EDF（弦切角定理），根據(jù)∠ADC＝90°，AB＝AC，＝，可得BD＝ED，從而BF＝EF，∠DFB＝∠DFE＝90°，設(shè)BF＝DF＝x，DF＝y(tǒng)，則AF＝AB﹣BF＝10﹣x，有y＝5﹣2x，證△EDF∽△DAF，得y2＝x?（10﹣x），即可解得BF＝1，DF＝y(tǒng)＝5﹣2x＝3，用勾股定理知BD的長(zhǎng)為．【解答】（1）證明：連接AD，如圖：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°＝∠ABD+∠DAB，∵＝，∴∠DAC＝∠DAB，∴∠ACD＝∠ABD，∴AB＝AC；（2）解：DF是⊙O的切線；證明如下：連接AD，OD，如圖：由（1）知：∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠BAC＝2∠BDF，∴∠DAC＝∠BDF，∵OA＝OD，∴∠DAC＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BDF，∵∠ADB＝90°，即∠BDF+∠ADF＝90°，∴∠ODA+∠ADF＝90°，即∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（3）解：連接AD，DE，如圖：由（1）（2）知，DF是⊙O的切線，AB＝AC，∴∠DAF＝∠EDF（弦切角定理），∵∠ADC＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵＝，∴CD＝ED，∴BD＝ED，∵∠BDF＝∠BAC＝∠DAF，∴∠BDF＝∠EDF，∴BF＝EF，∠DFB＝∠DFE＝90°，設(shè)BF＝DF＝x，DF＝y(tǒng)，則AF＝AB﹣BF＝10﹣x，∵BE+DF＝OA＝5，∴2x+y＝5，∴y＝5﹣2x，∵∠EDF＝∠DAF，∠EFD＝∠DFA，∴△EDF∽△DAF，∴＝，即＝，∴y2＝x?（10﹣x），把y＝5﹣2x代入得：（5﹣2x）2＝x?（10﹣x），解得x＝1或x＝5（此時(shí)y為負(fù)，舍去），∴BF＝1，DF＝y(tǒng)＝5﹣2x＝3，∴BD＝＝＝；∴BD的長(zhǎng)為．14．如圖，AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點(diǎn)D，E是劣弧AD上一點(diǎn)，且BE平分∠FBA，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FE和BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）證明：GF是⊙O的切線；（2）若AB＝8，，求DB的長(zhǎng)；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）如圖，連接OE，根據(jù)角平分線的定義和等邊對(duì)等角證明∠1＝∠3，推出OE∥BF，再由EF⊥BC，得到OE⊥GF，即可證明GF是⊙O的切線；（2）連接OE，過點(diǎn)O作OM⊥BD于M，證明四邊形OEFM是矩形，得到，利用勾股定理求出BM＝2，即可由垂徑定理得到BD＝2BM＝4；（3）先解直角三角形得到∠EOG＝∠OBH＝60°，求出，再根據(jù)S陰影＝S△OEG﹣S扇形AOE進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2，∵OB＝OE，∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵EF⊥BC，∴OE⊥GF，∵OE是⊙O的半徑，∴GF是⊙O的切線；（2）解：連接OE，過點(diǎn)O作OM⊥BD于M，∴∠OEF＝∠OMF＝90°，∵EF⊥BC，∴∠EFM＝90°，∴四邊形OEFM是矩形，∴，∵AB＝8，∴OB＝4，∴，∵OM⊥BD，∴BD＝2BM＝4；（3）解：∵sin∠OBH＝＝，∴∠OBH＝60°，∴∠EOG＝∠OBH＝60°，∵OE＝4，∴，∴．15．已知AB為⊙O的直徑，AB＝6，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC．（1）如圖1，若點(diǎn)C為半圓的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接BC，點(diǎn)D在⊙O外，連接CD，BD，BD交⊙O于點(diǎn)E，此時(shí)，BC平分∠ABD，∠D＝90°，求證：CD是⊙O的切線；（3）如圖3，在（2）問的條件下，連接CO，EO，若，求cos∠COE．【分析】（1）連接BC，利用圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）連接OC，利用角平分線的定義，同圓的半徑相等的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；（3）連接AE，AE交OC于點(diǎn)F，利用矩形的判定與性質(zhì)得到CF＝DE，設(shè)CF＝DE＝x，則OF＝3﹣x，BE＝BD﹣DE＝﹣x，利用三角形的中位線定理列出關(guān)于x的方程，解方程求得x值，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：連接BC，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵點(diǎn)C為半圓的中點(diǎn)，∴，∴AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴AC＝AB＝6＝3；（2）證明：連接OC，如圖，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC．∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD．∵∠D＝90°，∴CD⊥BD，∴OC⊥CD．∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（3）解：連接AE，AE交OC于點(diǎn)F，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠AED＝90°．由（2）知：OC⊥CD，∠D＝90°，∴四邊形CDEF為矩形，∴OC⊥AE，CF＝DE．∵AB＝6，∴OC＝OE＝AB＝3．設(shè)CF＝DE＝x，則OF＝3﹣x，BE＝BD﹣DE＝﹣x．∵OC∥BD，OA＝OB，∴OF為△OEB的中位線，∴OF＝BE，∴3﹣x＝（），∴x＝．∴OF＝．∴cos∠COE＝．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)已知的點(diǎn)A，B，給出如下定義：若點(diǎn)A恰好在以BP為直徑的圓上，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“聯(lián)絡(luò)點(diǎn)”．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)